Butterworth-Filter

Butterworth-Tiefpassfilter-Übertragungsfunktion N-Ordnung ist durch den Ausdruck gekennzeichnet:

Der Amplitudenfrequenzgang des Butterworth-Filters hat folgende Eigenschaften:

1) In beliebiger Reihenfolge N Frequenzgangwert

2) bei der Grenzfrequenz u = u s

Der Frequenzgang des Tiefpassfilters nimmt mit zunehmender Frequenz monoton ab. Aus diesem Grund werden Butterworth-Filter als Flachfilter bezeichnet. Abbildung 3 zeigt Diagramme der Amplituden-Frequenz-Eigenschaften von Butterworth-Tiefpassfiltern der 1. bis 5. Ordnung. Offensichtlich gilt: Je höher die Ordnung des Filters, desto genauer wird der Frequenzgang eines idealen Tiefpassfilters angenähert.

Abbildung 3 – Frequenzgang für einen Tiefpass-Butterworth-Filter der Ordnung 1 bis 5

Abbildung 4 zeigt eine Schaltungsimplementierung eines Butterworth-Hochpassfilters.

Abbildung 4 – Butterworth HPF-II

Der Vorteil des Butterworth-Filters ist der glatteste Frequenzgang bei Durchlassfrequenzen und seine Reduzierung auf nahezu Null bei Sperrfrequenzen. Der Butterworth-Filter ist der einzige Filter, der die Form des Frequenzgangs für höhere Ordnungen beibehält (mit Ausnahme eines steileren Abfalls der Charakteristik im Unterdrückungsband), während viele andere Filtertypen (Bessel-Filter, Chebyshev-Filter, Elliptische Filter) haben unterschiedliche Formen des Frequenzgangs bei unterschiedlichen Ordnungen.

Im Vergleich zu den Chebyshev-Filtertypen I und II oder dem elliptischen Filter weist der Butterworth-Filter jedoch einen flacheren Rolloff auf und muss daher von höherer Ordnung sein (was schwieriger zu implementieren ist), um die gewünschte Leistung bei den Sperrfrequenzen bereitzustellen.

Tschebyscheff-Filter

Der Quadratmodul der Übertragungsfunktion des Tschebyscheff-Filters wird durch den Ausdruck bestimmt:

Wo ist das Tschebyscheff-Polynom? Der Modul der Übertragungsfunktion des Tschebyscheff-Filters ist bei den Frequenzen, bei denen er Null wird, gleich Eins.

Tschebyscheff-Filter werden üblicherweise dort verwendet, wo ein Filter kleiner Ordnung verwendet werden muss, um die erforderlichen Frequenzgangeigenschaften bereitzustellen, insbesondere eine gute Unterdrückung von Frequenzen aus dem Unterdrückungsband und die Glätte des Frequenzgangs bei den Frequenzen des Durchlassbands und Unterdrückungsbänder sind nicht so wichtig.

Es gibt Tschebyscheff-Filter vom Typ I und II.

Tschebyscheff-Filter erster Art. Dies ist eine häufigere Modifikation von Tschebyscheff-Filtern. Im Durchlassbereich eines solchen Filters sind Wellen sichtbar, deren Amplitude durch den Wellenexponenten e bestimmt wird. Im Fall eines analogen elektronischen Tschebyscheff-Filters ist seine Ordnung gleich der Anzahl der bei seiner Implementierung verwendeten reaktiven Komponenten. Ein steilerer Abfall der Kennlinie lässt sich erreichen, indem man Welligkeiten nicht nur im Durchlassbereich, sondern auch im Unterdrückungsbereich zulässt, indem man zur Filterübertragungsfunktion Nullen auf der imaginären Achse in der komplexen Ebene hinzufügt. Dies führt jedoch zu einer weniger wirksamen Unterdrückung im Sperrbereich. Der resultierende Filter ist ein elliptischer Filter, auch Cauer-Filter genannt.

Der Frequenzgang für einen Tschebyscheff-Tiefpassfilter erster Art vierter Ordnung ist in Abbildung 5 dargestellt.

Abbildung 5 – Frequenzgang für einen Tschebyscheff-Tiefpassfilter erster Art, vierter Ordnung

Ein Tschebyscheff-Filter vom Typ II (inverses Tschebyscheff-Filter) wird seltener verwendet als ein Tschebyscheff-Filter vom Typ I, da der Amplitudenverlauf weniger stark abfällt und die Anzahl der Komponenten zunimmt. Im Durchlassbereich gibt es keine Welligkeit, im Unterdrückungsbereich ist sie jedoch vorhanden.

Der Frequenzgang für einen Tschebyscheff-Tiefpassfilter zweiter Art vierter Ordnung ist in Abbildung 6 dargestellt.

Abbildung 6 – Frequenzgang für einen Tschebyscheff-Tiefpassfilter vom Typ II

Abbildung 7 zeigt Schaltungsimplementierungen von Tschebyscheff-Hochpässen 1. und 2. Ordnung.

Abbildung 7 – Tschebyscheff-Hochpassfilter: a) 1. Ordnung; b) II. Ordnung

Eigenschaften der Frequenzcharakteristik von Tschebyscheff-Filtern:

1) Im Durchlassbereich hat der Frequenzgang einen gleichwelligen Charakter. Auf dem Intervall (-1?sch?1) liegt N Punkte, an denen die Funktion einen Maximalwert von 1 oder einen Minimalwert von erreicht. Wenn n ungerade ist, wenn n gerade ist;

2) Der Wert des Frequenzgangs des Tschebyscheff-Filters bei der Grenzfrequenz ist gleich

3) Wenn die Funktion monoton abnimmt und gegen Null tendiert.

4) Parameter e bestimmt die Ungleichmäßigkeit des Frequenzgangs des Tschebyscheff-Filters im Durchlassbereich:

Ein Vergleich des Frequenzgangs von Butterworth- und Chebyshev-Filtern zeigt, dass der Chebyshev-Filter eine größere Dämpfung im Durchlassbereich bietet als ein Butterworth-Filter derselben Ordnung. Der Nachteil von Chebyshev-Filtern besteht darin, dass sich ihre Phasen-Frequenz-Charakteristik im Durchlassbereich deutlich von linearen unterscheidet.

Für Butterworth- und Chebyshev-Filter gibt es detaillierte Tabellen, die die Polkoordinaten und Koeffizienten von Übertragungsfunktionen verschiedener Ordnungen zeigen.

Der Frequenzgang des Butterworth-Filters wird durch die Gleichung beschrieben

Merkmale des Butterworth-Filters: nichtlinearer Phasengang; Grenzfrequenz unabhängig von der Polzahl; Oszillationscharakter des Einschwingverhaltens bei einem stufenförmigen Eingangssignal. Mit zunehmender Filterordnung nimmt die Oszillationsnatur zu.

Tschebyscheff-Filter

Der Frequenzgang des Tschebyscheff-Filters wird durch die Gleichung beschrieben

,

Wo T N 2 (ω/ω N ) – Tschebyscheff-Polynom N-te Ordnung.

Das Tschebyscheff-Polynom wird nach der wiederkehrenden Formel berechnet

Merkmale des Tschebyscheff-Filters: erhöhte Ungleichmäßigkeit des Phasengangs; wellenförmige Charakteristik im Durchlassbereich. Je höher der Ungleichmäßigkeitskoeffizient des Frequenzgangs des Filters im Durchlassbereich ist, desto stärker ist der Abfall im Übergangsbereich bei gleicher Ordnung. Die transiente Schwingung eines gestuften Eingangssignals ist größer als die eines Butterworth-Filters. Der Qualitätsfaktor der Chebyshev-Filterstangen ist höher als der des Butterworth-Filters.

Bessel-Filter

Der Frequenzgang des Bessel-Filters wird durch die Gleichung beschrieben

,

Wo
;B N 2 (ω/ω vgl H ) – Bessel-Polynom N-te Ordnung.

Das Bessel-Polynom wird nach der wiederkehrenden Formel berechnet

Merkmale des Bessel-Filters: ziemlich gleichmäßiger Frequenzgang und Phasengang, angenähert durch die Gaußsche Funktion; die Phasenverschiebung des Filters ist proportional zur Frequenz, d.h. Der Filter verfügt über eine frequenzunabhängige Gruppenverzögerungszeit. Die Grenzfrequenz ändert sich, wenn sich die Anzahl der Filterpole ändert. Der Frequenzgang des Filters ist normalerweise flacher als der von Butterworth und Chebyshev. Dieser Filter eignet sich besonders für Impulsschaltungen und phasenempfindliche Signalverarbeitung.

Cauer-Filter (Ellipsenfilter)

Gesamtansicht der Übertragungsfunktion des Cauer-Filters

.

Merkmale des Cauer-Filters: ungleichmäßiger Frequenzgang im Durchlass- und Sperrbereich; der stärkste Abfall des Frequenzgangs aller oben genannten Filter; implementiert die erforderlichen Übertragungsfunktionen mit einer niedrigeren Filterordnung als bei Verwendung anderer Filtertypen.

Bestimmen der Filterreihenfolge

Die erforderliche Filterreihenfolge wird durch die folgenden Formeln bestimmt und auf den nächsten ganzzahligen Wert gerundet. Butterworth-Filterreihenfolge

.

Tschebyscheff-Filterordnung

.

Für das Bessel-Filter gibt es keine Formel zur Berechnung der Ordnung; stattdessen werden Tabellen bereitgestellt, die die Filterordnung der minimal erforderlichen Abweichung der Verzögerungszeit von Eins bei einer gegebenen Frequenz und dem Verlustpegel in dB entsprechen.

Bei der Berechnung der Bessel-Filterordnung werden folgende Parameter vorgegeben:

Zulässige prozentuale Abweichung der Gruppenverzögerungszeit bei einer bestimmten Frequenz ω ω vgl H ;

Der Dämpfungspegel der Filterverstärkung kann in dB bei der Frequenz eingestellt werden ω , normalisiert relativ zu ω vgl H .

Basierend auf diesen Daten wird die erforderliche Ordnung des Bessel-Filters bestimmt.

Schaltungen von Kaskaden von Tiefpassfiltern 1. und 2. Ordnung

In Abb. 12.4, 12.5 zeigen typische Schaltungen von Tiefpassfilterkaskaden.

A) B)

Reis. 12.4. Tiefpassfilterkaskaden von Butterworth, Chebyshev und Bessel: A - 1. Ordnung; B - 2. Ordnung

A) B)

Reis. 12.5. Cauer-Tiefpassfilterkaskaden: A - 1. Ordnung; B - 2. Ordnung

Gesamtansicht der Übertragungsfunktionen der Butterworth-, Chebyshev- und Bessel-Tiefpassfilter 1. und 2. Ordnung

,
.

Gesamtansicht der Übertragungsfunktionen des Cauer-Tiefpassfilters 1. und 2. Ordnung

,
.

Der Hauptunterschied zwischen einem Cauer-Filter 2. Ordnung und einem Bandsperrfilter besteht darin, dass beim Cauer-Filter die Übertragungsfunktion das Frequenzverhältnis ist Ω S ≠ 1.

Berechnungsmethode für Butterworth-, Chebyshev- und Bessel-Tiefpassfilter

Diese Technik basiert auf den in den Tabellen angegebenen Koeffizienten und gilt für Butterworth-, Chebyshev- und Bessel-Filter. Die Methode zur Berechnung von Cauer-Filtern wird separat angegeben. Die Berechnung von Butterworth-, Chebyshev- und Bessel-Tiefpassfiltern beginnt mit der Bestimmung ihrer Ordnung. Für alle Filter werden die minimalen und maximalen Dämpfungsparameter sowie die Grenzfrequenz eingestellt. Bei Chebyshev-Filtern wird zusätzlich der Koeffizient der Frequenzgangungleichmäßigkeit im Durchlassbereich und bei Bessel-Filtern die Gruppenlaufzeit bestimmt. Anschließend wird die Übertragungsfunktion des Filters bestimmt, die den Tabellen entnommen werden kann, und seine Kaskaden 1. und 2. Ordnung berechnet, wobei folgender Berechnungsablauf eingehalten wird:

Abhängig von der Ordnung und dem Typ des Filters werden die Schaltkreise seiner Kaskaden ausgewählt, während ein Filter gerader Ordnung aus besteht N/2 Kaskaden 2. Ordnung und ein Filter ungerader Ordnung – aus einer Kaskade 1. Ordnung und ( N– 1)/2 Kaskaden 2. Ordnung;

Um eine Kaskade 1. Ordnung zu berechnen:

Der ausgewählte Filtertyp und die ausgewählte Reihenfolge bestimmen den Wert B 1 Kaskade 1. Ordnung;

Durch die Reduzierung der belegten Fläche wird die Kapazitätsbewertung ausgewählt C und berechnet R nach der Formel (Sie können auch wählen R, aber es wird empfohlen, zu wählen C, aus Gründen der Genauigkeit)

;

Der Gewinn wird berechnet ZU bei U 1 Kaskade 1. Ordnung, die aus der Beziehung ermittelt wird

,

Wo ZU bei U– Verstärkung des Filters als Ganzes; ZU bei U 2 , …, ZU bei Un– Verstärkungsfaktoren von Kaskaden 2. Ordnung;

Gewinn realisieren ZU bei U 1 Es ist notwendig, Widerstände basierend auf der folgenden Beziehung einzustellen

R B = R A ּ (ZU bei U1 –1) .

So berechnen Sie eine Kaskade 2. Ordnung:

Durch die Reduzierung der belegten Fläche werden die Nennwerte der Behälter gewählt C 1 = C 2 = C;

Koeffizienten werden aus Tabellen ausgewählt B 1 ich Und Q Pi für Kaskaden 2. Ordnung;

Entsprechend einer bestimmten Kondensatorleistung C Widerstände werden berechnet R nach der Formel

;

Für den ausgewählten Filtertyp müssen Sie die entsprechende Verstärkung einstellen ZU bei Ui = 3 – (1/Q Pi) jeder Stufe 2. Ordnung durch Einstellen von Widerständen basierend auf der folgenden Beziehung

R B = R A ּ (ZU bei Ui –1) ;

Bei Bessel-Filtern ist es erforderlich, die Nennwerte aller Kondensatoren mit der erforderlichen Gruppenverzögerungszeit zu multiplizieren.

UMWANDLUNG DER FREQUENZEIGENSCHAFTEN VON DF (LPF -> LPF1)

UMWANDLUNG DER FREQUENZEIGENSCHAFTEN VON DF (LPF -> HPF)

UMWANDLUNG DER FREQUENZEIGENSCHAFTEN VON DF (LPF -> PF)

UMWANDLUNG DER FREQUENZEIGENSCHAFTEN VON DF (LPF -> RF)

Butterworth-Filter 4. Ordnung

UMWANDLUNG DER FREQUENZEIGENSCHAFTEN VON DF (LPF -> LPF1)

UMWANDLUNG DER FREQUENZEIGENSCHAFTEN VON DF (LPF -> HPF)

UMWANDLUNG DER FREQUENZEIGENSCHAFTEN VON DF (LPF -> PF)

UMWANDLUNG DER FREQUENZEIGENSCHAFTEN VON DF (LPF -> RF)

Tschebyscheff-Filter 3. Ordnung

UMWANDLUNG DER FREQUENZEIGENSCHAFTEN VON DF (LPF -> LPF1)

UMWANDLUNG DER FREQUENZEIGENSCHAFTEN VON DF (LPF -> HPF)

UMWANDLUNG DER FREQUENZEIGENSCHAFTEN VON DF (LPF -> PF)

UMWANDLUNG DER FREQUENZEIGENSCHAFTEN VON DF (LPF -> RF)

Tschebyscheff-Filter 4 Ordnungen

UMWANDLUNG DER FREQUENZEIGENSCHAFTEN VON DF (LPF -> LPF1)

UMWANDLUNG DER FREQUENZEIGENSCHAFTEN VON DF (LPF -> HPF)

UMWANDLUNG DER FREQUENZEIGENSCHAFTEN VON DF (LPF -> PF)

UMWANDLUNG DER FREQUENZEIGENSCHAFTEN VON DF (LPF -> RF)

Bessel-Filter 3. Ordnung

UMWANDLUNG DER FREQUENZEIGENSCHAFTEN VON DF (LPF -> LPF1)

UMWANDLUNG DER FREQUENZEIGENSCHAFTEN VON DF (LPF -> HPF)

UMWANDLUNG DER FREQUENZEIGENSCHAFTEN VON DF (LPF -> PF)

UMWANDLUNG DER FREQUENZEIGENSCHAFTEN VON DF (LPF -> RF)

Bessel-Filter 4. Ordnung

UMWANDLUNG DER FREQUENZEIGENSCHAFTEN VON DF (LPF -> LPF1)

UMWANDLUNG DER FREQUENZEIGENSCHAFTEN VON DF (LPF -> HPF)

UMWANDLUNG DER FREQUENZEIGENSCHAFTEN VON DF (LPF -> PF)

UMWANDLUNG DER FREQUENZEIGENSCHAFTEN VON DF (LPF -> RF)

Analysieren Sie den Einfluss von Fehlern bei der Einstellung der Koeffizienten des digitalen Tiefpassfilters auf den Frequenzgang (durch Ändern eines der Koeffizienten b). J). Beschreiben Sie die Art der Änderung des Frequenzgangs. Ziehen Sie eine Schlussfolgerung über die Auswirkung der Änderung eines der Koeffizienten auf das Verhalten des Filters.

Wir analysieren den Einfluss von Fehlern bei der Einstellung der Koeffizienten des digitalen Tiefpassfilters auf den Frequenzgang am Beispiel eines Bessel-Filters 4. Ordnung.

Wählen wir den Abweichungswert der Koeffizienten ε gleich –1,5 %, so dass die maximale Abweichung des Frequenzgangs etwa 10 % beträgt.

Der Frequenzgang eines „idealen“ Filters und von Filtern mit um den Wert ε veränderten Koeffizienten ist in der Abbildung dargestellt:

UND

Die Abbildung zeigt, dass Änderungen der Koeffizienten b 1 und b 2 den größten Einfluss auf den Frequenzgang haben (ihr Wert übersteigt den Wert anderer Koeffizienten). Wenn wir einen negativen Wert von ε verwenden, stellen wir fest, dass positive Koeffizienten die Amplitude im unteren Teil des Spektrums verringern, während negative Koeffizienten sie erhöhen. Bei einem positiven Wert von ε geschieht alles umgekehrt.

Quantisieren Sie die Koeffizienten des digitalen Filters um so viele Binärstellen, dass die maximale Abweichung des Frequenzgangs vom Original etwa 10 - 20 % beträgt. Skizzieren Sie den Frequenzgang und beschreiben Sie die Art seiner Änderung.

Durch Ändern der Anzahl der Stellen des Bruchteils der Koeffizienten B J Beachten Sie, dass die maximale Abweichung des Frequenzgangs vom Original bei n≥3 20 % nicht überschreitet.

Art des Frequenzgangs bei unterschiedlichen N auf den Bildern dargestellt:

N =3, maximale Frequenzgangabweichung =19,7 %

N =4, maximale Frequenzgangabweichung =13,2 %

N =5, maximale Frequenzgangabweichung =5,8 %

N =6, maximale Frequenzgangabweichung =1,7 %

Somit lässt sich feststellen, dass eine Erhöhung der Bittiefe bei der Quantisierung von Filterkoeffizienten dazu führt, dass sich der Frequenzgang des Filters immer mehr dem Original annähert. Allerdings ist zu beachten, dass dies die physikalische Realisierbarkeit des Filters erschwert.

Quantisierung bei unterschiedlichen N ist in der Abbildung zu sehen:

Bei der Analyse von Filtern und der Berechnung ihrer Parameter werden immer einige Standardbegriffe verwendet und es ist sinnvoll, sich von Anfang an daran zu halten.

Nehmen wir an, Sie möchten einen Tiefpassfilter mit einem flachen Ansprechverhalten im Durchlassbereich und einem scharfen Übergang zum Sperrbereich. Die endgültige Steigung der Reaktion im Sperrbereich beträgt immer 6n dB/Oktave, wobei n die Anzahl der „Pole“ ist. Pro Pol wird ein Kondensator (oder eine Induktivität) benötigt, daher bestimmen die endgültigen Anforderungen an die Roll-off-Rate des Filters grob dessen Komplexität.

Nehmen wir nun an, Sie entscheiden sich für die Verwendung eines 6-poligen Tiefpassfilters. Ein endgültiger Leistungsabfall ist Ihnen garantiert hohe Frequenzen 36 dB/Oktave. Im Gegenzug ist es nun möglich, das Filterdesign im Sinne einer möglichst flachen Reaktion im Durchlassband zu optimieren, indem die Steigung des Übergangs vom Durchlassband zum Sperrband verringert wird. Andererseits kann durch Zulassen einer gewissen Welligkeit im Durchlassband ein steilerer Übergang vom Durchlassband zum Sperrband erreicht werden. Das dritte Kriterium, das wichtig sein kann, beschreibt die Fähigkeit des Filters, Signale mit einem Spektrum innerhalb des Durchlassbandes durchzulassen, ohne ihre Form aufgrund von Phasenverschiebungen zu verzerren. Sie könnten auch an der Anstiegszeit, dem Überschwingen und der Einschwingzeit interessiert sein.

Es sind Filterdesignmethoden bekannt, die zur Optimierung jeder dieser Eigenschaften oder Kombinationen davon geeignet sind. Eine wirklich intelligente Filterauswahl erfolgt nicht wie oben beschrieben; In der Regel werden zunächst die erforderliche Gleichmäßigkeit der Kennlinie im Durchlassbereich und die erforderliche Dämpfung bei einer bestimmten Frequenz außerhalb des Durchlassbereichs sowie weitere Parameter eingestellt. Anschließend wird der am besten geeignete Stromkreis ausgewählt, dessen Polzahl ausreicht, um alle diese Anforderungen zu erfüllen. In den nächsten Abschnitten werden wir uns mit drei der häufigsten befassen beliebter Typ Filter, nämlich das Butterworth-Filter (das flachste Ansprechverhalten im Durchlassband), das Tschebyscheff-Filter (der steilste Übergang vom Durchlassband zum Sperrband) und das Bessel-Filter (die flachste Verzögerungszeitcharakteristik). Jeder dieser Filtertypen kann mit verschiedenen Filterschaltungen implementiert werden; Auf einige davon gehen wir später noch ein, sie eignen sich alle gleichermaßen für den Bau von Unter- und Unterfiltern. verdreifachen und Bandpassfilter.

Butterworth- und Chebyshev-Filter. Der Butterworth-Filter bietet die flachste Reaktion im Durchlassbereich, was auf Kosten der Glätte im Übergangsbereich erreicht wird, d. h. zwischen Durchlassbändern und Verzögerungsbändern. Wie später gezeigt wird, weist es auch einen schlechten Phasenfrequenzgang auf. Seine Amplituden-Frequenz-Charakteristik ergibt sich aus der folgenden Formel:
U out /U in = 1/ 1/2,
wobei n die Filterordnung (Anzahl der Pole) definiert. Durch Erhöhen der Anzahl der Pole lässt sich der Teil der Kennlinie im Durchlassbereich abflachen und die Steilheit des Abfalls vom Durchlassbereich zum Unterdrückungsbereich erhöhen, wie in Abb. 5.10.

Reis. 5.10 Normalisierte Eigenschaften von Butterworth-Tiefpassfiltern. Beachten Sie die Zunahme der Steilheit des charakteristischen Rolloffs mit zunehmender Filterordnung.

Bei der Wahl eines Butterworth-Filters opfern wir zugunsten der flachsten Eigenschaften alles andere. Seine Charakteristik verläuft horizontal, beginnend bei der Nullfrequenz, seine Wende beginnt bei der Grenzfrequenz ƒ s – diese Frequenz entspricht normalerweise dem -3-dB-Punkt.

Bei den meisten Anwendungen ist die wichtigste Überlegung, dass die Welligkeit im Durchlassbereich einen bestimmten Wert, beispielsweise 1 dB, nicht überschreiten sollte. Der Tschebyscheff-Filter erfüllt diese Anforderung, während im gesamten Durchlassbereich eine gewisse Ungleichmäßigkeit der Charakteristik zulässig ist, gleichzeitig aber die Schärfe seines Bruchs stark zunimmt. Für den Tschebyscheff-Filter werden die Anzahl der Pole und die Ungleichmäßigkeit im Durchlassbereich angegeben. Unter Berücksichtigung größerer Unebenheiten im Durchlassband erhalten wir einen schärferen Knick. Der Amplituden-Frequenzgang dieses Filters ergibt sich aus der folgenden Beziehung
U out /U in = 1/ 1/2,
wobei C n ein Tschebyscheff-Polynom erster Art vom Grad n ist und ε eine Konstante ist, die die Ungleichmäßigkeit der Charakteristik im Durchlassbereich bestimmt. Das Chebyshev-Filter weist wie das Butterworth-Filter Phasen-Frequenz-Eigenschaften auf, die alles andere als ideal sind. In Abb. Abbildung 5.11 vergleicht die Eigenschaften der 6-poligen Tschebyscheff- und Butterworth-Tiefpassfilter. Wie man unschwer erkennen kann, sind beide deutlich besser als ein 6-poliger RC-Filter.

Reis. 5.11. Vergleich der Eigenschaften einiger häufig verwendeter 6-Pol-Tiefpassfilter. Die Eigenschaften derselben Filter werden sowohl im logarithmischen (oben) als auch im linearen (unten) Maßstab angezeigt. 1 - Bessel-Filter; 2 - Butterworth-Filter; 3 - Tschebyscheff-Filter (Welligkeit 0,5 dB).

Tatsächlich ist ein Butterworth-Filter mit einem sehr flachen Durchlassbereich nicht so attraktiv, wie es scheint, da man auf jeden Fall eine gewisse Ungleichmäßigkeit im Durchlassbereich in Kauf nehmen muss (bei einem Butterworth-Filter ist dies eine allmähliche Verschlechterung des Durchlassbereichs). die Frequenz nähert sich ƒ c, und beim Tschebyscheff-Filter sind die Wellen über das gesamte Durchlassband verteilt. Darüber hinaus weisen aktive Filter, die aus Elementen aufgebaut sind, deren Bewertungen eine gewisse Toleranz aufweisen, eine Charakteristik auf, die von der berechneten abweicht, was bedeutet, dass es in der Realität immer zu einer gewissen Ungleichmäßigkeit im Durchlassbereich der Butterworth-Filtercharakteristik kommt. In Abb. Abbildung 5.12 veranschaulicht die Auswirkung der unerwünschtesten Abweichungen der Werte der Kondensatorkapazität und des Widerstandswiderstands auf die Filtercharakteristik.

Reis. 5.12. Der Einfluss von Änderungen der Elementparameter auf die Eigenschaften des aktiven Filters.

Vor diesem Hintergrund ist der Tschebyscheff-Filter eine sehr rationale Struktur. Manchmal wird es auch als Gleichwellenfilter bezeichnet, da seine Charakteristik im Übergangsbereich eine größere Steilheit aufweist, da mehrere gleich große Pulsationen über das Durchlassband verteilt sind, deren Anzahl mit der Ordnung des Filters zunimmt. Selbst bei relativ kleinen Welligkeiten (ca. 0,1 dB) bietet der Chebyshev-Filter im Übergangsbereich eine viel größere Steigung als der Butterworth-Filter. Um diesen Unterschied zu quantifizieren, gehen wir davon aus, dass ein Filter mit einer Durchlassbandflachheit von nicht mehr als 0,1 dB und einer Dämpfung von 20 dB bei einer Frequenz erforderlich ist, die sich um 25 % unterscheidet Grenzfrequenz Bandbreite. Die Berechnung zeigt, dass in diesem Fall ein 19-poliger Butterworth-Filter oder nur ein 8-poliger Tschebyscheff-Filter erforderlich ist.

Die Idee, dass man Welligkeit im Durchlassbereich tolerieren kann, um die Steilheit des Übergangsabschnitts zu erhöhen, findet ihre logische Konsequenz in der Idee des sogenannten elliptischen Filters (oder Cauer-Filters), bei dem Welligkeit zulässig ist sowohl im Durchlassbereich als auch in der Verzögerung, um sicherzustellen, dass die Steilheit des Übergangsabschnitts noch größer ist als die der Tschebyscheff-Filtercharakteristik. Mit Hilfe eines Computers können elliptische Filter genauso einfach entworfen werden wie die klassischen Chebyshev- und Butterworth-Filter. In Abb. Abbildung 5.13 zeigt eine grafische Beschreibung des Amplituden-Frequenzgangs des Filters. In diesem Fall (Tiefpassfilter) der akzeptable Bereich der Filterverstärkung (d. h. Welligkeit) im Durchlassband, die minimale Frequenz, bei der die Kennlinie das Durchlassband verlässt, die maximale Frequenz, bei der die Kennlinie in das Sperrband eintritt, und die minimale Dämpfung Die Band ist definiert. Nachsitzen.

Reis. 5.13. Einstellen der Filterfrequenzgangparameter.

Bessel-Filter. Wie bereits festgestellt wurde, liefert der Amplituden-Frequenzgang eines Filters keine vollständige Information darüber. Ein Filter mit einem flachen Amplituden-Frequenzgang kann große Phasenverschiebungen aufweisen. Dadurch wird die Form des Signals, dessen Spektrum im Durchlassbereich liegt, beim Durchgang durch den Filter verzerrt. In Situationen, in denen die Wellenform von größter Bedeutung ist, ist es wünschenswert, einen linearen Phasenfilter (Filter mit konstanter Verzögerungszeit) zur Verfügung zu haben. Die Forderung nach einem Filter, der eine lineare Änderung der Phasenverschiebung als Funktion der Frequenz gewährleistet, ist gleichbedeutend mit der Forderung nach einer konstanten Verzögerungszeit für ein Signal, dessen Spektrum im Durchlassbereich liegt, d. h. das Fehlen einer Verzerrung der Signalform. Der Bessel-Filter (auch Thomson-Filter genannt) hat den flachsten Teil der Durchlassbandverzögerungszeitkurve, ebenso wie der Butterworth-Filter den flachsten Frequenzgang hat. Um die Zeitbereichsverbesserung zu verstehen, die ein Bessel-Filter bietet, sehen Sie sich Abb. an. Abbildung 5.14 zeigt frequenznormalisierte Verzögerungszeitdiagramme für 6-polige Bessel- und Butterworth-Tiefpassfilter. Die schlechten Verzögerungszeiteigenschaften des Butterworth-Filters führen dazu, dass Überschwingungseffekte auftreten, wenn gepulste Signale den Filter passieren. Andererseits muss man die Konstanz der Verzögerungszeiten des Bessel-Filters dadurch erkaufen, dass dessen Amplituden-Frequenz-Kennlinie einen noch flacheren Übergangsbereich zwischen Durchlass- und Sperrbereich aufweist als selbst die Kennlinie des Butterworth-Filters.

Reis. 5.14. Vergleich der Zeitverzögerungen für 6-Band-Bessel- (1) und Butterworth-Tiefpassfilter (2). Aufgrund seiner hervorragenden Zeitbereichseigenschaften erzeugt der Bessel-Filter die geringste Wellenformverzerrung.

Da sind viele auf verschiedene Arten Filterdesigns, die versuchen, die Leistung eines Bessel-Filters im Zeitbereich zu verbessern, wobei teilweise konstante Verzögerungszeit geopfert wird, um die Anstiegszeit zu reduzieren und den Amplituden-Frequenzgang zu verbessern. Der Gauß-Filter hat fast so gute Phaseneigenschaften wie der Bessel-Filter, jedoch mit einem verbesserten Einschwingverhalten. Eine weitere interessante Klasse sind Filter, die es ermöglichen, identische Welligkeiten in der Verzögerungszeitkurve im Durchlassbereich zu erreichen (ähnlich den Welligkeiten in der Amplituden-Frequenz-Kennlinie eines Tschebyscheff-Filters) und für ungefähr die gleiche Verzögerung bei Signalen mit einem Spektrum bis zu sorgen Stoppband. Ein weiterer Ansatz zum Erstellen von Filtern mit konstanter Verzögerungszeit ist die Verwendung von Allpassfiltern, auch Zeitbereichsentzerrer genannt. Diese Filter haben einen konstanten Amplituden-Frequenzgang und die Phasenverschiebung kann je nach Anforderung geändert werden. Somit können sie zum Ausgleich der Verzögerungszeit beliebiger Filter, insbesondere von Butterworth- und Chebyshev-Filtern, verwendet werden.

Vergleich von Filtern. Trotz früherer Kommentare zum Einschwingverhalten von Bessel-Filtern weist es im Vergleich zu Butterworth- und Chebyshev-Filtern immer noch sehr gute Zeitbereichseigenschaften auf. Der Tschebyscheff-Filter selbst weist mit seinem sehr geeigneten Amplituden-Frequenzgang von allen drei Filtertypen die schlechtesten Parameter im Zeitbereich auf. Der Butterworth-Filter macht einen Kompromiss zwischen Frequenzen und Timing-Eigenschaften. In Abb. Abbildung 5.15 liefert Informationen zu den Leistungsmerkmalen dieser drei Filtertypen im Zeitbereich und ergänzt die früheren Diagramme der Amplituden-Frequenz-Kennlinien. Basierend auf diesen Daten können wir den Schluss ziehen, dass in Fällen, in denen Filterparameter im Zeitbereich wichtig sind, die Verwendung eines Bessel-Filters ratsam ist.

Reis. 5.15. Transientenvergleich von 6-poligen Tiefpassfiltern. Die Kurven werden normalisiert, indem der Dämpfungswert von 3 dB auf eine Frequenz von 1 Hz reduziert wird. 1 - Bessel-Filter; 2 - Butterworth-Filter; 3 - Tschebyscheff-Filter (Welligkeit 0,5 dB).

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Bestimmen wir die Reihenfolge des Filters anhand der erforderlichen Bedingungen gemäß der Grafik zur Dämpfung im Sperrbereich im Buch von G. Lamb „Analog and digitale Filter» Kapitel 8.1 S.215.

Es ist klar, dass ein Filter 4. Ordnung für die erforderliche Dämpfung ausreicht. Die Grafik ist für den Fall dargestellt, dass w c = 1 rad/s ist und dementsprechend die Frequenz, bei der die erforderliche Dämpfung erforderlich ist, 2 rad/s (4 bzw. 8 kHz) beträgt. Allgemeiner Graph für die Übertragungsfunktion eines Butterworth-Filters:

Wir definieren die Schaltungsimplementierung des Filters:

aktiver Tiefpassfilter vierter Ordnung mit komplexer Gegenkopplung:

Damit die gewünschte Schaltung den gewünschten Amplituden-Frequenzgang aufweist, können die darin enthaltenen Elemente mit nicht sehr hoher Genauigkeit ausgewählt werden, was ein Vorteil dieser Schaltung ist.

Aktiver Tiefpassfilter vierter Ordnung mit positiver Rückkopplung:

In dieser Schaltung ist die Verstärkung Operationsverstärker muss einen genau definierten Wert haben und der Übertragungskoeffizient dieser Schaltung darf nicht mehr als 3 betragen. Daher kann diese Schaltung verworfen werden.

Aktiver Tiefpassfilter vierter Ordnung mit ohmscher Gegenkopplung

Dieser Filter basiert auf vier Operationsverstärkern, was das Rauschen und die Komplexität der Berechnung dieser Schaltung erhöht, weshalb wir ihn ebenfalls verwerfen.

Aus den betrachteten Schaltungen wählen wir einen Filter mit komplexer Gegenkopplung aus.

Filterberechnung

Definition der Übertragungsfunktion

Wir schreiben die Tabellenwerte der Koeffizienten für den Butterworth-Filter vierter Ordnung auf:

a 1 =1,8478 b 1 =1

a 2 =0,7654 b 2 =1

(siehe U. Titze, K. Schenk „Halbleiterschaltungen“ Tabelle 13.6 S. 195)

Der allgemeine Ausdruck der Übertragungsfunktion für einen Tiefpassfilter vierter Ordnung lautet:

(siehe U. Titze, K. Schenk „Halbleiterschaltungen“ Tabelle 13.2 S. 190 und Form 13.4 S. 186).

Die Übertragungsfunktion des ersten Links hat die Form:

Die Übertragungsfunktion des zweiten Links hat die Form:

wobei w c die kreisförmige Grenzfrequenz des Filters ist, w c =2pf c .

Berechnung von Teilebewertungen

Wenn wir die Koeffizienten der Ausdrücke (2) und (3) mit den Koeffizienten des Ausdrucks (1) gleichsetzen, erhalten wir:

Konstante Signalübertragungskoeffizienten für Kaskaden, deren Produkt A 0 wie angegeben gleich 10 sein sollte. Sie sind negativ, da diese Stufen invertieren, aber ihr Produkt ergibt einen positiven Transmissionskoeffizienten.

Um die Schaltung zu berechnen, ist es besser, die Kapazitäten der Kondensatoren anzugeben, und damit der Wert von R 2 gültig ist, muss die Bedingung erfüllt sein

und entsprechend

Basierend auf diesen Bedingungen werden C 1 = C 3 = 1 nF, C 2 = 10 nF, C 4 = 33 nF ausgewählt.

Wir berechnen die Widerstandswerte für die erste Stufe:

Widerstandswerte der zweiten Stufe:

Auswahl des Operationsverstärkers

Bei der Auswahl eines Operationsverstärkers muss der Frequenzbereich des Filters berücksichtigt werden: Die Einheitsverstärkungsfrequenz des Operationsverstärkers (bei der die Verstärkung gleich Eins ist) muss größer sein als das Produkt der Grenzfrequenz und die Filterverstärkung K y.

Da die maximale Verstärkung 3,33 und die Grenzfrequenz 4 kHz beträgt, erfüllen fast alle vorhandenen Operationsverstärker diese Bedingung.

Zu anderen wichtiger Parameter Ein Operationsverstärker ist seine Eingangsimpedanz. Er sollte größer als das Zehnfache des maximalen Widerstandswerts des Stromkreiswiderstands sein.

Der maximale Widerstand im Stromkreis beträgt 99,6 kOhm, daher muss der Eingangswiderstand des Operationsverstärkers mindestens 996 kOhm betragen.

Es ist auch notwendig, die Belastbarkeit des Operationsverstärkers zu berücksichtigen. Bei modernen Operationsverstärkern beträgt der minimale Lastwiderstand 2 kOhm. Wenn man bedenkt, dass die Widerstände R1 und R4 33,2 bzw. 3,09 kOhm betragen, wird der Ausgangsstrom des Operationsverstärkers sicherlich unter dem maximal zulässigen Wert liegen.

Gemäß den oben genannten Anforderungen wählen wir die K140UD601 OU mit folgenden Passdaten (Merkmalen) aus:

K y. min = 50.000

Rin = 1 MOhm