O dabar bus temos tęsinys, kuriame apsvarstysime ne tik naują medžiagą, bet ir parengsime veiksmus su matricomis.

Yra gana daug savybių, susijusių su operacijomis su matricomis, toje pačioje Vikipedijoje galite pasigrožėti tvarkingomis atitinkamų taisyklių eilėmis. Tačiau praktiškai daugelis savybių tam tikra prasme yra „negyvos“, nes tik kelios iš jų naudojamos sprendžiant tikras problemas. Mano tikslas yra pažvelgti į praktinį savybių pritaikymą su konkrečiais pavyzdžiais ir, jei jums reikia griežtos teorijos, naudokite kitą informacijos šaltinį.

Pažvelkime į kai kurias taisyklės išimtis, kurių reikės norint atlikti praktines užduotis.

Jei kvadratinė matrica turi atvirkštinę matricą, tada jų daugyba yra komutacinė:

Tapatybės matrica yra kvadratinė matrica, kurios pagrindinė įstrižainė vienetai yra išdėstyti, o likę elementai yra lygūs nuliui. Pavyzdžiui: ir kt.

Šiuo atveju teisinga ši savybė: jei savavališka matrica kairėje arba dešinėje padauginama iš tinkamo dydžio tapatybės matricos, rezultatas bus pradinė matrica:

Kaip matote, čia taip pat vyksta matricos daugybos komutatyvumas.

Paimkime matricą, tarkime, matricą iš ankstesnės problemos: .

Besidomintys gali patikrinti ir įsitikinti, kad:

Matricų vienetų matrica yra skaitinio skaičių vieneto analogas, kas ypač aiškiai matyti iš ką tik aptartų pavyzdžių.

Matricoms ir realiesiems skaičiams galioja ši savybė:

Tai yra, skaitinį koeficientą galima (ir turėtų) perkelti į priekį, kad jis „netrukdytų“ dauginti matricas.

Pastaba : paprastai kalbant, savybės formuluotė yra neišsami – „lambda“ gali būti dedama bet kur tarp matricų, net ir pabaigoje. Taisyklė lieka galioti, jei padauginamos trys ar daugiau matricų.

4 pavyzdys

Apskaičiuokite produktą

Sprendimas:

(1) Pagal nuosavybę perkelkite skaitinį koeficientą į priekį. Pačių matricų negalima pertvarkyti!

(2) – (3) Atlikite matricos dauginimą.

(4) Čia galite padalyti kiekvieną skaičių iš 10, bet tada tarp matricos elementų atsiras dešimtainės trupmenos, o tai nėra gerai. Tačiau pastebime, kad visi matricos skaičiai dalijasi iš 5, todėl kiekvieną elementą padauginame iš .

Atsakymas :

Šiek tiek šaradų, kuriuos galite išspręsti patys:

5 pavyzdys

Apskaičiuokite, jei

Sprendimas ir atsakymas yra pamokos pabaigoje.

Kokia technika svarbi sprendžiant tokius pavyzdžius? Išsiaiškinkime skaičius Paskutinis iš visų .

Prie lokomotyvo pritvirtinkime kitą vagoną:

Visų pirma, KOKS turėtų būti trijų matricų padauginimo rezultatas? Katė negimdys pelės. Jei matricos daugyba yra įmanoma, tada rezultatas taip pat bus matrica. Hmm, mano algebros mokytojas nesupranta, kaip paaiškinu algebrinės struktūros uždarumą jos elementų atžvilgiu =)

Trijų matricų sandaugą galima apskaičiuoti dviem būdais:

1) suraskite ir padauginkite iš matricos „ce“: ;

2) arba pirmiausia suraskite , tada padauginkite .

Rezultatai tikrai sutaps, ir teoriškai ši savybė vadinama matricos daugybos asociatyvumu:

6 pavyzdys

Padauginkite matricas dviem būdais

Sprendimo algoritmas yra dviejų žingsnių: randame dviejų matricų sandaugą, tada vėl randame dviejų matricų sandaugą.

1) Naudokite formulę

Pirmas veiksmas:

Antras veiksmas:

2) Naudokite formulę

Pirmas veiksmas:

Antras veiksmas:

Atsakymas :

Pirmasis sprendimas, žinoma, yra labiau pažįstamas ir standartinis, kai „atrodo, kad viskas tvarkoje“. Beje, dėl užsakymo. Nagrinėjamoje užduotyje dažnai kyla iliuzija, kad kalbame apie kažkokias matricų permutacijas. Jų čia nėra. Dar kartą primenu, kad bendru atveju NEĮMANOMA ATSKIRTI MATRIKŲ. Taigi, antroje pastraipoje, antrame žingsnyje, atliekame daugybą, bet jokiu būdu ne. Su paprastais skaičiais toks skaičius tiktų, bet su matricomis – ne.

Asociatyvaus dauginimo savybė galioja ne tik kvadratinėms, bet ir savavališkoms matricoms – tol, kol jos dauginamos:

7 pavyzdys

Raskite trijų matricų sandaugą

Tai pavyzdys, kurį galite išspręsti patys. Pavyzdiniame sprendime skaičiavimai atliekami dviem būdais – analizuojama, kuris kelias yra pelningesnis ir trumpesnis.

Matricos daugybos asociatyvumo savybė galioja ir didesniam skaičiui faktorių.

Dabar laikas grįžti prie matricų galių. Matricos kvadratas svarstomas pačioje pradžioje, o darbotvarkės klausimas:

Šios operacijos taip pat apibrėžiamos tik kvadratinėms matricoms. Norėdami kubuoti kvadratinę matricą, turite apskaičiuoti sandaugą:

Tiesą sakant, tai yra ypatingas trijų matricų dauginimo atvejis, atsižvelgiant į matricos daugybos asociatyvumo savybę: . O matrica, padauginta iš savęs, yra matricos kvadratas:

Taigi gauname darbo formulę:

Tai yra, užduotis atliekama dviem etapais: pirma, matrica turi būti pakelta kvadratu, o tada gauta matrica turi būti padauginta iš matricos.

8 pavyzdys

Sukurkite matricą į kubą.

Tai nedidelė problema, kurią reikia išspręsti patiems.

Matricos pakėlimas į ketvirtą laipsnį atliekamas natūraliu būdu:

Naudodamiesi matricos daugybos asociatyvumu, gauname dvi darbo formules. Pirma: – tai trijų matricų sandauga.

1) . Kitaip tariant, pirmiausia randame , tada padauginame iš „būti“ - gauname kubą ir galiausiai vėl atliekame dauginimą - bus ketvirtoji laipsnė.

2) Tačiau yra vienu žingsniu trumpesnis sprendimas: . Tai yra, pirmame žingsnyje randame kvadratą ir, aplenkdami kubą, atliekame dauginimą

Papildoma 8 pavyzdžio užduotis:

Pakelkite matricą į ketvirtą laipsnį.

Kaip jau minėta, tai galima padaryti dviem būdais:

1) Kadangi kubas žinomas, tada atliekame daugybą.

2) Tačiau jei pagal uždavinio sąlygas reikia sudaryti matricą tik iki ketvirtos galios, tada pravartu sutrumpinti kelią – rasti matricos kvadratą ir naudoti formulę.

Abu sprendimai ir atsakymas yra pamokos pabaigoje.

Panašiai matrica pakeliama į penktąją ir aukštesnes galias. Iš praktinės patirties galiu pasakyti, kad kartais susiduriu su pakėlimu į 4 galią pavyzdžių, bet apie penktąją galią nieko neprisimenu. Bet tik tuo atveju pateiksiu optimalų algoritmą:

1) rasti;
2) rasti ;
3) pakelti matricą į penktą laipsnį: .

Tai, ko gero, yra visos pagrindinės matricos operacijų savybės, kurios gali būti naudingos sprendžiant praktines problemas.

Antroje pamokos dalyje laukiama ne mažiau spalvingos minios.

Pakartokime įprastus mokyklinius posakius su skaičiais. Skaitinė išraiška susideda iš skaičių, matematinių simbolių ir skliaustų, pavyzdžiui: . Skaičiuojant taikomas pažįstamas algebrinis prioritetas: pirma, skliausteliuose, tada įvykdytas eksponencija / įsišaknijimas, Tada daugyba/dalyba ir paskutinis, bet ne mažiau svarbus dalykas - sudėjimas/atimtis.

Jei skaitinė išraiška turi prasmę, tada jos įvertinimo rezultatas yra skaičius, pavyzdžiui:

Matricos išraiškos veikia beveik taip pat! Su tuo skirtumu, kad pagrindiniai veikėjai yra matricos. Be to, kai kurios specifinės matricos operacijos, pvz., transponavimas ir atvirkštinės matricos suradimas.

Apsvarstykite matricos išraišką , kur yra kai kurios matricos. Šioje matricos išraiškoje trys nariai ir sudėjimo/atimties operacijos atliekamos paskutinės.

Pirmajame etape pirmiausia turite perkelti matricą „be“: , tada atlikti daugybą ir į gautą matricą įvesti „du“. Atminkite, kad perkėlimo operacija turi didesnį prioritetą nei daugyba. Skliaustai, kaip ir skaitinėse išraiškose, keičia veiksmų tvarką: - čia pirmiausia atliekamas dauginimas, tada gauta matrica perkeliama ir padauginama iš 2.

Antruoju terminu pirmiausia atliekamas matricos dauginimas, o atvirkštinė matrica randama iš sandaugos. Jei pašalinsite skliaustus: , tada pirmiausia turite rasti atvirkštinę matricą ir tada padauginti matricas: . Matricos atvirkštinės vertės nustatymas taip pat turi viršenybę prieš dauginimą.

Su trečiuoju terminu viskas akivaizdu: matricą pakeliame į kubą ir į gautą matricą įvedame „penkiuką“.

Jei matricos išraiška turi prasmę, tada jos vertinimo rezultatas yra matrica.

Visos užduotys bus iš tikrų testų, o mes pradėsime nuo paprasčiausių:

9 pavyzdys

Duotos matricos . Rasti:

Sprendimas: veiksmų eiliškumas akivaizdus, ​​pirmiausia atliekama daugyba, tada sudėjimas.

Sudėti negalima, nes matricos yra skirtingų dydžių.

Nenustebkite, atliekant tokio tipo užduotis dažnai siūlomi akivaizdžiai neįmanomi veiksmai.

Pabandykime apskaičiuoti antrąją išraišką:

Viskas čia gerai.

Atsakymas: veiksmo atlikti negalima, .

Matrica A -1 vadinama atvirkštine matricos A atžvilgiu, jei A*A -1 = E, kur E yra n-osios eilės tapatumo matrica. Atvirkštinė matrica gali egzistuoti tik kvadratinėms matricoms.

Paslaugos paskirtis. Naudodamiesi šia paslauga internete galite rasti algebrinius papildinius, transponuotą matricą A T, sąjunginę matricą ir atvirkštinę matricą. Sprendimas priimamas tiesiogiai svetainėje (internetu) ir yra nemokamas. Skaičiavimo rezultatai pateikiami ataskaitoje Word ir Excel formatu (t.y. galima patikrinti sprendimą). žr. dizaino pavyzdį.

Instrukcijos. Norint gauti sprendimą, būtina nurodyti matricos matmenis. Tada naujame dialogo lange užpildykite matricą A.

Taip pat žiūrėkite atvirkštinę matricą naudojant Jordano-Gauss metodą

1 pavyzdys. Parašykime matricą tokia forma: