Tasodifiy o'zgaruvchi lognormal taqsimlangan deb ataladi, agar uning logarifmi normal taqsimot qonuniga bo'ysunsa.

Bu, xususan, log-normal tasodifiy o'zgaruvchining qiymatlari juda ko'p sonli o'zaro mustaqil omillar ta'sirida hosil bo'lishini va har bir alohida omilning ta'siri "bir xil darajada ahamiyatsiz" va belgisi bo'yicha bir xil ehtimoli borligini anglatadi. . Bundan tashqari, oddiy qonun mexanizmini shakllantirish sxemasidan farqli o'laroq, tasodifiy omillar ta'sirining ketma-ket tabiati shundan iboratki, har bir keyingi omil ta'sirida yuzaga keladigan tasodifiy o'sish o'rganilayotgan qiymatning qiymatiga mutanosib bo'ladi. o'sha paytda allaqachon erishilgan (bu holda ular omil ta'sirining multiplikativ tabiati haqida gapiradi). Matematik jihatdan aytilganlarni quyidagicha rasmiylashtirish mumkin. Agar - o'rganilayotgan belgining tasodifiy bo'lmagan tarkibiy qismi bo'lsa (ya'ni, ideallashtirilgan sxemadagi "haqiqiy" qiymat, barcha tasodifiy omillarning ta'siri bartaraf etilganda), - bu ta'sirning raqamli ifodasidir. Yuqorida aytib o'tilgan tasodifiy omillarning ta'siri, keyin ushbu omillar ta'sirida ketma-ket o'zgartiriladigan o'rganilayotgan xarakteristikaning qiymatlari:

Bu yerdan borish oson

Qayerda. Ammo (6.11) ning o'ng tomoni ko'plab tasodifiy omillarning qo'shimcha ta'sirining natijasi bo'lib, yuqorida keltirilgan taxminlarga ko'ra, biz bilganimizdek, olib kelishi kerak (6.1.5-bo'limga qarang, shuningdek, § 7.3, bag'ishlangan). markaziy chegara teoremasiga), bu summaning normal taqsimlanishiga .

Shu bilan birga, tasodifiy atamalarning etarlicha ko'pligini (ya'ni, faraz qilish) va ularning har birining ta'sirining nisbiy ahamiyatsizligini hisobga olgan holda (ya'ni, taxmin qilish) ning chap tomonidagi yig'indidan siljitish mumkin. (6.11) integralga

Bu. va pirovard natijada bizni qiziqtirgan miqdorning logarifmi (doimiy qiymatga kamaytirilgan) nol o'rtacha qiymatga ega bo'lgan normal qonunga bo'ysunishini anglatadi, ya'ni.

shuning uchun x ga nisbatan farqlash orqali bu munosabatning chap va o'ng tomonlarini olamiz

(hisoblashda ishlatiladigan identifikatsiyaning haqiqiyligi konvertatsiyaning qat'iy monotonligidan kelib chiqadi)

Ta'riflangan logarifmik-normal tasodifiy o'zgaruvchining qiymatlarini yaratish sxemasi ko'plab o'ziga xos jismoniy va ijtimoiy-iqtisodiy vaziyatlarga xos bo'lib chiqadi (ezish paytida hosil bo'lgan zarrachalarning o'lchami va og'irligi; xodimlarning ish haqi; oilaning daromadi; kosmik shakllanishlarning o'lchamlari. ; eskirish va qarish rejimida ishlaydigan mahsulotning chidamliligi va hokazo; qarang, masalan, , , ).

6.1-misol. Muayyan oilalar to'plamidagi oilaning jon boshiga oylik daromadi (dollar bilan) tasodifiy o'zgaruvchi sifatida qabul qilinadi. N=750 ta oila tekshirildi.

6.1-jadval

6.2-jadval

Jadvalda 6.1 va 6.2 namunaviy ma'lumotlarni guruhlash natijalarini va ularning logarifmlarini mos ravishda ko'rsatadi (guruhlash oralig'ining kengligi 25 dollar). Shaklda. 6.1, a, b mos ravishda log-normal va normal taqsimot qonunlarining gistogrammalari va zichligini ko'rsatadi.

Guruch. 6 1. Oilalarning aholi jon boshiga oʻrtacha oylik daromadi (a) va jon boshiga oʻrtacha oylik daromadi (b) logarifmi boʻyicha taqsimlanishini tavsiflovchi gistogramma va nazariy (namunaviy) zichlik.

Quyida logarifmikning asosiy sonli xarakteristikalarini hisoblash natijalari keltirilgan normal taqsimot(qonunning a va parametrlari bo'yicha):

Ushbu iboralardan ko'rinib turibdiki, log-normal taqsimotning egriligi va kurtozisi har doim ijobiy (va nolga yaqinroq bo'lsa, nolga yaqinroq) va rejim, mediana va o'rtacha biz ko'rgan tartibda aniq joylashtirilgan. Anjir. 5.8 va ular birlashishga moyil bo'ladilar (va zichlik egri chizig'i - simmetriyaga) miqdor nolga intiladi. Bu holda, log-normal tasodifiy o'zgaruvchining qiymatlari ba'zi "tasodifiy buzilishlar" sifatida shakllansa ham. haqiqiy qiymat” a bo'lsa, ikkinchisi oxir-oqibat o'rtacha emas, balki median sifatida ishlaydi.

X = lnY tasodifiy miqdor bir xil m va s parametrlari bilan normal taqsimotga ega bo'lsa, Y tasodifiy o'zgaruvchisi m va s parametrlari bilan lognormal taqsimotga ega. X va Y o‘zgaruvchilar orasidagi bog‘lanish xarakterini bilib, lognormal taqsimotga ega tasodifiy miqdorning ehtimollik zichligi grafigini osongina qurishimiz mumkin (4.2-rasm).

4.2-rasm – m va s parametrlarining turli qiymatlari uchun lognormal taqsimotning zichlik egri chiziqlari

Agar X tasodifiy o'zgaruvchisi (4.6) formula bilan aniqlangan ehtimollik zichligi funksiyasiga ega bo'lsa va X = lnY bo'lsa, u holda:

y > 0 uchun qayerda:

Ta'rifdan kelib chiqadiki, lognormal taqsimotga duchor bo'lgan tasodifiy o'zgaruvchi faqat ijobiy qiymatlarni qabul qilishi mumkin. 4.2-rasmda ko'rsatilganidek, f(y) funktsiyasining egri chiziqlari chap tomonli assimetriyaga ega, u kuchliroq bo'lsa, m va s parametrlarining qiymatlari qanchalik katta bo'lsa. Har bir egri chiziq bitta maksimalga ega va y ning barcha ijobiy qiymatlari uchun aniqlanadi.

Lognormal taqsimot bilan tasodifiy o'zgaruvchining matematik kutilishi va dispersiyasini hisoblash juda qiyin emas:

4.15 va 4.16 integrallariga almashtirish va yangi oʻzgaruvchilar kiritish orqali biz quyidagilarga erishamiz:

Umuman olganda, lognormal taqsimot va zichlik f(y, m, s) bo'lgan Y tasodifiy o'zgaruvchining (a, b) oralig'ida qiymat olishi ehtimolini hisoblash uchun integralni olish kerak:

Biroq amalda Y tasodifiy miqdorning logarifmi normal taqsimotga ega ekanligidan foydalanish qulayroqdir. a ≤ Y ≤ b ehtimoli shu ehtimolga ekvivalentdir
lna ≤ lnY ≤ lnb.

Logarifmik taqsimoti m = 1, s = 0,5 bo'lgan tasodifiy o'zgaruvchining (2, 5) oralig'ida qiymat olishi ehtimolligini hisoblaymiz. Bizda ... bor:

Logarifmlar jadvallaridan ln2 = 0,6932 va ln5 = 1,6094 ni topamiz.

lnY = X ni belgilab, biz quyidagilarni yozishimiz mumkin:

Bundan tashqari, X tasodifiy o'zgaruvchisi o'rtacha qiymati m = 1 va standart og'ish s = 0,5 bo'lgan normal taqsimotga bo'ysunadi. Endi normal taqsimotning integral funktsiyasi jadvallaridan istalgan ehtimollik osongina hisoblanishi mumkin:

O'z-o'zini nazorat qilish uchun savollar

1 To'g'ri to'rtburchaklar taqsimotining ta'rifi.

2 To'g'ri burchakli taqsimotga ega tasodifiy o'zgaruvchining ehtimollik zichligi grafigi

3 To'g'ri burchakli taqsimotning fundamental ma'nosi.

4 To'g'ri to'rtburchak taqsimotda tasodifiy miqdorning kutilishi va dispersiyasi.

5 Matematik statistikada normal taqsimotning roli.

6 Normal taqsimot nima va u binomial bilan qanday bog'liq?

7 Oddiy taqsimotga ega tasodifiy miqdorning ehtimollik zichligi grafigi.

8 Qanday statistik parametrlar yordamida normal taqsimotni aniqlash mumkin?

9 Nima uchun normal taqsimot uzluksiz?

10 Oddiy egri chiziq tenglamasi.

11 Normallashtirilgan og'ish nima?

12 Normallashtirilgan shakldagi normal taqsimot egri chizig'ining tenglamasi.

13 m va s ning qanday qiymatlari normallashgan shakldagi normal populyatsiyani tavsiflaydi?

14 Tanlangan ma'lumotlarning qaysi qismi ±1s, ±2s, ±3s chegaralariga to'g'ri keladi?

15 Normal ehtimollik integrali jadvali nimani ko'rsatadi?

16 Lognormal egri chiziq tenglamasi.

17 Lognormal taqsimotga ega tasodifiy miqdorning ehtimollik zichligi grafigi.

18 Lognormal taqsimotdan normal taqsimot olish uchun qanday transformatsiyalarni bajarish kerak?

19 Lognormal taqsimotni qanday statistik parametrlar aniqlaydi?

5-MAVZU Namuna olish parametrlarining taqsimlanishi

5,1 t - talabalar taqsimoti

5.2 Fisher-Snedecor F taqsimoti

5.3 ch 2 – taqsimlash

5,1 t - talabalar taqsimoti

Oddiy taqsimot qonuni xususiyatlar soni n > 20–30 bo'lganda paydo bo'ladi. Biroq, eksperimentator ko'pincha cheklangan miqdordagi o'lchovlarni o'tkazadi va o'z xulosalarini kichik namunalarga asoslaydi. Kam miqdordagi kuzatuvlar bilan natijalar odatda yaqin va katta og'ishlar kamdan-kam hollarda paydo bo'ladi. Buni oddiy taqsimot qonuni bilan osongina tushuntirish mumkin, unga ko'ra kichik og'ishlar ehtimoli katta og'ishlardan kattaroqdir. Shunday qilib, mutlaq qiymatda ±2s dan ortiq og'ishlar ehtimoli 0,05 yoki 20 o'lchov uchun bitta holat va ± 3s - 0,01 yoki 100 ta bir holat.

Agar dala tajribasi, masalan, 4-6 marta takrorlangan bo'lsa, parallel uchastkalarda hosildorlik ko'rsatkichlari orasida juda katta og'ishlar bo'lmasligini kutish tabiiydir. Shuning uchun, kichik tanlamadan hisoblangan standart og'ish ko'p hollarda butun populyatsiyadan kamroq bo'ladi. Shuning uchun, bu holatlarda siz o'z xulosalaringizda oddiy taqsimlash mezonlariga tayanolmaysiz.

20-asr boshidan boshlab matematik statistikada yangi yoʻnalish ishlab chiqila boshlandi, uni kichik namunalar statistikasi deb atash mumkin. 1908-yilda ingliz statistik va kimyogari V.Gosset tomonidan kashf etilgan, Talabalar taqsimoti (inglizcha student-student, V. Gosset taxallusi) deb nomlangan t-tarqatish eksperimental ish uchun eng katta amaliy ahamiyatga ega edi.

Namuna vositalari uchun Talabaning t taqsimoti tenglik bilan aniqlanadi:

Formulaning numeratori tanlangan o'rtachaning butun aholining o'rtacha qiymatidan og'ishini va maxrajni anglatadi:

- o'rtacha tanlanma populyatsiyasining standart xatosini baholaydigan ko'rsatkich.

Shunday qilib, t qiymati birlik sifatida qabul qilingan tanlama xatosining ulushlarida ifodalangan o'rtacha tanlamaning umumiy o'rtacha qiymatidan chetlanishi bilan o'lchanadi.

Oddiy va t-tarqatishlarning chastota maksimallari mos keladi, lekin t-tarqatish egri chizig'ining shakli butunlay erkinlik darajalari soniga bog'liq. Erkinlik darajalarining juda kichik qiymatlarida u tekis tepali egri chiziq shaklini oladi va egri chiziq bilan chegaralangan maydon normal taqsimotga qaraganda kattaroqdir va kuzatuvlar sonining ko'payishi (n ​> 30), t taqsimoti normalga yaqinlashadi va n = ∞ da unga aylanadi.

1.1-rasmda 10 erkinlik darajasida t-Studentning differentsial va integral taqsimoti ko'rsatilgan.

5.1-rasm – Differensial (chapda) va integral (o‘ngda) t-Student taqsimoti

Kichik namunalar bilan ishlashda t-Student taqsimoti muhim ahamiyatga ega: u aholi oʻrtacha qiymatini qamrab oluvchi ishonch oraligʻini aniqlash imkonini beradi. , va umumiy populyatsiyaga oid u yoki bu gipotezani sinab ko'ring. Bunday holda, aholining parametrlarini bilishning hojati yo'q Va , ma'lum bir tanlama kattaligi n uchun ularning baholari m va s bo'lishi kifoya.

5.1.1 Berens-Fisher muammosi

Matematik statistikada normal taqsimot va teng bo'lmagan dispersiyalarga ega bo'lgan ikki guruhning umumiy o'rtalari haqidagi gipotezani tekshirish Berens-Fisher muammosi deb ataladi va hozirda faqat taxminiy echimlarga ega. Nega solishtirilgan guruhlardagi dispersiyalarning tengligi talabi shunchalik muhim? Ushbu muammoning tafsilotlariga kirmasdan, biz ta'kidlaymizki, dispersiya va tanlama o'lchamlari bir-biridan qanchalik farq qilsa, "hisoblangan t-testi" ning taqsimlanishi "Talabaning t-testi" ning taqsimlanishidan shunchalik farq qiladi. Bunday holda, t-mezonning o'zi ham, erkinlik darajalari soni kabi ushbu taqsimotlarning parametrlari ham turli qiymatlarga ega. O'z navbatida, erkinlik darajalari soni erishilgan (kritik) ahamiyat darajasining qiymatiga ta'sir qiladi (p).< ...) определяемого для вычисленного значения t-критерия.

Tadqiqotchilar tomonidan Student t-testidan foydalanishning maqbulligi uchun yuqoridagi shartlarga e'tibor bermaslik vositalarning tengligi haqidagi farazlarni tekshirish natijalarining sezilarli darajada buzilishiga olib keladi. Shu sababli, ikki vositaning tengligi haqidagi gipotezalarni tekshirish Student t-testi yordamida amalga oshirilgan va taqsimlanishning normalligi va dispersiyalarning tengligini tekshirish mezonlari haqida hech qanday gap bo'lmagan ishlarda, deb taxmin qilish uchun asoslar mavjud. mualliflar ushbu mezondan noto'g'ri foydalanganlar va shuning uchun ularning e'lon qilingan xulosalarining shubhaliligi.

Boshqa keng tarqalgan xato- uch yoki undan ortiq guruh vositalarining tengligi haqidagi farazlarni tekshirish uchun Student t-testini qo'llash. Bunday holda, qat'iy ta'sirga ega dispersiyani bir tomonlama tahlil qilish tartibida amalga oshiriladigan umumiy chiziqli modelni qo'llash kerak.

Keling, Student t-testidan foydalanish xususiyatlarini batafsil ko'rib chiqaylik. T-testi ko'pincha ikkita holatda qo'llaniladi. Birinchi holda, u ikkita mustaqil, bir-biriga bog'liq bo'lmagan namunalarning umumiy vositalarining tengligi haqidagi gipotezani tekshirish uchun ishlatiladi (ikki namunali t-testi). Bunday holda, guruhlardagi soni har xil bo'lishi mumkin bo'lgan turli xil ob'ektlardan iborat bo'lgan nazorat guruhi va eksperimental guruh mavjud. Ikkinchi holda, bir xil ob'ektlar guruhi o'rtacha qiymatlar haqidagi farazlarni tekshirish uchun raqamli material yaratganda, juftlashtirilgan t-testi qo'llaniladi. Shuning uchun bu namunalar bog'liq, bog'liq deb ataladi. Masalan, oq qon hujayralari soni sog'lom hayvonlarda, so'ngra ma'lum dozada nurlanish ta'siridan keyin xuddi shu hayvonlarda o'lchanadi. Ikkala holatda ham solishtirilgan guruhlarning har birida o'rganilayotgan belgining normal taqsimlanishi talabi bajarilishi kerak. Asarlarning aksariyatida Student t-testining ustunligi ikkita muhim jihatni aks ettiradi.

Ikkinchidan, bu ham ushbu mualliflarning ushbu mezonga muqobil variantlarni bilmasligi yoki ulardan o'zlari foydalana olmasligidan dalolat beradi. Mubolag'asiz aytish mumkinki, hozirgi vaqtda ko'pchilik biologik ishlarda Student t-testidan o'ylamay foydalanish foydadan ko'ra ko'proq zarar keltirmoqda.

5.2 Fisher-Snedecor F taqsimoti

Agar biz normal taqsimlangan populyatsiyadan n 1 va n 2 o'lchamdagi ikkita mustaqil namuna olsak va dispersiyalarni hisoblaymiz. Va erkinlik darajalari n 1 = n –1 va n 2 = n 2 –1 bo'lsa, dispersiya nisbati aniqlanishi mumkin:

Dispersiyalarning nisbati shunday olinadiki, hisoblagichda katta dispersiya mavjud va shuning uchun F ≥ 1.

F ning taqsimlanishi faqat n 1 va n 2 erkinlik darajalari soniga bog'liq (F taqsimot qonunini R. A. Fisher kashf etgan). Agar taqqoslangan ikkita namuna umumiy o'rtacha qiymatga ega bo'lgan umumiy populyatsiyadan tasodifiy mustaqil bo'lsa, F ning haqiqiy qiymati ma'lum chegaralardan tashqariga chiqmaydi va n 1 va n 2 (F) ma'lumotlari uchun muhim bo'lgan F mezonining nazariy qiymatidan oshmaydi. haqiqat< F теор). Если генеральные параметры сравниваемых групп различны, то F факт >F nazariyasi. 5% va 1% ahamiyatlilik darajalari uchun nazariy F qiymatlari jadvalda keltirilgan, bu erda faqat F ≥ 1 uchun to'g'ri kritik nuqtalar jadvalda keltirilgan, chunki har doim katta dispersiyaning kichikroq bo'lgan nisbatini topish odatiy holdir. .

F ning barcha mumkin bo'lgan qiymatlari uchun taqsimot funktsiyasidan olingan egri chiziqlar assimetrik shaklga ega - katta qiymatlarning uzun "dumi" va kichik F qiymatlarining katta konsentratsiyasi ( 5.2-rasm).

5.2-rasm - Differensial (chapda) va integral (o'ngda)
Fisher-Snedecor F taqsimoti

E'tibor bering, Student t-taqsimoti erkinlik darajalari soni n 1 = 1 va n 2 = n, ya'ni t taqsimoti uchun erkinlik darajalari soniga teng bo'lgan F taqsimotining alohida holatidir. Bunday holda, F va t o'rtasida quyidagi bog'liqlik kuzatiladi:

5.3 ch 2 – taqsimlash

Ko'pgina haqiqiy taqsimotlar nazariy taqsimot modellariga mos keladi (normal, binomial, Puasson) Biroq, amalda odatdagidan juda farq qiladigan taqsimotlar mavjud. Haqiqiy va nazariy taqsimotlar raqamlari o'rtasidagi nomuvofiqlik darajasini yoki muvofiqlik darajasini baholash uchun kelishishning statistik mezonlari, masalan, ch 2 mezoni kiritiladi. Ushbu mezon muammolarni hal qilish uchun ishlatiladi statistik tahlil, masalan, gipotezalarni tekshirish uchun: bir populyatsiyadan kuzatuv natijalarini guruhlash asosidagi ikkita tamoyilning mustaqilligi haqida; ma'lum identifikatsiya qilinadigan belgilar bo'yicha guruhlarning bir xilligi haqida; nazariy va eksperimental mo'llik egri chiziqlari o'rtasidagi kelishuv haqida. ch 2 mezonini ham kelishish mezoni, ham mustaqillik mezoni, bir xillik mezoni deb atash mumkin. Tarqatish qonuni ch 2 (xi-kvadrat) K.Pirson tomonidan kashf etilgan. Xi-kvadrat funktsiyasidan olingan taqsimot egri chizig'i:

Bu erda f - haqiqiy va F - namunaviy ob'ektlar sonining nazariy chastotalari. Uning ko'rinishi erkinlik darajalari soniga juda bog'liq. Kichik miqdordagi erkinlik darajalari n uchun egri chiziq assimetrikdir (5.3-rasm), lekin n ortishi bilan assimetriya kamayadi va n = ∞ da egri chiziq normal Gaussga aylanadi.

ch 2 taqsimoti, shuningdek, t-tarqatish alohida holatdir
F – n 1 = n va n 2 = ∞ uchun taqsimotlar.

5.3-rasm - Differensial (chapda) va integral (o'ngda)
ch 2 - tarqatish

O'z-o'zini nazorat qilish uchun savollar

1 Qanday hollarda normal taqsimotdan ko'ra Student t-taqsimlanishidan foydalanish afzalroq?

2 Student t-taqsimlanishidan foydalanish uchun qanday miqdorlarni hisoblash kerak?

3 Berens-Fisher muammosining mohiyati nimada?

4 F taqsimoti ikki uchun qanday son bilan ifodalanadi mustaqil namunalar o'zgaruvchilarning umumiy to'plamidan?

5 F-tarqatish tasodifiy o'zgaruvchilarning qaysi xarakteristik qiymatlariga bog'liq?

6 Tajriba ma'lumotlariga statistik ishlov berishda ch 2 mezonining qiymati qanday savollarga javob berishi mumkin?

6-MAVZU Matematik statistika asoslari

6.1 O'rtacha qiymatlar

6.2 O'rtacha arifmetik

6.3 Geometrik o'rtacha

6.4 Garmonik o'rtacha

Mashhur ingliz matematigi Fisherning logarifmik taqsimot modeli turlar soni va bu turlarning individlari soni o'rtasidagi munosabatni tasvirlashga birinchi urinish bo'ldi. Bu model, ayniqsa, entomologik tadqiqotlarda muvaffaqiyat qozondi va birinchi marta Fisher tomonidan kollektsiyalarda turlarning tarqalishini tavsiflash uchun nazariy model sifatida foydalanilgan. Ushbu model va xilma-xillik statistikasi L. R. Teylor va boshqalar tomonidan batafsil tadqiqot mavzusi bo'ldi.

Logarifmik taqsimot uchun turlarning chastota taqsimoti quyidagi ketma-ketlik bilan tavsiflanadi:

qayerda  X– bir individ bilan ifodalangan turlar soni, x 2 /2 – ikki individ bilan ifodalangan turlar soni va hokazo.

Logarifmik model ikkita parametrga ega  va x. Bu shuni anglatadiki, namuna o'lchami uchun N va turlari soni S turlarning nisbiy ko'pligiga qarab faqat bitta mumkin bo'lgan chastota taqsimoti mavjud, chunki ikkalasi ham  va X funksiyalardir N Va S. Muayyan jamoadan olingan namuna qanchalik katta bo'lsa, qiymat shunchalik katta bo'ladi X va namunadagi bir individ tomonidan ifodalangan turlarga mansub individlar ulushi qanchalik kichik bo'lsa. Ikki parametr S Va N(shaxslarning umumiy soni) o'zaro bog'liqlik bilan bog'langan
, bu yerda - xilma-xillik indeksi, uni tenglamadan olish mumkin:

,

barcha shaxslarning yig'indisi qayerda N ga tegishli S turlari:

Kichik miqdordagi mo'l-ko'l turlar va "kamdan-kam uchraydigan"larning katta qismi bilan tavsiflangan logarifmik taqsimot modeli, ehtimol, tuzilishi bir yoki bir nechta ekologik omillar bilan belgilanadigan jamoalarni tavsiflaydi.

Irlandiyada Magharran tomonidan olib borilgan tadqiqotlar shuni ko'rsatadiki, bu seriya kam yorug'lik sharoitida ignabargli ekinlarda tuproqli o'simlik turlarining ko'pligi taqsimotiga mos keladi.

5.3.3. Lognormal taqsimot

Aksariyat jamoalar turlar ko'pligining log-normal taqsimotini namoyish etadi, ammo bu naqsh odatda katta, etuk va xilma-xil jamoani ko'rsatadi. Bu taqsimot ma'lum bir o'zgaruvchining qiymati ko'p sonli omillar bilan belgilanadigan tizimlar uchun xosdir.

Ushbu model birinchi marta Preston tomonidan turlarning ko'pligini taqsimlashda qo'llanilgan. Turli empirik materiallardan foydalanib, u katta namunalardagi tur chastotalari lognormal qonunga muvofiq taqsimlanganligini ko'rsatdi. U ishlab chiqqan metodologiyaga ko'ra, geometrik progressiya raqamlari bilan chegaralangan intervallarda joylashgan individlar soniga ega turlar chastota sinflariga guruhlangan. Preston logarifm asosi 2 (log 2) shkalasi bo'yicha turlarning ko'pligini chizdi va natijada hosil bo'lgan sinflarni oktavalar deb atadi. Ammo modelni tavsiflash uchun siz har qanday logarifmik asosdan foydalanishingiz mumkin. Grafikda tur chastotalarining shu tarzda olingan ko'plik sinflari bo'yicha taqsimlanishi noyob turlarning chastota diapazonida chapda kesilgan taniqli normal taqsimot egri chizig'iga mos keladi.

Tarqatish odatda quyidagi shaklda yoziladi:

, Qayerda

S R – modal oktavadan R oktavalarda joylashgan oktavadagi turlarning nazariy soni; S oy– modal oktavadagi turlar soni;  – oktavalar sonida ifodalangan nazariy log-normal egri chiziqning standart og'ishi.

Guruch. 5.3.2. Log-normal taqsimot

Log-normal taqsimot nosimmetrik "normal", ya'ni qo'ng'iroq shaklidagi egri chiziq bilan tavsiflanadi (5.3.2-rasm). Biroq, agar unga mos keladigan ma'lumotlar cheklangan namunadan olingan bo'lsa, u holda egri chiziqning chap tomoni (ya'ni, nodir, xabar qilinmagan turlar) noaniq bo'ladi. Preston chapdagi bu kesish nuqtasini "parda chizig'i" deb atagan. Namuna hajmi ortishi bilan "parda chizig'i" chapga siljishi mumkin. Bu rasmdagi o'q bilan ko'rsatilgan. Ko'pgina namunalar uchun faqat egri chiziqning rejimning o'ng tomonidagi qismi ifodalanadi. Faqat keng biogeografik hududlarda to'plangan katta miqdordagi ma'lumotlar bilan to'liq egri chiziqni kuzatish mumkin. S-shaklidagi egri chiziq differensiatsiyaning murakkab tabiatini va o'zaro bog'liqligini ko'rsatadi. Tabiiy ochiq ekotizimlarning aksariyat turlari to'g'ridan-to'g'ri raqobatda emas, balki resurslar uchun raqobatda mavjud; Ko'pgina moslashuvlar yashash joyidan raqobatbardosh bo'lmagan holda bo'shliqlarni ajratishga imkon beradi. Bu namuna, ehtimol, bezovtalanmagan jamoalar uchun.

Logarifmik normal taqsimot funksiyasi texnologiya, biologiya, iqtisod va boshqalarda ob'ektlarning ishonchliligini tahlil qilishda keng qo'llanilishini topdi. Masalan, funktsiya podshipniklarning ishlamay qolish vaqtini tasvirlash uchun muvaffaqiyatli ishlatiladi, elektron qurilmalar va boshqa mahsulotlar.

Ba'zi parametrlarning manfiy bo'lmagan tasodifiy qiymatlari, agar uning logarifmi normal taqsimlangan bo'lsa, lognormal taqsimlanadi. s ning turli qiymatlari uchun tarqalish zichligi shaklda ko'rsatilgan. 4.3.

Guruch. 4.3.

Tarqatish zichligi bog'liqlik bilan tavsiflanadi

Qayerda M x va s - natijalar bo'yicha taxmin qilingan parametrlar P Muvaffaqiyatsiz sinovlar:

(4.4)

Lognormal taqsimot qonuni uchun ishonchlilik funksiyasi

(4.5)

Ehtimollik muammosiz ishlash kvantil qiymatiga qarab normal taqsimot jadvallaridan aniqlanishi mumkin (6-ilovaning A6.1-jadvaliga qarang).

Muvaffaqiyatsizlikka qadar vaqtni matematik kutish

Standart og'ish va o'zgarish koeffitsienti mos ravishda teng bo'ladi

Agar v x ≤ 0,3 bo'lsa, shunday deb ishoniladi ν x = s va xatolik dan ortiq emas 1%.

Lognormal taqsimot qonuniga bog'liqliklar ko'pincha o'nlik logarifmlarda yoziladi. Ushbu qonunga muvofiq, tarqatish zichligi

lg parametrlarining taxminiy bahosi x 0 va s sinov natijalari asosida aniqlanadi:

Kutilgan qiymat M x, standart og'ish σ x va o'zgaruvchanlik koeffitsienti ν X marta muvaffaqiyatsizlikka teng

4.6-misol

Vites qutisining ishlamay qolishi ehtimolini aniqlang t= 103 h, agar resurs lg parametrlari bilan logarifmik taqsimlangan bo'lsa t 0 = 3,6; s = 0,3.

Yechim

Kvantil qiymatini topamiz va ishlamay qolish ehtimolini aniqlaymiz:

Javob: R(t) = 0,0228.

Weibull taqsimoti

Veybull taqsimot funksiyasi ikki parametrli taqsimotdir. U ta'riflagan qonun universaldir, chunki parametrlarning tegishli qiymatlari bilan u normal, eksponensial va boshqa turdagi taqsimotlarga aylanadi. Ushbu taqsimot qonunining muallifi V. Veybull undan po'latning charchoq kuchi va uning elastik chegaralarida eksperimental kuzatilgan o'zgarishlarni tavsiflash va tahlil qilish uchun foydalangan. Veybull qonuni elektron jihozlarning podshipniklari va elementlarining ishlamay qolish vaqtini qoniqarli tarzda tavsiflaydi, u mashinalarning, shu jumladan avtomobillarning qismlari va agregatlarining ishonchliligini baholash, shuningdek, ularni ishga tushirish jarayonida mashinalarning ishonchliligini baholash uchun ishlatiladi. Tarqatish zichligi bog'liqlik bilan tavsiflanadi

bu erda a - taqsimot egri shakli parametri; l – taqsimot egri shkalasi parametri.

Tarqatish zichligi funksiyasining grafigi rasmda ko'rsatilgan. 4.4.

Guruch. 4.4.

Veybull tarqatish funktsiyasi

Ushbu taqsimot qonuni uchun ishonchlilik funksiyasi

Tasodifiy o'zgaruvchini kutish X teng

qaerda G( x) – gamma funksiyasi.

Uzluksiz qiymatlar uchun X

Butun qiymatlar uchun X Gamma funktsiyasi formuladan foydalanib hisoblanadi

formulalar ham to'g'ri

Tasodifiy o'zgaruvchining dispersiyasi ga teng

Veybull taqsimot qonunining mahsulot ishonchliligini tahlil qilish va hisoblashda keng qo'llanilishi, eksponensial taqsimotni umumlashtiruvchi ushbu qonunning o'z ichiga olganligi bilan izohlanadi. qo'shimcha parametr α.

a va l parametrlarini to'g'ri tanlab, bir parametrli (l parametri) bo'lgan eksponensial qonunga nisbatan hisoblangan qiymatlar va eksperimental ma'lumotlar o'rtasida yaxshiroq kelishuvga erishish mumkin.

Shunday qilib, yashirin nuqsonlari bo'lgan, lekin uzoq vaqt davomida ishlatilmaydigan (va shuning uchun sekinroq qariydigan) mahsulotlar uchun muvaffaqiyatsizlik xavfi dastlabki davrda eng katta bo'ladi va keyin tezda pasayadi. Bunday mahsulot uchun ishonchlilik funksiyasi a parametrli Weibull qonunida yaxshi tasvirlangan< 1.

Aksincha, agar mahsulot ishlab chiqarish jarayonida yaxshi nazorat qilinsa va deyarli hech qanday yashirin nuqsonlari bo'lmasa, lekin tez qariydigan bo'lsa, u holda ishonchlilik funksiyasi a > 1 parametr bilan Veybull qonuni bilan tavsiflanadi. a = 3,3 da Veybull taqsimoti yaqin. normal holatga.

Logarifmik taqsimot ehtimollar nazariyasida - diskret taqsimotlar sinfi. Logarifmik taqsimot turli xil ilovalarda, jumladan, matematik genetika va fizikada qo'llaniladi.

Ta'rif

Tasodifiy o'zgaruvchining taqsimoti bo'lsin $Y$ ehtimollik funksiyasi bilan ifodalanadi:

$p\_Y(k)\; \backslash equiv\; \backslash mathbb(P)(Y=k)\; =\; -\backslash frac(1)(\backslash ln(1-p))\; \backslash frac(p^k)(k),\backslash ;\; k=1,2,3,\backslash ldots$,

Qayerda $0$

Keyin shunday deyishadi $Y$ parametr bilan logarifmik taqsimotga ega $p$. Ular yozadilar: $Y\; \backslash sim\; \backslash mathrm(Log)(p)$.

Tasodifiy o'zgaruvchilarni taqsimlash funktsiyasi $Y$ tabiiy nuqtalarda sakrash bilan bo'lak-bo'lak doimiy:

$F\_Y(y)\; =\; \backslash chap\backslash ($

\begin(matritsa) 0, & y< 1 & \\ 1 + \frac{\mathrm{B}_p(k+1,0)}{\ln (1-p)},\; & y \in ,\; 0

$\backslash sum\backslash limits\_(k=1)^(\backslash infty)p\_Y(k)\; =\; 1$.

Lahzalar

Tasodifiy o'zgaruvchining momentlarini hosil qilish funksiyasi $Y\; \backslash sim\; \backslash mathrm(Log)(p)$ formula bilan beriladi

$M\_Y(t)\; =\; \backslash frac(\backslash ln\backslash chap)(\backslash ln)$,

$\backslash mathbb(E)[Y]\; =\; -\; \backslash frac(1)(\backslash ln(1-p))\; \backslash frac(p)(1-p)$, $\backslash mathrm(D)[Y]\; =\; -p\; \backslash ;\backslash frac(p\; +\; \backslash ln(1-p))((1-p)^2\backslash ,\backslash ln^2(1-p))$.

Boshqa taqsimotlar bilan aloqasi

Mustaqil logarifmik tasodifiy o'zgaruvchilarning Puasson yig'indisi manfiy binomial taqsimotga ega. Mayli $\backslash (X\_i\backslash )\_(i=1)^n$ mustaqil bir xil taqsimlangan tasodifiy o'zgaruvchilar ketma-ketligi $X\_i\; \backslash sim\; \backslash mathrm(Log)(p),\; \backslash ;\; i=1,2,\backslash ldots$. Mayli $N\; \backslash sim\; \backslash mathrm(P)(\backslash lambda)$- Puasson tasodifiy o'zgaruvchisi. Keyin

$Y\; =\; \backslash sum\backslash limits\_(i=1)^N\; X\_i\; \backslash sim\; \backslash mathrm(NB)$.

Ilovalar

“Logarifmik taqsimot” maqolasiga sharh yozing.

Logarifmik taqsimotni tavsiflovchi parcha

Shamol tindi, jang maydonida qora bulutlar osilib, ufqda porox tutuni bilan birlashdi. Qorong‘i tushdi, ikki joyda o‘t chaqnashi yanada yaqqol ko‘rindi. To'p zaiflashdi, lekin orqada va o'ngda miltiqlarning shitirlashi tez-tez va yaqinroq eshitildi. Tushin qurollari bilan aylanib, yaradorlarning ustidan yugurib, o'q ostidan chiqib, jarlikka tushishi bilan uni boshliqlari va adyutantlari, shu jumladan shtab ofitseri va Jerkov kutib oldi, ularni ikki marta va hech qachon yuborilgan. Tushin batareyasiga yetib keldi. Hammasi bir-birining gapini bo‘lib, qayerga, qayerga borish kerakligi haqida buyruq berib, o‘tqazishar, unga qoralash va mulohazalarni aytishardi. Tushin buyruq bermadi va indamay, gapirishdan qo'rqdi, chunki u har bir so'zda nima uchun yig'lashga tayyor edi, u artilleriya nayzasiga minib ketdi. Garchi yaradorlarni tashlab ketish buyurilgan bo'lsa-da, ularning ko'plari qo'shinlarning orqasidan ergashib, qurollarga joylashtirilishini so'rashdi. Jangdan oldin Tushin kulbasidan sakrab chiqqan o'sha jasur piyoda ofitser, qorniga o'q tegib, Matvevnaning aravasiga o'tirdi. Tog' ostida rangpar hussar kursanti bir qo'li bilan ikkinchisini qo'llab-quvvatlab, Tushinga yaqinlashdi va o'tirishni so'radi.