Betrachten Sie das Flugzeug und das System Oxy Kartesische rechtwinklige Koordinaten darauf (andere Koordinatensysteme können berücksichtigt werden).

Aus der analytischen Geometrie wissen wir das für jedes geordnete Zahlenpaar (x, y) Sie können einen einzelnen Punkt vergleichen M Ebene und umgekehrt, zu jedem Punkt M Die Ebene entspricht einem einzelnen Zahlenpaar.

Wenn wir daher in Zukunft von einem Punkt sprechen, meinen wir oft das entsprechende Zahlenpaar (x, y) und umgekehrt.

Definition 1.2 Menge von Zahlenpaaren (x, y) , das die Ungleichungen erfüllt, wird als Rechteck (offen) bezeichnet.

In der Ebene wird es als Rechteck dargestellt (Abb. 1.2), dessen Seiten parallel zu den Koordinatenachsen verlaufen und auf dem Punkt zentriert sind M 0 (X 0 j 0 ) .

Ein Rechteck wird normalerweise durch das folgende Symbol gekennzeichnet:

Lassen Sie uns ein wichtiges Konzept für die weitere Diskussion vorstellen: die Nachbarschaft eines Punktes.

Definition 1.3 Rechteckig δ -Umgebung ( Delta-Nachbarschaft ) Punkte M 0 (X 0 j 0 ) wird als Rechteck bezeichnet

an einem Punkt zentriert M 0 und mit gleich langen Seiten 2δ .

Definition 1.4 Rundschreiben δ - Nachbarschaft eines Punktes M 0 (X 0 j 0 ) wird als Kreis mit Radius bezeichnet δ an einem Punkt zentriert M 0 , also eine Menge von Punkten M(xy) , deren Koordinaten die Ungleichung erfüllen:

Sie können die Konzepte von Nachbarschaften und anderen Typen einführen, aber für die Zwecke der mathematischen Analyse technischer Probleme werden hauptsächlich nur rechteckige und kreisförmige Nachbarschaften verwendet.

Lassen Sie uns das folgende Konzept des Grenzwerts einer Funktion zweier Variablen einführen.

Lassen Sie die Funktion z = f (x, y) in einem bestimmten Bereich definiert ζ Und M 0 (X 0 j 0 ) - ein Punkt, der innerhalb oder an der Grenze dieses Gebiets liegt.

Definition 1.5Endliche Zahl A angerufen Grenzwert der Funktion f (x, y) bei

wenn für eine positive Zahl ε Können Sie eine so positive Zahl finden? δ diese Ungleichheit

für alle Punkte durchgeführt M(x,y) aus der Region ζ , anders als M 0 (X 0 j 0 ) , deren Koordinaten die Ungleichungen erfüllen:

Die Bedeutung dieser Definition besteht darin, dass die Werte der Funktion f (x, y) an Punkten in einer hinreichend kleinen Umgebung des Punktes beliebig wenig von der Zahl A abweichen M 0 .

Hier basiert die Definition auf rechteckigen Nachbarschaften M 0 . Man könnte kreisförmige Umgebungen des Punktes in Betracht ziehen M 0 und dann wäre es notwendig, die Ungleichung zu fordern

an allen Punkten M(x,y) Region ζ , anders als M 0 und die Bedingung erfüllen:

Abstand zwischen Punkten M Und M 0 .

Es werden folgende Grenzwertbezeichnungen verwendet:

Angesichts der Definition des Grenzwerts einer Funktion zweier Variablen ist es möglich, die Grundsätze über Grenzwerte für Funktionen einer Variablen auf Funktionen zweier Variablen zu übertragen.

Zum Beispiel Sätze über den Grenzwert der Summe, des Produkts und des Quotienten zweier Funktionen.

§3 Stetigkeit einer Funktion zweier Variablen

Lassen Sie die Funktion z = f (x,y) am Punkt definiert M 0 (X 0 j 0 ) und seine Umgebung.

Definition 1.6 Eine Funktion heißt in einem Punkt stetig M 0 (X 0 j 0 ) , Wenn

Wenn die Funktion f(x,y) kontinuierlich an einem Punkt M 0 (X 0 j 0 ) , Das

Weil

Das heißt, wenn die Funktion f(x,y) kontinuierlich an einem Punkt M 0 (X 0 j 0 ) , dann entsprechen infinitesimale Inkremente von Argumenten in diesem Bereich infinitesimalen Inkrementen Δz Funktionen z .

Das Umgekehrte gilt auch: Wenn infinitesimale Inkremente von Argumenten infinitesimalen Inkrementen der Funktion entsprechen, dann ist die Funktion stetig

Eine Funktion, die an jedem Punkt eines Definitionsbereichs stetig ist, heißt im Definitionsbereich stetig. Für stetige Funktionen zweier Variablen sowie für eine auf einem Intervall stetige Funktion einer Variablen gelten die Grundsätze von Weierstrass und Bolzano-Cauchy.

Referenz: Karl Theodor Wilhelm Weierstrass (1815 - 1897) – deutscher Mathematiker. Bernard Bolzano (1781 – 1848) – tschechischer Mathematiker und Philosoph. Augustin Louis Cauchy (1789 – 1857) – französischer Mathematiker, Präsident der Französischen Akademie der Wissenschaften (1844 – 1857).

Beispiel 1.4. Untersuchen Sie die Stetigkeit einer Funktion

Diese Funktion ist für alle Werte der Variablen definiert X Und j , außer im Ursprung, wo der Nenner gegen Null geht.

Polynom X 2 +y 2 ist überall stetig, und daher ist die Quadratwurzel einer stetigen Funktion stetig.

Der Bruch ist überall stetig, außer an den Stellen, an denen der Nenner Null ist. Das heißt, die betrachtete Funktion ist auf der gesamten Koordinatenebene stetig Ohoo , ohne den Ursprung.

Beispiel 1.5. Untersuchen Sie die Stetigkeit einer Funktion z=tg(x,y) . Der Tangens ist für alle endlichen Werte des Arguments definiert und stetig, mit Ausnahme von Werten, die einer ungeraden Zahl der Menge entsprechen π/2 , d.h. ohne Punkte, wo

Für jeden festen „k“ Gleichung (1.11) definiert eine Hyperbel. Daher ist die betrachtete Funktion eine stetige Funktion x und y , ausgenommen Punkte, die auf Kurven liegen (1.11).

Die oben diskutierten Konzepte von Funktionen von zwei oder drei Variablen können auf den Fall von Variablen verallgemeinert werden.

Definition. Funktion Variablen
Funktion genannt, Definitionsbereich
was dazugehört
, und der Wertebereich ist die reale Achse.

Eine solche Funktion für jeden Satz von Variablen
aus
Entspricht einer singulären Zahl .

Im Folgenden betrachten wir der Bestimmtheit halber die Funktionen
Variablen, aber alle für solche Funktionen formulierten Aussagen gelten auch für Funktionen einer größeren Anzahl von Variablen.

Definition. Nummer wird als Grenzwert der Funktion bezeichnet

an der Stelle
, wenn für jeden
es gibt so eine Nummer
das vor aller Augen
aus der Nachbarschaft
Bis auf diesen Punkt gilt die Ungleichung

.

Wenn der Grenzwert der Funktion
an der Stelle
gleicht , dann wird dies in der Form bezeichnet

.

Fast alle Eigenschaften von Grenzwerten, die wir zuvor für Funktionen einer Variablen betrachtet haben, bleiben auch für Grenzwerte von Funktionen mehrerer Variablen gültig, wir werden uns jedoch nicht mit der praktischen Bestimmung solcher Grenzwerte befassen.

Definition. Funktion
heißt stetig an einem Punkt
wenn drei Bedingungen erfüllt sind:

1) existiert

2) An dem Punkt gibt es einen Wert der Funktion

3) diese beiden Zahlen sind einander gleich, d.h. .

In der Praxis können wir die Stetigkeit einer Funktion mithilfe des folgenden Satzes untersuchen.

Satz. Jede elementare Funktion
ist an allen internen (d. h. nicht begrenzten) Punkten seines Definitionsbereichs stetig.

Beispiel. Finden wir alle Punkte, an denen die Funktion funktioniert

kontinuierlich.

Wie oben erwähnt, ist diese Funktion in einem geschlossenen Kreis definiert

.

Die inneren Punkte dieses Kreises sind die gewünschten Kontinuitätspunkte der Funktion, d.h. Funktion
kontinuierlich in einem offenen Kreis
.

Definition des Kontinuitätsbegriffs an den Grenzpunkten des Definitionsbereichs
Funktionen sind möglich, wir werden im Kurs jedoch nicht auf dieses Thema eingehen.

1.3 Partielle Inkremente und partielle Ableitungen

Im Gegensatz zu Funktionen einer Variablen weisen Funktionen mehrerer Variablen unterschiedliche Arten von Inkrementen auf. Dies ist auf die Tatsache zurückzuführen, dass Bewegungen in der Ebene stattfinden
vom Punkt
kann in verschiedene Richtungen durchgeführt werden.

Definition. Teilweise Erhöhung um Funktionen
an der Stelle
entsprechendes Inkrement
Differenz genannt

Dieses Inkrement ist im Wesentlichen ein Inkrement einer Funktion einer Variablen
aus der Funktion erhalten
auf einem konstanten Wert
.

Ebenso durch teilweises Inkrementieren an der Stelle
Funktionen
entsprechendes Inkrement
Differenz genannt

Dieses Inkrement wird mit einem festen Wert berechnet
.

Beispiel. Lassen

,
,
. Finden wir die Teilinkremente dieser Funktion durch und von

In diesem Beispiel mit gleichen Werten der Argumentinkremente
Und
Es stellte sich heraus, dass die Teilinkremente der Funktion unterschiedlich waren. Dies liegt daran, dass die Fläche eines Rechtecks ​​mit Seiten
Und
beim Erhöhen der Seite An
erhöht sich um den Betrag
, und mit zunehmender Seite An
erhöht sich um
(siehe Abb. 4).

Aus der Tatsache, dass eine Funktion zweier Variablen zwei Arten von Inkrementen hat, folgt, dass für sie zwei Arten von Ableitungen definiert werden können.

Definition. Partielle Ableitung nach Funktionen
an der Stelle
heißt die Grenze des Verhältnisses des Teilinkrements um dieser Funktion am angegebenen Punkt auf das Inkrement
Argument diese.

. (1)

Solche partiellen Ableitungen werden mit den Symbolen bezeichnet ,,,. In letzteren Fällen wird der runde Buchstabe „ ” – “„bedeutet das Wort „privat“.

Ebenso die partielle Ableitung nach an der Stelle
anhand des Grenzwertes ermittelt

. (2)

Andere Notationen für diese partielle Ableitung: ,,.

Partielle Ableitungen von Funktionen werden nach den bekannten Regeln zur Differenzierung einer Funktion einer Variablen gefunden, während alle Variablen außer derjenigen, nach der die Funktion differenziert wird, als konstant betrachtet werden. Also, wenn Sie finden Variable wird als Konstante angenommen und wenn gefunden - konstant .

Beispiel. Finden wir die partiellen Ableitungen der Funktion
.

,
.

Beispiel. Finden wir die partiellen Ableitungen einer Funktion von drei Variablen

.

;
;
.

Partielle Ableitungsfunktionen
charakterisieren die Änderungsrate dieser Funktion für den Fall, dass eine der Variablen fest ist.

Ein Beispiel aus der Wirtschaft.

Das Hauptkonzept der Konsumtheorie ist die Nutzenfunktion
. Diese Funktion drückt den Nutzen einer Menge aus
, wobei x die Menge des Produkts X und y die Menge des Produkts Y ist. Dann die partiellen Ableitungen
werden als Grenznutzen von x bzw. y bezeichnet. Grenzrate der Substitution
ein Gut zum anderen ist gleich dem Verhältnis ihrer Grenznutzen:

. (8)

Aufgabe 1. Finden Sie die Grenzrate der Substitution h durch y für die Nutzenfunktion am Punkt A(3,12).

Lösung: nach Formel (8) erhalten wir

Die ökonomische Bedeutung der Grenzsubstitutionsrate liegt in der Begründung der Formel
, Wo -Preis des Produkts X, - Warenpreis U.

Definition. Wenn die Funktion
Gibt es partielle Ableitungen, dann sind ihre partiellen Differentiale die Ausdrücke

Und

Hier
Und
.

Partielle Differentiale sind Differentiale von Funktionen einer Variablen, die aus einer Funktion zweier Variablen erhalten werden
bei fest oder .

Beispiele aus der Wirtschaftswissenschaft. Nehmen wir als Beispiel die Cobb-Douglas-Funktion.

Größe - durchschnittliche Arbeitsproduktivität, da es sich dabei um die Menge der Produkte (wertmäßig) handelt, die von einem Arbeitnehmer produziert werden.

Größe
- durchschnittliche Kapitalproduktivität - die Anzahl der Produkte pro Maschine.

Größe
- durchschnittliches Kapital-Arbeits-Verhältnis – die Kosten der Mittel pro Arbeitsressourceneinheit.

Daher die partielle Ableitung
wird als Grenzproduktivität der Arbeit bezeichnet, da sie dem Mehrwert der Produktion eines weiteren zusätzlichen Arbeitnehmers entspricht.

Ebenfalls,
- Grenzproduktivität des Kapitals.

In den Wirtschaftswissenschaften werden oft Fragen gestellt: Um wie viel Prozent ändert sich die Produktion, wenn die Zahl der Arbeitnehmer um 1 % steigt oder wenn die Mittel um 1 % steigen? Die Antworten auf solche Fragen geben die Konzepte der Elastizität einer Funktion in Bezug auf das Argument oder die relative Ableitung. Ermitteln Sie die Elastizität der Produktion im Verhältnis zur Arbeit
. Einsetzen der oben berechneten partiellen Ableitung in den Zähler , bekommen wir
. Also der Parameter hat eine klare wirtschaftliche Bedeutung – es ist die Elastizität der Produktion im Verhältnis zur Arbeit.

Der Parameter hat eine ähnliche Bedeutung ist die Elastizität der Produktion zwischen den Fonds.

6.1. Grenzwert und Stetigkeit einer Funktion mehrerer Variablen.

R N – metrischer Raum:

Für M 0 (X, X,…, X) Und M(X 1 , X 2 , …, X N) ( M 0 , M) = .

N= 2: für M 0 (X 0 , j 0), M (X, j) ( M 0 , M) =
.

Nachbarschaft eines Punktes M 0 U  (M 0) = – innere Punkte eines Kreises mit Radius und Mittelpunkt bei M 0 .

6.1.1. Grenzwert einer Funktion mehrerer Variablen. Grenzen wiederholen.

F: R N R wird in einer Umgebung des Punktes angegeben M 0, außer vielleicht dem Punkt selbst M 0 .

Definition. Nummer A angerufen Limit Funktionen

F(X 1 , X 2 , …, X N) am Punkt M 0 wenn  >0  >0  M (0 <  (M 0 , M ) <   | F (M ) – A |<  ).

F Aufnahmeformen:

N = 2:

Das doppelte Grenze.

In der Sprache der Punktnachbarschaften:

>0  >0  M (X , j ) (M  U  (M 0 )\ M 0  F (X , j )  U  (A )).

(M könnte näherkommen M 0 auf jedem Pfad).

Wiederholungsgrenzen:
Und
.

(M nähert sich M 0 horizontal bzw. vertikal).

Satz über den Zusammenhang zwischen doppelten und wiederholten Grenzwerten.

Wenn  doppelte Grenze
und Grenzwerte
,
,

dann  wiederholte Grenzwerte
,
und gleich dem Doppelten.

Hinweis 1. Die gegenteilige Aussage trifft nicht zu.

Beispiel. F (X, j) =

,

.

Allerdings ist die doppelte Grenze

=

existiert nicht, da die Funktion in jeder Umgebung des Punktes (0, 0) auch Werte „weit“ von Null annimmt, zum Beispiel wenn X = j, Das F (X, j) = 0,5.

Hinweis 2. Selbst wenn AR: F (X, j) A

beim Fahren M Zu M 0 entlang einer geraden Linie, die doppelte Grenze existiert möglicherweise nicht.

Beispiel.F (X, j) =
,M 0 (0, 0). M (X, j)  M 0 (0, 0)

Fazit: Die (doppelte) Grenze gibt es nicht.

Ein Beispiel für das Finden des Grenzwerts.

F (X, j) =
, M 0 (0, 0).

Zeigen wir, dass die Zahl 0 der Grenzwert der Funktion am Punkt ist M 0 .

=
,

 – Abstand zwischen Punkten M Und M 0 .(verwendet die Ungleichung
,

was aus den Ungleichungen folgt
)

Setzen wir  > 0 und sei  = 2.<  

6.1.2. Stetigkeit einer Funktion mehrerer Variablen.

Definition. F (X, j M 0 (X 0 , j) ist im Punkt stetig U  (M 0), wenn es in einigen definiert ist
0) und M (0 < (M 0 , M) <   | F (M) – F (M 0)|< ).

,T. e.>0 >0  Kommentar. M Die Funktion kann entlang einiger durch den Punkt verlaufender Richtungen kontinuierlich variieren M 0 .

6.1.3. Eigenschaften des Grenzwertes einer Funktion mehrerer Variablen. Eigenschaften von Funktionen, die in einem Punkt stetig sind.

0 und weisen Diskontinuitäten entlang anderer Richtungen oder Pfade unterschiedlicher Form auf. Wenn ja, ist es an der Stelle diskontinuierlich Findet statt;

Einzigartigkeit der Grenze M 0 , Funktion, die an einem Punkt einen endlichen Grenzwert hat in der Nähe dieses Punktes begrenzt ; werden durchgeführt

Ordinale und algebraische Eigenschaften Limit.

Übergang an die Grenze M bewahrt Gleichheitszeichen und schwache Ungleichungen F (M 0 )  0 Wenn die Funktion im Punkt stetig ist 0 undF (M , Das Bedeutungszeichen U  (M 0).

) bleibt erhalten in einigen Summe, Produkt, Quotient, (Nenner  0) Auch stetige Funktionen kontinuierliche Funktionen

kontinuierliche komplexe FunktionN, bestehend aus kontinuierlichen.

6.1.4. Eigenschaften von Funktionen, die auf einer verbundenen geschlossenen begrenzten Menge stetig sind.= 1, 2 und 3. Definition 1. Die Menge  heißt

kohärent, wenn er zusammen mit zwei beliebigen seiner Punkte auch eine kontinuierliche Kurve enthält, die sie verbindet. R N angerufen Definition 2. Stellen Sie  ein
.

N = 1 

N = 2 

N = 3  .

beschränkt, wenn es in einer „Kugel“ enthalten ist.

R 1 = R Beispiele verbundene geschlossene beschränkte Mengen, : Segment [];

R A B 2: Segment A Und AB;

jede kontinuierliche Kurve mit Enden in Punkten

IN
;

geschlossene kontinuierliche Kurve; F: R N  R Kreis R N Definition 3. M 0 

.

Satz.ist stetig auf einer zusammenhängenden abgeschlossenen Menge  , wenn  Viele

F: R N  R Werte [ kontinuierliche Funktion , M ] auf einer geschlossenen beschränkten zusammenhängenden Menge ist ein Segment kontinuierliche Funktion M, Hier M - am wenigsten, A

- Größte seine Werte an den Punkten der Menge.R N Daher,