Va endi mavzuning davomi bo'ladi, unda biz nafaqat yangi materialni ko'rib chiqamiz, balki matritsalar bilan harakatlarni ham ishlab chiqamiz.

Matritsalar bilan operatsiyalar bilan bog'liq juda ko'p xususiyatlar mavjud, xuddi shu Vikipediyada siz tegishli qoidalarning tartibli darajalariga qoyil qolishingiz mumkin. Biroq, amalda ko'plab xususiyatlar ma'lum ma'noda "o'lik" dir, chunki ulardan faqat bir nechtasi haqiqiy muammolarni hal qilishda qo'llaniladi. Mening maqsadim - xususiyatlarning amaliy qo'llanilishini aniq misollar bilan ko'rib chiqish va agar sizga qat'iy nazariya kerak bo'lsa, iltimos, boshqa ma'lumot manbasidan foydalaning.

Amaliy topshiriqlarni bajarish uchun talab qilinadigan qoidadan ba'zi istisnolarni ko'rib chiqaylik.

Agar kvadrat matritsa teskari matritsaga ega bo'lsa, ularning ko'payishi kommutativdir:

Identifikatsiya matritsasi kvadrat matritsa bo'lib, unga tegishli asosiy diagonali birliklar joylashgan, qolgan elementlar esa nolga teng. Masalan: va hokazo.

Bunday holda, quyidagi xususiyat to'g'ri bo'ladi: agar ixtiyoriy matritsa chapga yoki o'ngga mos o'lchamdagi identifikatsiya matritsasiga ko'paytirilsa, natijada asl matritsa bo'ladi:

Ko'rib turganingizdek, matritsalarni ko'paytirishning kommutativligi ham shu erda sodir bo'ladi.

Keling, bir nechta matritsani olaylik, aytaylik, oldingi masaladagi matritsa: .

Qiziqqanlar tekshirishlari va ishonch hosil qilishlari mumkin:

Matritsalar uchun birlik matritsasi sonlar uchun raqamli birlikning analogidir, bu ayniqsa muhokama qilingan misollardan aniq.

Matritsalar va haqiqiy sonlar uchun quyidagi xususiyat mavjud:

Ya'ni, raqamli omil matritsalarni ko'paytirishga "to'sqinlik qilmasligi" uchun oldinga siljishi mumkin (va kerak).

Eslatma : umuman olganda, mulkning formulasi to'liq emas - "lambda" matritsalar orasidagi istalgan joyga, hatto oxirida ham joylashtirilishi mumkin. Uch yoki undan ortiq matritsalar ko'paytirilsa, qoida o'z kuchida qoladi.

4-misol

Mahsulotni hisoblash

Yechim:

(1) Mulk bo'yicha raqamli omilni oldinga siljiting. Matritsalarning o'zlarini qayta tartibga solish mumkin emas!

(2) – (3) Matritsani ko‘paytirishni bajaring.

(4) Bu erda siz har bir raqamni 10 ga bo'lishingiz mumkin, ammo keyin matritsaning elementlari orasida o'nli kasrlar paydo bo'ladi, bu yaxshi emas. Biroq, biz matritsadagi barcha raqamlar 5 ga bo'linishini ko'ramiz, shuning uchun biz har bir elementni ko'paytiramiz.

Javob:

O'zingiz hal qilishingiz mumkin bo'lgan kichik bir maslahat:

5-misol

Agar hisoblang

Yechim va javob dars oxirida.

Bunday misollarni yechishda qanday texnika muhim ahamiyatga ega? Keling, raqamlarni aniqlaylik eng oxirgi .

Keling, lokomotivga boshqa vagonni biriktiramiz:

Avvalo, uchta matritsani ko'paytirish natijasida NIMA bo'lishi kerak? Mushuk sichqon tug'maydi. Agar matritsani ko'paytirish mumkin bo'lsa, natija ham matritsa bo'ladi. Hmmm, mening algebra o'qituvchim algebraik tuzilmaning uning elementlariga nisbatan yopiqligini qanday tushuntirishimni tushunmayapti =)

Uchta matritsaning mahsulotini ikki usulda hisoblash mumkin:

1) toping va keyin “ce” matritsasiga ko‘paytiring: ;

2) yo avval toping, keyin ko'paytiring.

Natijalar, albatta, mos keladi va nazariy jihatdan bu xususiyat matritsani ko'paytirishning assotsiativligi deb ataladi:

6-misol

Matritsalarni ikki usulda ko'paytiring

Yechish algoritmi ikki bosqichli: biz ikkita matritsaning mahsulotini topamiz, keyin yana ikkita matritsaning mahsulotini topamiz.

1) formuladan foydalaning

Birinchi harakat:

Ikkinchi harakat:

2) formuladan foydalaning

Birinchi harakat:

Ikkinchi harakat:

Javob:

Birinchi yechim, albatta, ko'proq tanish va standart, bu erda "hamma narsa tartibda bo'lib tuyuladi". Aytgancha, buyurtma haqida. Ko'rib chiqilayotgan vazifada ko'pincha matritsalarning qandaydir almashtirishlari haqida gapirayotganimiz haqidagi illyuziya paydo bo'ladi. Ular bu yerda emas. Yana bir bor eslatib o'tamanki, umumiy holatda MATRISALARNI TO'G'RISH MUMKIN MUMKIN. Shunday qilib, ikkinchi xatboshida, ikkinchi bosqichda biz ko'paytirishni amalga oshiramiz, lekin hech qanday holatda . Oddiy raqamlar bilan bunday raqam ishlaydi, lekin matritsalar bilan ishlamaydi.

Assotsiativ ko'paytirish xususiyati nafaqat kvadrat uchun, balki ixtiyoriy matritsalar uchun ham to'g'ri keladi - ular ko'paytirilsa:

7-misol

Uchta matritsaning mahsulotini toping

Bu o'zingiz hal qilishingiz uchun misol. Namunaviy yechimda hisob-kitoblar ikki usulda amalga oshiriladi; qaysi yo'l foydaliroq va qisqaroq ekanligini tahlil qiling.

Matritsalarni ko'paytirishning assotsiativlik xususiyati ko'proq omillarga ham tegishli.

Endi matritsalarning vakolatlariga qaytish vaqti keldi. Matritsaning kvadrati boshida ko'rib chiqiladi va kun tartibidagi savol:

Bu amallar faqat kvadrat matritsalar uchun ham aniqlanadi. Kvadrat matritsani kub qilish uchun siz mahsulotni hisoblashingiz kerak:

Aslida, bu matritsani ko'paytirishning assotsiativlik xususiyatiga ko'ra, uchta matritsani ko'paytirishning maxsus holatidir: . Va o'ziga ko'paytiriladigan matritsa matritsaning kvadratidir:

Shunday qilib, biz ish formulasini olamiz:

Ya'ni, topshiriq ikki bosqichda bajariladi: birinchi navbatda, matritsa kvadrat bo'lishi kerak, so'ngra olingan matritsa matritsaga ko'paytirilishi kerak.

8-misol

Matritsani kub shaklida tuzing.

Bu o'zingiz hal qiladigan kichik muammo.

Matritsani to'rtinchi darajaga ko'tarish tabiiy usulda amalga oshiriladi:

Matritsalarni ko'paytirishning assotsiativligidan foydalanib, biz ikkita ishchi formulani olamiz. Birinchidan: - bu uchta matritsaning ko'paytmasi.

1) . Boshqacha qilib aytadigan bo'lsak, biz birinchi navbatda topamiz, keyin uni "bo'l" ga ko'paytiramiz - biz kub olamiz va nihoyat, ko'paytirishni yana bajaramiz - to'rtinchi kuch bo'ladi.

2) Lekin bir qadam qisqaroq yechim bor: . Ya'ni, birinchi bosqichda biz kvadratni topamiz va kubni chetlab o'tib, ko'paytirishni amalga oshiramiz

8-misol uchun qo'shimcha vazifa:

Matritsani to'rtinchi darajaga ko'taring.

Yuqorida aytib o'tilganidek, buni ikki yo'l bilan amalga oshirish mumkin:

1) Kub ma'lum bo'lgani uchun, biz ko'paytirishni bajaramiz.

2) Ammo, agar masala shartlariga ko'ra matritsani qurish talab etilsa faqat to'rtinchi kuchga, keyin yo'lni qisqartirish foydalidir - matritsaning kvadratini toping va formuladan foydalaning.

Yechim ham, javob ham dars oxirida.

Xuddi shunday, matritsa beshinchi va undan yuqori kuchlarga ko'tariladi. Amaliy tajribadan shuni aytishim mumkinki, ba'zida men 4-chi kuchga ko'tarilish misollariga duch kelaman, lekin beshinchi kuch haqida hech narsa esimda yo'q. Ammo har holda, men optimal algoritmni beraman:

1) topish;
2) topish;
3) matritsani beshinchi darajaga ko'taring: .

Bu, ehtimol, amaliy masalalarda foydali bo'lishi mumkin bo'lgan matritsa operatsiyalarining barcha asosiy xususiyatlari.

Darsning ikkinchi qismida bir xil rang-barang olomon kutilmoqda.

Keling, odatiy maktab iboralarini raqamlar bilan takrorlaymiz. Raqamli ifoda raqamlar, matematik belgilar va qavslardan iborat, masalan: . Hisoblashda tanish algebraik ustuvorlik qo'llaniladi: birinchidan, qavslar, keyin bajariladi eksponentatsiya/ildiz olish, Keyin ko'paytirish/bo'lish va oxirgi, lekin eng muhimi - qo'shish/ayirish.

Agar raqamli ifoda mantiqiy bo'lsa, uni baholash natijasi raqam bo'ladi, masalan:

Matritsa ifodalari deyarli bir xil ishlaydi! Farqi bilan, asosiy belgilar matritsalardir. Bundan tashqari, ba'zi maxsus matritsa operatsiyalari, masalan, transpozitsiya va matritsaning teskarisini topish.

Matritsa ifodasini ko'rib chiqing , ba'zi matritsalar qayerda. Ushbu matritsa ifodasida uchta atama va qo'shish/ayirish amallari oxirgi bajariladi.

Birinchi muddatda siz birinchi navbatda "be" matritsasini ko'chirishingiz kerak: , keyin ko'paytirishni bajaring va natijada olingan matritsaga "ikki" ni kiriting. E'tibor bering, ko'chirish operatsiyasi ko'paytirishdan ko'ra yuqoriroq ustuvorlikka ega. Qavslar, raqamli ifodalarda bo'lgani kabi, harakatlar tartibini o'zgartiradi: - bu erda birinchi navbatda ko'paytirish amalga oshiriladi, so'ngra olingan matritsa ko'chiriladi va 2 ga ko'paytiriladi.

Ikkinchi muddatda birinchi navbatda matritsani ko'paytirish amalga oshiriladi va mahsulotdan teskari matritsa topiladi. Qavslarni olib tashlasangiz: , keyin siz avval teskari matritsani topishingiz va keyin matritsalarni ko'paytirishingiz kerak: . Matritsaning teskarisini topish ham ko‘paytirishdan ustun turadi.

Uchinchi atama bilan hamma narsa aniq: biz matritsani kubga ko'taramiz va natijada olingan matritsaga "besh" ni kiritamiz.

Agar matritsa ifodasi mantiqiy bo'lsa, uni baholash natijasi matritsadir.

Barcha vazifalar haqiqiy testlardan iborat bo'ladi va biz eng oddiyidan boshlaymiz:

9-misol

Berilgan matritsalar . Toping:

Yechish: harakatlar tartibi aniq, avval ko'paytirish, keyin qo'shish amalga oshiriladi.

Qo'shishni amalga oshirib bo'lmaydi, chunki matritsalar har xil o'lchamda.

Hayron bo'lmang, ko'pincha bunday turdagi vazifalarda imkonsiz harakatlar taklif etiladi.

Keling, ikkinchi ifodani hisoblashga harakat qilaylik:

Bu yerda hammasi yaxshi.

Javob: harakatni bajarib bo'lmaydi, .

Agar A*A -1 = E bo'lsa, A -1 matritsasi A matritsaga nisbatan teskari matritsa deyiladi, bu erda E - n-tartibdagi o'ziga xoslik matritsasi. Teskari matritsa faqat kvadrat matritsalar uchun mavjud bo'lishi mumkin.

Xizmat maqsadi. Ushbu xizmatdan onlayn tarzda siz algebraik to'ldiruvchilar, transpozitsiyalangan A T matritsalari, ittifoq matritsalari va teskari matritsalarni topishingiz mumkin. Qaror to'g'ridan-to'g'ri veb-saytda (onlayn) amalga oshiriladi va bepul. Hisoblash natijalari Word va Excel formatidagi hisobotda taqdim etiladi (ya'ni, yechimni tekshirish mumkin). dizayn misoliga qarang.

Ko'rsatmalar. Yechimni olish uchun matritsaning o'lchamini ko'rsatish kerak. Keyin yangi dialog oynasida A matritsasini to'ldiring.

Shuningdek, Jordano-Gauss usuli yordamida teskari matritsaga qarang

Misol № 1. Matritsani quyidagi shaklda yozamiz: