Atsitiktinis dydis vadinamas lognormaliai paskirstytu, jei jo logaritmas paklūsta normalaus skirstinio dėsniui.

Tai visų pirma reiškia, kad logaritminio normalaus atsitiktinio dydžio reikšmės susidaro veikiant labai daugybei tarpusavyje nepriklausomų veiksnių, o kiekvieno atskiro veiksnio įtaka yra „vienodai nereikšminga“ ir vienodai tikėtina ženklu. . Be to, priešingai nei normalaus dėsnio mechanizmo formavimo schemoje, atsitiktinių veiksnių įtakos nuoseklus pobūdis yra toks, kad atsitiktinis padidėjimas, atsirandantis dėl kiekvieno paskesnio veiksnio veikimo, yra proporcingas tiriamos vertės vertei. jau pasiektas iki to momento (šiuo atveju jie kalba apie dauginamąjį veiksnio įtakos pobūdį). Matematiškai tai, kas buvo pasakyta, gali būti formalizuota taip. Jei - yra neatsitiktinis tiriamos charakteristikos komponentas (t. y. tarsi "tikroji" reikšmė idealizuotoje schemoje, kai pašalinama visų atsitiktinių veiksnių įtaka), - yra skaitinė charakteristikos poveikio išraiška. pirmiau minėtų atsitiktinių veiksnių įtaka, tada tiriamos charakteristikos reikšmės, paeiliui transformuojamos veikiant šiems veiksniams, bus:

Iš čia lengva patekti

Kur. Tačiau dešinė (6.11) yra daugelio atsitiktinių veiksnių adityvinio veikimo rezultatas, kuris, remiantis pirmiau padarytomis prielaidomis, turėtų lemti, kaip žinome (žr. 6.1.5 skyrių ir 7.3 skyrių, skirtą prie centrinės ribos teoremos), šios sumos normaliajam skirstiniui .

Tuo pačiu, atsižvelgiant į pakankamai didelį atsitiktinių dėmenų skaičių (t. y. darant prielaidą ) ir santykinį kiekvieno iš jų įtakos nereikšmingumą (t. y. darant prielaidą ), galima pereiti nuo sumos kairėje pusėje (6.11) į integralą

Tai. ir galiausiai reiškia, kad mus dominančio dydžio logaritmas (sumažintas pastovia reikšme) paklūsta normaliam dėsniui su nuline vidutine reikšme, t.y.

iš kur diferencijuodami x atžvilgiu šio santykio kairiąją ir dešiniąją puses gauname

(skaičiuojant naudojamo tapatumo pagrįstumas išplaukia iš griežto transformacijos monotoniškumo

Apibūdinta logaritminio-normalaus atsitiktinio dydžio dydžių generavimo schema pasirodo būdinga daugeliui konkrečių fizinių ir socialinių ekonominių situacijų (smulkinimo metu susidariusių dalelių dydis ir svoris; darbuotojų atlyginimai; šeimos pajamos; erdvės darinių dydžiai). ; gaminio patvarumas, veikiantis susidėvėjimo ir senėjimo režimu ir pan.; žr., pavyzdžiui, , , ).

6.1 pavyzdys. Tam tikros šeimų grupės šeimos mėnesinės pajamos vienam gyventojui (doleriais) laikomos atsitiktiniu dydžiu. Ištirta N=750 šeimų.

6.1 lentelė

6.2 lentelė

Lentelėje 6.1 ir 6.2 rodo atitinkamai imties duomenų grupavimo rezultatus ir jų logaritmus (grupavimo intervalo plotis 25 doleriai). Fig. 6.1, a, b rodo atitinkamai log-normaliojo ir normaliojo skirstinio dėsnių histogramas ir tankius.

Ryžiai. 6 1. Histograma ir teorinis (modelis) tankis, apibūdinantis šeimų pasiskirstymą pagal vidutines vienam gyventojui tenkančias mėnesines pajamas (a) ir pagal vidutinių vienam gyventojui mėnesinių pajamų logaritmą (b)

Žemiau pateikiami pagrindinių logaritminių skaitinių charakteristikų skaičiavimo rezultatai normalus skirstinys(pagal įstatymo parametrus a ir ):

Iš šių išraiškų aišku, kad logaritminio normaliojo skirstinio iškrypimas ir kurtozė visada yra teigiami (ir kuo arčiau nulio, tuo arčiau nulio), o režimas, mediana ir vidurkis yra išdėstyti tiksliai tokia tvarka, kurią matome Fig. 5.8, ir jie bus linkę susijungti (o tankio kreivė - į simetriją), nes kiekis linkęs į nulį. Šiuo atveju, nors logaritminio normalaus atsitiktinio dydžio reikšmės susidaro kaip kai kurių „atsitiktiniai iškraipymai“. tikroji vertė“ a, pastaroji galiausiai veikia ne kaip vidurkis, o kaip mediana.

Atsitiktinis dydis Y turi lognormalųjį pasiskirstymą su parametrais μ ir σ, jei atsitiktinis dydis X = lnY turi normalųjį pasiskirstymą su tais pačiais parametrais μ ir σ. Žinodami kintamųjų X ir Y ryšio pobūdį, galime nesunkiai sukonstruoti lognormaliojo skirstinio atsitiktinio dydžio tikimybių tankio grafiką (4.2 pav.).

4.2 pav. Lognormalaus pasiskirstymo tankio kreivės skirtingoms parametrų μ ir σ reikšmėms

Jei atsitiktinis dydis X turi tikimybės tankio funkciją, apibrėžtą formule (4.6), ir jei X = lnY, tada:

Kur mes turime y > 0:

Iš apibrėžimo matyti, kad atsitiktinis kintamasis, kuriam taikomas lognormalus skirstinys, gali turėti tik teigiamas reikšmes. Kaip parodyta 4.2 paveiksle, funkcijos f(y) kreivės turi kairiąją asimetriją, kuri yra stipresnė, tuo didesnės parametrų μ ir σ reikšmės. Kiekviena kreivė turi vieną maksimumą ir yra apibrėžta visoms teigiamoms y reikšmėms.

Apskaičiuoti atsitiktinio dydžio, kurio lognormalus skirstinys, matematinį lūkestį ir dispersiją nėra ypač sunku:

Pakeitus pakaitalus ir įvesdami naujus kintamuosius integraluose 4.15 ir 4.16, gauname:

Apskritai, norint apskaičiuoti tikimybę, kad atsitiktinis kintamasis Y su lognormaliu pasiskirstymu ir tankiu f(y, μ, σ) įgis reikšmę intervale (a, b), reikia imti integralą:

Tačiau praktikoje patogiau pasinaudoti tuo, kad atsitiktinio dydžio Y logaritmas turi normalųjį skirstinį. Tikimybė, kad a ≤ Y ≤ b, yra lygiaverčiai tikimybei, kad
lna ≤ lnY ≤ lnb.

Apskaičiuokime tikimybę, kad atsitiktinis dydis, kurio logaritminis skirstinys yra μ = 1, σ = 0,5, įgis reikšmę intervale (2, 5). Mes turime:

Iš logaritmų lentelių randame ln2 = 0,6932 ir ln5 = 1,6094.

Žymėdami lnY = X, galime parašyti:

Be to, atsitiktiniam dydžiui X taikomas normalusis pasiskirstymas, kurio vidutinė vertė μ = 1 ir standartinis nuokrypis σ = 0,5. Dabar norimą tikimybę galima lengvai apskaičiuoti iš normaliojo skirstinio integralinės funkcijos lentelių:

Klausimai savikontrolei

1 Stačiakampio skirstinio apibrėžimas.

2 Stačiakampio pasiskirstymo atsitiktinio dydžio tikimybių tankio grafikas

3 Pagrindinė stačiakampio skirstinio reikšmė.

4 Atsitiktinio dydžio stačiakampiame skirstinyje tikėjimasis ir dispersija.

5 Normaliojo skirstinio vaidmuo matematinėje statistikoje.

6 Kas yra normalusis skirstinys ir kaip jis susijęs su dvejetainiu?

7 Atsitiktinio dydžio normaliojo skirstinio tikimybių tankio grafikas.

8 Kokius statistinius parametrus galima naudoti norint apibrėžti normalųjį skirstinį?

9 Kodėl normalusis skirstinys yra tolydis?

10 Normaliosios kreivės lygtis.

11 Kas yra normalizuotas nuokrypis?

12 Normaliojo pasiskirstymo kreivės lygtis normalizuotoje formoje.

13 Kokios μ ir σ reikšmės apibūdina normalią populiaciją normalizuotoje formoje?

14 Kokia imties duomenų dalis patenka į ±1σ, ±2σ, ±3σ ribas?

15 Ką rodo normaliosios tikimybės integralo lentelė?

16 Lognormalios kreivės lygtis.

17 Atsitiktinio dydžio lognormaliojo skirstinio tikimybių tankio grafikas.

18 Kokias transformacijas reikia atlikti norint gauti normalųjį skirstinį iš lognormalaus skirstinio?

19 Kokie statistiniai parametrai apibrėžia lognormalųjį skirstinį?

5 TEMA Mėginių ėmimo parametrų pasiskirstymas

5,1 t – Studentų paskirstymas

5.2 Fisher–Snedecor F paskirstymas

5,3 χ 2 – pasiskirstymas

5,1 t – Studentų paskirstymas

Normaliojo skirstinio dėsnis atsiranda, kai požymių skaičius yra n > 20–30. Tačiau eksperimentuotojas dažnai atlieka ribotą skaičių matavimų ir savo išvadas grindžia mažais mėginiais. Esant nedideliam stebėjimų skaičiui, rezultatai dažniausiai būna artimi, o didelių nukrypimų retai atsiranda. Tai nesunkiai galima paaiškinti normaliojo pasiskirstymo dėsniu, pagal kurį mažų nuokrypių tikimybė yra didesnė nei didelių nuokrypių. Taigi, nuokrypių, viršijančių ±2σ absoliučia verte, tikimybė yra 0,05, arba vienas atvejis per 20 matavimų, o nuokrypiai ± 3σ – 0,01, arba vienas atvejis iš 100.

Jei lauko eksperimentas atliekamas, pavyzdžiui, 4–6 pakartojimais, tai natūralu, kad lygiagrečių sklypų derliaus rodmenų nukrypimai nebus labai dideli. Todėl standartinis nuokrypis s, apskaičiuotas iš nedidelės imties, daugeliu atvejų bus mažesnis nei visos populiacijos. Todėl tokiais atvejais savo išvadose negalite remtis normaliais paskirstymo kriterijais.

Nuo XX amžiaus pradžios matematinėje statistikoje pradėta kurti nauja kryptis, kurią galima pavadinti mažų imčių statistika. Didžiausią praktinę reikšmę eksperimentiniam darbui turėjo 1908 metais anglų statistiko ir chemiko W. Gosseto atrastas t skirstinys, pavadintas Studento skirstymu (angl. student-studentas, W. Gosseto pseudonimas).

Stjudento t skirstinys imties vidurkiams nustatomas pagal lygybę:

Formulės skaitiklis reiškia imties vidurkio nuokrypį nuo visos visumos vidurkio, o vardiklis:

– yra rodiklis, įvertinantis vidutinės imties visumos standartinę paklaidą.

Taigi t reikšmė matuojama imties vidurkio nuokrypiu nuo visumos vidurkio, išreikšto atrankos paklaidos dalimis, imama vienetu.

Normaliojo ir t pasiskirstymo dažnio maksimumai sutampa, tačiau t pasiskirstymo kreivės forma visiškai priklauso nuo laisvės laipsnių skaičiaus. Esant labai mažoms laisvės laipsnių vertėms, ji įgauna plokščios viršūnės kreivės formą, o kreivės ribojamas plotas yra didesnis nei esant normaliam pasiskirstymui ir padidėjus stebėjimų skaičiui (n ​> 30), t skirstinys artėja prie normalaus ir virsta juo esant n = ∞.

1.1 paveiksle parodytas diferencinis ir integralus t-Student pasiskirstymas esant 10 laisvės laipsnių.

5.1 pav. – Diferencinis (kairėje) ir integralinis (dešinėje) t-Student skirstinys

t-Student skirstinys yra svarbus dirbant su mažomis imtimis: jis leidžia nustatyti pasikliautinąjį intervalą, apimantį populiacijos vidurkį. ir patikrinti vieną ar kitą hipotezę apie bendrą populiaciją. Tokiu atveju populiacijos parametrų žinoti nereikia Ir , pakanka turėti jų įverčius μ ir σ tam tikram imties dydžiui n.

5.1.1 Behrens-Fisher problema

Hipotezės apie dviejų grupių, turinčių normalųjį skirstinį ir nelygias dispersijas matematinės statistikos, bendrųjų vidurkių tikrinimas vadinamas Behrens-Fisher problema ir šiuo metu turi tik apytikslius sprendimus. Kodėl lyginamųjų grupių dispersijų lygybės reikalavimas toks svarbus? Nesigilindami į šios problemos detales, pažymime, kad kuo labiau skiriasi vienas nuo kito dispersijos ir imties dydžiai, tuo labiau „apskaičiuoto t-testo“ skirstinys skiriasi nuo „studento t-testo“ pasiskirstymo. Šiuo atveju tiek pats t kriterijus, tiek toks šių skirstinių parametras kaip laisvės laipsnių skaičius turi skirtingas reikšmes. Savo ruožtu laisvės laipsnių skaičius turi įtakos pasiekto (kritinio) reikšmingumo lygio vertei (p< ...) определяемого для вычисленного значения t-критерия.

Tyrėjų nepaisymas aukščiau pateiktų Studento t testo naudojimo sąlygų leidžia reikšmingai iškraipyti hipotezių apie vidurkių lygybę tikrinimo rezultatus. Todėl darbuose, kuriuose hipotezių apie dviejų vidurkių lygybę tikrinimas buvo atliktas Stjudento t-testu, o pasiskirstymo normalumo ir dispersijų lygybės tikrinimo kriterijai neužsimenama, yra pagrindas manyti, kad autoriai neteisingai panaudojo šį kriterijų, todėl jų deklaruojamos išvados buvo abejotinos.

Kita dažna klaida– Stjudento t-testo taikymas hipotezėms apie trijų ar daugiau grupių vidurkių lygybę patikrinti. Šiuo atveju būtina taikyti vadinamąjį bendrąjį tiesinį modelį, įgyvendintą vienpusės dispersinės analizės su fiksuotais efektais procedūroje.

Pažvelkime atidžiau į Studento t testo naudojimo ypatybes. T testas dažniausiai naudojamas dviem atvejais. Pirmuoju atveju jis naudojamas hipotezei apie dviejų nepriklausomų, nesusijusių imčių bendrųjų vidurkių lygybę patikrinti (vadinamasis dviejų imčių t-testas). Šiuo atveju yra kontrolinė ir eksperimentinė grupė, susidedanti iš skirtingų objektų, kurių skaičius grupėse gali būti skirtingas. Antruoju atveju naudojamas vadinamasis suporuotas t testas, kai ta pati objektų grupė generuoja skaitinę medžiagą hipotezėms apie vidurkius patikrinti. Todėl šios imtys vadinamos priklausomomis, susijusiomis. Pavyzdžiui, baltųjų kraujo kūnelių skaičius matuojamas sveikiems gyvūnams, o paskui tiems patiems gyvūnams po tam tikros spinduliuotės dozės poveikio. Abiem atvejais turi būti tenkinamas tiriamosios charakteristikos normalaus pasiskirstymo reikalavimas kiekvienoje iš lyginamų grupių. Studento t-testo dominavimas daugumoje darbų atspindi du svarbius aspektus.

Antra, tai taip pat rodo, kad šie autoriai nežino šio kriterijaus alternatyvų arba patys negali jomis pasinaudoti. Galima neperdedant teigti, kad šiuo metu neapgalvotas Stjudento t-testo naudojimas daugumoje biologinių darbų atneša daugiau žalos nei naudos.

5.2 Fisher–Snedecor F paskirstymas

Jei iš normaliai paskirstytos populiacijos paimsime dvi nepriklausomas n 1 ir n 2 dydžio imtis ir apskaičiuosime dispersijas Ir kai laisvės laipsniai ν 1 = n –1 ir ν 2 = n 2 –1, tada dispersijos santykį galima nustatyti:

Dispersijų santykis imamas toks, kad skaitiklyje būtų didelė dispersija, todėl F ≥ 1.

F skirstinys priklauso tik nuo laisvės laipsnių skaičiaus ν 1 ir ν 2 (F skirstinio dėsnį atrado R. A. Fisheris). Kai dvi lyginamos imtys yra atsitiktinės ir nepriklausomos nuo bendrosios visumos su bendruoju vidurkiu, tada tikroji F vertė neperžengs tam tikrų ribų ir neviršys kriterijaus F teorinės reikšmės, kritinės duomenims ν 1 ir ν 2 (F). faktas< F теор). Если генеральные параметры сравниваемых групп различны, то F факт >F theor. Teorinės F reikšmės 5% ir 1% reikšmingumo lygiams pateiktos lentelėje, kurioje pateikiami tik tinkami kritiniai taškai F ≥ 1, nes visada įprasta rasti didesnės ir mažesnės dispersijos santykį. .

Kreivės, gautos iš visų galimų F verčių pasiskirstymo funkcijos, ypač su nedideliu stebėjimų skaičiumi, turi asimetrinę formą - ilgą didelių verčių „uodegą“ ir didelę mažų F verčių koncentraciją ( 5.2 pav.).

5.2 pav. – Diferencialas (kairėje) ir integralas (dešinėje)
Fisher-Snedecor F platinimas

Atkreipkite dėmesį, kad Stjudento t skirstinys yra specialus F skirstinio atvejis, kai laisvės laipsnių skaičius ν 1 = 1 ir ν 2 = ν, t.y. lygus t skirstinio laisvės laipsnių skaičiui. Šiuo atveju stebimas toks ryšys tarp F ir t:

5,3 χ 2 – pasiskirstymas

Daugelis faktinių skirstinių atitinka teorinius pasiskirstymo modelius (normalusis, binominis, Puasono), tačiau praktikoje yra skirstinių, kurios labai skiriasi nuo normaliųjų. Norint įvertinti faktinių ir teorinių skirstinių skaičių neatitikimo ar sutapimo laipsnį, įvedami statistiniai sutapimo kriterijai, pavyzdžiui, χ 2 kriterijus. Šis kriterijus naudojamas problemoms spręsti Statistinė analizė, pavyzdžiui, patikrinti hipotezes: apie dviejų principų, kuriais grindžiamas stebėjimo rezultatų grupavimas iš vienos populiacijos, nepriklausomumą; apie grupių homogeniškumą tam tikrų identifikuojamų savybių atžvilgiu; dėl teorinės ir eksperimentinės gausos kreivių sutapimo. χ 2 kriterijų galima vadinti ir susitarimo, ir nepriklausomumo, vienalytiškumo kriterijumi. Pasiskirstymo dėsnį χ 2 (chi kvadratas) atrado K. Pearsonas. Pasiskirstymo kreivė, gauta iš chi kvadrato funkcijos:

kur f yra tikrasis, o F yra teoriniai imties objektų skaičiaus dažniai. Jo išvaizda labai priklauso nuo laisvės laipsnių skaičiaus. Esant nedideliam laisvės laipsnių skaičiui ν, kreivė yra asimetrinė (5.3 pav.), tačiau ν didėjant asimetrija mažėja ir esant ν = ∞ kreivė tampa normalia Gauso.

χ 2 skirstinys, kaip ir t skirstinys, yra ypatingas atvejis
F – ν 1 = ν ir ν 2 = ∞ skirstiniai.

5.3 pav. – Diferencialas (kairėje) ir integralas (dešinėje)
χ 2 – pasiskirstymas

Klausimai savikontrolei

1 Kokiais atvejais geriau naudoti Stjudento t skirstinį, o ne normalųjį skirstinį?

2 Kokie dydžiai turi būti įvertinti norint naudoti Stjudento t skirstinį?

3 Kokia yra Behrens-Fisher problemos esmė?

4 Kaip F skirstinys išreiškiamas skaičiais dviem nepriklausomi pavyzdžiai iš visos kintamųjų rinkinio?

5 Nuo kokių būdingų atsitiktinių dydžių verčių priklauso F skirstinys?

6 Į kokius klausimus gali atsakyti χ 2 kriterijaus reikšmė statistiškai apdorojant eksperimentinius duomenis?

6 TEMA Matematinės statistikos pagrindai

6.1 Vidutinės vertės

6.2 Aritmetinis vidurkis

6.3 Geometrinis vidurkis

6.4 Harmoninis vidurkis

Žymaus anglų matematiko Fišerio logaritminio pasiskirstymo modelis buvo pirmasis bandymas apibūdinti ryšį tarp rūšių skaičiaus ir šių rūšių individų skaičiaus. Šis modelis buvo ypač sėkmingas entomologiniuose tyrimuose ir pirmą kartą jį panaudojo Fisheris kaip teorinį modelį, apibūdinantį rūšių pasiskirstymą kolekcijose. Šį modelį ir įvairovės statistiką išsamiai tyrė L. R. Taylor ir kt.

Rūšių pasiskirstymas pagal logaritminį pasiskirstymą yra aprašytas tokia seka:

kur  X– vieno individo atstovaujamų rūšių skaičius, x 2 /2 – dviejų individų atstovaujamų rūšių skaičius ir kt.

Logaritminis modelis turi du parametrus  ir x. Tai reiškia, kad imties dydžiui N ir rūšių skaičius S yra tik vienas galimas rūšių pasiskirstymas pagal jų santykinį gausumą, nes ir , ir X yra funkcijos N Ir S. Kuo didesnis pavyzdys, paimtas iš tam tikros bendruomenės, tuo didesnė vertė X ir kuo mažesnė individų, priklausančių rūšims, atstovaujamai vienam individui, dalis imtyje. Du parametrai S Ir N(bendras individų skaičius) yra tarpusavyje susiję priklausomybe
, kur yra įvairovės indeksas, kurį galima gauti iš lygties:

,

kur yra visų individų suma N priklauso S tipai:

Logaritminis pasiskirstymo modelis, pasižymintis nedideliu gausių rūšių skaičiumi ir didele „retų“ dalimi, greičiausiai apibūdina bendrijas, kurių struktūrą lemia vienas ar keli aplinkos veiksniai.

Kaip parodė Magharran Airijoje atlikti tyrimai, ši serija atitinka antžeminių augalų rūšių gausos pasiskirstymą spygliuočių pasėliuose esant prastam apšvietimui.

5.3.3. Lognormalus pasiskirstymas

Daugumoje bendrijų rūšių gausos pasiskirstymas yra logiškai normalus, tačiau šis modelis paprastai rodo didelę, brandžią ir įvairią bendruomenę. Toks skirstinys būdingas sistemoms, kai tam tikro kintamojo reikšmę lemia daugybė veiksnių.

Pirmą kartą šį modelį rūšių gausos pasiskirstymui pritaikė Prestonas. Naudodamas įvairią empirinę medžiagą, jis parodė, kad rūšių dažniai didelėse imtyse pasiskirsto pagal lognormalų dėsnį. Pagal jo sukurtą metodiką rūšys, kurių individų skaičius yra intervaluose, kuriuos riboja geometrinės progresijos skaičiai, sugrupuojamos į dažnio klases. Prestonas nubraižė rūšių gausą logaritmo bazės 2 (log 2) skalėje ir gautas klases pavadino oktavomis. Tačiau modeliui apibūdinti galite naudoti bet kurią logaritminę bazę. Grafike rūšių dažnių pasiskirstymas pagal tokiu būdu gautas gausumo klases atitinka gerai žinomą normaliojo pasiskirstymo kreivę, nupjautą kairėje, retų rūšių dažnių diapazone.

Paskirstymas paprastai rašomas tokia forma:

, Kur

S R – teorinis rūšių skaičius oktavoje, esančioje R oktavose nuo modalinės oktavos; S mėn– rūšių skaičius modalinėje oktavoje;  – teorinės log-normaliosios kreivės standartinis nuokrypis, išreikštas oktavų skaičiumi.

Ryžiai. 5.3.2. Log-normalus pasiskirstymas

Loginis normalusis skirstinys apibūdinamas simetriška „normalu“, t.y., varpo formos kreive (5.3.2 pav.). Tačiau jei duomenys, kuriuos ji atitinka, gaunami iš ribotos imties, kairioji kreivės pusė (ty retos, nepateiktos rūšys) bus neaiški. Prestonas pavadino šį sutrumpinimo tašką kairėje „užuolaidų linija“. Didėjant imties dydžiui, „užuolaidų linija“ gali pasislinkti į kairę. Paveiksle jis pažymėtas rodykle. Daugumoje pavyzdžių išreiškiama tik kreivės dalis, esanti dešinėje nuo režimo. Visą kreivę galima atsekti tik sukaupus didžiulius duomenų kiekius didžiulėse biogeografinėse srityse. S Formos kreivė rodo sudėtingą diferenciacijos ir nišos sutapimo pobūdį. Dauguma rūšių natūraliose atvirose ekosistemose egzistuoja konkuruodamos dėl išteklių, o ne tiesiogiai konkuruodamos; Daugelis pritaikymų leidžia padalinti nišas be konkurencinės atskirties iš buveinės. Šis modelis greičiausiai būdingas netrikdomoms bendruomenėms.

Logaritmiškai normalaus pasiskirstymo funkcija buvo plačiai pritaikyta analizuojant objektų patikimumą technologijose, biologijoje, ekonomikoje ir kt. Pavyzdžiui, funkcija sėkmingai naudojama apibūdinti laiką iki guolių gedimo, Elektroniniai prietaisai ir kiti produktai.

Kai kurių parametrų neneigiamos atsitiktinės reikšmės yra lognormaliai paskirstytos, jei jo logaritmas yra normaliai paskirstytas. Skirtingų σ reikšmių pasiskirstymo tankis parodytas Fig. 4.3.

Ryžiai. 4.3.

Pasiskirstymo tankis apibūdinamas priklausomybe

Kur M x ir σ – iš rezultatų įvertinti parametrai P bandymai iki nesėkmės:

(4.4)

Lognormalaus skirstinio dėsnio atveju patikimumo funkcija

(4.5)

Tikimybė veikimas be problemų galima nustatyti iš normaliojo skirstinio lentelių (žr. 6 priedo A6.1 lentelę), priklausomai nuo kvantilio reikšmės

Matematinis laikas iki nesėkmės

Standartinis nuokrypis ir variacijos koeficientas atitinkamai bus lygūs

Jeigu v x ≤ 0,3, tada manoma, kad ν x = σ, o paklaida yra ne didesnė kaip 1%.

Lognormalaus skirstinio dėsnio priklausomybės dažnai rašomos dešimtainiais logaritmais. Pagal šį įstatymą pasiskirstymo tankis

lg parametrų įverčiai x 0 ir σ nustatomi remiantis bandymo rezultatais:

Tikėtina vertė M x, standartinis nuokrypis σ x ir variacijos koeficientas ν x laikas iki gedimo yra atitinkamai lygus

4.6 pavyzdys

Nustatykite tikimybę, kad pavarų dėžė veiks be gedimų t= 103 h, jei išteklius paskirstytas logaritmiškai su parametrais lg t 0 = 3,6; σ = 0,3.

Sprendimas

Raskime kvantilinę reikšmę ir nustatykime veikimo be gedimų tikimybę:

Atsakymas: R(t) = 0,0228.

Weibull paskirstymas

Weibull paskirstymo funkcija yra dviejų parametrų skirstinys. Jo aprašytas dėsnis yra universalus, nes su atitinkamomis parametrų reikšmėmis jis virsta normaliu, eksponentinį ir kitokio tipo skirstiniais. Šio pasiskirstymo dėsnio autorius V. Weibull jį panaudojo apibūdindamas ir analizuodamas eksperimentiškai pastebėtus plieno stiprio nuovargio pokyčius ir jo tamprumo ribas. Weibull dėsnis patenkinamai apibūdina laiką iki guolių ir elektroninės įrangos elementų gedimo, jis naudojamas mašinų, įskaitant automobilius, dalių ir mazgų patikimumui įvertinti, taip pat mašinų patikimumui jų įvažiavimo metu. Pasiskirstymo tankis apibūdinamas priklausomybe

čia α yra pasiskirstymo kreivės formos parametras; λ – pasiskirstymo kreivės skalės parametras.

Pasiskirstymo tankio funkcijos grafikas parodytas pav. 4.4.

Ryžiai. 4.4.

Weibull paskirstymo funkcija

Šio paskirstymo dėsnio patikimumo funkcija

Atsitiktinio dydžio laukimas X lygus

kur Г( x) – gama funkcija.

Dėl nuolatinių verčių X

Sveikųjų skaičių reikšmėms X Gama funkcija apskaičiuojama pagal formulę

formulės taip pat teisingos

Atsitiktinio dydžio dispersija lygi

Plačiai paplitęs Veibulio skirstinio dėsnis analizuojant ir skaičiuojant gaminio patikimumą paaiškinamas tuo, kad šis dėsnis, apibendrinantis eksponentinį skirstinį, apima papildomas parametras α.

Tinkamai parinkus parametrus a ir λ, galima gauti geresnį sutapimą tarp apskaičiuotų verčių ir eksperimentinių duomenų, lyginant su eksponentiniu dėsniu, kuris yra vieno parametro (parametras λ).

Taigi gaminiams, kurie turi paslėptų defektų, bet kurie nenaudojami ilgą laiką (todėl sensta lėčiau), gedimo rizika yra didžiausia pradiniu laikotarpiu, o vėliau greitai mažėja. Tokio gaminio patikimumo funkciją gerai apibūdina Veibulio dėsnis su parametru α< 1.

Priešingai, jei gaminys yra gerai kontroliuojamas gamybos metu ir beveik neturi paslėptų defektų, tačiau greitai sensta, tai patikimumo funkcija apibūdinama Veibulio dėsniu su parametru α > 1. Esant α = 3,3, Veibulio pasiskirstymas yra artimas. į normalią.

Logaritminis skirstinys tikimybių teorijoje – diskrečiųjų skirstinių klasė. Logaritminis skirstinys naudojamas įvairiose srityse, įskaitant matematinę genetiką ir fiziką.

Apibrėžimas

Tegu atsitiktinio dydžio skirstinys $Y$ pateikiama tikimybių funkcija:

$p\_Y(k)\; \backslash equiv\; \backslash mathbb(P)(Y=k)\; =\; -\backslash frac(1)(\backslash ln(1-p))\; \backslash frac(p^k)(k),\backslash ;\; k=1,2,3,\backslash ltaškai$,

Kur $0$

Tada jie taip sako $Y$ turi logaritminį skirstinį su parametru $p$. Jie rašo: $Y\; \backslash sim\; \backslash mathrm\; (Žurnalas)\; (p)$.

Atsitiktinių kintamųjų paskirstymo funkcija $Y$ dalimis konstanta su šuoliais natūraliuose taškuose:

$F\_Y(y)\; =\; \backslash kairė\backslash ($

\begin(matrica) 0, & y< 1 & \\ 1 + \frac{\mathrm{B}_p(k+1,0)}{\ln (1-p)},\; & y \in ,\; 0

$\backslash sum\backslash limits\_(k=1)^(\backslash infty)p\_Y(k)\; =\; 1$.

Akimirkos

Atsitiktinio dydžio momentų generavimo funkcija $Y\; \backslash sim\; \backslash mathrm\; (Žurnalas)\; (p)$ pateikiama pagal formulę

$M\_Y(t)\; =\; \backslash frac(\backslash ln\backslash left)(\backslash ln)$,

$\backslash mathbb(E)[Y]\; =\; -\; \backslash frac(1)(\backslash ln(1-p))\; \backslash frac(p)(1-p)$, $\backslash mathrm(D)[Y]\; =\; -p\; \backslash ;\backslash frac(p\; +\; \backslash ln(1-p))((1-p)^2\backslash ,\backslash ln^2(1-p))$.

Ryšys su kitais paskirstymais

Nepriklausomų logaritminių atsitiktinių dydžių Puasono suma turi neigiamą binominį skirstinį. Leisti $\backslash (X\_i\backslash )\_(i=1)^n$ nepriklausomų identiškai paskirstytų atsitiktinių dydžių seka taip, kad $X\_i\; \backslash sim\; \backslash mathrm(Žurnalas)(p),\; \backslash ;\; i=1,2,\backslash ltaškai$. Leisti $N\; \backslash sim\; \backslash mathrm(P)(\backslash lambda)$- Puasono atsitiktinis kintamasis. Tada

$Y\; =\; \backslash sum\backslash limits\_(i=1)^N\; X\_i\; \backslash sim\; \backslash mathrm(NB)$.

Programos

Parašykite apžvalgą apie straipsnį "Logaritminis skirstymas"

Ištrauka, aprašanti logaritminį skirstinį

Vėjas nurimo, virš mūšio lauko žemai pakibo juodi debesys, horizonte susilieję su parako dūmais. Sutemo, dviejose vietose juo labiau matėsi laužų švytėjimas. Kanonada pasidarė silpnesnė, tačiau ginklų traškėjimas už nugaros ir dešinėje buvo girdimas dar dažniau ir arčiau. Kai tik Tušinas su ginklais, važinėdamas aplinkui ir bėgdamas per sužeistuosius, išlindo iš ugnies ir nusileido į daubą, jį pasitiko jo viršininkai ir adjutantai, įskaitant štabo karininką ir Žerkovą, kuris buvo išsiųstas du kartus ir niekada. pasiekė Tušino bateriją. Visi, vienas kitą pertraukdami, davė ir perdavė įsakymus, kaip ir kur eiti, reiškė jam priekaištus ir pastabas. Tušinas nedavė įsakymų ir tyliai, bijodamas kalbėti, nes kiekvienam žodžiui buvo pasirengęs, nežinodamas, kodėl verkti, užlipo ant savo artilerijos rago. Nors sužeistuosius buvo įsakyta palikti, daugelis jų velkasi už karių ir paprašė, kad jie būtų dislokuoti prie ginklų. Tas pats veržlus pėstininkų karininkas, kuris prieš mūšį iššoko iš Tušino trobelės, su kulka skrandyje buvo padėtas ant Matvevnos vežimo. Po kalnu prie Tušino priėjo blyškus husaro kariūnas, viena ranka palaikęs kitą ir paprašė atsisėsti.