Abschnitte der Website
Wahl des Herausgebers:
- Testbericht zu JBL Flip3 Bluetooth-Lautsprechern
- Buchformate
- Anschließen und Einrichten von interaktivem Fernsehen von Rostelecom
- So löschen Sie Ihr Instagram-Konto
- Android-Tablet oder iPad – was soll man wählen?
- So formatieren Sie eine Tabellenfortsetzung in Word richtig
- Was tun, wenn Sie sich offline weiterentwickeln?
- Testen Sie den Prozessor auf Überhitzung
- Was sind die öffentlichen Dienste von Yesia?
- Position der Köpfe auf der Antenne
Werbung
| 2 Kriterien. Testen der Hypothese über die Unabhängigkeit logarithmischer Renditen |
Statistischer TestDie Regel, nach der die Hypothese I 0 abgelehnt oder akzeptiert wird, heißt statistisches Kriterium. Der Name des Kriteriums enthält in der Regel einen Buchstaben, der ein speziell zusammengestelltes Merkmal aus Abschnitt 2 des statistischen Hypothesentestalgorithmus (siehe Abschnitt 4.1) bezeichnet, das im Kriterium berechnet wird. Unter Bedingungen dieses Algorithmus das Kriterium würde aufgerufen werden „V-Kriterium". Beim Testen statistischer Hypothesen sind zwei Arten von Fehlern möglich:
Wahrscheinlichkeit A Das Begehen eines Fehlers erster Art wird aufgerufen Kriterium Signifikanzniveau. Wenn ja R bezeichnen die Wahrscheinlichkeit, einen Fehler zweiter Art zu machen, dann (l - P) - die Wahrscheinlichkeit, keinen Fehler der zweiten Art zu machen, die man nennt Stärke des Kriteriums. Pearson-x-2-AnpassungstestEs gibt verschiedene Arten statistischer Hypothesen:
Wir werden die Hypothese über das Verteilungsgesetz am Beispiel des Pearson-x-2-Anpassungstests betrachten. Übereinstimmungskriterium wird als statistisches Kriterium zum Testen der Nullhypothese über das angenommene Gesetz einer unbekannten Verteilung bezeichnet. Der Pearson-Anpassungstest basiert auf einem Vergleich empirischer (beobachteter) und theoretischer Häufigkeiten von Beobachtungen, die unter der Annahme eines bestimmten Verteilungsgesetzes berechnet werden. Hypothese Nr. 0 wird hier wie folgt formuliert: Entsprechend dem untersuchten Merkmal ist die Population normalverteilt. Algorithmus Nr. 0 zum Testen statistischer Hypothesen für das Kriterium x 1 Pearson:
3) entsprechend der verfügbaren Stichprobengröße N wir berechnen eine speziell zusammengestellte Kennlinie, wobei: i, empirische Häufigkeiten sind, P - Stichprobengröße, H- die Größe des Intervalls (die Differenz zwischen zwei benachbarten Optionen), Normalisierte Werte des beobachteten Merkmals,
kann mit der Standard-MS-Excel-Funktion NORMIDIST unter Verwendung der Formel berechnet werden; 4) Anhand der Stichprobenverteilung ermitteln wir den kritischen Wert eines speziell zusammengestellten Merkmals XL P 5) wenn Hypothese Nr. 0 abgelehnt wird, wenn Hypothese Nr. 0 akzeptiert wird. Beispiel. Betrachten wir das Zeichen X- der Wert der Testindikatoren für Sträflinge in einer der Justizvollzugskolonien hinsichtlich einiger psychologischer Merkmale, dargestellt in Form einer Variationsreihe: Testen Sie bei einem Signifikanzniveau von 0,05 die Hypothese über die Normalverteilung der Bevölkerung. 1. Basierend auf der empirischen Verteilung kann eine Hypothese aufgestellt werden H 0: nach dem untersuchten Kriterium „der Wert des Testindikators für ein bestimmtes psychologisches Merkmal“, die Allgemeinbevölkerung erwartet ist normalverteilt. Alternativhypothese 1: Gemäß dem untersuchten Kriterium „Wert des Testindikators für ein bestimmtes psychologisches Merkmal“ ist die Gesamtpopulation der Verurteilten nicht normalverteilt. 2. Berechnen wir die numerischen Probeneigenschaften:
3. Berechnen wir die speziell zusammengestellte Kennlinie j 2 . Dazu finden wir in der vorletzten Spalte der vorherigen Tabelle die theoretischen Häufigkeiten anhand der Formel und in der letzten Spalte Berechnen wir die Eigenschaften % 2. Wir bekommen x 2 = 0,185. Zur Verdeutlichung konstruieren wir ein Polygon der empirischen Verteilung und eine Normalkurve basierend auf theoretischen Häufigkeiten (Abb. 6).
Reis. 6. 4. Bestimmen Sie die Anzahl der Freiheitsgrade S: k = 5, t = 2, s = 5-2-1 = 2. Gemäß der Tabelle oder unter Verwendung der Standard-MS-Excel-Funktion „HI20BR“ für die Anzahl der Freiheitsgrade 5 = 2 und das Signifikanzniveau a = 0,05 finden wir den kritischen Wert des Kriteriums xl P .=5,99. Für Signifikanzniveau A= 0,01 kritischer Kriteriumswert X%. = 9,2. 5. Beobachteter Kriteriumswert X=0,185 weniger als alle gefundenen Werte Hk R.-> Daher wird die Hypothese I 0 auf beiden Signifikanzniveaus akzeptiert. Die Diskrepanz zwischen empirischen und theoretischen Häufigkeiten ist unbedeutend. Daher stimmen die Beobachtungsdaten mit der Hypothese einer normalen Bevölkerungsverteilung überein. Gemäß dem untersuchten Kriterium „Wert des Testindikators für ein bestimmtes psychologisches Merkmal“ ist die Gesamtpopulation der Verurteilten also normal verteilt.
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
- theoretische Frequenzen,
- Tabellenfunktion. Auch theoretische Frequenzen
| Es gibt ein Ergebnis (1) | Kein Ergebnis (0) | Gesamt | |
| Es gibt einen Risikofaktor (1) | A | B | A+B |
| Kein Risikofaktor (0) | C | D | C+D |
| Gesamt | A+C | B+D | A+B+C+D |
Wie füllt man eine solche Kontingenztabelle aus? Schauen wir uns ein kleines Beispiel an.
Derzeit wird eine Studie zum Einfluss des Rauchens auf das Risiko, an arterieller Hypertonie zu erkranken, durchgeführt. Zu diesem Zweck wurden zwei Probandengruppen ausgewählt – die erste umfasste 70 Personen, die täglich mindestens 1 Packung Zigaretten rauchten, die zweite umfasste 80 gleichaltrige Nichtraucher. In der ersten Gruppe hatten 40 Personen hohen Blutdruck. Im zweiten Fall wurde bei 32 Personen eine arterielle Hypertonie beobachtet. Dementsprechend lag der normale Blutdruck in der Gruppe der Raucher bei 30 Personen (70 – 40 = 30) und in der Gruppe der Nichtraucher bei 48 (80 – 32 = 48).
Wir füllen die Kontingenztabelle mit vier Feldern mit den Ausgangsdaten aus:
In der resultierenden Kontingenztabelle entspricht jede Zeile einer bestimmten Gruppe von Probanden. Die Spalten zeigen die Anzahl der Menschen mit arterieller Hypertonie oder normalem Blutdruck.
Die Aufgabe, die sich dem Forscher stellt, lautet: Gibt es statistisch signifikante Unterschiede in der Häufigkeit von Blutdruckerkrankungen bei Rauchern und Nichtrauchern? Diese Frage lässt sich beantworten, indem man den Chi-Quadrat-Test nach Pearson berechnet und den resultierenden Wert mit dem kritischen vergleicht.
3. Bedingungen und Einschränkungen für die Anwendung des Pearson-Chi-Quadrat-Tests
- Vergleichbare Indikatoren müssen gemessen werden Nominalmaßstab(Beispiel: Das Geschlecht des Patienten ist männlich oder weiblich) oder in Ordinal-(zum Beispiel der Grad der arteriellen Hypertonie mit Werten von 0 bis 3).
- Diese Methode ermöglicht die Analyse nicht nur von Vier-Felder-Tabellen, wenn sowohl der Faktor als auch das Ergebnis binäre Variablen sind, das heißt, sie haben nur zwei mögliche Werte (z. B. männlich oder weiblich, das Vorhandensein oder Fehlen einer bestimmten Krankheit in die Anamnese...). Der Pearson-Chi-Quadrat-Test kann auch bei der Analyse von Mehrfeldtabellen verwendet werden, wenn ein Faktor und (oder) Ergebnis drei oder mehr Werte annimmt.
- Die verglichenen Gruppen müssen unabhängig sein, das heißt, der Chi-Quadrat-Test sollte beim Vergleich von Vorher-Nachher-Beobachtungen nicht verwendet werden. McNemar-Test(beim Vergleich zweier verwandter Populationen) oder berechnet Cochrans Q-Test(im Falle eines Vergleichs von drei oder mehr Gruppen).
- Bei der Analyse von Vierfeldtabellen erwartete Werte In jeder Zelle muss es mindestens 10 geben. Wenn in mindestens einer Zelle das erwartete Phänomen einen Wert von 5 bis 9 annimmt, muss der Chi-Quadrat-Test berechnet werden mit Yates' Änderungsantrag. Wenn in mindestens einer Zelle das erwartete Phänomen weniger als 5 beträgt, sollte die Analyse verwendet werden Fishers genauer Test.
- Bei der Analyse von Mehrfeldtabellen sollte die erwartete Anzahl von Beobachtungen in mehr als 20 % der Zellen nicht weniger als 5 betragen.
4. Wie berechnet man den Chi-Quadrat-Test nach Pearson?
Um den Chi-Quadrat-Test zu berechnen, benötigen Sie:
Dieser Algorithmus ist sowohl für Tabellen mit vier Feldern als auch für Tabellen mit mehreren Feldern anwendbar.
5. Wie ist der Wert des Chi-Quadrat-Tests nach Pearson zu interpretieren?
Wenn der erhaltene Wert des χ 2 -Kriteriums größer als der kritische Wert ist, schließen wir, dass ein statistischer Zusammenhang zwischen dem untersuchten Risikofaktor und dem Ergebnis auf dem entsprechenden Signifikanzniveau besteht.
6. Beispiel für die Berechnung des Chi-Quadrat-Tests nach Pearson
Bestimmen wir die statistische Signifikanz des Einflusses des Rauchfaktors auf die Inzidenz der arteriellen Hypertonie anhand der oben diskutierten Tabelle:
- Wir berechnen die erwarteten Werte für jede Zelle:
- Ermitteln Sie den Wert des Chi-Quadrat-Tests nach Pearson:
χ 2 = (40-33,6) 2 /33,6 + (30-36,4) 2 /36,4 + (32-38,4) 2 /38,4 + (48-41,6) 2 /41,6 = 4,396.
- Anzahl der Freiheitsgrade f = (2-1)*(2-1) = 1. Anhand der Tabelle ermitteln wir den kritischen Wert des Pearson-Chi-Quadrat-Tests, der beim Signifikanzniveau p=0,05 und der Anzahl von beträgt Freiheitsgrade 1 beträgt 3,841.
- Wir vergleichen den erhaltenen Wert des Chi-Quadrat-Tests mit dem kritischen Wert: 4,396 > 3,841, daher ist die Abhängigkeit der Häufigkeit von arterieller Hypertonie vom Vorhandensein von Rauchen statistisch signifikant. Das Signifikanzniveau dieser Beziehung entspricht p<0.05.
OPR. Empirische Häufigkeiten sind tatsächlich beobachtete Häufigkeiten.
PRÜFUNG DER HYPOTHESE ÜBER DIE VERTEILUNG DER BEVÖLKERUNG. PEARSON-KRITERIUM
Wie bereits erwähnt, können Annahmen über die Art der Verteilung auf der Grundlage theoretischer Prämissen getroffen werden. Unabhängig davon, wie gut das theoretische Verteilungsgesetz gewählt wird, sind Diskrepanzen zwischen der empirischen und der theoretischen Verteilung unvermeidlich. Es stellt sich natürlich die Frage: Erklären sich diese Diskrepanzen nur durch zufällige Umstände, die mit einer begrenzten Anzahl von Beobachtungen verbunden sind, oder sind sie signifikant und hängen mit der Tatsache zusammen, dass das theoretische Verteilungsgesetz schlecht gewählt wurde? Zur Beantwortung dieser Frage wird das Kriterium der Übereinstimmung herangezogen, d.h.
OPR. Übereinstimmungskriterium wird als Kriterium zum Testen einer Hypothese über das angenommene Gesetz einer unbekannten Verteilung bezeichnet.
Für jedes Kriterium, d.h. Entsprechend der Verteilung werden in der Regel Tabellen zusammengestellt, aus denen sie hervorgehen k kr (siehe Anhänge). Nachdem der kritische Punkt gefunden wurde, wird der beobachtete Wert des Kriteriums aus den Beispieldaten berechnet ZU obs. Wenn ZU obs > k kr, dann wird die Nullhypothese abgelehnt, im Gegenteil, dann wird sie akzeptiert.
Beschreiben wir die Anwendung des Pearson-Kriteriums zum Testen der Hypothese über die Normalverteilung der Bevölkerung. Das Pearson-Kriterium beantwortet die Frage, ob die Diskrepanz zwischen empirischen und theoretischen Häufigkeiten auf Zufall zurückzuführen ist.
Das Pearson-Kriterium beweist, wie jedes Kriterium, nicht die Gültigkeit der Hypothese, sondern stellt lediglich auf dem akzeptierten Signifikanzniveau fest, ob sie mit Beobachtungsdaten übereinstimmt oder nicht.
Lassen Sie also eine empirische Verteilung aus einer Stichprobe der Größe n erhalten. Beim Signifikanzniveau a muss die Nullhypothese getestet werden: Die Grundgesamtheit ist normalverteilt.
Als Kriterium zum Testen der Nullhypothese wird die Zufallsvariable c 2 = herangezogen, wobei die empirischen Häufigkeiten liegen; - theoretische Frequenzen.
Dieses SV hat eine c 2 -Verteilung mit k Freiheitsgraden. Die Anzahl der Freiheitsgrade ergibt sich aus der Gleichung k=m –r -1, m – der Anzahl der Teilabtastintervalle; r – Anzahl der Verteilungsparameter. Für Normalverteilung r=2 (a und s), dann k=m –3.
Um die Nullhypothese auf einem bestimmten Signifikanzniveau zu testen: Die Grundgesamtheit ist normalverteilt, müssen Sie Folgendes tun:
1. Berechnen Sie den Stichprobenmittelwert und die Stichprobenstandardabweichung.
2. Berechnen Sie theoretische Frequenzen,
wobei n die Stichprobengröße ist; h – Schritt (Unterschied zwischen zwei benachbarten Optionen); ; Die Funktionswerte werden durch die Anwendung bestimmt.
3. Vergleichen Sie empirische und theoretische Häufigkeiten mithilfe des Pearson-Tests. Gehen Sie dazu wie folgt vor:
a) Finden Sie den beobachteten Wert des Kriteriums;
b) Finden Sie anhand der Tabelle der kritischen Punkte der Verteilung c 2 unter Verwendung eines gegebenen Signifikanzniveaus a und der Anzahl der Freiheitsgrade k den kritischen Punkt.
Wenn< - нет оснований отвергнуть нулевую гипотезу. Если >- Die Nullhypothese wird abgelehnt.
Kommentar. Wenige Frequenzen (<5) следует объединить; в этом случае и соответствующие им теоретические частоты также надо сложить. Если производилось объединение частот, то при определении числа степеней свободы следует в качестве m принять число групп выборки, оставшихся после объединения частот.
Zweck des Kriteriums
Der χ 2 -Test wird für zwei Zwecke verwendet;
1) um die empirische Verteilung des Merkmals mit zu vergleichen theoretisch - einheitlich, normal oder anders;
2) zum Vergleich zwei, drei oder mehr empirische Verteilungen des gleichen Merkmals 12.
Beschreibung des Kriteriums
χ2-Test beantwortet die Frage, ob unterschiedliche Werte eines Merkmals in empirischen und theoretischen Verteilungen oder in zwei oder mehr empirischen Verteilungen gleich häufig vorkommen.
Der Vorteil der Methode besteht darin, dass Sie die Verteilungen der dargestellten Merkmale auf jeder Skala vergleichen können, beginnend mit der Namensskala (siehe Abschnitt 1.2). Im einfachsten Fall einer alternativen Verteilung „ja – nein“, „Fehler zugelassen – Fehler nicht zugelassen“, „Problem gelöst – Problem nicht gelöst“ usw. können wir bereits das χ 2-Kriterium anwenden.
Nehmen wir an, ein Beobachter zeichnet die Anzahl der Fußgänger auf, die auf dem Weg von Punkt A nach Punkt B den rechten oder linken von zwei symmetrischen Wegen gewählt haben (siehe Abb. 4.3).
Angenommen, als Ergebnis von 70 Beobachtungen wird festgestellt, dass E\ Die Menschen wählten den richtigen Weg und nur 19 den linken. Verwendung des χ 2-Tests Wir können feststellen, ob sich eine gegebene Auswahlverteilung von einer gleichmäßigen Verteilung unterscheidet, bei der beide Spuren mit der gleichen Häufigkeit ausgewählt würden. Dies ist eine Vergleichsmöglichkeit für das Erhaltene Ähpyrisch Ausschüttungen von theoretisch. Eine solche Aufgabe kann sich beispielsweise in der angewandten psychologischen Forschung im Zusammenhang mit Design in der Architektur, Kommunikationssystemen usw. ergeben.
Aber stellen wir uns vor, dass der Beobachter ein ganz anderes Problem löst: Er beschäftigt sich mit den Problemen der bilateralen Regulierung. Die Übereinstimmung der resultierenden Verteilung mit einer einheitlichen Verteilung interessiert ihn viel weniger als die Übereinstimmung oder Diskrepanz seiner Daten mit den Daten anderer Forscher. Er weiß, dass Menschen mit Dominanz des rechten Fußes dazu neigen, gegen den Uhrzeigersinn zu kreisen, und Menschen mit Dominanz des linken Fußes dazu neigen, im Uhrzeigersinn zu kreisen, und dass in einer Studie von Kollegen 13 bei 26 von 100 untersuchten Personen eine Dominanz des linken Fußes festgestellt wurde.
Mithilfe der χ 2 -Methode kann er zwei empirische Verteilungen vergleichen: ein Verhältnis von 51:19 in seiner eigenen Stichprobe und ein Verhältnis von 74:26 in der Stichprobe anderer Forscher.
Dies ist eine Option Vergleich zweier empirischer Verteilungen nach dem einfachsten Alternativkriterium (natürlich das einfachste aus mathematischer Sicht und keineswegs psychologisch).
Ebenso können wir Verteilungen von Auswahlmöglichkeiten aus drei oder mehr Alternativen vergleichen. Wenn beispielsweise in einer Stichprobe von 50 Personen 30 Personen Antwort (a), 15 Personen Antwort (b) und 5 Personen Antwort (c) wählten, können wir mit der χ 2-Methode prüfen, ob sich diese Verteilung von a unterscheidet Gleichverteilung oder aus der Verteilung der Antworten in einer anderen Stichprobe, wobei Antwort (a) von 10 Personen, Antwort (b) von 25 Personen und Antwort (c) von 15 Personen gewählt wurde.
In Fällen, in denen ein Merkmal quantitativ gemessen wird, sagen wir: V Ob Punkte, Sekunden oder Millimeter, wir müssen möglicherweise die gesamte Fülle an Attributwerten in mehreren Ziffern zusammenfassen. Wenn beispielsweise die Zeit zur Lösung eines Problems zwischen 10 und 300 Sekunden liegt, können wir je nach Stichprobengröße 10 oder 5 Ziffern eingeben. Dies sind beispielsweise die folgenden Kategorien: 0-50 Sekunden; 51-100 Sekunden; 101–150 Sekunden usw. Dann verwenden wir die χ 2 -Methode vergleicht die Häufigkeiten des Auftretens verschiedener Kategorien des Attributs, ansonsten ändert sich das Grunddiagramm jedoch nicht.
Durch den Vergleich der empirischen Verteilung mit der theoretischen ermitteln wir den Grad der Diskrepanz zwischen der empirischen und der theoretischen Häufigkeit.
Durch den Vergleich zweier empirischer Verteilungen bestimmen wir den Grad der Diskrepanz zwischen den empirischen Häufigkeiten und den theoretischen Häufigkeiten, die beobachtet würden, wenn die beiden empirischen Verteilungen übereinstimmen würden. Formeln zur Berechnung theoretischer Häufigkeiten werden für jede Vergleichsoption speziell angegeben.
Je größer die Diskrepanz zwischen zwei verglichenen Verteilungen, desto mehr empirisch Wert y).
Hypothesen
Je nach Aufgabenstellung sind mehrere Hypothesenvarianten möglich,
die wir uns selbst gesetzt haben.
Erste Option:
H 0: Die resultierende empirische Verteilung des Merkmals unterscheidet sich nicht von der theoretischen (z. B. gleichmäßigen) Verteilung.
H 1: Die erhaltene empirische Verteilung des Merkmals weicht von der theoretischen Verteilung ab.
Zweite Option:
H 0: Empirische Verteilung 1 unterscheidet sich nicht von empirischer Verteilung 2.
H 1: Empirische Verteilung 1 unterscheidet sich von empirischer Verteilung 2.
Dritte Option:
H 0: Empirische Verteilungen 1, 2, 3, ... unterscheiden sich nicht voneinander.
H 1: Die empirischen Verteilungen 1, 2, 3, ... unterscheiden sich voneinander.
Das χ 2 -Kriterium ermöglicht es uns, alle drei Hypothesen zu testen.
Grafische Darstellung des Kriteriums
Lassen Sie uns ein Beispiel mit der Wahl der rechten oder linken Gleise auf dem Weg von Punkt A nach Punkt B veranschaulichen. In Abb. In 4.4 wird die Häufigkeit der Auswahl der linken Spur durch die linke Spalte und die Häufigkeit der Auswahl der rechten Spur durch die rechte Spalte des Histogramms 14 dargestellt. Auf der y-Achse werden die relativen Wahlhäufigkeiten gemessen, also die Wahlhäufigkeiten eines bestimmten Tracks, bezogen auf die Gesamtzahl der Beobachtungen. Für die linke Spur beträgt die relative Frequenz, auch Frequenz genannt, 19/70, also 0,27, und für die rechte Spur 51/70, also 0,73.
Würden beide Wege mit gleicher Wahrscheinlichkeit gewählt, würde sich die Hälfte der Probanden für den rechten und die andere Hälfte für den linken Weg entscheiden. Die Wahrscheinlichkeit, jeden der Pfade zu wählen, würde 0,50 betragen.
Wir sehen, dass die Abweichungen der empirischen Häufigkeiten von diesem Wert recht erheblich sind. Es ist möglich, dass die Unterschiede zwischen der empirischen und der theoretischen Verteilung zuverlässig sind.
In Abb. Abbildung 4.5 zeigt tatsächlich zwei Histogramme, aber die Balken sind so gruppiert, dass links die Häufigkeiten der Präferenz für den linken Track in der Wahl unseres Beobachters (1) und in der Stichprobe von T.A. verglichen werden. Dobrokhotova und N.N. Bragina (2) und rechts die Präferenzhäufigkeiten für den richtigen Titel in denselben beiden Samples.
Wir sehen, dass die Unterschiede zwischen den Stichproben sehr gering sind. χ2-Kriterium, wird höchstwahrscheinlich die Übereinstimmung der beiden Verteilungen bestätigen.
Einschränkungen des Kriteriums
1. Die Stichprobengröße muss groß genug sein: N≥ 30. Bei N<30 критерий χ2 gibt sehr ungefähre Werte an. Die Genauigkeit des Kriteriums nimmt mit zunehmender Größe zu N.
2. Die theoretische Häufigkeit für jede Tabellenzelle sollte nicht weniger als 5 betragen: F> 5. Das heißt, wenn die Anzahl der Ziffern vorbestimmt ist und nicht geändert werden kann, können wir die χ2-Methode nicht anwenden, ohne eine bestimmte Mindestanzahl von Beobachtungen zu akkumulieren. Wenn wir beispielsweise unsere Annahmen überprüfen möchten, dass die Häufigkeit der Anrufe beim Trust-Telefondienst ungleichmäßig über 7 Tage der Woche verteilt ist, benötigen wir 5 * 7 = 35 Anrufe. Wenn also die Anzahl der Ziffern ( k) Voreingestellt ist, wie in diesem Fall, die Mindestanzahl an Beobachtungen ( N min) wird durch die Formel bestimmt: n min = k*5.
3. Die ausgewählten Kategorien müssen die gesamte Verteilung „ausschöpfen“, also die gesamte Bandbreite der Merkmalsvariabilität abdecken. In diesem Fall muss die Einteilung in Kategorien in allen verglichenen Verteilungen gleich sein.
4. Beim Vergleich von Verteilungen von Merkmalen, die nur zwei Werte annehmen, ist eine „Kontinuitätskorrektur“ erforderlich. Bei einer Korrektur verringert sich der Wert von χ 2 (siehe Beispiel mit Kontinuitätskorrektur).
5. Die Kategorien dürfen sich nicht überschneiden: Wird eine Beobachtung einer Kategorie zugeordnet, kann sie keiner anderen Kategorie mehr zugeordnet werden.
Die Summe der Beobachtungen nach Rang muss immer gleich der Gesamtzahl der Beobachtungen sein.
Eine berechtigte Frage ist, was als Anzahl der Beobachtungen betrachtet werden sollte – die Anzahl der Entscheidungen, Reaktionen, Aktionen oder die Anzahl der Subjekte, die eine Wahl treffen, Reaktionen zeigen oder Aktionen ausführen. Wenn ein Proband mehrere Reaktionen zeigt und alle aufgezeichnet werden, stimmt die Anzahl der Probanden nicht mit der Anzahl der Reaktionen überein. Wir können die Reaktionen jedes Probanden zusammenfassen, wie dies beispielsweise bei der Heckhausen-Methode zur Untersuchung der Leistungsmotivation oder beim S. Rosenzweig-Frustrationstoleranztest geschieht, und die Verteilungen einzelner Reaktionssummen in mehreren Stichproben vergleichen.
In diesem Fall entspricht die Anzahl der Beobachtungen der Anzahl der Probanden. Wenn wir die Häufigkeit von Reaktionen einer bestimmten Art in der gesamten Stichprobe zählen, erhalten wir eine Verteilung von Reaktionen unterschiedlicher Art, und in diesem Fall ist die Anzahl der Beobachtungen die Gesamtzahl der aufgezeichneten Reaktionen und nicht die Anzahl der Themen.
Aus mathematischer Sicht gilt in beiden Fällen die Regel der Ziffernunabhängigkeit: Eine Beobachtung gehört zu einer und nur einer Ziffer der Verteilung.
Man kann sich eine Variante der Studie vorstellen, bei der wir die Verteilung der Wahlmöglichkeiten in einem Fach untersuchen. In der kognitiven Verhaltenstherapie beispielsweise wird der Klient gebeten, jedes Mal den genauen Zeitpunkt des Auftretens einer unerwünschten Reaktion, zum Beispiel Angstanfälle, Depressionen, Wutausbrüche, selbstironische Gedanken usw., zu protokollieren analysiert die erhaltenen Daten, identifiziert die Stunden, in denen ungünstige Symptome häufiger auftreten, und hilft dem Kunden bei der Erstellung eines individuellen Programms zur Vorbeugung von Nebenwirkungen.
Ist es möglich, das χ2-Kriterium zu verwenden? beweisen, dass einige Stunden in dieser individuellen Verteilung häufiger und andere weniger häufig sind? Alle Beobachtungen sind abhängig, da sie sich auf dasselbe Thema beziehen; Gleichzeitig sind alle Entladungen nicht überlappend, da sich ein und derselbe Anfall auf genau eine Entladung (in diesem Fall um ein Uhr nachmittags) bezieht. Anscheinend wird die Verwendung der χ2-Methode in diesem Fall eine gewisse Vereinfachung darstellen. Anfälle von Angst, Wut oder Depression können im Laufe des Tages wiederholt auftreten, und es kann sein, dass beispielsweise Anfälle am frühen Morgen um 6 Uhr und am späten Abend um 12 Uhr normalerweise gleichzeitig am selben Tag auftreten: zur gleichen Zeit, Ein dreistündiger Angriff am Tag tritt frühestens einen Tag nach dem vorherigen Angriff und nicht weniger als zwei Tage vor dem nächsten usw. auf. Anscheinend sprechen wir hier von einem komplexen mathematischen Modell oder etwas in der Art, das man nicht „glauben“ kann durch Algebra.“ Dennoch kann es aus praktischen Gründen nützlich sein, ein Kriterium zu verwenden, um systematische Ungleichmäßigkeiten beim Auftreten wichtiger Ereignisse, Entscheidungen, Präferenzen usw. bei derselben Person zu identifizieren.
Daher sollte dieselbe Beobachtung nur zu einer Kategorie gehören. Ob jedoch jedes Subjekt oder jede Reaktion des Subjekts als Beobachtung betrachtet werden soll, ist eine Frage, deren Lösung von den Zielen der Studie abhängt (siehe z. B. Ganzen V.A., Balin V.D., 1991, S. 10).
Die wichtigste „Einschränkung“ des Kriteriums χ 2 - dass es den meisten Forschern erschreckend komplex erscheint.
Versuchen wir, den Mythos von der unverständlichen Schwierigkeit des Kriteriums zu überwinden χ 2 . Um die Präsentation zu beleben, ziehen Sie ein humorvolles literarisches Beispiel in Betracht.
Die oben besprochene Methode funktioniert gut, wenn das qualitative Zeichen, das uns interessiert, zwei Werte annimmt (es liegt eine Thrombose vor – nein, der Marsianer ist grün – rosa). Da es sich bei der Methode außerdem um ein direktes Analogon zum Student-Test handelt, sollte die Anzahl der zu vergleichenden Proben ebenfalls gleich zwei sein.
Es ist klar, dass sowohl die Anzahl der Attributwerte als auch die Anzahl der Stichproben mehr als zwei betragen können. Um solche Fälle zu analysieren, ist eine andere Methode ähnlich der Varianzanalyse erforderlich. Auf den ersten Blick unterscheidet sich diese Methode, die wir jetzt vorstellen, stark vom Z-Kriterium, tatsächlich gibt es jedoch viele Gemeinsamkeiten zwischen ihnen.
Um mit einem Beispiel nicht zu weit zu gehen, beginnen wir mit der gerade besprochenen Problematik der Shunt-Thrombose. Nun betrachten wir nicht den Anteil, sondern die Anzahl der Patienten mit Thrombose. Tragen wir die Testergebnisse in die Tabelle ein (Tabelle 5.1). Für jede Gruppe geben wir die Anzahl der Patienten mit Thrombose und ohne Thrombose an. Wir haben zwei Anzeichen: das Medikament (Aspirin-Placebo) und eine Thrombose (ja-nein); Die Tabelle zeigt alle möglichen Kombinationen, daher wird eine solche Tabelle als Kontingenztabelle bezeichnet. In diesem Fall beträgt die Tabellengröße 2x2.
Schauen wir uns die Zellen an, die diagonal von der oberen linken zur unteren rechten Ecke verlaufen. Die darin enthaltenen Zahlen sind deutlich größer als die Zahlen in anderen Zellen der Tabelle. Dies deutet auf einen Zusammenhang zwischen Aspirinkonsum und dem Thromboserisiko hin.
Schauen wir uns nun die Tabelle an. 5.2. Dies ist eine Tabelle mit den erwarteten Zahlen, die wir erhalten würden, wenn Aspirin keinen Einfluss auf das Thromboserisiko hätte. Wir werden etwas weiter unten diskutieren, wie man die erwarteten Zahlen berechnet, aber konzentrieren wir uns zunächst auf die äußeren Merkmale der Tabelle. Zusätzlich zu den etwas unheimlichen Bruchzahlen in den Zellen können Sie einen weiteren Unterschied zur Tabelle erkennen. In Abb. 5.1 sind die zusammenfassenden Daten für die Gruppen in der rechten Spalte und für Thrombose in der unteren Zeile. In der unteren rechten Ecke ist die Gesamtzahl der Patienten in der Studie aufgeführt. Um-
Bitte beachten Sie, dass die Zahlen in den Zellen in Abb. 5.1 und 5.2 sind unterschiedlich, die Summen in Zeilen und Spalten sind gleich.
Wie berechnet man die erwarteten Zahlen? 25 Personen erhielten Placebo, 19 Aspirin. Bei 24 von 44 Untersuchten trat eine Shunt-Thrombose auf, also in 54,55 % der Fälle trat sie nicht auf – bei 20 von 44, also in 45,45 % der Fälle. Akzeptieren wir die Nullhypothese, dass Aspirin keinen Einfluss auf das Thromboserisiko hat. Dann sollten Thrombosen mit einer gleichen Häufigkeit von 54,55 % in der Placebo- und der Aspirin-Gruppe beobachtet werden. Wenn wir berechnen, wie viel 54,55 % von 25 und 19 sind, erhalten wir 13,64 bzw. 10,36. Dies sind die erwarteten Zahlen von Patienten mit Thrombosen in der Placebo- und Aspirin-Gruppe. Auf die gleiche Weise kann man die erwartete Anzahl von Patienten ohne Thrombose in der Placebo-Gruppe erhalten – 45,45 % von 25, also 11,36; in der Aspirin-Gruppe – 45,45 % von 19, also 8,64. Bitte beachten Sie, dass die erwarteten Zahlen auf die zweite Dezimalstelle genau berechnet werden – diese Genauigkeit wird für weitere Berechnungen benötigt.
Vergleichen wir die Tabelle. 5.1 und 5.2. Die Zahlen in den Zellen variieren ziemlich stark. Daher unterscheidet sich das tatsächliche Bild von dem, das beobachtet worden wäre, wenn Aspirin keinen Einfluss auf das Thromboserisiko gehabt hätte. Jetzt müssen Sie nur noch ein Kriterium konstruieren, das diese Unterschiede mit einer Zahl charakterisiert, und dann seinen kritischen Wert ermitteln – also genauso vorgehen wie im Fall der F-, t- oder z-Kriterien.
Erinnern wir uns jedoch zunächst an ein anderes Prinzip, das uns bereits bekannt ist:
Mer – Conahans Arbeit zum Vergleich von Halothan und Morphin, insbesondere der Teil, in dem die operative Mortalität verglichen wurde. Die entsprechenden Daten sind in der Tabelle angegeben. 5.3. Die Form der Tabelle ist die gleiche wie die der Tabelle. 5.1. Im Gegenzug Tisch 5.4 ähnlich der Tabelle. 5.2 enthält erwartete Zahlen, d. h. Zahlen, die unter der Annahme berechnet wurden, dass die Letalität unabhängig vom Anästhesiemittel ist. Von allen 128 Operierten blieben 110 am Leben, also 85,94 %. Wenn die Wahl der Anästhesie keinen Einfluss auf die Mortalität hätte, wäre der Anteil der Überlebenden in beiden Gruppen gleich und die Zahl der Überlebenden würde in der Halothan-Gruppe 85,94 % von 61 betragen, d. h. 52,42 in der Morphin-Gruppe – 85,94 % von 67, also 57,58. Auf die gleiche Weise kann die erwartete Zahl der Todesfälle ermittelt werden. Vergleichen wir die Tabellen 5.3 und 5.4. Im Gegensatz zum vorherigen Beispiel sind die Unterschiede zwischen den erwarteten und den beobachteten Werten sehr gering. Wie wir bereits früher herausgefunden haben, gibt es keinen Unterschied in der Sterblichkeit. Sieht so aus, als wären wir auf dem richtigen Weg.
x2-Kriterien für eine 2x2-Tabelle
Der x2-Test (sprich „Chi-Quadrat“) erfordert keine Annahmen über die Parameter der Grundgesamtheit, aus der die Stichproben gezogen werden – dies ist der erste der nichtparametrischen Tests, mit denen wir eingeführt werden. Beginnen wir mit dem Aufbau. Erstens muss das Kriterium wie immer eine Zahl ergeben,
Dies würde als Maß für die Differenz zwischen den beobachteten und den erwarteten Daten dienen, d. h. in diesem Fall für die Differenz zwischen der Tabelle der beobachteten und erwarteten Zahlen. Zweitens muss das Kriterium berücksichtigen, dass ein Unterschied von beispielsweise einem Patienten signifikanter ist, wenn die erwartete Anzahl klein ist, als wenn die erwartete Anzahl groß ist.
Definieren wir das x2-Kriterium wie folgt:
Dabei ist O die beobachtete Zahl in einer Zelle der Kontingenztabelle und E die erwartete Zahl in derselben Zelle. Die Summation erfolgt über alle Zellen der Tabelle. Wie aus der Formel hervorgeht, ist der Beitrag der Zelle zum %2-Wert umso größer, je größer der Unterschied zwischen den beobachteten und den erwarteten Zahlen ist. In diesem Fall leisten Zellen mit einer kleinen erwarteten Anzahl einen größeren Beitrag. Somit erfüllt das Kriterium beide Anforderungen – erstens misst es die Unterschiede und zweitens berücksichtigt es deren Größe im Verhältnis zu den erwarteten Zahlen.
Wenden wir die x2-Kriterien auf die Daten zur Shunt-Thrombose an. In der Tabelle 5.1 zeigt die beobachteten Zahlen und eine Tabelle. 5,2 – erwartet.
Der aus denselben Daten erhaltene Z-Wert war ebenfalls ähnlich. Es lässt sich zeigen, dass für Kontingenztabellen der Größe 2x2 die Gleichung X2 = z2 gilt.
Der kritische Wert %2 kann auf eine uns bekannte Weise ermittelt werden. In Abb. Abbildung 5.7 zeigt die Verteilung möglicher Werte von X2 für Kontingenztabellen der Größe 2x2 für den Fall, dass kein Zusammenhang zwischen den untersuchten Merkmalen besteht. Der Wert von X2 überschreitet nur in 5 % der Fälle 3,84. Somit ist 3,84 der kritische Wert für das 5 %-Signifikanzniveau. Im Beispiel der Shunt-Thrombose haben wir einen Wert von 7,10 erhalten und lehnen daher die Hypothese ab, dass es keinen Zusammenhang zwischen Aspirinkonsum und Blutgerinnseln gibt. Im Gegenteil, die Daten aus Tabelle. 5.3 stimmen gut mit der Hypothese überein, dass Halothan und Morphin die gleiche Wirkung auf die postoperative Mortalität haben.
Natürlich liefert x2, wie alle Signifikanzkriterien, eine probabilistische Einschätzung der Wahrheit einer bestimmten Hypothese. Tatsächlich hat Aspirin möglicherweise keinen Einfluss auf das Thromboserisiko. Tatsächlich können Halothan und Morphin unterschiedliche Auswirkungen auf die operative Mortalität haben. Aber wie das Kriterium zeigte, ist beides unwahrscheinlich.
Die Anwendung des x2-Kriteriums ist zulässig, wenn die erwartete Zahl in einer der Zellen größer oder gleich 5 ist. Diese Bedingung ähnelt der Bedingung für die Anwendbarkeit des z-Kriteriums.
Der kritische Wert %2 hängt von der Größe der Kontingenztabelle ab, also von der Anzahl der verglichenen Behandlungen (Tabellenzeilen) und der Anzahl möglicher Ergebnisse (Tabellenspalten). Die Größe der Tabelle wird durch die Anzahl der Freiheitsgrade v ausgedrückt:
V = (r – 1)(s – 1),
Dabei ist r die Anzahl der Zeilen und c die Anzahl der Spalten. Für Tabellen der Größe 2x2 gilt v = (2 - l)(2 - l) = l. Die kritischen Werte von %2 für verschiedene v sind in der Tabelle angegeben. 5.7.
Die zuvor angegebene Formel für x2 im Fall einer 2x2-Tabelle (also mit 1 Freiheitsgrad) liefert leicht überhöhte Werte (eine ähnliche Situation war beim z-Kriterium). Dies liegt daran, dass die theoretische Verteilung von x2 stetig ist, während die Menge der berechneten x2-Werte diskret ist. In der Praxis wird dies dazu führen, dass die Nullhypothese zu oft abgelehnt wird. Um diesen Effekt zu kompensieren, wird die Yeats-Korrektur in die Formel eingeführt: (1 O - E - -
Beachten Sie, dass die Yeats-Korrektur nur gilt, wenn v = 1, also für 2x2-Tabellen.
Wenden wir die Yeats-Korrektur an, um den Zusammenhang zwischen der Einnahme von Aspirin und Shunt-Thrombose zu untersuchen (Tabellen 5.1 und 5.2):
Wie Sie sich erinnern, betrug der %2-Wert ohne die Yates-Korrektur 7,10. Der korrigierte %2-Wert lag unter 6,635, dem kritischen Wert für das Signifikanzniveau von 1 %, lag aber immer noch über 5,024, dem kritischen Wert für das Signifikanzniveau von 2,5 %.
X2-Kriterium für eine beliebige Kontingenztabelle
Betrachten Sie nun den Fall, dass die Kontingenztabelle mehr als zwei Zeilen oder Spalten enthält. Beachten Sie, dass der Z-Test in solchen Fällen nicht anwendbar ist.
In Kap. 3 haben wir gezeigt, dass Laufen die Anzahl der Menstruationen reduziert*. Veranlassen Sie diese Veränderungen, einen Arzt aufzusuchen? In der Tabelle Tabelle 5.5 zeigt die Ergebnisse einer Befragung von Studienteilnehmern. Stützen diese Daten die Hypothese, dass Laufen keinen Einfluss auf die Wahrscheinlichkeit hat, wegen Menstruationsstörungen einen Arzt aufzusuchen?
Von den 165 untersuchten Frauen konsultierten 69 (also 42 %) einen Arzt, die restlichen 96 (also 58 %) konsultierten keinen Arzt. Wenn
* Gleichzeitig haben wir zur Vereinfachung der Berechnungen davon ausgegangen, dass die Größe aller drei Gruppen – Kontrollgruppe, Sportlerinnen und Sportlerinnen – gleich ist. Jetzt werden wir echte Daten verwenden.
 |
Wenn Joggen keinen Einfluss auf die Wahrscheinlichkeit hat, einen Arzt aufzusuchen, sollten in jeder der Gruppen 42 % der Frauen einen Arzt aufgesucht haben. In der Tabelle 5.6 zeigt die entsprechenden Erwartungswerte. Unterscheiden sich die tatsächlichen Daten stark von ihnen?
Um diese Frage zu beantworten, berechnen wir %2:
(14 - 22,58)2 (40 - 31,42)2 (9 - 9,62)2
22,58 31,42 9,62
(14 - 13,38)2 (46 - 36,80)2 (42 - 51,20)2
13,38 36,80 51,20
Die Anzahl der Zeilen in der Kontingenztabelle beträgt drei, die Spalten sind zwei, sodass die Anzahl der Freiheitsgrade v = (3 - 1)(2 - 1) = 2 ist. Wenn die Hypothese über das Fehlen von Intergruppenunterschieden richtig ist , wie aus der Tabelle ersichtlich ist. 5.7 Der Wert von %2 wird in nicht mehr als 1 % der Fälle 9,21 überschreiten. Der resultierende Wert ist größer. Somit können wir bei einem Signifikanzniveau von 0,01 die Hypothese verwerfen, dass es keinen Zusammenhang zwischen Laufen und Arztbesuchen wegen der Menstruation gibt. Nachdem wir jedoch herausgefunden haben, dass ein Zusammenhang besteht, können wir dennoch nicht angeben, welche (welchen) Gruppen sich von den anderen unterscheiden.
Also haben wir uns mit dem %2-Kriterium vertraut gemacht. Hier ist die Vorgehensweise zur Verwendung.
Erstellen Sie eine Kontingenztabelle basierend auf den verfügbaren Daten.
Zählen Sie die Anzahl der Objekte in jeder Zeile und in jeder Spalte und finden Sie heraus, welchen Anteil diese Werte an der Gesamtzahl der Objekte ausmachen.
Wenn Sie diese Anteile kennen, berechnen Sie die erwarteten Zahlen auf zwei Dezimalstellen genau – die Anzahl der Objekte, die
würde in jede Zelle der Tabelle fallen, wenn es keine Verbindung zwischen Zeilen und Spalten gäbe
Finden Sie den Wert, der die Unterschiede zwischen den beobachteten und den erwarteten Werten charakterisiert. Wenn die Kontingenztabelle 2x2 ist, wenden Sie die Yeats-Korrektur an
Berechnen Sie die Anzahl der Freiheitsgrade, wählen Sie das Signifikanzniveau und folgen Sie der Tabelle. 5.7, bestimmen Sie den kritischen Wert %2. Vergleichen Sie es mit dem, was Sie für Ihren Tisch bekommen haben.
Wie Sie sich erinnern, gilt das x2-Kriterium für Kontingenztabellen der Größe 2x2 nur, wenn alle erwarteten Zahlen größer als 5 sind. Was ist mit Tabellen größerer Größe? In diesem Fall ist das %2-Kriterium anwendbar, wenn alle erwarteten Zahlen nicht kleiner als 1 sind und der Anteil der Zellen mit erwarteten Zahlen kleiner als 5 20 % nicht überschreitet. Wenn diese Bedingungen nicht erfüllt sind, können x2-Kriterien zu falschen Ergebnissen führen. In diesem Fall besteht die Möglichkeit, zusätzliche Daten zu erheben, dies ist jedoch nicht immer machbar. Es gibt eine einfachere Möglichkeit – mehrere Zeilen oder Spalten zu kombinieren. Im Folgenden zeigen wir Ihnen, wie das geht.
Konvertierung von Kontingenztafeln
Im vorherigen Abschnitt haben wir festgestellt, dass es einen Zusammenhang zwischen Laufen und Arztbesuchen wegen der Menstruation gibt, oder, was dasselbe ist, die Existenz von Unterschieden zwischen den Gruppen in der Häufigkeit der Arztbesuche. Allerdings konnten wir nicht feststellen, welche Gruppen sich voneinander unterschieden und welche nicht. Bei der Varianzanalyse sind wir auf eine ähnliche Situation gestoßen. Beim Vergleich mehrerer Gruppen ermöglicht die Varianzanalyse, die Existenz von Unterschieden zu erkennen, gibt aber keinen Aufschluss darüber, welche Gruppen hervorstechen. Letzteres kann mithilfe mehrerer Vergleichsverfahren erfolgen, die wir im Kapitel besprochen haben. 4. Ähnliches kann man mit Kontingenztabellen machen.
Blick auf den Tisch. 5.5 ist davon auszugehen, dass Sportlerinnen häufiger einen Arzt konsultierten als Frauen aus der Kontrollgruppe. Der Unterschied zwischen Sportlerinnen und Sportlerinnen scheint unbedeutend zu sein.
Lassen Sie uns die Hypothese testen, dass Sportlerinnen und Sportlerinnen
| V | 0,50 | 0,25 | 0,10 | 0,05 | 0,025 | 0,01 | 0,005 | 0,001 |
| 41 | 40,335 | 46,692 | 52,949 | 56,942 | 60,561 | 64,950 | 68,053 | 74,745 |
| 42 | 41,335 | 47,766 | 54,090 | 58,124 | 61,777 | 66,206 | 69,336 | 76,084 |
| 43 | 42,335 | 48,840 | 55,230 | 59,304 | 62,990 | 67,459 | 70,616 | 77,419 |
| 44 | 43,335 | 49,913 | 56,369 | 60,481 | 64,201 | 68,710 | 71,893 | 78,750 |
| 45 | 44,335 | 50,985 | 57,505 | 61,656 | 65,410 | 69,957 | 73,166 | 80,077 |
| 46 | 45,335 | 52,056 | 58,641 | 62,830 | 66,617 | 71,201 | 74,437 | 81,400 |
| 47 | 46,335 | 53,127 | 59,774 | 64,001 | 67,821 | 72,443 | 75,704 | 82,720 |
| 48 | 47,335 | 54,196 | 60,907 | 65,171 | 69,023 | 73,683 | 76,969 | 84,037 |
| 49 | 48,335 | 55,265 | 62,038 | 66,339 | 70,222 | 74,919 | 78,231 | 85,351 |
| 50 | 49,335 | 56,334 | 63,167 | 67,505 | 71,420 | 76,154 | 79,490 | 86,661 |
| Signifikanzniveau |
| J. H. Zar, Biostatistical Analysis, 2. Auflage, Prentice-Hall, Englewood Cliffs, N.J., 1984. |
Sie gehen gleich oft zum Arzt. Wählen Sie dazu eine Untertabelle aus der Originaltabelle aus, die Daten für diese beiden Gruppen enthält. In der Tabelle 5.8 zeigt die beobachteten und erwarteten Zahlen; Sie sind ziemlich nah dran.
Beliebt:
Neu
- Buchformate
- Anschließen und Einrichten von interaktivem Fernsehen von Rostelecom
- So löschen Sie Ihr Instagram-Konto
- Android-Tablet oder iPad – was soll man wählen?
- So formatieren Sie eine Tabellenfortsetzung in Word richtig
- Was tun, wenn Sie sich offline weiterentwickeln?
- Testen Sie den Prozessor auf Überhitzung
- Was sind die öffentlichen Dienste von Yesia?
- Position der Köpfe auf der Antenne
- So laden Sie einen intelligenten Assistenten für ein Android-Gerät herunter und konfigurieren ihn
