Ekspertinių vertinimų pristatymas ir išankstinis apdorojimas

Praktikoje naudojami keli vertinimo tipai:

- kokybinis (dažnai-retai, blogesnis-geresnis, taip-ne),

- skalės įvertinimai (reikšmių diapazonai 50–75, 76–90, 91–120 ir kt.),

Taškai iš tam tikro intervalo (nuo 2 iki 5, 1 -10), vienas nuo kito nepriklausomi,

Reitinguota (objektus ekspertas išdėsto tam tikra tvarka ir kiekvienam priskiriamas serijos numeris - rangas),

Lyginamasis, gautas vienu iš palyginimo būdų

nuoseklaus palyginimo metodas

porinio faktorių palyginimo metodas.

Kitame ekspertų išvadų apdorojimo etape būtina įvertinti šių nuomonių sutapimo laipsnis.

Iš ekspertų gauti įvertinimai gali būti laikomi atsitiktiniu dydžiu, kurio pasiskirstymas atspindi ekspertų nuomones apie konkretaus įvykio (veiksnio) pasirinkimo tikimybę. Todėl ekspertinių vertinimų sklaidai ir nuoseklumui analizuoti naudojamos apibendrintos statistinės charakteristikos - vidurkiai ir sklaidos matai:

Vidutinė kvadratinė paklaida,

Variacijos diapazonas min – maks.

- variacijos koeficientas V = vidutinis kvadratinis nuokrypis / aritmo vidurkis (tinka bet kokio tipo vertinimui)

V i = σ i / x i vid

Dėl normos panašumo priemonės ir nuomones kiekviena ekspertų pora Galima naudoti įvairius metodus:

asociacijos koeficientai, kurio pagalba atsižvelgiama į sutampančių ir neatitinkančių atsakymų skaičių,

nenuoseklumo koeficientai ekspertų nuomonės,

Visos šios priemonės gali būti naudojamos palyginti dviejų ekspertų nuomones arba analizuoti ryšį tarp dviejų savybių vertinimų.

Spearmano porinio rango koreliacijos koeficientas:

kur n yra ekspertų skaičius,

c k – skirtumas tarp i-ojo ir j-ojo ekspertų įverčių visiems T veiksniams

Kendall rango koreliacijos koeficientas (atitikties koeficientas) suteikia bendrą visų ekspertų nuomonių apie visus veiksnius nuoseklumo įvertinimą, tačiau tik tais atvejais, kai buvo naudojami rangų įverčiai.

Įrodyta, kad S reikšmė, kai visi ekspertai visus veiksnius vertina vienodai, turi didžiausią reikšmę, lygią

kur n yra veiksnių skaičius,

m – ekspertų skaičius.

Sutapimo koeficientas yra lygus santykiui

Be to, jei W yra artimas 1, tada visi ekspertai pateikė gana nuoseklius įverčius, kitaip jų nuomonės nesutampa.

S apskaičiavimo formulė pateikta žemiau:

kur r ij yra j-ojo eksperto i-ojo faktoriaus reitingai,

r avg yra vidutinis reitingas visoje vertinimo matricoje ir yra lygus

Todėl S skaičiavimo formulė gali būti tokia:

Jei atskiri vieno eksperto vertinimai sutampa ir apdorojimo metu buvo standartizuoti, tada atitikimo koeficientui apskaičiuoti naudojama kita formulė:

kur T j skaičiuojamas kiekvienam ekspertui (jeigu jo vertinimai buvo kartojami skirtingiems objektams), atsižvelgiant į pasikartojimus pagal šias taisykles:

čia t j – j-ojo eksperto vienodo rango grupių skaičius ir

h k – lygių rangų skaičius k-oje j-ojo eksperto giminingų rangų grupėje.

PAVYZDYS. Tegul 5 šešių veiksnių ekspertai atsako į reitingą, kaip parodyta 3 lentelėje:

3 lentelė. Ekspertų atsakymai

Dėl to, kad negavome griežto reitingo (ekspertų vertinimai kartojasi, o rangų sumos nėra lygios), įvertinimus transformuosime ir gausime susijusius reitingus (4 lentelė):

4 lentelė – Susiję ekspertų vertinimų eilės

Dabar nustatykime ekspertų nuomonių sutapimo laipsnį, naudodami atitikimo koeficientą. Kadangi rangai yra susiję, W apskaičiuosime pagal formulę (**).

Tada r av =7*5/2=17,5

S = 10 2 +8 2 +4,5 2 +4,5 2 +6 2 +12 2 = 384,5

Pereikime prie W skaičiavimų. Norėdami tai padaryti, apskaičiuokime T j reikšmes atskirai. Pavyzdyje reitingai specialiai parinkti taip, kad kiekvienas ekspertas turėtų pasikartojančius reitingus: 1-asis turi du, antrasis – tris, trečiasis – dvi dviejų reitingų grupes, o ketvirtasis ir penktas – du vienodus reitingus. Iš čia:

T 1 = 2 3 – 2 = 6 T 5 = 6

T 2 = 3 3 – 3 = 24

T 3 = 2 3 -2 + 2 3 -2 = 12 T 4 = 12

Matome, kad ekspertų nuomonių nuoseklumas yra gana didelis ir galime pereiti prie kito tyrimo etapo – ekspertų rekomenduojamos sprendimo alternatyvos pagrindimo ir priėmimo.

Kitu atveju turite grįžti į 4–8 veiksmus.

Kendall koreliacijos koeficientas naudojamas, kai kintamieji pateikiami dviejose eilės skalėse, su sąlyga, kad nėra susijusių rangų. Kendall koeficiento skaičiavimas apima atitikmenų ir inversijų skaičių. Panagrinėkime šią procedūrą naudodami ankstesnės problemos pavyzdį.

Problemos sprendimo algoritmas yra toks:

Pertvarkome duomenis lentelėje. 8.5 taip, kad viena iš eilučių (šiuo atveju eilutė x i) pasirodė reitinguojamas. Kitaip tariant, mes pertvarkome poras x Ir y tinkama tvarka ir Duomenis įrašome į lentelės 1 ir 2 stulpelius. 8.6.

8.6 lentelė

2. Nustatykite 2-os eilutės „rangos laipsnį“ ( y i). Ši procedūra atliekama tokia seka:

a) paimkite pirmąją nereitinguotos serijos reikšmę „3“. Skaičiuojant eilių skaičių žemiau duotas numeris, kuris daugiau lyginamą vertę. Yra 9 tokios reikšmės (skaičiai 6, 7, 4, 9, 5, 11, 8, 12 ir 10). Įveskite skaičių 9 stulpelyje „Rungtynės“. Tada suskaičiuojame tų verčių skaičių mažiau trys. Yra 2 tokios vertės (1 ir 2 eilės); Stulpelyje „inversija“ įvedame skaičių 2.

b) atmeskite skaičių 3 (su juo jau dirbome) ir pakartokite procedūrą kitai reikšmei „6“: atitikmenų skaičius yra 6 (7, 9, 11, 8, 12 ir 10 eilės), inversijos yra 4 (1, 2, 4 ir 5 eilės). Stulpelyje „sutapimas“ įrašome skaičių 6, o stulpelyje „inversija“ – skaičių 4.

c) procedūra kartojama panašiai iki eilutės pabaigos; reikia atsiminti, kad kiekviena „išdirbta“ reikšmė yra neįtraukiama į tolesnį svarstymą (skaičiuojami tik žemiau šio skaičiaus esantys reitingai).

Pastaba

Kad skaičiuojant nebūtų klaidų, reikia turėti omenyje, kad su kiekvienu „žingsniu“ sutapimų ir inversijų suma mažėja vienu; Tai suprantama, nes kiekvieną kartą į vieną reikšmę neįtraukiama.

3. Skaičiuojama degtukų suma (R) ir inversijų suma (Q); duomenys įrašomi į vieną ir tris sukeičiamas Kendall koeficiento (8.10) formules. Atliekami atitinkami skaičiavimai.

t (8.10)

Mūsų atveju:

Lentelėje XIV priede pateiktos kritinės šio pavyzdžio koeficiento reikšmės: τ kr. = 0,45; 0,59. Empiriškai gauta vertė lyginama su lentelėje pateikta.

Išvada

τ = 0,55 > τ kr. = 0,45. Koreliacija yra statistiškai reikšminga 1 lygyje.

Pastaba:

Jei reikia (pvz., jei nėra kritinių verčių lentelės), statistinis reikšmingumas t Kendall gali būti nustatytas pagal šią formulę:

(8.11)

Kur S* = P – Q+ 1 jei P< Q , Ir S* = P – Q – 1 jei P> Q.

Vertybės z atitinkamam reikšmingumo lygiui atitinka Pearsono matą ir yra atitinkamose lentelėse (neįtraukta į priedą. Standartiniams reikšmingumo lygiams z kr = 1,96 (jei β 1 = 0,95) ir 2,58 (jei β 2 = 0,99). Kendall koreliacijos koeficientas yra statistiškai reikšmingas, jei z > z kr

Mūsų atveju S* = P – Q– 1 = 35 ir z= 2,40, t.y. pasitvirtina pirminė išvada: charakteristikų koreliacija yra statistiškai reikšminga 1-ajam reikšmingumo lygiui.

Vienas veiksnys, ribojantis testų, pagrįstų normalumo prielaida, naudojimą, yra imties dydis. Kol imtis yra pakankamai didelė (pavyzdžiui, 100 ar daugiau stebėjimų), galite manyti, kad atrankos pasiskirstymas yra normalus, net jei nesate tikri, kad kintamojo pasiskirstymas populiacijoje yra normalus. Tačiau jei imtis yra maža, šie testai turėtų būti naudojami tik tuo atveju, jei esate tikri, kad kintamasis iš tikrųjų turi normalųjį pasiskirstymą. Tačiau nėra galimybės patikrinti šios prielaidos mažoje imtyje.

Normalumo prielaida pagrįstų kriterijų naudojimą riboja ir matavimo skalė (žr. skyrių Elementarios duomenų analizės sampratos). Statistiniai metodai, tokie kaip t testas, regresija ir kt., daro prielaidą, kad pirminiai duomenys yra tęstiniai. Tačiau yra situacijų, kai duomenys tiesiog reitinguojami (matuojami eilės skalėje), o ne matuojami tiksliai.

Tipišką pavyzdį pateikia svetainių reitingai internete: pirmą vietą užima svetainė su didžiausiu lankytojų skaičiumi, antrąją vietą užima svetainė su didžiausiu lankytojų skaičiumi tarp likusių svetainių (tarp svetainių iš kurios buvo ištrinta pirmoji svetainė) ir tt Žinodami reitingus, galime teigti, kad vienos svetainės lankytojų skaičius yra didesnis nei kitoje, bet kiek daugiau, pasakyti negalima. Įsivaizduokite, kad turite 5 svetaines: A, B, C, D, E, kurios yra pirmose 5 vietose. Tarkime, kad einamąjį mėnesį mes turėjome tokią tvarką: A, B, C, D, E, o praėjusį mėnesį: D, E, A, B, C. Kyla klausimas, ar buvo reikšmingų pokyčių reitinguose svetainių ar ne? Akivaizdu, kad šioje situacijoje negalime naudoti t-testo, kad palygintume šias dvi duomenų grupes, ir pereiname į konkrečių tikimybinių skaičiavimų lauką (o bet kuriame statistiniame teste yra tikimybinių skaičiavimų!). Apytiksliai samprotaujame taip: kiek tikėtina, kad skirtumas tarp dviejų svetainių išdėstymo atsirado dėl visiškai atsitiktinių priežasčių, ar šis skirtumas yra per didelis ir negali būti paaiškintas tik atsitiktinumu. Šiose diskusijose naudojame tik svetainių rangus arba permutacijas ir jokiu būdu nenaudojame konkretaus jų lankytojų skaičiaus paskirstymo tipo.

Neparametriniai metodai naudojami mažiems mėginiams analizuoti ir duomenims, išmatuotiems prastomis skalėmis.

Trumpa neparametrinių procedūrų apžvalga

Iš esmės kiekvienam parametriniam kriterijui yra bent viena neparametrinė alternatyva.

Apskritai šios procedūros priskiriamos vienai iš šių kategorijų:

• nepriklausomų mėginių skirtumų testai;
• priklausomų imčių skirtumų testai;
• priklausomybės tarp kintamųjų laipsnio įvertinimas.

Apskritai požiūris į statistinius kriterijus duomenų analizėje turėtų būti pragmatiškas ir neapkrautas nereikalingais teoriniais samprotavimais. Kompiuteryje, kuriame veikia STATISTICA, galite lengvai taikyti kelis kriterijus savo duomenims. Žinodami apie kai kuriuos metodų spąstus, eksperimentuodami išsirinksite tinkamą sprendimą. Sklypo raida yra gana natūrali: jei norite palyginti dviejų kintamųjų reikšmes, naudokite t-testą. Tačiau reikia atsiminti, kad jis pagrįstas kiekvienos grupės dispersijų normalumo ir lygybės prielaida. Pašalinus šias prielaidas, atliekami neparametriniai testai, kurie ypač naudingi mažiems mėginiams.

Sukūrus t-testą, atliekama dispersinė analizė, kuri naudojama, kai lyginamų grupių skaičius yra didesnis nei dvi. Atitinkamas neparametrinių procedūrų vystymas veda į neparametrinę dispersijos analizę, nors ji yra žymiai prastesnė nei klasikinė dispersijos analizė.

Priklausomybei, arba, kiek pompastiškai tariant, ryšio glaudumo laipsniui įvertinti, apskaičiuojamas Pirsono koreliacijos koeficientas. Griežtai kalbant, jo naudojimas turi apribojimų, susijusių, pavyzdžiui, su skalės, kurioje matuojami duomenys, tipu ir ryšio netiesiškumu, taigi, pvz., naudojami neparametriniai, arba vadinamieji rango, koreliacijos koeficientai. , reitinguotiems duomenims, taip pat naudojami kaip alternatyva. Jei duomenys matuojami vardine skale, natūralu juos pateikti nenumatytų atvejų lentelėse, kuriose tikslumui naudojamas Pirsono chi kvadrato testas su įvairiomis variacijomis ir patikslinimais.

Taigi, iš esmės yra tik keli kriterijų ir procedūrų tipai, kuriuos reikia žinoti ir mokėti naudoti, atsižvelgiant į duomenų specifiką. Turite nustatyti, kuris kriterijus turėtų būti taikomas konkrečioje situacijoje.

Neparametriniai metodai yra tinkamiausi, kai imties dydis yra mažas. Jei duomenų daug (pavyzdžiui, n >100), dažnai nėra prasmės naudoti neparametrinę statistiką.

Jei imties dydis yra labai mažas (pavyzdžiui, n = 10 ar mažiau), tų neparametrinių testų, kuriuose naudojamas įprastas aproksimavimas, reikšmingumo lygiai gali būti laikomi tik apytiksliais įverčiais.

Nepriklausomų grupių skirtumai. Jei turite du mėginius (pavyzdžiui, vyrų ir moterų), kuriuos norite palyginti pagal tam tikrą vidutinę vertę, pvz., vidutinį kraujospūdį arba baltųjų kraujo kūnelių skaičių, galite naudoti nepriklausomų mėginių t testą.

Neparametrinės šio testo alternatyvos yra Wald-Wolfowitz, Mann-Whitney serijos testas)/n, kur x i yra i-oji reikšmė, n yra stebėjimų skaičius. Jei kintamajame yra neigiamos reikšmės arba nulis (0), geometrinio vidurkio apskaičiuoti negalima.

Harmoninis vidurkis

Harmoninis vidurkis kartais naudojamas vidutiniams dažniams nustatyti. Harmoninis vidurkis apskaičiuojamas pagal formulę: GS = n/S(1/x i) čia GS – harmoninis vidurkis, n – stebėjimų skaičius, x i – stebėjimo skaičiaus i reikšmė. Jei kintamajame yra nulis (0), harmoninio vidurkio apskaičiuoti negalima.

Dispersija ir standartinis nuokrypis

Imties dispersija ir standartinis nuokrypis yra dažniausiai naudojami duomenų kintamumo (variacijos) matai. Dispersija apskaičiuojama kaip kintamųjų reikšmių nuokrypių nuo imties vidurkio kvadratų suma, padalyta iš n-1 (bet ne iš n). Standartinis nuokrypis apskaičiuojamas kaip dispersijos įvertinimo kvadratinė šaknis.

Taikymo sritis

Kintamojo diapazonas yra kintamumo rodiklis, apskaičiuojamas kaip maksimumas atėmus minimumą.

Kvartilis diapazonas

Ketvirčio diapazonas pagal apibrėžimą yra viršutinis kvartilis minus apatinis kvartilis (75 % procentilis minus 25 % procentilis). Kadangi 75 % procentilis (viršutinis kvartilis) yra reikšmė, kurios kairėje yra 75 % stebėjimų, o 25 % procentilis (apatinis kvartilis) yra reikšmė, kurios kairėje yra 25 % stebėjimų, kvartilis diapazonas – tai intervalas aplink medianą, kuriame yra 50 % stebėjimų (kintamų reikšmių).

Asimetrija

Pasvirumas yra skirstinio formos charakteristika. Pasiskirstymas iškreiptas į kairę, jei pasvirimo reikšmė yra neigiama. Pasiskirstymas yra iškreiptas į dešinę, jei iškrypimas yra teigiamas. Standartinio normaliojo skirstinio iškrypimas lygus 0. Pasvirumas siejamas su trečiuoju momentu ir apibrėžiamas taip: pasvirumas = n × M 3 /[(n-1) × (n-2) × s 3 ], kur M 3 yra lygus: (x i -xvidurkis x) 3, s 3 - standartinis nuokrypis, padidintas iki trečiojo laipsnio, n - stebėjimų skaičius.

Perteklius

Kurtozė yra skirstinio formos charakteristika, būtent jo smailės aštrumo matas (palyginti su normaliuoju skirstiniu, kurio kurtozė yra 0). Paprastai skirstiniai, kurių smailė yra ryškesnė nei įprasta, turi teigiamą kurtozę; skirstiniai, kurių smailė yra mažiau aštri nei normalaus skirstinio smailė, turi neigiamą kurtozę. Kurtozė siejama su ketvirtuoju momentu ir nustatoma pagal formulę:

kurtosis = /[(n-1) × (n-2) × (n-3) × s 4 ], kur M j yra lygus: (x-vidurkis x, s 4 - standartinis nuokrypis iki ketvirtosios laipsnio, n - stebėjimų skaičius.

KENDALL RANKO KORELIACIJOS KOEFICIENTAS

Vienas iš pavyzdinių dviejų atsitiktinių dydžių (požymių) priklausomybės matų Xi Y, remiantis pavyzdinių elementų reitingu (X 1, Y x), .. ., (X n, Y n). K. k. r. taigi nurodo reitinguojančių statistikų ir nustatoma pagal formulę

Kur r i- Tu, priklausai tai porai ( X, Y), už supjaustytą Xequal i, S = 2N-(n-1)/2, N yra imties elementų skaičius, kuriam tiek j>i, tiek r j > r i. Visada Kaip atrankinis K. k.r priklausomybės matas. K. plačiai naudojo M. Kendall (M. Kendall, žr.).

K. k. r. k yra naudojamas atsitiktinių dydžių nepriklausomumo hipotezei patikrinti. Jei nepriklausomumo hipotezė teisinga, tai E t =0 ir D t =2(2n+5)/9n(n-1). Su mažu imties dydžiu, tikriname statistiką nepriklausomumo hipotezės keliamos naudojant specialias lenteles (žr.). Jei n>10, skirstiniui m naudokite normaliąją aproksimaciją: jei

tada nepriklausomybės hipotezė atmetama, priešingu atveju ji priimama. Čia a . - reikšmingumo lygis, u a /2 yra normaliojo skirstinio procentinis taškas. K. k. r. k., kaip ir bet kuris, gali būti naudojamas dviejų kokybinių charakteristikų priklausomybei nustatyti, jei tik imties elementus galima suskirstyti pagal šias charakteristikas. Jeigu X, Y turėti jungtinį normalųjį su koreliacijos koeficientu p, tada ryšys tarp K. k.r. k. ir turi tokią formą:

taip pat žr Spearman rango koreliacija, rango testas.

Lit.: Kendal M., Rangų koreliacijos, vert. iš anglų k., M., 1975; Van der Waerden B. L., Matematika, vert. iš vokiečių kalbos, M., 1960 m. Bolševas L. N., Smirnovas N. V., Matematinės statistikos lentelės, M., 1965 m.

A. V. Prokhorovas.

Matematinė enciklopedija. - M.: Tarybinė enciklopedija. I. M. Vinogradovas. 1977-1985 m.

Pažiūrėkite, kas yra „KENDALL RANKO KORRELIACIJOS KOEFICIENTAS“ kituose žodynuose:

Anglų su efektyvia rango koreliacija Kendall; vokiečių kalba Kendalls Rangkorrelationskoeffizient. Koreliacijos koeficientas, nustatantis visų objektų porų surikiavimo pagal du kintamuosius sutapimo laipsnį. Antinazis. Sociologijos enciklopedija, 2009 ... Sociologijos enciklopedija

KENDALL RANKO KORELIACIJOS KOEFICIENTAS- Anglų koeficientas, rango koreliacija Kendall; vokiečių kalba Kendalls Rangkorrelationskoeffizient. Koreliacijos koeficientas, kuris nustato visų porų objektų eilės atitikimo laipsnį pagal du kintamuosius... Aiškinamasis sociologijos žodynas

Dviejų atsitiktinių dydžių (požymių) X ir Y priklausomybės matas, pagrįstas nepriklausomų stebėjimų rezultatų reitingavimu (X1, Y1), . . ., (Xn,Yn). Jei X reikšmių eilės yra natūralia tvarka i=1, . . ., n,a Ri laipsnis Y, atitinkantis... ... Matematinė enciklopedija

Koreliacijos koeficientas- (Koreliacijos koeficientas) Koreliacijos koeficientas yra statistinis dviejų atsitiktinių dydžių priklausomybės rodiklis Koreliacijos koeficiento apibrėžimas, koreliacijos koeficientų rūšys, koreliacijos koeficiento savybės, skaičiavimas ir taikymas... ... Investuotojų enciklopedija

Atsitiktinių dydžių priklausomybė, kuri, paprastai kalbant, neturi griežtai funkcinio pobūdžio. Skirtingai nuo funkcinės priklausomybės, K., kaip taisyklė, laikomas tada, kai vienas iš dydžių priklauso ne tik nuo kito, bet ir... ... Matematinė enciklopedija

Koreliacija (koreliacijos priklausomybė) yra statistinis ryšys tarp dviejų ar daugiau atsitiktinių dydžių (arba kintamųjų, kurie gali būti laikomi tokiais tam tikru priimtinu tikslumu). Šiuo atveju vienos ar ... ... Vikipedijos reikšmių pokyčiai

Koreliacija- (Koreliacija) Koreliacija yra statistinis ryšys tarp dviejų ar daugiau atsitiktinių dydžių Koreliacijos samprata, koreliacijos tipai, koreliacijos koeficientas, koreliacijos analizė, kainų koreliacija, valiutų porų koreliacija Forex Turinyje... ... Investuotojų enciklopedija

Visuotinai pripažįstama, kad S. m.v. arba, kaip dažnai vadinama, „mažojo n“ statistika buvo įkurta pirmajame XX amžiaus dešimtmetyje, paskelbus W. Gosseto veikalą, kuriame jis įdėjo t skirstinį, postuluotą gavusio. kiek vėliau visame pasaulyje...... Psichologinė enciklopedija

Maurice Kendall Seras Maurice'as George'as Kendalas Gimimo data: 1907 m. rugsėjo 6 d. (1907 09 06) Gimimo vieta: Kettering, JK Mirties data... Vikipedija

Prognozė- (Prognozė) Prognozės apibrėžimas, uždaviniai ir prognozavimo principai Prognozės apibrėžimas, užduotys ir prognozavimo principai, prognozavimo metodai Turinys Turinys Apibrėžimas Pagrindinės prognozavimo sąvokos Uždaviniai ir prognozavimo principai... ... Investuotojų enciklopedija

Suskaičiuoti Kendall koeficientas faktoriaus charakteristikos reikšmės yra iš anksto reitinguojamos, tai yra, eilės pagal X rašomos griežtai didėjančia kiekybinių reikšmių tvarka.

1) Kiekvienam Y lygiui raskite bendrą sekančių rangų, kurių vertė yra didesnė už nurodytą rangą, skaičių. Į bendrą tokių atvejų skaičių atsižvelgiama „+“ ženklu ir žymima P.

2) Kiekvienam Y lygiui nustatykite sekančių rangų, kurių vertė yra mažesnė už nurodytą rangą, skaičių. Į bendrą tokių atvejų skaičių atsižvelgiama „-“ ženklu ir žymima Q.

3) Apskaičiuokite S=P+Q=9+(-1)=8

4) Kendelio koeficientas apskaičiuojamas pagal formulę:

Kendelio koeficiento reikšmės gali būti nuo -1 iki +1, ir kuo arčiau , tuo stipresnis ryšys tarp charakteristikų.

Kai kuriais atvejais, norėdami nustatyti santykių tarp dviejų charakteristikų kryptį, jie apskaičiuoja Fechnerio koeficientas. Šis koeficientas pagrįstas atskirų faktoriaus verčių ir gaunamų charakteristikų nuokrypių nuo jų vidutinės vertės elgsenos palyginimu. Fechnerio koeficientas apskaičiuojamas pagal formulę:

; kur suma C yra bendras nuokrypių ženklų sutapimų skaičius, suma H yra bendras nuokrypių ženklų neatitikimų skaičius.

1) Apskaičiuokite faktoriaus charakteristikos vidutinę reikšmę:

2) Nustatykite atskirų faktoriaus charakteristikos verčių nuokrypių nuo vidutinės vertės požymius.

3) Apskaičiuokite gautos charakteristikos vidutinę reikšmę: .

4) Raskite gautos charakteristikos atskirų verčių nuokrypių nuo vidutinės vertės požymius:

Išvada: ryšys yra tiesioginis, koeficientas nerodo ryšio glaudumo.

Norėdami nustatyti trijų reitinguotų charakteristikų ryšio glaudumo laipsnį, apskaičiuokite koeficientą sutapimas. Jis apskaičiuojamas pagal formulę:

, kur m yra reitinguotų objektų skaičius; n yra reitinguotų stebėjimo vienetų skaičius.

X1- darbuotojų skaičius (tūkstantis žmonių); X2- pramonės pardavimų apimtis (milijardai rublių); X3- vidutinį mėnesinį atlyginimą.

1) Mes reitinguojame visų savybių reikšmes ir nustatome eiles griežtai didėjančios kiekybinės reikšmės tvarka.

2) Kiekvienai eilutei nustatykite eilučių sumą. Iš šio stulpelio apskaičiuojama bendra eilutė.

3) Apskaičiuokite .

4) Kiekvienai eilutei raskite rangų ir T reikšmių sumų nuokrypius kvadratu. Naudodami tą patį stulpelį apskaičiuojame galutinę eilutę, kurią žymime S. Sutapimo koeficiento reikšmės gali būti nuo 0 iki 1, o kuo arčiau 1, tuo stipresnis ryšys tarp charakteristikų.