Physikalisch mögliche digitale Filter arbeiten in Echtzeit; die folgenden Daten können verwendet werden, um zum i-ten diskreten Zeitpunkt ein Ausgangssignal zu erzeugen:

1. Werte des Ausgangssignals zum aktuellen Zeitpunkt; außerdem eine bestimmte Anzahl vergangener Abtastwerte des Eingangssignals: x(i-1), x(i-2), x(i-m);

2. Eine bestimmte Anzahl vorheriger Abtastwerte des Ausgangssignals: y(i-1), y(i-2), y(i-n).

Die ganzen Zahlen m und n bestimmen die Ordnung des digitalen Filters. Filter werden basierend darauf klassifiziert, wie Informationen über den vergangenen Zustand des Systems verwendet werden.

FIR-Filter oder nicht rekursive Filter, die nach dem folgenden Algorithmus arbeiten.

M – Filterreihenfolge.

Ein nichtrekursiver Filter führt die Gewichtung und Summierung vorheriger Abtastwerte des Eingangssignals durch. Frühere Ausgabebeispiele werden nicht verwendet.

H(z) – Systemfunktion.

Die Systemfunktion hat m Nullstellen und einen Pol bei z=0.

Der Betriebsalgorithmus eines digitalen FIR-Filters ist in Abb. 45 dargestellt.

Die Hauptelemente des Filters sind Blöcke zur Verzögerung von Wertabtastwerten um ein Abtastintervall.

Skalenblöcke, die eine digitale Multiplikation mit Gewichtungsfaktoren durchführen. Vom Ausgang der Skalenblöcke gelangt das Signal in den Addierer, wo das Ausgangssignal berechnet wird.

Das Blockdiagramm ist nicht elektrisch, sondern dient als grafische Darstellung des Signalverarbeitungsalgorithmus auf einem Computer. Die Ausgabe- und Eingabedaten für einen solchen Algorithmus sind Zahlenfelder.

Wenden wir die inverse Z-Transformation auf die Systemfunktionen an und ermitteln die Impulsantwort:

(Filterimpulsantwort).

Die Impulsantwort eines FIR-Filters enthält eine endliche Anzahl von Elementen und der Filter ist immer stabil.

Wir werden finden Frequenzgang durch die Durchführung der Substitution

T=1/fs – Abtastintervall.

Betrachten wir den einfachsten digitalen Filter – Filter mit konstanten Parametern.

Das Eingangssignal des digitalen Filters wird in Form einer Folge von in Abständen aufeinanderfolgenden Zahlenwerten geliefert (Abb. 4.1, a). Wenn jeder nächste Signalwert im digitalen Filter empfangen wird, wird der nächste Wert des Ausgangssignals berechnet. Die Berechnungsalgorithmen können sehr unterschiedlich sein. Während des Berechnungsvorgangs kann zusätzlich zum letzten Wert des Eingangssignals verwendet werden

bisherige Werte der Ein- und Ausgangssignale: Das Ausgangssignal eines digitalen Filters ist ebenfalls eine Folge von Zahlenwerten, die einem Intervall von folgen. Dieses Intervall ist für das gesamte Gerät gleich digitale Verarbeitung Signale.

Reis. 4.1. Signal am Ein- und Ausgang des digitalen Filters

Wenn Sie also das einfachste Signal in Form eines einzelnen Impulses an den Eingang eines digitalen Filters anlegen (Abb. 4.2, a)

dann erhalten wir am Ausgang ein Signal in Form einer diskreten Folge von Zahlenwerten, die in Abständen folgen

In Analogie zu herkömmlichen Analogschaltungen nennen wir dieses Antwortsignal die Impulsantwort des Filters (Abb. 4.2, b). Im Gegensatz zur Impulsantwort einer analogen Schaltung ist die Funktion dimensionslos.

Reis. 4.2. Einheitsimpuls und Impulsantwort eines digitalen Filters

Lassen Sie uns der Eingabe einen beliebigen Filter zuführen diskretes Signal Reis. 4.1, a), bei dem es sich um eine Menge diskreter Werte handelt

Unter der Wirkung des ersten Elements wird am Ausgang des Filters eine Folge multipliziert mit gebildet; unter der Wirkung wird eine Folge mit multipliziert und um einen Betrag nach rechts verschoben usw. Als Ergebnis erhält der Ausgang den Reihenfolge wo

Somit ist das Ausgangssignal als diskrete Faltung des Eingangssignals und der Impulsantwort definiert. In dieser Hinsicht ähneln digitale Filter herkömmlichen Schaltungen, bei denen das Ausgangssignal gleich der Faltung des Eingangssignals und der Impulsantwort ist.

Formel (4.1) ist ein digitaler Filteralgorithmus. Wenn die Impulsantwort eines Filters durch eine Folge mit einer endlichen Anzahl von Termen beschrieben wird, kann das Filter in Form einer in Abb. gezeigten Schaltung implementiert werden. 4.3. Hier gibt der Buchstabe die Elemente der Signalverzögerung für die Zeit (pro Zelle) an; -Elemente, die das Signal mit dem entsprechenden Koeffizienten multiplizieren.

Das Diagramm in Abb. 4.3 ist nicht Elektrischer Schaltplan digitaler Filter; Dieses Diagramm stellt dar grafisches Bild digitaler Filteralgorithmus und zeigt die Abfolge der arithmetischen Operationen, die während der Signalverarbeitung durchgeführt werden.

Reis. 4.3. Nichtrekursive digitale Filterschaltung

Für digitale Filter, die Signale in Form abstrakter Zahlenfolgen verarbeiten, ist das Konzept der „Zeitverzögerung“ nicht ganz richtig. Daher werden Elemente, die das Signal um eine Zelle verzögern, auf digitalen Filterschaltungen normalerweise mit einem Symbol gekennzeichnet, das die Signalverzögerung in der Sprache der -Transformationen angibt. Im Folgenden bleiben wir bei dieser Notation.

Kehren wir zur digitalen Filterschaltung zurück, die in Abb. 4.3, Solche Filter, bei denen nur die Werte des Eingangssignals zur Berechnung herangezogen werden, nennt man einfach oder nicht rekursiv.

Der nichtrekursive Filteralgorithmus ist einfach zu schreiben, wenn die Impulsantwort des Filters bekannt ist. Für praktische Umsetzung Der Algorithmus erfordert, dass die Impulsantwort eine endliche Anzahl von Termen enthält. Wenn die Impulsantwort unendlich viele Terme enthält, deren Wert jedoch schnell abnimmt, können Sie sich auf eine endliche Anzahl von Termen beschränken und diejenigen verwerfen, deren Werte klein sind. Wenn die Elemente der Impulsantwort nicht an Wert verlieren, erweist sich der nichtrekursive Filteralgorithmus als nicht realisierbar.

Reis. 4.4. -Kette

Betrachten Sie als Beispiel den einfachsten digitalen Filter, ähnlich der -Schaltung (Abb. 4.4). Die Impulsantwort der Schaltung hat die Form

Um die Impulsantwort des entsprechenden digitalen Filters zu schreiben, sollte der Ausdruck durch ersetzt werden. Die Impulsantwort einer Schaltung hat jedoch eine Dimension, und die Impulsantwort eines digitalen Filters muss dimensionslos sein. Deshalb lassen wir den Multiplikator im Ausdruck (4.2) weg und schreiben die Impulsantwort des digitalen Filters in die Form

Eine solche Impulsantwort enthält unendlich viele Terme, deren Größe jedoch nach einem Exponentialgesetz abnimmt, und wir können uns auf Terme beschränken und solche wählen

Jetzt können wir den Ausdruck für das Signal am Filterausgang schreiben

Dieser Ausdruck ist auch ein digitaler Filteralgorithmus. Das Diagramm dieses Filters ist in Abb. dargestellt. 4.5.

Der zweite Ansatz zur Analyse von Prozessen in digitalen Filtern ähnelt der Operatormethode zur Analyse herkömmlicher analoger Schaltkreise, nur wird anstelle der Laplace-Transformation die -Transformation verwendet.

Reis. 4.5. Schaltung eines nichtrekursiven digitalen Filters ähnlich einer -Schaltung

Definieren wir einen digitalen Filterparameter ähnlich der Übertragungsfunktion Stromkreis. Wenden Sie dazu eine Transformation auf die Impulsantwort eines digitalen Filters an:

Die Funktion wird als Systemfilterfunktion bezeichnet.

Gemäß Ausdruck (4.1) ist das Signal am Ausgang des digitalen Filters gleich der diskreten Faltung des Eingangssignals und der Impulsantwort des Filters. Wenn wir den Faltungssatz auf diesen Ausdruck anwenden, erhalten wir, dass die Ausgangssignaltransformation gleich der Eingangssignaltransformation multipliziert mit der Systemfilterfunktion ist:

Somit übernimmt die Systemfunktion die Rolle der Übertragungsfunktion eines digitalen Filters.

Als Beispiel finden wir die Systemfunktion eines digitalen Filters erster Ordnung ähnlich einer -Schaltung:

Die dritte Methode zur Analyse des Signaldurchgangs durch digitale Filter ähnelt der klassischen Methode der Differentialgleichungen. Betrachten wir diese Methode am Beispiel von Auftragsketten.

Das einfachste analoge Schaltung Die 1. Ordnung ist ein -Kreis (siehe Abb. 4.4), dessen Signaldurchgang durch die Differentialgleichung beschrieben wird

Stattdessen für eine diskrete Schaltung Differentialgleichung(4.8) Es sollte eine Differenzengleichung geschrieben werden, in der die Eingangs- und Ausgangssignale für diskrete Zeitpunkte angegeben werden und anstelle der Ableitung die Differenz benachbarter Signalwerte erscheinen sollte. Für eine diskrete Schaltung 1. Ordnung kann die Differenzengleichung in einer ziemlich allgemeinen Form geschrieben werden

Wenden wir die Transformation auf die Gleichung an

wo wir die Systemfilterfunktion finden

Formel (4.10) ist ein ziemlich allgemeiner Ausdruck für Systemfunktion Digitalfilter 1. Ordnung. Wenn es mit dem zuvor erhaltenen Ausdruck (4.7) für die Systemfunktion eines digitalen Filters übereinstimmt, entspricht er einer -Schaltung.

Finden wir einen digitalen Filteralgorithmus, der der Systemfunktion (4.10) entspricht. Dazu lösen wir Gleichung (4.9) nach

Ein äquivalentes Diagramm dieses Algorithmus ist in Abb. dargestellt. 4.6. Im Vergleich zu einem nicht-rekursiven Filter (siehe Abb. 4.5) ist hier eine Art „Kette“ hinzugekommen Rückmeldung", was bedeutet, dass die Ausgangssignalwerte im Folgenden verwendet werden

Reis. 4.6. Schaltung eines rekursiven digitalen Filters ähnlich einer -Schaltung

Berechnungen. Filter dieses Typs werden als rekursiv bezeichnet.

Der Algorithmus (4.11) entspricht einem Filter, der dem zuvor besprochenen nicht-rekursiven Filter völlig äquivalent ist. Um jedoch einen Wert des Ausgangssignals mit dem nicht-rekursiven Filteralgorithmus (4.4) zu bestimmen, müssen Operationen ausgeführt werden, und bei Verwendung des rekursiven Filteralgorithmus (4.11) sind nur zwei Operationen erforderlich. Dies ist der Hauptvorteil rekursiver Filter. Darüber hinaus ermöglichen rekursive Filter eine Signalverarbeitung mit höherer Genauigkeit, da sie eine korrektere Umsetzung der Impulsantwort ermöglichen, ohne deren „Schwanz“ zu verwerfen. Mit rekursiven Filtern können Sie Algorithmen implementieren, die mit nicht rekursiven Filtern überhaupt nicht implementiert werden können. Beispielsweise mit einem Filter, der nach der Schaltung in Abb. arbeitet. 4.6 ist im Wesentlichen ein idealer Akkumulator-Integrator und hat eine Impulsantwort der Form Ein Filter mit einer solchen Charakteristik kann nicht mit einem nichtrekursiven Schema implementiert werden.

Die betrachteten Beispiele zeigen, dass es keinen Sinn macht, nichtrekursive Algorithmen zur Erstellung digitaler Filter mit langer Impulsantwort zu verwenden. In diesen Fällen ist es sinnvoller, rekursive Filter zu verwenden.

Der Anwendungsbereich nichtrekursiver Algorithmen ist die Implementierung digitaler Filter mit einer Impulsantwort, die eine geringe Anzahl von Termen enthält. Ein Beispiel ist der einfachste Differenzierer, dessen Ausgangssignal gleich dem Inkrement des Eingangssignals ist:

Die Schaltung eines solchen digitalen Filters ist in Abb. dargestellt. 4.7.

Reis. 4.7. Schaltung des einfachsten digitalen Differenzierers

Betrachten wir nun einen allgemeinen digitalen Filter, der durch die Gleichung beschrieben wird

Diese Gleichung kann sowohl als Differenzgleichung der Ordnung als auch als digitaler Filteralgorithmus betrachtet werden, wenn sie anders umgeschrieben wird, nämlich

Reis. 4.8. Rekursive Filterschaltung digitaler Ordnung

Der Algorithmus (4.13) entspricht der in Abb. 4.8. Finden wir die Systemfunktion eines solchen Filters. Wenden Sie dazu die Transformation auf die Gleichung an:

Ausdruck (4.14) ermöglicht es uns, einen Zusammenhang zwischen den Schwankungen der Elemente der Filterschaltung und der Systemfunktion herzustellen. Die Koeffizienten im Zähler der Systemfunktion bestimmen die Werte der Koeffizienten für

(im nicht rekursiven Teil des Filters) und die Koeffizienten im Nenner bestimmen den rekursiven Teil des Filters.

Alles begann, als ein Freund eines Freundes eines Freundes Hilfe bei denselben Filtern brauchte. Über die Wege der Jedi erreichten mich Gerüchte darüber, ich habe mich in den Kommentaren zum Beitrag unter dem Link abgemeldet. Es schien zu helfen. Nun ja, das hoffe ich.

Diese Geschichte weckte in mir Erinnerungen an den dritten oder ähnlichen Kurs, als ich selbst den DSP belegte, und veranlasste mich, einen Artikel für alle zu schreiben, die sich für die Funktionsweise digitaler Filter interessieren, aber natürlich Angst davor haben -Top-Formeln und psychedelische Zeichnungen in (ich spreche schon nicht von Lehrbüchern).

Generell wird die Situation bei Lehrbüchern meiner Erfahrung nach mit dem bekannten Satz beschrieben, dass man manchmal den Wald vor lauter Bäumen nicht sieht. Und das heißt, wenn einem sofort Angst vor der Z-Transformation und den Formeln zur Division von Polynomen einjagt, die oft länger als zwei Bretter sind, versiegt das Interesse an dem Thema extrem schnell. Wir beginnen mit einem einfachen Ausdruck; um zu verstehen, was passiert, ist es glücklicherweise überhaupt nicht notwendig, lange komplexe Ausdrücke zu beschreiben.

Also zunächst einige einfache Grundkonzepte.

1. Impulsantwort.

Nehmen wir an, wir haben eine Box mit vier Pins. Wir haben keine Ahnung, was sich darin befindet, aber wir wissen mit Sicherheit, dass die beiden linken Terminals der Eingang und die beiden rechten der Ausgang sind. Versuchen wir, einen sehr kurzen Impuls mit sehr großer Amplitude darauf anzulegen und zu sehen, was am Ausgang passiert. Nun ja, es ist nicht klar, was sich in diesem Quadripol befindet, weil unklar ist, wie man es beschreiben soll, aber zumindest werden wir etwas sehen.

Hier muss gesagt werden, dass ein kurzer (im Allgemeinen unendlich kurzer) Impuls mit großer (im Allgemeinen unendlicher) Amplitude in der Theorie eine Delta-Funktion genannt wird. Das Lustige ist übrigens, dass das Integral davon ist endlos Funktion ist gleich eins. Das ist die Normalisierung.

Was wir also am Ausgang des Quadripolnetzwerks gesehen haben, nachdem wir die Delta-Funktion auf den Eingang angewendet haben, heißt Impulsantwort dieser Quadripol. Im Moment ist jedoch nicht klar, wie es uns helfen wird, aber erinnern wir uns einfach an das erzielte Ergebnis und gehen wir zum nächsten interessanten Konzept über.

2. Faltung.

Kurz gesagt ist die Faltung eine mathematische Operation, bei der es darum geht, das Produkt von Funktionen zu integrieren:

Wie Sie sehen, ist dies mit einem Sternchen gekennzeichnet. Sie können auch sehen, dass während der Faltung eine Funktion in ihrer „Vorwärts“-Reihenfolge übernommen wird und wir die zweite „von hinten nach vorne“ durchlaufen. Im diskreten Fall, der für die Menschheit wertvoller ist, geht die Faltung natürlich wie jedes Integral in die Summation über:

Es scheint eine Art langweilige mathematische Abstraktion zu sein. Tatsächlich ist ein Bündel jedoch vielleicht das magischste Phänomen dieser Welt, gleich nach der Geburt eines Menschen an Erstaunlichkeit, mit dem einzigen Unterschied, dass die meisten Menschen spätestens im Alter von achtzehn Jahren herausfinden, woher Kinder kommen Während ein großer Teil der Erdbevölkerung ihr ganzes Leben lang überhaupt keine Ahnung davon hat, was eine Faltung ist und warum sie nützlich und erstaunlich ist.

Die Stärke dieser Operation liegt also in der Tatsache, dass, wenn f ein beliebiges Eingangssignal und g die Impulsantwort eines Netzwerks mit vier Toren ist, das Ergebnis der Faltung dieser beiden Funktionen unserem ähnlich sein wird erhalten Sie, indem Sie das Signal f durch dieses Vier-Port-Netzwerk leiten.

Das heißt, die Impulsantwort ist eine vollständige Zusammenfassung aller Eigenschaften des Quadripols in Bezug auf den Eingangseffekt, und die Faltung des Eingangssignals damit ermöglicht die Wiederherstellung des entsprechenden Ausgangssignals.

Meiner Meinung nach ist das einfach großartig!

3. Filter.

Mit Impulsantwort und Faltung können Sie viele interessante Dinge tun. Wenn das Signal beispielsweise ein Audiosignal ist, können Sie Hall, Echo, Chorus, Flanger und vieles mehr organisieren; man kann differenzieren und integrieren... Im Allgemeinen kann man alles erschaffen. Für uns ist es jetzt am wichtigsten, dass Filter natürlich auch einfach durch Faltung erhalten werden können.

Der digitale Filter selbst ist die Faltung des Eingangssignals mit einer Impulsantwort, die dem gewünschten Filter entspricht.

Aber natürlich muss die Impulsantwort irgendwie erhalten werden. Wir haben natürlich oben bereits herausgefunden, wie man es misst, aber bei einer solchen Aufgabe macht das wenig Sinn – wenn wir den Filter bereits zusammengebaut haben, warum dann noch etwas anderes messen, wir können ihn so verwenden, wie er ist. Und außerdem besteht der wichtigste Wert digitaler Filter darin, dass sie Eigenschaften haben können, die in der Realität unerreichbar (oder nur sehr schwer zu erreichen) sind – zum Beispiel eine lineare Phase. Hier gibt es also überhaupt keine Möglichkeit zu messen, man muss nur zählen.

4. Erhalten einer Impulsantwort.

Nehmen wir an, wir haben entschieden, was wir von einem Filter erwarten, und eine Gleichung erstellt, die es beschreibt. Um die Impulsantwort zu ermitteln, können Sie als Nächstes die Deltafunktion in die abgeleitete Gleichung einsetzen und so die gewünschte erhalten. Das einzige Problem besteht darin, wie das geht, denn die Delta-Funktion ist zeitlich O Dieser Bereich ist durch ein raffiniertes System vorgegeben, und im Allgemeinen gibt es alle möglichen Unendlichkeiten. In diesem Stadium erweist sich also alles als furchtbar schwierig.

An diesem Punkt erinnern sie sich daran, dass es so etwas wie die Laplace-Transformation gibt. An sich ist es kein Pfund Rosinen. Der einzige Grund, warum sie in der Funktechnik toleriert wird, liegt gerade darin, dass in dem Raum des Arguments, zu dem diese Transformation einen Übergang darstellt, manche Dinge tatsächlich einfacher werden. Insbesondere lässt sich dieselbe Delta-Funktion, die uns im Zeitbereich so viel Ärger bereitet hat, sehr einfach ausdrücken – da ist sie nur eine!

Die Z-Transformation (auch bekannt als Laurent-Transformation) ist eine Version der Laplace-Transformation für diskrete Systeme.

Das heißt, indem wir die Laplace-Transformation (oder ggf. die Z-Transformation) auf die Funktion anwenden, die den gewünschten Filter beschreibt, indem wir eins in das resultierende Filter ersetzen und zurücktransformieren, erhalten wir die Impulsantwort. Es hört sich einfach an, jeder kann es ausprobieren. Ich werde es nicht riskieren, denn wie bereits erwähnt ist die Laplace-Transformation eine harte Sache, insbesondere die umgekehrte. Belassen wir es als letzten Ausweg und suchen wir nach mehr einfache Wege bekommen, was Sie suchen. Es gibt mehrere davon.

Erstens können wir uns an eine weitere erstaunliche Tatsache der Natur erinnern: Die Amplituden-Frequenz- und Impulseigenschaften hängen durch die gute und bekannte Fourier-Transformation miteinander zusammen. Das bedeutet, dass wir jede beliebige Frequenzantwort nach unserem Geschmack zeichnen, daraus die inverse Fourier-Transformation (kontinuierlich oder diskret) durchführen und die Impulsantwort des Systems erhalten können, das sie implementiert. Das ist einfach unglaublich!

Dies wird jedoch nicht ohne Probleme verlaufen. Erstens wird die Impulsantwort, die wir erhalten, höchstwahrscheinlich unendlich sein (ich werde nicht auf Erklärungen eingehen, warum; so funktioniert die Welt), also müssen wir eine freiwillige Entscheidung treffen, sie an einem bestimmten Punkt (Einstellung) abzuschneiden ab diesem Punkt gleich Null). Aber das wird nicht einfach so passieren – die Folge davon ist erwartungsgemäß eine Verzerrung des Frequenzgangs des berechneten Filters – er wird wellig und die Grenzfrequenz wird unscharf.

Um diese Effekte zu minimieren, werden verschiedene Glättungsfensterfunktionen auf die verkürzte Impulsantwort angewendet. Dadurch wird der Frequenzgang meist noch unschärfer, unangenehme (vor allem im Durchlassbereich) Schwingungen verschwinden jedoch.

Tatsächlich erhalten wir nach einer solchen Verarbeitung eine funktionierende Impulsantwort und können einen digitalen Filter bauen.

Die zweite Berechnungsmethode ist noch einfacher: Die Impulsantworten der gängigsten Filter werden für uns längst in analytischer Form ausgedrückt. Sie müssen nur noch Ihre Werte ersetzen und die Fensterfunktion nach Ihren Wünschen auf das Ergebnis anwenden. Sie müssen also nicht einmal über Transformationen nachdenken.

Und wenn das Ziel natürlich darin besteht, das Verhalten einer bestimmten Schaltung zu emulieren, können Sie deren Impulsantwort im Simulator abrufen:

Hier habe ich einen Impuls von 100500 Volt (ja, 100,5 kV) mit einer Dauer von 1 μs an den Eingang der RC-Schaltung angelegt und dessen Impulsantwort erhalten. Es ist klar, dass dies in der Realität nicht möglich ist, aber im Simulator funktioniert diese Methode, wie Sie sehen, hervorragend.

5. Notizen.

Was oben über die Verkürzung der Impulsantwort gesagt wurde, galt natürlich auch für die sogenannte. Filter mit endlicher Impulsantwort (FIR/FIR-Filter). Sie verfügen über eine Reihe wertvoller Eigenschaften, einschließlich der linearen Phase (unter bestimmten Bedingungen für den Aufbau der Impulsantwort), die das Fehlen von Signalverzerrungen während der Filterung sowie absolute Stabilität gewährleistet. Es gibt auch Filter mit unendlicher Impulsantwort (IIR/IIR-Filter). Sie sind rechnerisch weniger ressourcenintensiv, verfügen aber nicht mehr über die aufgeführten Vorteile.

Im nächsten Artikel hoffe ich, ein einfaches Beispiel für die praktische Umsetzung eines digitalen Filters zu sehen.