والآن سيكون هناك استمرار للموضوع، حيث سننظر ليس فقط في المواد الجديدة، ولكن أيضًا في العمل باستخدام المصفوفات.

هناك الكثير من الخصائص التي تتعلق بالعمليات باستخدام المصفوفات، وفي نفس ويكيبيديا، يمكنك الإعجاب بالرتب المنظمة للقواعد المقابلة. ومع ذلك، في الممارسة العملية، فإن العديد من الخصائص هي بمعنى ما "ميتة"، حيث يتم استخدام عدد قليل منها فقط في حل المشكلات الحقيقية. هدفي هو إلقاء نظرة على التطبيق العملي للخصائص بأمثلة محددة، وإذا كنت بحاجة إلى نظرية صارمة، فيرجى استخدام مصدر آخر للمعلومات.

دعونا نلقي نظرة على بعض الاستثناءات للقاعدة التي ستكون مطلوبة لإكمال المهام العملية.

إذا كانت المصفوفة المربعة تحتوي على مصفوفة معكوسة، فإن ضربها يكون تبادليًا:

مصفوفة الهوية هي مصفوفة مربعة قطري الرئيسيتقع الوحدات، والعناصر المتبقية تساوي الصفر. على سبيل المثال: الخ.

في هذه الحالة، تكون الخاصية التالية صحيحة: إذا تم ضرب مصفوفة عشوائية من اليسار أو اليمين بمصفوفة هوية ذات أحجام مناسبة، فستكون النتيجة هي المصفوفة الأصلية:

كما ترون، فإن إبدال ضرب المصفوفات يحدث هنا أيضًا.

لنأخذ بعض المصفوفات، حسنًا، دعنا نقول، المصفوفة من المشكلة السابقة: .

يمكن للمهتمين التحقق والتأكد من:

مصفوفة الوحدة للمصفوفات هي نظير للوحدة العددية للأرقام، وهو ما يتضح بشكل خاص من الأمثلة التي تمت مناقشتها للتو.

بالنسبة للمصفوفات والأعداد الحقيقية تحمل الخاصية التالية:

وهذا يعني أن العامل العددي يمكن (ويجب) تحريكه للأمام بحيث "لا يتداخل" مع ضرب المصفوفات.

ملحوظة : بشكل عام، صياغة الخاصية غير مكتملة - يمكن وضع "لامدا" في أي مكان بين المصفوفات، حتى في النهاية. تظل القاعدة صالحة إذا تم ضرب ثلاث مصفوفات أو أكثر.

مثال 4

حساب المنتج

حل :

(١) على حسب الملكية تحريك العامل العددي للأمام. لا يمكن إعادة ترتيب المصفوفات نفسها!

(2) – (3) إجراء عملية ضرب المصفوفات.

(4) هنا يمكنك قسمة كل رقم على 10، ولكن بعد ذلك ستظهر الكسور العشرية بين عناصر المصفوفة، وهذا ليس جيدًا. ومع ذلك، نلاحظ أن جميع الأرقام في المصفوفة قابلة للقسمة على 5، لذلك نضرب كل عنصر في .

إجابة :

تمثيلية صغيرة يمكنك حلها بنفسك:

مثال 5

احسب إذا

الحل والجواب في نهاية الدرس .

ما هي التقنية المهمة عند حل مثل هذه الأمثلة؟ دعونا معرفة الأرقام أخيرا .

دعونا نعلق عربة أخرى على القاطرة:

أولًا، ما النتيجة التي يجب أن تكون نتيجة ضرب ثلاث مصفوفات؟ القطة لن تلد فأراً. إذا كان ضرب المصفوفات ممكنًا، فستكون النتيجة أيضًا مصفوفة. حسنًا، مدرس الجبر الخاص بي لا يرى كيف أشرح انغلاق البنية الجبرية بالنسبة لعناصرها =)

يمكن حساب حاصل ضرب ثلاث مصفوفات بطريقتين:

1) ابحث عن المصفوفة "ce" ثم اضربها: ؛

2) إما أن تجد أولاً ثم تضرب .

ستتطابق النتائج بالتأكيد، ومن الناحية النظرية تسمى هذه الخاصية ترابط ضرب المصفوفات:

مثال 6

ضرب المصفوفات بطريقتين

تتكون خوارزمية الحل من خطوتين: نوجد حاصل ضرب مصفوفتين، ثم نجد حاصل ضرب مصفوفتين مرة أخرى.

1) استخدم الصيغة

الإجراء الأول:

القانون الثاني:

2) استخدم الصيغة

الإجراء الأول:

القانون الثاني:

إجابة :

الحل الأول هو، بطبيعة الحال، مألوف ومعياري أكثر، حيث "يبدو أن كل شيء على ما يرام". بالمناسبة، فيما يتعلق بالنظام. في المهمة قيد النظر، غالبا ما ينشأ الوهم بأننا نتحدث عن نوع من التباديل للمصفوفات. هم ليسوا هنا. أذكرك مرة أخرى أنه في الحالة العامة من المستحيل إعادة ترتيب المصفوفات. لذلك، في الفقرة الثانية، في الخطوة الثانية، نقوم بإجراء الضرب، ولكن لا نفعل ذلك بأي حال من الأحوال. مع الأعداد العادية، قد يكون هذا الرقم مناسبًا، لكن مع المصفوفات لن يكون كذلك.

خاصية الضرب الترابطي صحيحة ليس فقط للمربعات، ولكن أيضًا للمصفوفات العشوائية - طالما أنها مضروبة:

مثال 7

أوجد حاصل ضرب ثلاث مصفوفات

هذا مثال لك لحله بنفسك. في نموذج الحل، يتم إجراء الحسابات بطريقتين: تحليل المسار الأكثر ربحية والأقصر.

تنطبق خاصية الترابط لضرب المصفوفة أيضًا على عدد أكبر من العوامل.

لقد حان الوقت للعودة إلى قوى المصفوفات. يتم النظر في مربع المصفوفة في البداية والسؤال المطروح على جدول الأعمال هو:

يتم تعريف هذه العمليات أيضًا للمصفوفات المربعة فقط. لتجميع مصفوفة مربعة، عليك حساب حاصل الضرب:

في الواقع، هذه حالة خاصة لضرب ثلاث مصفوفات، وفقًا للخاصية الترابطية لضرب المصفوفات: . والمصفوفة مضروبة في نفسها هي مربع المصفوفة:

وهكذا نحصل على صيغة العمل:

أي أن المهمة يتم تنفيذها على خطوتين: أولا، يجب تربيع المصفوفة، ومن ثم يجب ضرب المصفوفة الناتجة بالمصفوفة.

مثال 8

بناء المصفوفة في مكعب.

هذه مشكلة صغيرة يجب حلها بنفسك.

يتم رفع المصفوفة إلى القوة الرابعة بطريقة طبيعية:

باستخدام ترابط ضرب المصفوفات، نشتق صيغتين عمليتين. أولاً: – هذا حاصل ضرب ثلاث مصفوفات.

1) . بمعنى آخر، نجد أولاً، ثم نضربه في "be" - نحصل على مكعب، وأخيراً نقوم بإجراء الضرب مرة أخرى - ستكون هناك قوة رابعة.

2) ولكن هناك حل أقصر بخطوة: . أي أننا في الخطوة الأولى نجد مربعًا ونقوم بالضرب بتجاوز المكعب

مهمة إضافية للمثال 8:

ارفع المصفوفة إلى القوة الرابعة.

وكما أشرنا للتو، يمكن القيام بذلك بطريقتين:

1) بما أن المكعب معروف، فإننا نقوم بعملية الضرب.

2) ومع ذلك، إذا كان مطلوبا وفقا لشروط المشكلة بناء مصفوفة فقط إلى القوة الرابعة، فمن المفيد تقصير المسار - ابحث عن مربع المصفوفة واستخدم الصيغة.

كلا الحلين والإجابة موجودان في نهاية الدرس.

وبالمثل، يتم رفع المصفوفة إلى القوى الخامسة والعليا. من الخبرة العملية، أستطيع أن أقول إنني أواجه أحيانًا أمثلة على الرفع إلى القوة الرابعة، لكنني لا أتذكر شيئًا عن القوة الخامسة. ولكن فقط في حالة، سأقدم الخوارزمية المثالية:

1) تجد؛
2) تجد ;
3) رفع المصفوفة إلى القوة الخامسة : .

ربما تكون هذه هي جميع الخصائص الأساسية لعمليات المصفوفة التي يمكن أن تكون مفيدة في حل المسائل العملية.

في القسم الثاني من الدرس، من المتوقع وجود حشد ملون بنفس القدر.

دعونا نكرر التعبيرات المدرسية المعتادة بالأرقام. يتكون التعبير الرقمي من أرقام ورموز رياضية وأقواس، على سبيل المثال: . عند الحساب، تنطبق الأولوية الجبرية المألوفة: أولاً، اقواس، ثم أعدم الأسي/التجذير، ثم الضرب / القسمةوأخيرا وليس آخرا - علاوة على ذلك الطرح.

إذا كان التعبير الرقمي منطقياً فإن نتيجة تقييمه تكون رقماً، على سبيل المثال:

تعمل تعبيرات المصفوفة بنفس الطريقة تقريبًا! مع اختلاف أن الشخصيات الرئيسية هي المصفوفات. بالإضافة إلى بعض عمليات المصفوفة المحددة، مثل تبديل المصفوفة وإيجاد معكوسها.

خذ بعين الاعتبار تعبير المصفوفة ، أين توجد بعض المصفوفات. في تعبير المصفوفة هذا، يتم تنفيذ ثلاثة حدود وعمليات الجمع/الطرح أخيرًا.

في الحد الأول، تحتاج أولاً إلى تبديل المصفوفة "be": ثم إجراء الضرب وإدخال "two" في المصفوفة الناتجة. لاحظ أن عملية النقل لها أولوية أعلى من الضرب. الأقواس، كما هو الحال في التعبيرات الرقمية، تغير ترتيب الإجراءات: - هنا يتم إجراء الضرب أولا، ثم يتم نقل المصفوفة الناتجة وضربها في 2.

وفي الفصل الثاني يتم ضرب المصفوفة أولاً، ويتم العثور على المصفوفة العكسية من حاصل الضرب. إذا قمت بإزالة الأقواس: ، فأنت بحاجة أولاً إلى العثور على المصفوفة العكسية ثم ضرب المصفوفات: . العثور على معكوس المصفوفة له الأسبقية أيضًا على الضرب.

مع الحد الثالث، كل شيء واضح: نرفع المصفوفة إلى مكعب وندخل الرقم "خمسة" في المصفوفة الناتجة.

إذا كان تعبير المصفوفة منطقيًا، فإن نتيجة تقييمه هي مصفوفة.

جميع المهام ستكون من اختبارات حقيقية، وسنبدأ بالأبسط:

مثال 9

المصفوفات المعطاة . يجد:

الحل: ترتيب الإجراءات واضح، يتم الضرب أولا ثم الجمع.

لا يمكن إجراء عملية الجمع لأن المصفوفات ذات أحجام مختلفة.

لا تتفاجأ، غالبًا ما يتم اقتراح إجراءات مستحيلة في مهام من هذا النوع.

دعونا نحاول حساب التعبير الثاني:

كل شيء على ما يرام هنا.

الجواب: لا يمكن تنفيذ الإجراء، .

تسمى المصفوفة A -1 بالمصفوفة العكسية بالنسبة للمصفوفة A إذا كانت A*A -1 = E، حيث E هي مصفوفة الهوية من الرتبة n. المصفوفة العكسية لا يمكن أن توجد إلا للمصفوفات المربعة.

الغرض من الخدمة. باستخدام هذه الخدمة عبر الإنترنت، يمكنك العثور على المكملات الجبرية والمصفوفة المنقولة A T والمصفوفة المتحالفة والمصفوفة العكسية. يتم تنفيذ القرار مباشرة على الموقع (أونلاين) وهو مجاني. يتم عرض نتائج الحساب في تقرير بتنسيق Word وExcel (أي أنه من الممكن التحقق من الحل). انظر مثال التصميم.

تعليمات. للحصول على الحل، من الضروري تحديد البعد للمصفوفة. بعد ذلك، املأ المصفوفة A في مربع الحوار الجديد.

انظر أيضًا المصفوفة العكسية باستخدام طريقة جوردانو غاوس

المثال رقم 1. لنكتب المصفوفة على الشكل: