Basierend auf: Demo Optionen für das einheitliche Staatsexamen in Informatik für 2015, basierend auf dem Lehrbuch von Lyudmila Leonidovna Bosova

Im vorherigen Teil 1 haben wir mit Ihnen die logischen Operationen Disjunktion und Konjunktion besprochen. Jetzt müssen wir nur noch die Inversion analysieren und mit der Lösung der Aufgabe des Einheitlichen Staatsexamens fortfahren.

Umkehrung

Umkehrung- eine logische Operation, die jede Aussage mit einer neuen Aussage verknüpft, deren Bedeutung der ursprünglichen Aussage entgegengesetzt ist.

Die folgenden Zeichen werden zum Schreiben der Inversion verwendet: NOT, `¯`, ` ¬ `

Inversion ist definiert die folgende Tabelle Wahrheit:

Inversion wird auch als logische Negation bezeichnet.

Jede komplexe Aussage kann in das Formular geschrieben werden logischer Ausdruck – Ausdrücke, die logische Variablen, logische Operatorzeichen und Klammern enthalten. Logische Operationen in einem logischen Ausdruck werden in der folgenden Reihenfolge ausgeführt: Inversion, Konjunktion, Disjunktion. Sie können die Reihenfolge der Operationen mithilfe von Klammern ändern.

Logische Operationen haben folgende Priorität: Umkehrung, Konjunktion, Disjunktion.

Und so liegt vor uns Aufgabe Nr. 2 aus dem Einheitlichen Staatsexamen in Informatik 2015

Alexandra füllte die Wahrheitstabelle für den Ausdruck F aus. Es gelang ihr nur, einen kleinen Ausschnitt der Tabelle auszufüllen:

x1	x2	x3	x4	x5	x6	x7	x8	F
	0						1	0
1			0					1
			1				1	1

Welcher Ausdruck kann F sein?

Was die Lösung des Problems erheblich erleichtert, besteht darin, dass es in jeder Version des komplexen Ausdrucks F nur eine logische Operation gibt: Multiplikation oder Addition. Im Falle einer Multiplikation /\ wenn mindestens eine Variable gleich Null ist, dann muss auch der Wert des gesamten Ausdrucks F gleich Null sein. Und im Fall der Addition V muss der Wert des gesamten Ausdrucks F gleich 1 sein, wenn mindestens eine Variable gleich eins ist.

Die in der Tabelle enthaltenen Daten für jede der 8 Variablen des Ausdrucks F reichen für uns völlig aus, um sie zu lösen.

Schauen wir uns Ausdruck Nummer 1 an:

• ? /\ 1 /\ ? /\ ? /\ ? /\ ? /\ ? /\ 0 )
• Aus der zweiten Zeile der Tabelle x1=1, x4=0 sehen wir, dass F möglich ist und gleich = 1 sein kann, wenn alle anderen Variablen gleich 1 sind (1 /\ ? /\ ? /\ 1 /\ ? /\ ? /\ ? /\ ? )
• Gemäß der dritten Zeile der Tabelle x4=1, x8=1 sehen wir, dass F=0 (? /\ ? /\ ? /\ 0 /\ ? /\ ? /\ ? /\ 0 ), und in der Tabelle haben wir F=1, und das bedeutet, dass Ausdruck Nummer eins für uns ist Definitiv nicht geeignet.

Schauen wir uns Ausdruck Nummer 2 an:

• Aus der ersten Zeile der Tabelle x2=0, x8=1 sehen wir, dass F möglich ist und gleich = 0 sein kann, wenn alle anderen Variablen gleich 0 sind (? V 0 V ? V ? V ? V ? V ? V 0 )
• Aus der zweiten Zeile der Tabelle x1=1, x4=0 sehen wir, dass F = 1 ( 1 V ? V ? V 1 V ? V ? V ? V ? )
• Gemäß der dritten Zeile der Tabelle x4=1, x8=1 sehen wir, dass F möglich ist und gleich = 1 sein kann, wenn mindestens eine der verbleibenden Variablen gleich 1 ist ( ? V ? V ? V 0 V ? V ? V ? V 0 )
  

Schauen wir uns Ausdruck Nummer 3 an:

• Aus der ersten Zeile der Tabelle x2=0, x8=1 sehen wir, dass F=0 (? /\ 0 /\ ? /\ ? /\ ? /\ ? /\ ? /\ 1 )
• Aus der zweiten Zeile der Tabelle x1=1, x4=0 sehen wir, dass F =0 (0 /\ ? /\ ? /\ 0 /\ ? /\ ? /\ ? /\ ? ), und in der Tabelle haben wir F=1, und das bedeutet, dass der Ausdruck Nummer drei uns ergibt Definitiv nicht geeignet.

Schauen wir uns Ausdruck Nummer 4 an:

• Aus der ersten Zeile der Tabelle x2=0, x8=1 sehen wir, dass F=1 ( ? V 1 V ? V ? V ? V ? V ? V 0 ), und in der Tabelle haben wir F=0, und das bedeutet, dass uns Ausdruck Nummer vier ergibt Definitiv nicht geeignet.

Bei der Lösung einer Aufgabe im Einheitlichen Staatsexamen müssen Sie genau das Gleiche tun: diejenigen Optionen verwerfen, die aufgrund der Daten in der Tabelle definitiv nicht geeignet sind. Übrig mögliche Option(wie in unserem Fall Option Nummer 2) ist die richtige Antwort.

Das Problem, die Wahrheit eines Ausdrucks zu bestimmen, steht vielen Wissenschaften gegenüber. Jede Beweisdisziplin muss auf bestimmten Kriterien für die Wahrheit der Beweise basieren. Die Wissenschaft, die diese Kriterien untersucht, wird Algebra der Logik genannt. Das Hauptpostulat der Algebra der Logik ist, dass jede noch so komplizierte Aussage als algebraischer Ausdruck einfacherer Aussagen dargestellt werden kann, deren Wahrheit oder Falschheit leicht zu bestimmen ist.

Für jede „algebraische“ Operation an einer Aussage wird eine Regel zur Bestimmung der Wahrheit oder Falschheit der geänderten Aussage angegeben, basierend auf der Wahrheit oder Falschheit der ursprünglichen Aussage. Diese Regeln sind durchgeschrieben Ausdruckswahrheitstabellen. Bevor Sie Wahrheitstabellen erstellen, müssen Sie sich mit der Algebra der Logik vertraut machen.

Algebraische Transformationen logischer Ausdrücke

Jeder logische Ausdruck sowie seine Variablen (Anweisungen) nehmen zwei Werte an: Lüge oder Wahrheit. Falsch wird mit Null und Wahrheit mit Eins bezeichnet. Nachdem wir den Definitionsbereich und den Bereich akzeptabler Werte verstanden haben, können wir die Operationen der Algebra der Logik betrachten.

Negation

Negation und Inversion- die einfachste logische Transformation. Es entspricht dem Teilchen „nicht“. Diese Transformation kehrt die Aussage einfach um. Dementsprechend ändert sich auch die Bedeutung der Aussage ins Gegenteil. Wenn Aussage A wahr ist, dann ist „nicht A“ falsch. Beispielsweise ist die Aussage „Ein rechter Winkel ist ein Winkel gleich neunzig Grad“ wahr. Dann ist seine Leugnung „ein rechter Winkel ist nicht gleich neunzig Grad“ eine Lüge.

Wahrheitstabelle zur Verneinung wird so sein:

Disjunktion

Dieser Vorgang kann sein gewöhnlich oder streng, ihre Ergebnisse werden variieren.

Die übliche Disjunktion bzw. logische Addition entspricht der Konjunktion „oder“. Es ist wahr, wenn mindestens eine der darin enthaltenen Aussagen wahr ist. Zum Beispiel wird der Ausdruck „Die Erde ist rund oder steht auf drei Säulen“ wahr sein, da die erste Aussage wahr ist, obwohl die zweite falsch ist. In der Tabelle wird es so aussehen:

Man nennt sie auch strikte Disjunktion oder Modulo-Addition „exklusiv oder“. Diese Operation kann die Form einer grammatikalischen Konstruktion „eins von zwei: entweder... oder...“ annehmen. Dabei ist der Wert eines logischen Ausdrucks falsch, wenn alle darin enthaltenen Aussagen die gleiche Wahrheit haben. Das heißt, beide Aussagen sind entweder zusammen wahr oder zusammen falsch.

Tabelle der exklusiven oder

Implikation und Äquivalenz

Die Implikation ist Folge und kann grammatikalisch ausgedrückt werden als „aus A folgt B.“ Hier wird Aussage A als Prämisse und B als Konsequenz bezeichnet. Eine Implikation kann nur in einem Fall falsch sein: wenn die Prämisse wahr und die Konsequenz falsch ist. Das heißt, aus der Wahrheit kann keine Lüge folgen. In allen anderen Fällen ist die Implikation wahr. Optionen, bei denen beide Aussagen dieselbe Wahrheit haben, werfen keine Fragen auf. Aber warum ist eine wahre Konsequenz aus einer falschen Prämisse wahr? Der Punkt ist, dass aus einer falschen Prämisse alles folgen kann. Das ist es, was Implikation von Äquivalenz unterscheidet.

In der Mathematik (und anderen demonstrativen Disziplinen) wird Implikation verwendet, um eine notwendige Bedingung anzuzeigen. Aussage A lautet beispielsweise: „Punkt O ist das Extremum einer stetigen Funktion“, Aussage B lautet: „Die Ableitung einer stetigen Funktion am Punkt O wird Null.“ Wenn O tatsächlich der Extrempunkt einer stetigen Funktion ist, dann ist die Ableitung an diesem Punkt tatsächlich gleich Null. Wenn O kein Extrempunkt ist, kann die Ableitung an diesem Punkt Null sein oder auch nicht. Das heißt, B ist für A notwendig, aber nicht ausreichend.

Wahrheitstabelle zur Implikation sieht so aus:

Die logische Operation der Äquivalenz ist im Wesentlichen gegenseitige Implikation. „A ist äquivalent zu B“ bedeutet, dass „aus A folgt B“ und „aus B folgt A“ gleichzeitig. Äquivalenz ist wahr, wenn beide Aussagen entweder gleichzeitig wahr oder gleichzeitig falsch sind.

In der Mathematik wird Äquivalenz verwendet, um eine notwendige und hinreichende Bedingung zu bestimmen. Zum Beispiel Aussage A – „Punkt O ist der Extrempunkt einer stetigen Funktion“, Aussage B – „Am Punkt O wird die Ableitung der Funktion Null und ändert das Vorzeichen.“ Diese beiden Aussagen sind gleichwertig. B enthält eine notwendige und hinreichende Bedingung für A. Beachten Sie, dass in in diesem Beispiel Aussage B ist eigentlich eine Verbindung zweier anderer: „Die Ableitung am Punkt O wird Null“ und „Die Ableitung am Punkt O ändert das Vorzeichen.“

Andere Logikfunktionen

Oben haben wir die grundlegenden logischen Operationen besprochen, die häufig verwendet werden. Es gibt weitere Funktionen, die verwendet werden:

• Der Schaeffer-Strich oder die Inkompatibilität ist die Negation der Konjunktion von A und B
• Peirces Pfeil repräsentiert das Scheitern der Negation der Disjunktion.

Konstruktion von Wahrheitstabellen

Um eine Wahrheitstabelle für einen beliebigen logischen Ausdruck zu erstellen, müssen Sie gemäß dem Algorithmus vorgehen:

1. Teilen Sie den Ausdruck in einfache Anweisungen auf und kennzeichnen Sie jede als Variable.
2. Definieren Sie logische Transformationen.
3. Identifizieren Sie die Reihenfolge dieser Transformationen.
4. Zählen Sie die Zeilen in der zukünftigen Tabelle. Ihre Anzahl ist gleich zwei hoch N, wobei N die Anzahl der Variablen plus eine Zeile für den Tabellenkopf ist.
5. Bestimmen Sie die Anzahl der Spalten. Sie entspricht der Summe aus der Anzahl der Variablen und der Anzahl der Aktionen. Sie können das Ergebnis jeder Aktion als neue Variable darstellen, wenn das sinnvoll ist.
6. Der Header wird nacheinander ausgefüllt, zuerst alle Variablen, dann die Ergebnisse der Aktionen in der Reihenfolge, in der sie ausgeführt wurden.
7. Sie müssen mit dem Ausfüllen der Tabelle mit der ersten Variablen beginnen. Für sie ist die Anzahl der Zeilen halbiert. Eine Hälfte ist mit Nullen gefüllt, die zweite mit Einsen.
8. Bei jeder nachfolgenden Variablen wechseln sich Nullen und Einsen doppelt so oft ab.
9. Auf diese Weise werden alle Spalten mit Variablen und die letzte gefüllt variabler WertÄnderungen in jeder Zeile.
10. Anschließend werden die Ergebnisse aller Aktionen nacheinander eingetragen.

Dadurch wird in der letzten Spalte der Wert des gesamten Ausdrucks abhängig vom Wert der Variablen angezeigt.

Besonders hervorzuheben ist dies Reihenfolge logischer Aktionen. Wie definiert man es? Hier gibt es wie in der Algebra Regeln, die die Abfolge von Handlungen bestimmen. Sie werden in der folgenden Reihenfolge durchgeführt:

1. Ausdrücke in Klammern;
2. Negation oder Inversion;
3. Verbindung;
4. strenge und gewöhnliche Disjunktion;
5. Implikation;
6. Gleichwertigkeit.

Beispiele

Um das Material zu festigen, können Sie versuchen, eine Wahrheitstabelle für die zuvor genannten logischen Ausdrücke zu erstellen. Schauen wir uns drei Beispiele an:

• Schaeffers Schlaganfall.
• Pierces Pfeil.
• Definition von Äquivalenz.

Schaeffers Schlaganfall

Ein Schaeffer-Strich ist ein boolescher Ausdruck, der als „nicht (A und B)“ geschrieben werden kann. Es gibt zwei Variablen und zwei Aktionen. Die Konjunktion steht in Klammern, was bedeutet, dass sie zuerst ausgeführt wird. Die Tabelle verfügt über eine Kopfzeile und vier Zeilen mit variablen Werten sowie vier Spalten. Füllen wir die Tabelle aus:

Die Negation einer Konjunktion sieht aus wie eine Disjunktion von Negationen. Dies kann überprüft werden, indem eine Wahrheitstabelle für den Ausdruck „nicht A oder nicht B“ erstellt wird. Machen Sie dies selbst und beachten Sie, dass hier bereits drei Operationen durchgeführt werden.

Pierces Pfeil

Betrachten wir Peirces Pfeil, der die Negation der Disjunktion „nicht (A oder B)“ darstellt, vergleichen wir ihn mit der Konjunktion der Negationen „nicht A und nicht B“. Füllen wir zwei Tabellen aus:

Die Bedeutung der Ausdrücke stimmte überein. Nachdem wir diese beiden Beispiele untersucht haben, können wir zu einer Schlussfolgerung darüber kommen, wie Klammern nach der Negation geöffnet werden: Die Negation wird auf alle Variablen in den Klammern angewendet, die Konjunktion ändert sich in die Disjunktion und die Disjunktion ändert sich in die Konjunktion.

Definition von Äquivalenz

Wir können über die Aussagen A und B sagen, dass sie genau dann äquivalent sind, wenn A aus B folgt und B aus A folgt. Schreiben wir dies als logischen Ausdruck und erstellen wir eine Wahrheitstabelle dafür. „(A ist äquivalent zu B) ist äquivalent zu (aus A folgt B) und (aus B folgt A).“

Es gibt zwei Variablen und fünf Aktionen. Wir bauen die Tabelle:

Alle Werte in der letzten Spalte sind wahr. Dies bedeutet, dass die obige Definition der Äquivalenz für alle Werte von A und B gilt. Dies bedeutet, dass sie immer wahr ist. Das ist richtig unter Verwendung der Wahrheitstabelle Sie können die Richtigkeit aller Definitionen und logischen Konstruktionen überprüfen.

Unterrichtsdauer: 45 Min

Unterrichtsart: kombiniert:

• Wissenstest - mündliche Arbeit;
• neues Material - Vortrag;
• Vertiefung – praktische Übungen;
• Wissenstest - Aufgaben für selbstständiges Arbeiten.

Unterrichtsziele:

• Geben Sie das Konzept einer Wahrheitstabelle an.
• Konsolidierung des Materials aus der vorherigen Lektion „Algebra der Sätze“;
• Verwendung Informationstechnologie;
• Vermittlung der Fähigkeit, selbstständig nach neuem Material zu suchen;
• Entwicklung von Neugier und Initiative;
• Bildung der Informationskultur.

Unterrichtsplan:

1. Organisatorischer Moment (2 Min.).
2. Wiederholung des Stoffs aus der vorherigen Lektion (mündliche Befragung) (4 Min.).
3. Erläuterung des neuen Materials (12 Min.).
4. Konsolidierung

• Fallstudie (5 Min.);
• praktische Übungen (10 Min.);
• Aufgaben für selbständiges Arbeiten (10 Min.).

Ausrüstung und Softwarematerial:

• weiße Tafel;
• Multimedia-Projektor;
• Computer;
• Präsentationseditor MS PowerPoint 2003;
• Handout-Referenzmaterial „Wahrheitstabellen“;
• Demonstration der „Wahrheitstabelle“-Präsentation.

Unterrichtsfortschritt

I. Organisatorischer Moment

Wir beschäftigen uns weiterhin mit dem Thema „Grundlagen der Logik“. In den vorherigen Lektionen haben wir gesehen, dass Logik sehr eng mit unserem Alltag verbunden ist, und wir haben auch gesehen, dass fast jede Aussage als Formel geschrieben werden kann.

II. Wiederholung des Materials aus der vorherigen Lektion

Erinnern wir uns an die grundlegenden Definitionen und Konzepte:

III. Erläuterung des neuen Materials

Die letzten beiden Beispiele beziehen sich auf komplexe Aussagen. Wie ermittelt man die Wahrheit komplexer Aussagen?

Wir sagten, dass es berechnet wird. Zu diesem Zweck gibt es in der Logik Tabellen zur Berechnung der Wahrheit zusammengesetzter (komplexer) Aussagen. Diese werden Wahrheitstabellen genannt.

Das Thema der Lektion sind also WAHRHEITSTABELLEN.

3.1) Definition. Eine Wahrheitstabelle ist eine Tabelle, die die Wahrheit einer komplexen Aussage für alle möglichen Werte der Eingabevariablen zeigt (Abbildung 1).

3.2) Lassen Sie uns jede logische Operation gemäß ihrer Definition genauer untersuchen:

1. Inversion (Negation) ist eine logische Operation, die jede einfache Aussage mit einer zusammengesetzten Aussage verknüpft, was bedeutet, dass die ursprüngliche Aussage negiert wird.

Diese Operation gilt nur für eine Variable, also nur zwei Zeilen, weil Eine Variable kann eines davon haben zwei Werte: 0 oder 1.

2. Konjunktion (Multiplikation) ist eine logische Operation, die jeweils zwei einfache Aussagen mit einer zusammengesetzten Aussage verknüpft, die genau dann wahr ist, wenn beide ursprünglichen Aussagen wahr sind.

Es ist leicht zu erkennen, dass diese Tabelle tatsächlich einer Multiplikationstabelle ähnelt.

3. Disjunktion (Addition) ist eine logische Operation, die jeweils zwei einfache Aussagen mit einer zusammengesetzten Aussage verknüpft, die genau dann falsch ist, wenn beide Anfangsaussagen falsch sind.

Sie können sicherstellen, dass die Tabelle bis auf den letzten Schritt der Additionstabelle ähnelt. Im binären Zahlensystem 1 + 1 = 10, im dezimalen Zahlensystem – 1 + 1 = 2. In der Logik ist der Wert der Variablen 2 unmöglich, betrachten wir 10 aus logischer Sicht: 1 – wahr, 0 – falsch, d. h. 10 ist gleichzeitig wahr und falsch, was nicht sein kann, daher basiert die letzte Aktion streng auf der Definition.

4. Implikation (Folgen) ist eine logische Operation, die jeweils zwei einfache Aussagen mit einer zusammengesetzten Aussage verknüpft, die genau dann falsch ist, wenn die Bedingung wahr und die Konsequenz falsch ist.

5. Äquivalenz (Äquivalenz) ist eine logische Operation, die jeweils zwei einfache Aussagen mit einer zusammengesetzten Aussage verknüpft, die genau dann wahr ist, wenn beide Anfangsaussagen gleichzeitig wahr oder falsch sind.

Die letzten beiden Operationen haben wir in der vorherigen Lektion besprochen.

3.3) Schauen wir es uns an Wahrheitstabellen-Algorithmus für eine komplexe Aussage:

3.4) Betrachten Sie ein Beispiel für die Erstellung einer Wahrheitstabelle für eine komplexe Aussage:

Beispiel. Erstellen Sie eine Wahrheitstabelle für die Formel: A U B -> ¬A U C.

Lösung (Abbildung 2)

Das Beispiel zeigt, dass die Wahrheitstabelle nicht die gesamte Entscheidung, sondern nur die letzte Aktion (die rot hervorgehobene Spalte) darstellt.

IV. Konsolidierung.

Um den Stoff zu festigen, werden Sie gebeten, die Beispiele zu den Buchstaben a, b, c und zusätzlich d–g selbstständig zu lösen (Abbildung 3).

V. Hausaufgaben, Verallgemeinerung des Materials.

Hausaufgaben werden Ihnen auch auf dem Bildschirm angezeigt (Abbildung 4).

Zusammenfassung des Materials: Heute haben wir in der Lektion gelernt, wie man die Wahrheit zusammengesetzter Aussagen bestimmt, allerdings eher aus mathematischer Sicht, da Ihnen nicht die Aussagen selbst, sondern Formeln gegeben wurden, die sie darstellen. In den folgenden Lektionen werden wir diese Fähigkeiten festigen und versuchen, sie zur Lösung logischer Probleme anzuwenden.

Definition 1

Logikfunktion– eine Funktion, deren Variablen einen von zwei Werten annehmen: $1$ oder $0$.

Jede logische Funktion kann mithilfe einer Wahrheitstabelle angegeben werden: Die Menge aller möglichen Argumente wird auf die linke Seite der Tabelle geschrieben, und die entsprechenden Werte der logischen Funktion werden auf die rechte Seite geschrieben.

Definition 2

Wahrheitstabelle– eine Tabelle, die zeigt, welche Werte ein zusammengesetzter Ausdruck für alle möglichen Wertemengen der darin enthaltenen einfachen Ausdrücke annimmt.

Definition 3

Äquivalent werden logische Ausdrücke genannt, deren letzte Spalten von Wahrheitstabellen übereinstimmen. Die Äquivalenz wird durch das Zeichen $«=»$ angezeigt.

Beim Erstellen einer Wahrheitstabelle ist es wichtig, die folgende Reihenfolge logischer Operationen zu berücksichtigen:

Abbildung 1.

Bei der Ausführung der Operationen haben Klammern Vorrang.

Algorithmus zum Erstellen einer Wahrheitstabelle einer logischen Funktion

Bestimmen Sie die Anzahl der Zeilen: Anzahl der Zeilen= $2^n + 1$ (für Titelzeile), $n$ – Anzahl einfacher Ausdrücke. Beispielsweise gibt es für Funktionen zweier Variablen $2^2 = 4$ Kombinationen von Mengen von Variablenwerten, für Funktionen dreier Variablen gibt es $2^3 = 8$ usw.

Bestimmen Sie die Anzahl der Spalten: Anzahl der Spalten = Anzahl der Variablen + Anzahl der logischen Operationen. Bei der Bestimmung der Anzahl logischer Operationen wird auch die Reihenfolge ihrer Ausführung berücksichtigt.

Füllen Sie Spalten mit den Ergebnissen logischer Operationen in einer bestimmten Reihenfolge unter Berücksichtigung der Wahrheitstabellen grundlegender logischer Operationen.

Abbildung 2.

Beispiel 1

Erstellen Sie eine Wahrheitstabelle für den logischen Ausdruck $D=\bar(A) \vee (B \vee C)$.

Lösung:

Bestimmen wir die Anzahl der Zeilen:

Anzahl der Zeilen = $2^3 + 1=9$.

Anzahl der Variablen – $3$.

1. invers ($\bar(A)$);
2. Disjunktion, weil es steht in Klammern ($B \vee C$);

3. Disjunktion ($\overline(A)\vee \left(B\vee C\right)$) ist der erforderliche logische Ausdruck.

   Anzahl der Spalten = $3 + 3=6$.

Füllen wir die Tabelle aus und berücksichtigen dabei die Wahrheitstabellen logischer Operationen.

Abbildung 3.

Beispiel 2

Erstellen Sie mit diesem logischen Ausdruck eine Wahrheitstabelle:

Lösung:

Bestimmen wir die Anzahl der Zeilen:

Die Anzahl der einfachen Ausdrücke beträgt $n=3$, was bedeutet

Anzahl der Zeilen = $2^3 + 1=9$.

Bestimmen wir die Anzahl der Spalten:

Anzahl der Variablen – $3$.

Anzahl der logischen Operationen und deren Reihenfolge:

1. Negation ($\bar(C)$);
2. Disjunktion, weil es steht in Klammern ($A \vee B$);
3. Konjunktion ($(A\vee B)\bigwedge \overline(C)$);
4. Negation, die wir mit $F_1$ ($\overline((A\vee B)\bigwedge \overline(C))$ bezeichnen;
5. Disjunktion ($A \vee C$);
6. Konjunktion ($(A\vee C)\bigwedge B$);
7. Negation, die wir mit $F_2$ ($\overline((A\vee C)\bigwedge B)$) bezeichnen;

8. Disjunktion ist die gewünschte logische Funktion ($\overline((A\vee B)\bigwedge \overline(C))\vee \overline((A\vee C)\bigwedge B)$).

Anweisungen. Verwenden Sie bei der Eingabe über die Tastatur die folgenden Schreibweisen: Der logische Ausdruck abc+ab~c+a~bc muss beispielsweise folgendermaßen eingegeben werden: a*b*c+a*b=c+a=b*c
Um Daten in Form eines logischen Diagramms einzugeben, nutzen Sie diesen Dienst.

Regeln für die Eingabe einer logischen Funktion

1. Verwenden Sie anstelle des v-Symbols (Disjunktion, ODER) das +-Zeichen.
2. Es ist nicht erforderlich, vor einer logischen Funktion eine Funktionsbezeichnung anzugeben. Anstelle von F(x,y)=(x|y)=(x^y) müssen Sie beispielsweise einfach (x|y)=(x^y) eingeben.
3. Die maximale Anzahl an Variablen beträgt 10.

Der Entwurf und die Analyse von Computerlogikschaltungen erfolgt unter Verwendung eines speziellen Zweigs der Mathematik – der logischen Algebra. In der Algebra der Logik lassen sich drei wesentliche logische Funktionen unterscheiden: „NOT“ (Negation), „AND“ (Konjunktion), „OR“ (Disjunktion).
Um ein logisches Gerät zu erstellen, muss die Abhängigkeit jeder Ausgangsvariablen von den vorhandenen Eingangsvariablen bestimmt werden. Diese Abhängigkeit wird als Schaltfunktion oder logische Algebrafunktion bezeichnet.
Eine Funktion der logischen Algebra heißt vollständig definiert, wenn alle 2n ihrer Werte gegeben sind, wobei n die Anzahl der Ausgabevariablen ist.
Sind nicht alle Werte definiert, heißt die Funktion teilweise definiert.
Ein Gerät wird als logisch bezeichnet, wenn sein Zustand durch eine logische Algebrafunktion beschrieben wird.
Die folgenden Methoden werden zur Darstellung einer logischen Algebrafunktion verwendet:

• Die verbale Beschreibung ist eine Form, die in der anfänglichen Entwurfsphase verwendet wird und eine konventionelle Darstellung hat.
• Beschreibung einer logischen Algebrafunktion in Form einer Wahrheitstabelle.
• Beschreibung einer logischen Algebrafunktion in Form eines algebraischen Ausdrucks: Es werden zwei algebraische Formen von FAL verwendet:
  A) DNF – disjunktive Normalform ist die logische Summe elementarer logischer Produkte. DNF wird mithilfe des folgenden Algorithmus oder der folgenden Regel aus der Wahrheitstabelle ermittelt:
  1) In der Tabelle werden diejenigen Variablenzeilen ausgewählt, für die die Ausgabefunktion =1 ist.
  2) für jede Variablenzeile wird ein logisches Produkt geschrieben; Darüber hinaus werden Variablen =0 mit Invertierung geschrieben.
  3) Das resultierende Produkt wird logisch zusammengefasst.
  Fdnf= X 1 *X 2 *X 3 ∨ X 1 x 2 X 3 ∨ X 1 X 2 x 3 ∨ X 1 X 2
  Ein DNF heißt perfekt, wenn alle Variablen den gleichen Rang oder die gleiche Reihenfolge haben, d. h. Jede Arbeit muss alle Variablen in direkter oder inverser Form enthalten.
  B) CNF – konjunktive Normalform ist ein logisches Produkt elementarer logischer Summen.
  CNF kann mit dem folgenden Algorithmus aus der Wahrheitstabelle ermittelt werden:
  1) Wählen Sie Variablensätze aus, für die die Ausgabefunktion =0 ist
  2) Für jeden Variablensatz schreiben wir eine elementare logische Summe, und die Variablen =1 werden mit Inversion geschrieben.
  3) Die resultierenden Beträge werden logisch multipliziert.
  Fsknf=(X 1 V X 2 V X 3) ∧ (X 1 V X 2 V X 3) ∧ (X 1 V X 2 V X 3) ∧ (X 1 V X 2 V X 3)
  CNF heißt perfekt, wenn alle Variablen den gleichen Rang haben.

Abbildung 1 – Diagramm des Logikgeräts

Alle Operationen der Algebra der Logik sind definiert Wahrheitstabellen Werte. Die Wahrheitstabelle bestimmt das Ergebnis einer Operation für jeder ist möglich x logische Werte der Originalaussagen. Die Anzahl der Optionen, die das Ergebnis der angewandten Operationen widerspiegeln, hängt von der Anzahl der Anweisungen im logischen Ausdruck ab. Wenn die Anzahl der Aussagen in einem logischen Ausdruck N beträgt, enthält die Wahrheitstabelle 2 N Zeilen, da es 2 N verschiedene Kombinationen möglicher Argumentwerte gibt.

Operation NOT – logische Negation (Inversion)

• Wenn der ursprüngliche Ausdruck wahr ist, ist das Ergebnis seiner Negation falsch.
• Wenn der ursprüngliche Ausdruck falsch ist, ist das Ergebnis seiner Negation wahr.

ODER-Verknüpfung – logische Addition (Disjunktion, Vereinigung)

Operation UND – logische Multiplikation (Konjunktion)

Operation „WENN-DANN“ – logische Konsequenz (Implikation)

Operation „A genau dann, wenn B“ (Äquivalenz, Äquivalenz)

Operation „Addition modulo 2“ (XOR, exklusives Oder, strikte Disjunktion)

Priorität logischer Operationen

• Aktionen in Klammern
• Umkehrung
• Konjunktion (&)
• Disjunktion (V), Exklusiv-ODER (XOR), Summe Modulo 2
• Implikation (→)
• Äquivalenz (↔)

Perfekte disjunktive Normalform

1. Jeder logische Term der Formel enthält alle in der Funktion F(x 1,x 2,...x n) enthaltenen Variablen.
2. Alle logischen Begriffe der Formel sind unterschiedlich.
3. Kein einziger logischer Begriff enthält eine Variable und ihre Negation.
4. Kein logischer Term in einer Formel enthält dieselbe Variable zweimal.

Perfekte konjunktive Normalform

1. Alle elementaren Disjunktionen enthalten alle in der Funktion F(x 1 ,x 2 ,...x n) enthaltenen Variablen.
2. Alle elementaren Disjunktionen sind unterschiedlich.
3. Jede Elementardisjunktion enthält einmal eine Variable.
4. Keine einzige elementare Disjunktion enthält eine Variable und ihre Negation.