Ba'zilariga mos kelishi mumkin raqam, ma'lum bir qoida bo'yicha hisoblab chiqilgan va chaqirilgan aniqlovchi.

Kontseptsiyani joriy etish zarurati aniqlovchi - raqamlar, tavsiflovchi kvadrat tartib matritsasi n , chiziqli algebraik tenglamalar tizimini yechish bilan chambarchas bog'liq.

Matritsa determinanti A belgilaymiz: | A| yoki D.

Birinchi tartibli matritsaning aniqlovchisiA = (A 11) element chaqiriladi A o'n bir. Masalan, uchun A= (-4) bizda | A| = -4.

Ikkinchi tartibli matritsaning aniqlovchisi chaqirdi raqam, formula bilan aniqlanadi

|A| = .

Masalan, | A| = .

So'z bilan aytganda, bu qoida quyidagicha yozilishi mumkin: sizning belgingiz bilan bog'langan elementlarning mahsulotini olishingiz kerak asosiy diagonali, va ular uchun uchburchaklar uchlari bilan bog'langan elementlarning mahsuloti asos asosiy diagonalga parallel. Qarama-qarshi belgi bilan o'xshash mahsulotlar olinadi, faqat ikkilamchi diagonalga nisbatan.

Masalan,

Matritsa determinantining ta'rifi n Biz buyurtma bermaymiz, faqat uni topish usulini ko'rsatamiz.

Keyinchalik, so'zlar o'rniga matritsa determinanti n-chi tartib faqat gaplashaylik aniqlovchi n-chi tartib. Keling, yangi tushunchalarni kiritaylik.

Kvadrat matritsa berilsin n-chi tartib.

KichikM element ij A ij matritsalari A chaqirdi aniqlovchi (n-1) matritsadan olingan tartib A chizib tashlash orqali i-chi qator va j th ustun.

A matritsaning a ij elementining A ij algebraik to‘ldiruvchisi (-1) i+j belgisi bilan qabul qilingan uning minoridir:

A ij = (-1) i + j M ij,

bular. algebraik to‘ldiruvchi satr va ustun raqamlari yig‘indisi juft son bo‘lganda o‘zining minoriga to‘g‘ri keladi yoki satr va ustun raqamlari yig‘indisi toq son bo‘lganda undan belgisi bilan farqlanadi.

Masalan, elementlar uchun A 11 va A 12 matritsa A = voyaga etmaganlar

M 11 = A 11 = ,

M 12 = ,

A A 12 = (-1) 1+2 M 12 = -8.

Teorema (determinantning kengayishi haqida) . Kvadrat matritsaning determinanti har qanday satr (ustun) elementlarining hosilalari yig'indisiga teng. algebraik qo'shimchalar, ya'ni.

|A| = A i1 A i1+ A i2 A i2 + … + A ichida A ichida,
har kim uchun i = 1, 2, …, n

|A| = A 1j A 1j + A 2j A 2j + … + A nj A nj,

har kim uchun j = 1, 2, …, n

Birinchi formula deyiladi i-chi qator, va ikkinchisi - determinantning elementlarga kengayishi j th ustun.

Bu formulalar yordamida har qanday determinant ekanligini tushunish oson n Tartibni aniqlovchilar yig'indisiga kamaytirish mumkin, ularning tartibi 1 ga kam bo'ladi va hokazo. biz 3 yoki 2-tartibdagi determinantlarga erishgunimizcha, ularni hisoblash endi qiyin emas.

Determinantni topish uchun quyidagi asosiy xususiyatlardan foydalanish mumkin:

1. Agar aniqlovchining har qanday satri (yoki ustuni) nollardan iborat bo'lsa, determinantning o'zi nolga teng bo'ladi.

2. Har qanday ikki qatorni (yoki ikkita ustunni) qayta tartiblashda determinant -1 ga ko'paytiriladi.

3. Ikki teng yoki proportsional satr (yoki ustun) bo'lgan determinant nolga teng.

4. Har qanday satr (yoki ustun) elementlarining umumiy koeffitsienti aniqlovchi belgisidan chiqarilishi mumkin.

5. Agar barcha satr va ustunlar almashtirilsa, determinantning qiymati o'zgarmaydi.

6. Qatorlardan biriga (yoki ustunlardan biriga) istalgan songa ko‘paytirilgan boshqa qator (ustun) qo‘shilsa, aniqlovchining qiymati o‘zgarmaydi.

7. Matritsaning istalgan satri (yoki ustuni) elementlarining ushbu matritsaning boshqa qatori (ustunlari) elementlarining algebraik to‘ldiruvchilariga ko‘paytmalari yig‘indisi nolga teng.

8. Ikki kvadrat matritsa ko‘paytmasining aniqlovchisi ularning aniqlovchilarining ko‘paytmasiga teng.

Matritsaning determinanti tushunchasining kiritilishi matritsalar bilan boshqa amalni - matritsaning teskarisini topishni aniqlash imkonini beradi.

Har bir nolga teng bo'lmagan son uchun teskari son mavjudki, bu raqamlarning ko'paytmasi bittani beradi. Kvadrat matritsalar uchun ham shunday tushuncha mavjud.

Matritsa A-1 deyiladi teskari munosabatga ko'ra kvadrat matritsa A, agar bu matritsani berilganga ko'paytirganda o'ngda ham, chapda ham chiqadi identifikatsiya matritsasi, ya'ni.

A× A -1 = A-1× A= E.

Ta'rifdan kelib chiqadiki, faqat kvadrat matritsada teskari bo'ladi; bu holda teskari matritsa bir xil tartibli kvadrat bo'ladi. Biroq, har bir kvadrat matritsaning teskarisi mavjud emas.

· Aniqlovchi kvadrat n-tartibdagi A matritsalari yoki n-tartibning aniqlovchisi algebraik yig‘indiga teng sondir P! a'zolar, ularning har biri mahsulotdir P matritsa elementlari har bir satrdan va har bir ustundan ma'lum belgilar bilan bittadan olinadi. Aniqlovchi yoki bilan belgilanadi.

Ikkinchi tartibli determinant quyidagicha ifodalangan raqam: . Masalan .

Uchinchi tartibli determinant uchburchak qoidasi (Sarrus qoidasi) yordamida hisoblangan: .

Misol. .

Izoh. Amalda uchinchi tartibli determinantlar ham, yuqori tartiblilar ham determinantlarning xossalaridan foydalanib hisoblanadi.

n-tartibli determinantlarning xossalari.

1. Agar har bir satr (ustun) bir xil sonli ustun (qator) bilan almashtirilsa, aniqlovchining qiymati o'zgarmaydi - ko'chirish.

2. Aniqlovchining satrlaridan (ustunlaridan) biri nollardan iborat bo'lsa, aniqlovchining qiymati nolga teng bo'ladi.

3. Aniqlovchida ikkita satr (ustun) almashtirilsa, u holda determinantning mutlaq qiymati o'zgarmaydi, lekin belgisi teskari tomonga o'zgaradi.

4. Ikkita bir xil qator (ustun)dan iborat aniqlovchi nolga teng.

5. Satrning (ustunning) barcha elementlarining umumiy koeffitsientini aniqlovchi belgisidan tashqari olish mumkin.

· Kichik determinantning ba'zi elementi P-chi tartib determinant deb ataladi ( P-1) tanlangan element joylashgan chorrahadagi satr va ustunni kesib tashlash orqali asl nusxadan olingan. Belgilanishi: .

· Algebraik to‘ldiruvchi determinantning elementi belgisi bilan olingan uning kichiki deyiladi. Belgilanishi: T.o. =.

6. Kvadrat matritsaning determinanti har qanday satr (yoki ustun) elementlarining algebraik toʻldiruvchilari koʻpaytmalari yigʻindisiga teng ( parchalanish teoremasi).

7. --chi qatorning har bir elementi yig'indini ifodalasa k shartlar bo’lsa, aniqlovchi yig’indi sifatida ifodalanadi k determinantlar, bunda --chi qatordan tashqari barcha qatorlar dastlabki aniqlovchidagi bilan bir xil bo'ladi va birinchi aniqlovchidagi --chi qator birinchi haddan, ikkinchisida - ikkinchidan va hokazolardan iborat. Xuddi shu narsa ustunlar uchun ham amal qiladi.

8. Agar qator (ustun)lardan biriga boshqa qator (ustun) qo‘shilsa, songa ko‘paytirilsa, aniqlovchi o‘zgarmaydi.

Natija. Agar determinant qatoriga (ustuniga) uning boshqa qatorlari (ustunlari)ning chiziqli birikmasi qo‘shilsa, determinant o‘zgarmaydi.

9. Diagonal matritsaning determinanti asosiy diagonaldagi elementlarning mahsulotiga teng, ya'ni.

Izoh. Uchburchak matritsaning determinanti asosiy diagonaldagi elementlarning mahsulotiga ham teng.

Determinantlarning sanab o'tilgan xususiyatlari ularni hisoblashni sezilarli darajada soddalashtirishga imkon beradi, bu ayniqsa yuqori darajadagi determinantlar uchun muhimdir. Bunday holda, asl matritsani shunday o'zgartirish tavsiya etiladi, shunda o'zgartirilgan matritsada iloji boricha ko'proq nollarni o'z ichiga olgan satr yoki ustun ("nollash" qatorlari yoki ustunlari) bo'ladi.

Misollar. Oldingi misolda berilgan aniqlovchini determinantlarning xossalaridan foydalanib yana hisoblab chiqamiz.

Yechim: E'tibor bering, birinchi qator mavjud umumiy multiplikator- 2, ikkinchisida - umumiy koeffitsient 3, biz ularni aniqlovchi belgisidan chiqaramiz (5-xususiyat bo'yicha). Keyinchalik, determinantni, masalan, birinchi ustunda, 6-xususiyatdan (kengayish teoremasi) foydalanib kengaytiramiz.

Eng samarali determinantni diagonal yoki uchburchak shaklga keltirish usuli . Matritsaning determinantini hisoblash uchun determinantni o'zgartirmaydigan va matritsani diagonalga aylantirish imkonini beradigan matritsani o'zgartirishni amalga oshirish kifoya.

Xulosa qilib shuni ta'kidlaymizki, agar kvadrat matritsaning determinanti nolga teng bo'lsa, u holda matritsa deyiladi. degeneratsiya (yoki maxsus) , aks holda - degenerativ bo'lmagan .

Qator yoki ustun elementlarining algebraik to'ldiruvchilari bo'yicha ko'paytmalari yig'indisiga teng, ya'ni. , bu erda i 0 belgilangan.
(*) ifoda D determinantning i 0 sonli qator elementlariga kengayishi deyiladi.

Xizmat maqsadi. Ushbu xizmat Word formatida yozilgan butun yechim jarayoni bilan matritsaning determinantini onlayn topish uchun mo'ljallangan. Bundan tashqari, Excelda yechim shabloni yaratilgan.

Ko'rsatmalar. Matritsa o'lchamini tanlang, Keyingiga bosing. Determinantni ikki usulda hisoblash mumkin: a-prior Va satr yoki ustun bo'yicha. Agar siz satr yoki ustunlardan birida nol yaratish orqali determinantni topishingiz kerak bo'lsa, siz ushbu kalkulyatordan foydalanishingiz mumkin.

Determinantni topish algoritmi

1. n=2 tartibli matritsalar uchun determinant quyidagi formula yordamida hisoblanadi: D=a 11 *a 22 -a 12 *a 21
2. n=3 tartibli matritsalar uchun determinant algebraik qoʻshimchalar yoki orqali hisoblanadi Sarrus usuli.
3. Uchdan kattaroq o'lchamga ega bo'lgan matritsa algebraik to'ldiruvchilarga parchalanadi, ular uchun ularning determinantlari (kichik) hisoblanadi. Masalan, 4-tartibli matritsa determinanti qatorlar yoki ustunlarga kengaytirish orqali topiladi (misolga qarang).

Determinantlarni hisoblash usullari

1. tartibni kamaytirish usuli yordamida determinantni hisoblash
2. Gauss usuli yordamida determinantni hisoblash (matritsani uchburchak shaklga keltirish orqali).

Determinantlardan amaliy foydalanish

(2,1) uchun minorni aniqlaymiz: buning uchun matritsadan ikkinchi qator va birinchi ustunni o‘chirib tashlaymiz.

Qator qatorni kengaytirish (birinchi qator bo'yicha) yordamida determinantni topamiz:
(1,1) uchun kichik: matritsadan birinchi qator va birinchi ustunni kesib tashlang.

1. Transpozitsiya paytida aniqlovchi o'zgarmaydi.

2. Agar aniqlovchining bir qatori nollardan iborat bo'lsa, aniqlovchi nolga teng.

3. Aniqlovchidagi ikkita qator qayta joylansa, aniqlovchi belgini o'zgartiradi.

4. Ikkita bir xil qatordan iborat aniqlovchi nolga teng.

5. Agar aniqlovchining ma'lum bir qatorining barcha elementlari qandaydir k soniga ko'paytirilsa, determinantning o'zi k ga ko'paytiriladi.

6. Ikkita proporsional chiziqdan iborat aniqlovchi nolga teng.

7. Agar barcha elementlar bo'lsa i-chi qator determinantlar ikki had a i j = b j + c j (j= ) yig‘indisi sifatida taqdim etiladi, u holda determinant i-chi qatordan tashqari barcha qatorlar berilgan determinantdagi bilan bir xil bo‘lgan aniqlovchilar yig‘indisiga teng bo‘ladi va i-chi qator atamalarning birida u b j elementlaridan, ikkinchisida - c j elementlaridan iborat.

8. Boshqa qatorning mos elementlari uning bir qatori elementlariga bir xil songa ko‘paytirilsa, aniqlovchi o‘zgarmaydi.

Izoh. Agar satrlar o'rniga ustunlar olsak, barcha xususiyatlar o'z kuchida qoladi.

Kichik n-tartibdagi d determinantning a i j elementining M i j i n-1 tartibli determinant deb ataladi, bu elementni o'z ichiga olgan satr va ustunni o'chirish orqali d dan olinadi.

Algebraik to‘ldiruvchi d determinantning a i j elementi (-1) i + j belgisi bilan olingan uning kichik M i j elementi deyiladi. a i j elementning algebraik to'ldiruvchisi A i j bilan belgilanadi. Shunday qilib, A i j = (-1) i + j M i j.

Determinantlarni amaliy hisoblash usullari n tartibli determinantni quyi tartibli determinantlar orqali ifodalash mumkinligiga asoslanib, quyidagi teorema bilan berilgan.

Teorema (aniqlovchining qator yoki ustundagi parchalanishi).

Determinant o'zining ixtiyoriy qatori (yoki ustuni) barcha elementlarining algebraik to'ldiruvchilari ko'paytmalari yig'indisiga teng. Boshqacha aytganda, d in kengayishi mavjud i-chi elementlar chiziqlar d = a i 1 A i 1 + a i 2 A i 2 +... + a i n A i n (i = )

yoki j-ustun d = a 1 j A 1 j + a 2 j A 2 j +... + a n j A n j (j =).

Xususan, agar satr (yoki ustun) ning bitta elementidan tashqari hammasi nolga teng bo‘lsa, determinant shu elementning algebraik to‘ldiruvchisiga ko‘paytirilganiga teng bo‘ladi.

1.4-misol. Determinantni hisoblamasdan , nolga teng ekanligini ko'rsating. Yechim. Birinchi qatorni ikkinchi qatordan ayirib, determinantni oling , asl nusxasiga teng. Agar uchinchi qatordan birinchisini ham ayirib olsak, aniqlovchini olamiz , unda ikkita qator proportsionaldir. Bu determinant nolga teng.

1.5-misol. D = determinantni hisoblang , uni ikkinchi ustunning elementlariga parchalash.

Yechim. Determinantni ikkinchi ustun elementlariga kengaytiramiz:

D = a 12 A 12 + a 22 A 22 +a 32 A 32 =

1.6-misol. Determinantni hisoblash

A=
, unda asosiy diagonalning bir tomonidagi barcha elementlar nolga teng. Yechim. Birinchi qator bo'ylab A ning determinantini kengaytiramiz: A = a 11 A 11 = . O'ngdagi determinantni birinchi qator bo'ylab yana kengaytirish mumkin, keyin biz olamiz:

A=
.Va hokazo. n qadamdan keyin A = a 11 a 22... a nn tengligiga erishamiz.

3.Tizimlar haqida asosiy tushunchalar chiziqli tenglamalar. Kramer teoremasi.

Ta'rif. Chiziqli tenglamalar tizimi birlashmasi hisoblanadi n chiziqli tenglamalar, ularning har biri o'z ichiga oladi k o'zgaruvchilar. Bu shunday yozilgan:

Ko'pchilik, birinchi marta yuqori algebra bilan uchrashganda, tenglamalar soni o'zgaruvchilar soniga to'g'ri kelishi kerak, deb noto'g'ri hisoblashadi. Maktab algebrasida bu odatda sodir bo'ladi, lekin yuqori algebra uchun bu odatda to'g'ri emas.

Ta'rif. Tenglamalar sistemasini yechish raqamlar ketma-ketligi ( k 1 ,k 2 , ..., k n), bu tizimning har bir tenglamasining yechimi, ya'ni. o'zgaruvchilar o'rniga bu tenglamaga almashtirilganda x 1 , x 2 , ..., x n to'g'ri sonli tenglikni beradi.

Mos ravishda, tenglamalar tizimini yechish- uning barcha yechimlari to'plamini topish yoki bu to'plam bo'sh ekanligini isbotlashni anglatadi. Tenglamalar soni va noma'lumlar soni mos kelmasligi sababli, uchta holat mumkin:

1. Tizim mos kelmaydigan, ya'ni. barcha yechimlar to'plami bo'sh. Bu juda kam uchraydigan holat bo'lib, tizimni hal qilish uchun qanday usuldan foydalanmasligingizdan qat'i nazar, osongina aniqlanadi.

2. Tizim izchil va aniqlangan, ya'ni. aynan bitta yechimga ega. Maktabdan beri taniqli klassik versiya.

3. Tizim izchil va aniqlanmagan, ya'ni. cheksiz ko'p echimlarga ega. Bu eng qiyin variant. "Tizimda cheksiz echimlar to'plami" borligini ko'rsatishning o'zi etarli emas - bu to'plam qanday tuzilganligini tasvirlash kerak.

Ta'rif. O'zgaruvchan x i chaqirdi ruxsat etilgan, agar u tizimning faqat bitta tenglamasiga kiritilgan bo'lsa va koeffitsienti 1 bo'lsa. Boshqacha qilib aytganda, qolgan tenglamalarda o'zgaruvchining koeffitsienti. x i nolga teng bo'lishi kerak.

Har bir tenglamada bitta ruxsat etilgan o'zgaruvchini tanlasak, biz butun tenglamalar tizimi uchun ruxsat etilgan o'zgaruvchilar to'plamini olamiz. Ushbu shaklda yozilgan tizimning o'zi ham hal qilingan deb nomlanadi. Umuman olganda, bitta va bir xil original tizimni turli ruxsat etilganlarga qisqartirish mumkin, ammo hozircha biz bu haqda tashvishlanmaymiz. Ruxsat berilgan tizimlarga misollar:

Ikkala tizim ham o'zgaruvchilar tomonidan hal qilinadi x 1 , x 3 va x 4 . Biroq, xuddi shu muvaffaqiyat bilan ikkinchi tizimga nisbatan ruxsat berilganligini ta'kidlash mumkin x 1 , x 3 va x 5 . Shakldagi eng oxirgi tenglamani qayta yozish kifoya x 5 = x 4 .

Endi umumiy holatni ko'rib chiqaylik. Bizda hamma narsa bo'lsin k o'zgaruvchilar, shulardan r ruxsat etiladi. Keyin ikkita holat mumkin:

1. Ruxsat etilgan o'zgaruvchilar soni r o'zgaruvchilarning umumiy soniga teng k: r = k. Biz tizimni dan olamiz k qaysi tenglamalar r = k ruxsat etilgan o'zgaruvchilar. Bunday tizim qo'shma va aniq, chunki x 1 = b 1 , x 2 = b 2 , ..., x k = b k;

2. Ruxsat etilgan o'zgaruvchilar soni r o'zgaruvchilarning umumiy sonidan kamroq k: r < k. Xordiq; qolganlar ( k − r) o'zgaruvchilar erkin deyiladi - ular har qanday qiymatlarni olishlari mumkin, ulardan ruxsat etilgan o'zgaruvchilarni osongina hisoblash mumkin.

Shunday qilib, yuqoridagi tizimlarda o'zgaruvchilar x 2 , x 5 , x 6 (birinchi tizim uchun) va x 2 , x 5 (ikkinchi uchun) bepul. Erkin o'zgaruvchilar mavjud bo'lgan holat teorema sifatida yaxshiroq shakllantirilgan ...

Qanday hal qilish kerak?: – Chiziqli tenglamalar tizimini almashtirish usuli (“maktab usuli”) yordamida yechish.
– Tizim tenglamalarini davr bo‘yicha qo‘shish (ayirish) yo‘li bilan tizimni yechish.
-Kramer formulalari yordamida tizimni yechish.
– Teskari matritsa yordamida tizimni yechish.
– Gauss usuli yordamida tizimni yechish.

KRAMER

Birinchidan, ikkita noma'lumli ikkita chiziqli tenglamalar tizimi uchun Kramer qoidasini ko'rib chiqing. Ikki o'zgaruvchiga ega chiziqli tenglamalar tizimlari mavjud, ularni Kramer qoidasi yordamida hal qilish tavsiya etiladi!

Tenglamalar tizimini ko'rib chiqing

Birinchi bosqichda biz determinantni hisoblaymiz, u deyiladi tizimning asosiy hal qiluvchi omili.

Agar bo'lsa, u holda tizim cheksiz ko'p echimlarga ega yoki mos kelmaydigan (echimlari yo'q). Bunday holda, Kramer qoidasi yordam bermaydi, siz foydalanishingiz kerak Gauss usuli.

Agar bo'lsa, u holda tizim yagona yechimga ega va ildizlarni topish uchun biz yana ikkita determinantni hisoblashimiz kerak: va

Amalda yuqoridagi sifatlovchilarni lotin harfi bilan ham belgilash mumkin.

Formulalar yordamida tenglamaning ildizlarini topamiz:

7-misol

Chiziqli tenglamalar sistemasini yeching

Biz tenglamaning koeffitsientlari juda katta ekanligini ko'ramiz, o'ng tomonda vergul bilan o'nli kasrlar mavjud. Vergul matematikadan amaliy topshiriqlarda juda kam uchraydigan mehmondir, men bu tizimni ekonometrik masaladan oldim.

Bunday tizimni qanday hal qilish mumkin? Siz bitta o'zgaruvchini boshqasi bilan ifodalashga urinib ko'rishingiz mumkin, ammo bu holda siz ishlash uchun juda noqulay bo'lgan dahshatli chiroyli fraktsiyalarga duch kelishingiz mumkin va yechim dizayni shunchaki dahshatli ko'rinadi. Siz ikkinchi tenglamani 6 ga ko'paytirasiz va atamani ayirasiz, lekin bu erda ham xuddi shunday kasrlar paydo bo'ladi.

Nima qilish kerak? Bunday hollarda Kramerning formulalari yordamga keladi.

Bu tizim o'ziga xos yechimga ega ekanligini anglatadi.

;

;

Ko'rib turganingizdek, ildizlar mantiqsiz bo'lib chiqdi va taxminan topildi, bu ekonometriya muammolari uchun juda maqbul (va hatto oddiy).

Bu erda sharhlar kerak emas, chunki vazifa tayyor formulalar yordamida hal qilinadi, ammo bitta ogohlantirish mavjud. Qachon foydalanish kerak bu usul, majburiy Vazifa dizaynining bir qismi quyidagi qismdir: « , ya'ni tizim noyob yechimga ega" . Aks holda, sharhlovchi sizni Kramer teoremasiga hurmatsizlik qilganingiz uchun jazolashi mumkin.

Kalkulyatorda qulay tarzda amalga oshirilishi mumkin bo'lgan tekshirish ortiqcha bo'lmaydi: biz tizimning har bir tenglamasining chap tomoniga taxminiy qiymatlarni almashtiramiz. Natijada, kichik xatolik bilan siz o'ng tomonda joylashgan raqamlarni olishingiz kerak.

Kramer formulalari

Kramer usuli ketma-ket topishdan iborat tizimning asosiy hal qiluvchi omili(5.3), ya'ni. A matritsasining aniqlovchisi

Va n yordamchi aniqlovchi D i (i= ), ular D determinantdan i-ustunni erkin shartlar ustuniga almashtirish orqali olinadi.

Kramer formulalari quyidagicha ko'rinadi:

D × x i = D i (i =). (5.4)

(5.4) dan tizimning mosligi haqidagi savolga (5.3) to'liq javob beradigan Kramer qoidasiga amal qilinadi: agar tizimning asosiy determinanti nolga teng bo'lmasa, u holda tizim formulalar bilan aniqlangan yagona yechimga ega bo'ladi:

Agar sistemaning bosh determinanti D va barcha yordamchi determinantlar D i = 0 (i= ) bo lsa, sistemaning cheksiz sonli yechimlari mavjud. Agar tizimning asosiy determinanti D = 0 bo'lsa va hech bo'lmaganda bitta yordamchi determinant noldan farq qilsa, u holda tizim mos kelmaydi.

1.14-misol. Kramer usuli yordamida tenglamalar tizimini yeching:

x 1 + x 2 + x 3 + x 4 = 5, x 1 + 2x 2 - x 3 + 4x 4 = -2, 2x 1 - 3x 2 - x 3 - 5x 4 = -2, 3x 1 + x 2 + 2x 3 + 11 x 4 = 0.

Yechim. Bu sistemaning asosiy determinanti D = = -142 ¹ 0, ya'ni tizim noyob yechimga ega. D determinantdan olingan D i (i= ) yordamchi aniqlovchilarni undagi x i koeffitsientlaridan iborat ustunni erkin hadlar ustuni bilan almashtirib hisoblaylik: D 1 = = - 142, D 2 = = - 284, D 3 = = - 426,

D 4 = = 142. Demak, x 1 = D 1 /D = 1, x 2 = D 2 /D = 2, x 3 = D 3 /D = 3, x 4 = D 4 /D = -1, sistemaning yechimi vektor C =(1, 2, 3, -1) T.

Chiziqli tenglamalar sistemasi haqida asosiy tushunchalar. Gauss usuli.

YUQARIDA QARING.

Gauss-Jordan usuli(noma'lumlarni to'liq yo'q qilish usuli) - chiziqli algebraik tenglamalarning kvadratik tizimlarini yechish, matritsaning teskarisini topish, berilgan asosdagi vektorning koordinatalarini topish yoki matritsaning darajasini topish uchun ishlatiladigan usul. Usul Gauss usulining modifikatsiyasi hisoblanadi.

Algoritm

1. Chapdan kamida bitta nolga teng bo'lmagan qiymatni o'z ichiga olgan matritsaning birinchi ustunini tanlang.

2. Agar ushbu ustundagi eng yuqori raqam nolga teng bo'lsa, matritsaning butun birinchi qatorini ushbu ustunda nol bo'lmagan boshqa matritsa qatoriga almashtiring.

3. Birinchi qatorning barcha elementlari tanlangan ustunning yuqori elementiga bo'linadi.

4. Har bir satrning birinchi elementi sifatida nolni olish uchun (birinchisidan tashqari) qolgan satrlardan birinchi qatorni mos keladigan chiziqning birinchi elementiga ko'paytiring.

6. Ushbu protsedura bir marta takrorlangandan so'ng, yuqori uchburchak matritsa olinadi

7. Oxirgi qatordan oxirgi qatorni mos keladigan koeffitsientga ko'paytiring, shunda oxirgi qatorda asosiy diagonalda faqat 1 qoladi.

8. Keyingi satrlar uchun oldingi bosqichni takrorlang. Natijada, biz erkin vektor o'rniga identifikatsiya matritsasi va yechimni olamiz (u bilan bir xil o'zgarishlarni amalga oshirish kerak).

9. Olish teskari matritsa, siz identifikatsiya matritsasiga barcha amallarni bir xil tartibda qo'llashingiz kerak.

Gauss usuli

Tarixiy jihatdan chiziqli tenglamalar tizimini yechishning birinchi, eng keng tarqalgan usuli Gauss usuli yoki noma'lumlarni ketma-ket yo'q qilish usuli hisoblanadi. Ushbu usulning mohiyati shundan iboratki, noma'lumlarni ketma-ket yo'q qilish orqali bu tizim unga teng keladigan bosqichli (xususan, uchburchak) tizimga aylanadi. Da amaliy yechim Gauss usulidan foydalangan holda chiziqli tenglamalar tizimi uchun tenglamalar tizimining o'zini emas, balki ushbu tizimning kengaytirilgan matritsasini uning qatorlarida elementar o'zgarishlarni amalga oshiradigan bosqichli shaklga keltirish qulayroqdir. O'zgartirish jarayonida olingan ketma-ket matritsalar odatda ekvivalentlik belgisi bilan bog'lanadi.

1-misol.13. Gauss usuli yordamida tenglamalar tizimini yeching: x + y - 3z = 2, 3x - 2y + z = - 1, 2x + y - 2z = 0.

Yechim. Keling, ushbu tizimning kengaytirilgan matritsasini yozamiz

va uning satrlarida quyidagi elementar o'zgartirishlarni bajaring: a) uning ikkinchi va uchinchi qatorlaridan mos ravishda 3 va 2 ga ko'paytirilgan birinchisini ayirib tashlang: ~ ;

b) uchinchi qatorni (-5) ga ko'paytiring va unga ikkinchisini qo'shing: .

Bu barcha transformatsiyalar natijasida bu sistema uchburchak shaklga keltiriladi: x + y - 3z = 2, -5y + 10z = -7, - 10z = 13.

Oxirgi tenglamadan z = -1,3 ni topamiz. Ushbu qiymatni ikkinchi tenglamaga almashtirsak, biz y = -1,2 ga ega bo'lamiz. Keyinchalik, birinchi tenglamadan biz x = - 0,7 ni olamiz

DAFTARDAN:

Gauss usuli

Usul ikki qismdan iborat - oldinga va orqaga.

To'g'ridan-to'g'ri yondashuv SLN matritsasini elementar qator transformatsiyalari yordamida eshelon shakliga kengaytirishdir. Bosqichli matritsada har bir keyingi qator oldingisiga qaraganda ko'proq bosh nolga ega - yoki u nolga teng.

Misol:

Elementar matritsa qatorlarini o'zgartirish:

1) matritsaning pastki qatorlaridan biriga matritsaning bir qatori, qandaydir songa ko‘paytirilgan raqamlarini qo‘shish.

2) Ikki qatorni almashtiring

Gauss usulining teskarisi pastki nol chizig'idan boshlab ba'zi o'zgaruvchilarni ketma-ket boshqalari bilan ifodalashdan iborat. Natija umumiy yechimdir.

To'g'ri harakatdan so'ng 3 ta variant mumkin bosqichli turi kengaytirilgan matritsa:

1) Har bir keyingi satr boshida oldingisiga nisbatan yana bitta nolga ega

Misol:

Biz tenglamani satrga yozamiz va pastki qatordan o'zgaruvchilarning qiymatlarini topishni boshlaymiz.

4X 4 =8Þ X 4 =2

Oldingi tenglamaga almashtiring

2X 3 -3X 4 = -8, ya'ni. 2X 3 -3 * 2=-8 yoki 2X 3 =-2, Þ X 3 =-1, ikkinchi qatordagi X3 va X4 ni almashtiring va hokazo. Biz SLU uchun yagona yechimni olamiz

2) Nolga teng bo'lmagan qatorlar soni o'zgaruvchilar sonidan kamroq. Keyin satrlardan birining boshida oldingisidan kamida 2 ta ko'proq nol bo'ladi va biz keyingi nolga teng bo'lmagan qatorda b=0 soni bo'lgan (0...0 b) ko'rinishga ega emas deb faraz qilamiz.

Masalan:

3) Oxirgi nolga teng bo'lmagan chiziq (0...0/b) ko'rinishga ega, bu erda b=0 qarama-qarshi tengliklarga mos keladi o=b, shuning uchun tizim mos kelmaydi.

Gauss usuli yordamida SLEni yechish

2X 1 +3X 2 +X 3 =1

4X 1 +5X 2 +4X 3 =7

6X 1 +10X 2 -3X 3 = -10

Biz kengaytirilgan oldinga harakat matritsasini tuzamiz.

Determinantlar va ularning xossalari. Qayta tartibga solish 1, 2,..., n raqamlari - bu raqamlarning ma'lum bir tartibda joylashishi. Elementar algebrada n ta sondan hosil bo ladigan barcha almashtirishlar soni 12...n = n ga teng ekanligi isbotlangan. Masalan, uchta 1, 2, 3 raqamlaridan 3!=6 almashtirishni hosil qilish mumkin: 123, 132, 312, 321, 231, 213. Ularning aytishicha, bu almashtirishda i va j raqamlari inversiya(tartibsizlik) agar i>j bo'lsa, lekin i bu almashtirishda j dan oldin keladi, ya'ni katta son kichikning chap tomonida bo'lsa.

Permutatsiya deyiladi hatto(yoki g'alati), agar u juft (toq) umumiy inversiya soniga ega bo'lsa. Bir xil n ta raqamdan tashkil topgan bir almashtirishdan ikkinchisiga o'tish operatsiyasi deyiladi almashtirish n-daraja.

Bir almashtirishni boshqasiga o'zgartiruvchi almashtirish umumiy qavs ichida ikki qatorga yoziladi va ko'rib chiqilayotgan almashtirishlarda bir xil o'rinlarni egallagan raqamlar deyiladi. muvofiq va birining tagiga yoziladi. Masalan, ramz almashtirishni ifodalaydi, bunda 3 4, 1 → 2, 2 → 1, 4 → 3 ga aylanadi. O‘zgartirish deyiladi. hatto(yoki g'alati), agar ikkala almashtirish satridagi inversiyalarning umumiy soni juft (toq) bo'lsa. n-darajali har qanday almashtirish shaklda yozilishi mumkin, ya'ni. yuqori qatorda natural sonlar bilan.

Bizga n tartibli kvadrat matritsa berilsin

Keling, ushbu matritsaning n elementining barcha mumkin bo'lgan mahsulotlarini ko'rib chiqaylik, har bir satr va har bir ustundan bitta va faqat bittadan olingan, ya'ni. shakldagi ishlar:

, (4.4)

bu yerda q 1, q 2,...,q n indekslari sonlarning ba’zi o‘rin almashtirishlarini tashkil qiladi.
1, 2,..., n. Bunday mahsulotlarning soni n ta belgining turli xil almashtirishlari soniga teng, ya'ni. n ga teng!. Ko'paytmaning (4.4) belgisi (- 1) q ga teng, bu erda q - elementlarning ikkinchi indekslarini almashtirishdagi inversiyalar soni.

Aniqlovchi(4.3) matritsaga mos keladigan n-tartibga algebraik yig'indi n deyiladi! shakl a'zolari (4.4). Aniqlovchini yozish uchun belgidan foydalaning yoki detA = (A matritsaning determinanti yoki determinanti).

Determinantlarning xossalari

1. Transpozitsiya paytida aniqlovchi o'zgarmaydi.

2. Agar aniqlovchining bir qatori nollardan iborat bo'lsa, aniqlovchi nolga teng.

3. Aniqlovchidagi ikkita qator qayta joylansa, aniqlovchi belgini o'zgartiradi.

4. Ikkita bir xil qatordan iborat aniqlovchi nolga teng.

5. Agar aniqlovchining ma'lum bir qatorining barcha elementlari qandaydir k soniga ko'paytirilsa, determinantning o'zi k ga ko'paytiriladi.

6. Ikkita proporsional chiziqdan iborat aniqlovchi nolga teng.

7. Agar aniqlovchining i-qatorining barcha elementlari a i j = b j + c j (j = 1,...,n) ikkita hadning yig‘indisi sifatida taqdim etilsa, determinant uchun aniqlovchilar yig‘indisiga teng bo‘ladi. qaysi i-dan tashqari barcha qatorlar - berilgan determinantdagi bilan bir xil bo'lib, hadlarning biridagi i-qator b j elementlardan, ikkinchisida - c j elementlardan iborat.

8. Boshqa qatorning mos elementlari uning bir qatori elementlariga bir xil songa ko‘paytirilsa, aniqlovchi o‘zgarmaydi.

Izoh. Agar satrlar o'rniga ustunlar olsak, barcha xususiyatlar o'z kuchida qoladi.

Kichik n-tartibdagi d determinantning a i j elementining M i j i n-1 tartibli determinant deb ataladi, bu elementni o'z ichiga olgan satr va ustunni o'chirish orqali d dan olinadi.

Algebraik to‘ldiruvchi d determinantning a i j elementi (-1) i + j belgisi bilan olingan uning kichik M i j elementi deyiladi. a i j elementning algebraik to'ldiruvchisi A i j bilan belgilanadi. Shunday qilib, A i j = (-1) i + j M i j.

Determinantlarni amaliy hisoblash usullari n tartibli determinantni quyi tartibli determinantlar orqali ifodalash mumkinligiga asoslanib, quyidagi teorema bilan berilgan.

Teorema (aniqlovchining qator yoki ustundagi parchalanishi).

Determinant o'zining ixtiyoriy qatori (yoki ustuni) barcha elementlarining algebraik to'ldiruvchilari ko'paytmalari yig'indisiga teng. Boshqacha qilib aytganda, d i-qatorning elementlariga kengaytiriladi

d = a i 1 A i 1 + a i 2 A i 2 +... + a i n A i n (i = 1,...,n)

yoki j-ustun

d = a 1 j A 1 j + a 2 j A 2 j +... + a n j A n j (j =1,...,n).

Xususan, agar satr (yoki ustun) ning bitta elementidan tashqari hammasi nolga teng bo‘lsa, determinant shu elementning algebraik to‘ldiruvchisiga ko‘paytirilganiga teng bo‘ladi.

Uchinchi tartibli determinantni hisoblash formulasi.

Ushbu formulani eslab qolishni osonlashtirish uchun:

2.4-misol. Determinantni hisoblamasdan, uning nolga teng ekanligini ko'rsating.

Yechim. Ikkinchi satrdan birinchisini ayirib, biz asliga teng determinantni olamiz. Agar uchinchi qatordan birinchisini ham ayirib olsak, ikkita chiziq proportsional bo'lgan determinantni olamiz. Bu determinant nolga teng.

2.5-misol. Determinant D = ni ikkinchi ustunning elementlariga kengaytirib hisoblang.

Yechim. Determinantni ikkinchi ustun elementlariga kengaytiramiz:

D = a 12 A 12 + a 22 A 22 +a 32 A 32 =

.

2.6-misol. Determinantni hisoblash

,

unda asosiy diagonalning bir tomonidagi barcha elementlar nolga teng.

Yechim. Birinchi qator bo'ylab A ning determinantini kengaytiramiz:

.

O'ngdagi determinantni birinchi qator bo'ylab yana kengaytirish mumkin, keyin biz olamiz:

.

2.7-misol. Determinantni hisoblash .

Yechim. Agar siz determinantning har bir satriga birinchi qatorni qo'shsangiz, ikkinchisidan boshlab siz asosiy diagonaldan pastdagi barcha elementlar nolga teng bo'lgan determinant olasiz. Ya'ni, biz aniqlovchini olamiz: , asl nusxasiga teng.

Oldingi misolda bo'lgani kabi fikr yuritib, biz asosiy diagonal elementlarining mahsulotiga teng ekanligini topamiz, ya'ni. n!. Bu determinantni hisoblash usuli uchburchak shaklga keltirish usuli deb ataladi.