Лінії розриву (Fault). Ця операціядозволяє відмалювати структурну лінію, яка у кожній точці має дві позначки. Така структурна лінія називається лінією розриву. Приклад лінії розриву – підпірна стінка табордюр(Борт, для пітерців - поребрик:)). Підписати подвійні позначки на бордюрі можнаспеціальною командою.

Під час виклику функції відображається діалогове вікно, де необхідно вказати необхідні параметри.

Якщо вибрано "Брати фіксованого значення позначки", введіть чисельне значення позначки.

При виборі "Брати по поверхні" виберіть зі списку ім'я існуючої поверхні.

Тип лінії розриву – ліва чи права.

Порада. При установці прапорця «Зберігати значення різниці позначок» – позначка верху визначається таким чином: до позначки низу додається значення різниці, і позначка верху стає нередагованою. Якщо потрібно її відредагувати, то відключіть прапорець різниць і увімкніть прапорець цієї позначки – вона стане доступною для редагування.

Значення позначок та різниці можна контролювати та редагувати у діалоговому вікні:

Це вікно з'являється після того, як на запит програми "Введіть першу точку або [опції(P)]:" вказана точка.

Запам'ятовується, у якому зі значень було введення. При наступному виклику вікна введення починається з поля, що запам'ятовується.

Є можливість відключати позначку, яка невідома – перший стовпець прапорців.

Після введення всієї структурної лінії невідомі позначки розраховуються з значень відомих відміток, якщо це можливо.

Останній стовпець прапорців – це базова позначка для перерахунку (має сенс приєднаних зліва прапорцях).

Якщо базова позначка не змінюється, а змінюється одна з небазових, перераховується інша небазова. А якщо базова нижня чи верхня та змінювати її – змінюється середня; якщо базова середня та змінювати її – за замовчуванням змінюється верхня.

При вимиканні одного з прапорців у першому стовпці зміст базової позначки втрачається.

Є ряд радіокнопок, які пропонують позначку початкового введення. Якщо вибрано "Останню", то пропонується остання введена позначка.

Лінія розриву – це особливий об'єкт, геон. Зсув у плані між верхом і низом встановлюється в діалоговому вікні "Установки поверхонь" у закладці "Установки структурних ліній" у секції " Додаткові параметриліній розриву" за допомогою параметра "Величина усунення лінії розриву при побудові".

Наприкінці відтворення структурної лінії зсуву з'являється запит-підтвердження такого виду:

"Вкажіть точкою бік зсуву структурної лінії<Линия разрыва (Правая)>або:".

Користувач або вказує сторону зсуву структурної лінії точкою (для зручності введення точки з'являється гумова лінія від останньої введеної точки структурної лінії до точки, що вказується), або підтверджує тип зсуву, заданий спочатку (будь-яке інше введення).

При прив'язці (наприклад, _Nea) прив'язка проводиться донизу структурної лінії.

До структурної лінії розриву додано такі можливості:

§ можливість прив'язки до верхньої лінії,

§ відображення сторони зсуву,

§ можливість задавати величину зсуву при побудові поверхні (достатньо 0.01),

§ при команді _Explode вона перетворюється на дві геолінії.

- (ρ 1 , T 1 , v → 1 (\displaystyle \rho _(1),T_(1),(\vec (v))_(1))), а праворуч - інші ( ρ 2 , T 2 , v → 2 (\displaystyle \rho _(2),T_(2),(\vec (v))_(2))). При нестаціонарному русі середовища поверхні розриву залишаються нерухомими, їх швидкість може збігатися зі швидкістю руху середовища.

Фізично довільний розрив не може існувати протягом кінцевого часу - це потребувало б порушення рівнянь динаміки. З цієї причини, якщо в якійсь ситуації виник стан, що описується довільним розривом, він відразу ж після виникнення починає розпадатися - див. завдання Рімана про розпад довільного розриву. При цьому, залежно від того, в якому середовищі відбувається явище, і як співвідносяться між собою значення змінних станів по різні боки від розриву, можуть виникнути різні комбінації нормальних розривів і розрідження хвиль .

Умови

Нижче квадратними дужками позначено різницю величин по різні боки поверхні

На поверхнях розриву повинні виконуватись певні співвідношення:

1. На поверхні розриву має бути безперервний потік речовини. Потік газу через елемент поверхні розриву, віднесений на одиницю площі, має бути однаковим за величиною по різні боки від поверхні розриву, тобто має виконуватися умова [ ρ u x ] = 0 (\displaystyle \left[\rho u_(x)\right]=0)Напрямок осі x (\displaystyle x)вибрано нормальним до поверхні розриву.
2. Повинен бути безперервним потік енергії, тобто має виконуватися умова [ ρ u x (u 2 2 + ε) ] = 0 (\displaystyle \left[\rho u_(x)\left((\frac (u^(2))(2))+\varepsilon \right)\right ]=0)
3. Повинен бути безперервний потік імпульсу, повинні дорівнювати сили, з якими діють один на одного гази по обидва боки поверхні розриву. Так як вектор нормалі спрямований по осі x, то безперервність x (\displaystyle x)-компоненти потоку імпульсу призводить до умови [ p + ρ u x 2 ] = 0 (\displaystyle \left=0) [ ρ u x u y ] = 0 (\displaystyle \left[\rho u_(x)u_(y)\right]=0)і [ ρ u x u z ] = 0 (\displaystyle \left[\rho u_(x)u_(z)\right]=0)

Рівняння вище є повною системою граничних умов на поверхні розриву. З них можна дійти невтішного висновку про існування двох типів поверхонь розриву.

Тангенційні розриви

Через поверхню розриву немає потоку речовини

Таким чином, на поверхні розриву в цьому випадку безперервні нормальна компонента швидкості та тиск газу. Тангенційні швидкості u z (\displaystyle u_(z)), u y (\displaystyle u_(y))і щільність можуть відчувати довільний стрибок. Такі розриви називаються тангенціальними.

Контактні розриви- окремий випадок тангенційних розривів. Швидкість безперервна. Щільність відчуває стрибок, і з нею інші термодинамічні величини, крім тиску.

Ударні хвилі

У другому випадку потік речовини, а з ним і величини відмінні від нуля. Тоді з умов:

тангенціальна швидкість безперервна поверхні розриву. Щільність, тиск, і з ними інші термодинамічні величини відчувають стрибок, причому стрибки цих величин пов'язані співвідношеннями - умовами розриву.

Розриви цього називають ударними хвилями .

Швидкість поширення розриву

Для виведення співвідношень на розривах, що рухаються, можна скористатися рівняннями

Газодинамічний розрив в одновимірному нестаціонарному випадку геометрично є кривою в площині. Побудуємо контрольний об'єм біля розриву так, щоб дві сторони контуру, що охоплює цей об'єм, розташовувалися паралельно розриву по обидва боки розриву, а інші дві сторони були перпендикулярні розриву. Записуючи систему для даного контрольного об'єму, потім стягуючи бічні сторони до нуля і нехтуючи величиною інтеграла на цих сторонах, отримаємо з урахуванням напрямку обходу контуру та знаків прирощень координат і вздовж сторін, що примикають до розриву:

Величина D = d x d t (\displaystyle D=(\frac (dx)(dt)))- швидкість поширення розриву

Співвідношення на розриві

Переходячи до апроксимацій інтегралів за методом прямокутників і використовуючи позначення для стрибків величин на розриві, отримаємо систему співвідношень:

Приклади

Кордон між двома тілами, що сударяются в момент зіткнення, надалі, в силу нестійкості, довільний розрив розпадається на два нормальних розриву, що рухаються в протилежні сторони.

Поверхні слабких і сильних розривів (ч. II, гл. I, § 4). Розриви суцільності (§§ 18, 19).

Умови на поверхнях сильного розриву в матеріальних середовищах та електромагнітному полі (, гл. VII, §§ 4, 5; , § 35). Тангенційні розриви та ударні хвилі (§ 18, 19).

Гідростатика

Рівновага рідини та газу в полі потенційних масових сил. Закон Архімеда. рівновагу і стійкість плаваючих тіл і атмосфери (, VIII § 1;, ч. I, гл. III, §§ 1-4, 8).

Рух ідеальної стисливої ​​рідини

Загальна теоріябезперервних потенційних рухів несжимаемой рідини (, гл. VIII, § 12). Властивості гармонійних функцій(Гл. VIII, § 12). Багатозначність потенціалу в багатозв'язкових областях (, ч. I, гл. I, § 18). Кінематична задача про довільний рух твердого тіла в необмеженому обсязі ідеальної стисливої ​​рідини (, гл. VIII, § 14). Енергія, кількість руху та момент кількості руху рідини при русі в ній твердого тіла (, гл. VIII, § 15). Рух сфери ідеальної рідини (, гл. VIII, § 13).

Сили впливу ідеальної рідини на тіло, що рухається у безмежній масі рідини (гл. VIII, § 16). Основи теорії приєднаних мас (гл. VIII, § 15). Парадокс Даламбера (, гл. VIII, § 8, 16).

Плоскі рухи ідеальної рідини. функція струму. Застосування методів теорії аналітичних функцій комплексного змінного для вирішення плоских завдань гідродинаміки та аеродинаміки (ч. I, гл. III, §§ 11-16; , §§ 39, 40). Стаціонарне обтікання рідиною циліндра та профілю (§ 41). Формули Чаплигіна та теорема Жуковського (, ч. I, гл. VI, §§ 5, 6; , § 44). Правило Жуковського та Чаплигіна визначення циркуляції навколо крил з гострою задньою кромкою (, ч. I, гл. VI, § 7; , § 41). Нестаціонарне обтікання профілів (, гл. I, §§ 1-5).

Плоскі завдання про струменеві течії рідини. Обтікання тіл із відривом струменів. Схеми Кірхгофа, Ефроса та ін. (Ч. I, гл. VI, § 16; , § 47; , гл. V, § 4).

Визначення поля швидкостей за заданими вихорами та джерелами (, ч. I, гл. V, § 11; , гл. VIII, § 26). Формули Біо-Савару. Прямолінійний та кільцевий вихори (, ч. I, гл. V, §§ 12-15; , гл. VIII, § 27). Закони розподілу тисків, сили, що зумовлюють вимушений рух прямолінійних вихорів у плоскому потоці (див. VIII, § 28).

Постановка задачі та основні результати теорії крила кінцевого розмаху. Несуча лінія і поверхня, що несе (, гл. VII, § 27; , § 68).

Постановка завдання Коші-Пуассона про хвилі на поверхні важкої стисливої ​​рідини (ч. I, гл. VIII, §§ 2, 3; , § 24). Гармонійні хвилі. Фазова та групова швидкість. Дисперсія хвиль (, ч. I, гл. VII, § 8; , § 24; , §§ 11.1, 11.2, 11.4). Перенесення енергії прогресивними хвилями (ч. I, гл. VII, §§ 18-19; , § 11.6). Теорія дрібної води (§ 108; § 13.10). Рівняння Бусінеска та Кортевега-де-Вріза. Нелінійні хвилі. Солітон (§§ 13.11, 13.12; , § 24).

Рух в'язкої рідини. Теорія прикордонного прошарку.

Турбулентність

Ламінарний рух стисливої ​​в'язкої рідини. Течії Куетта та Пуазейля (, ч. II, гл. II, §§ 11, 12; , гл. VIII, § 21). Течія в'язкої рідини в дифузорі (, гл. V, §§ 6, 9; гл. X, §§ 3, 4; , § 23). Дифузія вихору (, гл. VIII, § 30).

Наближення Стокса та Озеєна. Завдання про рух сфери у в'язкій рідині у постановці Стокса (, ч. II, гл. II, §§ 23, 25; , гл. VIII, § 20; , § 20).

Ламінарний прикордонний шар (, гл. VIII, § 23; , гл. VII, § 1). Завдання Блазіуса (, гл. VIII, § 24; , гл. VII, § 5). Інтегральні співвідношення і засновані на їх використанні наближені методи теорії ламінарного прикордонного шару (, § 89). Явище відриву прикордонного шару (§ 86; §§ 39, 40; , гл. VII, § 2). Стійкість прикордонного шару (§ 41; , гл. XVI, §§ 2, 3). Теплообмін із потоком на основі теорії прикордонного шару (, гл. VI, § 2; §§ 114-116; , гл. XII, §§ 1, 4).

Турбулентність (§ 95). Досвід Рейнольдса. Рівняння Рейнольдса (гл. VIII, § 22). Турбулентне перенесення тепла та речовини (§§ 97, 98). Напівемпіричні теорії турбулентності (§ 98; , гл. XIX, §§ 2-4; (, гл. III, § 4).). Профіль швидкості у прикордонному шарі. Логарифмічний закон (§ 120; , гл. XIX, § 5). Пряме чисельне розв'язання рівнянь гідромеханіки за наявності турбулентності ().

КОНСПЕКТ ЛЕКЦІЙ З МАТАНАЛІЗУ

Функції кількох змінних. Геометричне зображення функції двох змінних. Лінії та поверхні рівня. Межа та безперервність функції кількох змінних, їх властивості. Приватні похідні, їх властивості та геометричний зміст.

Визначення 1.1.Змінна z (З областю зміни Z) називається функцією двох незалежних змінних х,уу безлічі М, якщо кожній парі ( х,у) з безлічі М zз Z.

Визначення 1.2.Безліч М, в якому задані змінні х,у,називається областю визначення функції, а самі х,у– її аргументами.

Позначення: z = f(x, y), z = z(x, y).

приклади.

Зауваження.Оскільки пару чисел ( х,у) можна вважати координатами деякої точки на площині, згодом будемо використовувати термін «точка» для пари аргументів функції двох змінних, а також для впорядкованого набору чисел
є аргументами функції декількох змінних.

Визначення 1.3. . Змінна z (З областю зміни Z) називається функцією кількох незалежних змінних
у безлічі Мякщо кожному набору чисел
з множини Мза деяким правилом чи законом ставиться у відповідність одне певне значення zз Z. Поняття аргументів та області визначення вводяться як і, як функції двох змінних.

Позначення: z = f
,z = z
.

Геометричне зображення функції двох змінних.

Розглянемо функцію

z = f(x, y) , (1.1)

визначену в деякій галузі Мна площині О ху. Тоді безліч точок тривимірного простору з координатами ( x, y, z) , де є графіком функції двох змінних. Оскільки рівняння (1.1) визначає деяку поверхню в тривимірному просторі, вона і буде геометричним зображенням функції, що розглядається.

z = f(x, y)

M y

Зауваження. Для функції трьох і більше змінних будемо користуватися терміном «поверхня в n-мірному просторі», хоча зобразити подібну поверхню неможливо.

Лінії та поверхні рівня.

Для функції двох змінних, заданої рівнянням (1.1), можна розглянути безліч точок ( х,у)площині О ху, для яких z приймає те саме постійне значення, тобто z= Const. Ці точки утворюють на площині лінію, яка називається лінією рівня.

приклад.

Знайдемо лінії рівня поверхні z = 4 – x² - y². Їхні рівняння мають вигляд x² + y² = 4 - c (c=const) – рівняння концентричних кіл з центром на початку координат і з радіусами
. Наприклад, при з=0 отримуємо коло x² + y² = 4 .

Для функції трьох змінних u = u (x, y, z) рівняння u (x, y, z) = cвизначає поверхню в тривимірному просторі, яку називають поверхнею рівня.

приклад.

Для функції u = 3x + 5y – 7z-12 поверхнями рівня буде сімейство паралельних площин, що задаються рівняннями

3x + 5y – 7z –12 + з = 0.

Межа і безперервність функції кількох змінних.

Введемо поняття δ-околицікрапки М 0 (х 0 , у 0 ) на площині О хуяк кола радіуса δ з центром у цій точці. Аналогічно можна визначити δ-околиця в тривимірному просторі як куля радіуса δ з центром у точці М 0 (х 0 , у 0 , z 0 ) . Для n-мірного простору називатимемо δ-околицею точки М 0 безліч точок Мз координатами
, що задовольняють умову

де
- координати точки М 0 . Іноді це безліч називають «куляю» в n-мірному просторі.

Визначення 1.4.Число А називається межеюфункції кількох змінних f
у точці М 0 , якщо

таке, що | f(M) – A| < ε для любой точки Мз δ-околиці М 0 .

Позначення:
.

Необхідно враховувати, що при цьому крапка Мможе наближатися до М 0 , умовно кажучи, по будь-якій траєкторії всередині δ-околиці точки М 0 . Тому слід відрізняти межу функції кількох змінних у загальному сенсі від так званих повторних меж, одержуваних послідовними граничними переходами по кожному аргументу окремо.

приклади.

Зауваження. Можна довести, що з існування межі в цій точці у звичному значенні та існування в цій точці меж за окремими аргументами випливає існування та рівність повторних меж. Зворотне твердження не так.

Визначення 1.5.Функція f
називається безперервнийу точці М 0
, якщо
(1.2)

Якщо ввести позначення

То умову (1.2) можна переписати у формі

(1.3)

Визначення 1.6.Внутрішня точка М 0 області визначення функції z = f (M) називається точкою розривуфункції, якщо у цій точці не виконуються умови (1.2), (1.3).

Зауваження.Безліч точок розриву може утворювати на площині чи просторі лініїабо поверхні розриву.