Svarbiausia stacionarių atsitiktinių procesų charakteristika yra galios spektrinis tankis, apibūdinantis triukšmo galios pasiskirstymą dažnių spektre. Panagrinėkime stacionarų atsitiktinį procesą, kurį galima pavaizduoti atsitiktine įtampos arba srovės impulsų seka, einančių vienas kitą atsitiktiniais laiko intervalais. Procesas su atsitiktine impulsų seka yra neperiodinis. Nepaisant to, galime kalbėti apie tokio proceso spektrą, o tai šiuo atveju reiškia galios pasiskirstymą pagal dažnius.

Triukšmui apibūdinti įvedama triukšmo galios spektrinio tankio (PSD) sąvoka, dar vadinama bendruoju atveju triukšmo spektriniu tankiu (SP), kuris nustatomas pagal ryšį:

kur  P(f) - laiko vidurkis triukšmo galia dažnių juostoje f matavimo dažniu f.

Kaip matyti iš (2.10) santykio, triukšmo dažnio matmuo yra W/Hz. Apskritai SP yra dažnio funkcija. SP triukšmo priklausomybė nuo dažnio vadinama energijos spektras, kuriame pateikiama informacija apie dinamines sistemos charakteristikas.

Jei atsitiktinis procesas yra ergodinis, tai tokio proceso energetinį spektrą galima rasti iš vieno jo įgyvendinimo, kuris plačiai naudojamas praktikoje.

Svarstant stacionaraus atsitiktinio proceso spektrines charakteristikas, dažnai pasirodo, kad reikia vartoti triukšmo spektro pločio sąvoką. Plotas po atsitiktinio proceso energijos spektro kreive, susijęs su triukšmo dažniu tam tikru būdingu dažniu f 0 vadinamas efektyvus spektro plotis, kuris nustatomas pagal formulę:

(2.11)

Šis dydis gali būti interpretuojamas kaip atsitiktinio proceso juostoje vienodo energijos spektro plotis
, lygiavertis vidutinė galia svarstomą procesą.

Triukšmo galia P, esantis dažnių juostoje f 1 …f 2 yra lygus

(2.12)

Jei SP triukšmas dažnių juostoje f 1 ...f 2 yra pastovus ir lygus S 0, tada triukšmo galiai tam tikroje dažnių juostoje turime:
kur f=f 2 -f 1 – dažnių juosta, kurią praleidžia grandinė arba matavimo prietaisas.

Svarbus stacionaraus atsitiktinio proceso atvejis yra baltas triukšmas, kurio spektrinis tankis nepriklauso nuo dažnio plačiame dažnių diapazone (teoriškai – begaliniame dažnių diapazone). Baltojo triukšmo energijos spektras dažnių diapazone -∞< f < +∞ gaunama taip:

= 2S 0 = pastovus, (2.13)

Baltojo triukšmo modelis apibūdina atsitiktinį procesą be atminties (be poveikio). Baltasis triukšmas atsiranda sistemose, kuriose yra daug paprastų vienarūšių elementų, ir jam būdingas normalus svyravimų amplitudės pasiskirstymas. Baltojo triukšmo savybes lemia nepriklausomų pavienių įvykių (pavyzdžiui, krūvininkų terminio judėjimo laidininke ar puslaidininkyje) statistika. Tačiau tikro baltojo triukšmo su begaline dažnių juosta neegzistuoja, nes jis turi begalinę galią.

Fig. 2.3. parodyta tipinė baltojo triukšmo oscilograma (momentinės įtampos reikšmių priklausomybė nuo laiko) (2.3a pav.) ir momentinių įtampos reikšmių tikimybių pasiskirstymo funkcija e, kuris yra normalusis skirstinys (2.3b pav.). Tamsintas plotas po kreive atitinka momentinės įtampos verčių atsiradimo tikimybę e, viršijančią vertę e 1 .

Ryžiai. 2.3. Tipinė baltojo triukšmo oscilograma (a) ir momentinio triukšmo įtampos amplitudės verčių tikimybės tankio pasiskirstymo funkcija (b).

Praktikoje, vertinant bet kurio elemento ar papildomo prietaiso triukšmo lygį, paprastai matuojama vidutinė kvadratinė triukšmo įtampa. vienetais B 2 arba kvadratinės vertės srove vienetais A 2. Šiuo atveju SP triukšmas išreiškiamas V 2 / Hz arba A 2 / Hz vienetais ir įtampos svyravimų spektriniais tankiais S u (f) arba srovė S aš (f) apskaičiuojami naudojant šias formules:

(2.14)

Kur
ir – vidutinė triukšmo įtampa ir srovė dažnių juostoje f atitinkamai. Aukščiau pateikta juosta reiškia vidurkį per tam tikrą laiką.

Praktiniuose uždaviniuose, svarstant įvairių fizikinių dydžių svyravimus, įvedama apibendrinta svyravimų spektrinio tankio sąvoka. Šiuo atveju svyravimų SP, pavyzdžiui, atsparumui R išreikštas omų 2 /Hz vienetais; Magnetinės indukcijos svyravimai matuojami vienetais T 2 /Hz, o savaiminio osciliatoriaus dažnio svyravimai – Hz 2 /Hz = Hz.

Lyginant triukšmo lygius to paties tipo linijiniuose dviejų galų tinkluose, patogu naudoti santykinį spektrinį triukšmo tankį, kuris apibrėžiamas kaip

=
, (2.15)

Kur u– Nuolatinės srovės įtampos kritimas tiesiniame dviejų gnybtų tinkle.

Kaip matyti iš (2.15) išraiškos, santykinis triukšmo spektrinis tankis S(f) išreiškiamas Hz -1 vienetais.

Leiskite duoti tam tikrą signalą, apibūdinantį įtampos ar srovės pokytį laikui bėgant. Tada nustatys momentinę galią, išsiskiriančią esant 1 omo varžai.

Tada vidutinė signalo galia per tam tikrą laiko intervalą yra:

Jei signalas yra periodiškas, vidutinę galią galima gauti apskaičiuojant per vieną signalo pasikartojimo laikotarpį. Absoliučiai integruojamo neperiodinio signalo atveju integravimo intervalas gali būti pratęstas iki visos laiko ašies:

Galima pastebėti, kad vidutinė absoliučiai integruojamo neperiodinio signalo galia yra lygi nuliui, skaičiuojant vidurkį per begalinį laiko intervalą. Panašiai periodinio signalo energija išilgai visos laiko ašies yra lygi begalybei.

Taigi periodinius signalus, kurie kartojasi visose laiko ašyse, galime apibūdinti baigtine vidutine galia, nes jų energija yra begalinė. Neperiodiniams signalams būdinga baigtinė energija, nes jų vidutinė galia visose laiko ašyse yra lygi nuliui.

Išraiškos (1)-(3) taip pat galioja sudėtingam signalui. Šiuo atveju momentinė galia gali būti apibrėžta kaip .

Signalų taškinė sandauga. Apibendrinta Rayleigh formulė

Tegul du signalai ir yra duoti, bendruoju atveju kompleksas. Signalų skaliarinė sandauga yra vertė, lygi:

Integral (4) grąžina vieną skaičių (skaliarinį), paprastai kompleksinį.

Atkreipkite dėmesį, kad taškinė signalo sandauga su savimi grąžina duoto signalo energiją:

Tada skaliarinė sandauga (4) gali būti interpretuojama kaip signalų tarpusavio energijos reikšmė ir , t.y. vieno signalo abipusės įtakos kitam laipsnis. Jei du signalai turi nulinį skaliarinį sandaugą, vadinasi, jie yra stačiakampiai.

Pakeiskime (4) jo spektrinio tankio atvirkštinę Furjė transformaciją. Tada:

Pakeiskime (6) integravimo tvarką:

Galime daryti išvadą: laiko srityje esančių signalų skaliarinė sandauga iki koeficiento yra lygi šių signalų spektrinio tankio skaliarinei sandaugai. Išraiška (7) vadinama apibendrinta Rayleigh formule.

Parsevalio lygybė

Anksčiau mes jau svarstėme Parseval lygybę, kuri susieja vidutinę periodinio signalo galią. Neperiodiniams signalams galime gauti panašią signalo energijos lygybę laike ir dažnių srityje. Norėdami tai padaryti, pakeičiame apibendrintą Rayleigh formulę ir gauname:

Arba atsižvelgiant į (4) Parseval lygybę:

Taigi signalo energija laiko ir dažnio srityse yra lygi iki koeficiento .

Jei išraiškose (7)-(9) naudojame dažnį, išreikštą hercais, o ne ciklinį dažnį, išmatuotą rad/s vienetais, tada daugiklis sumažinamas:

Signalo energijos spektrinis tankis

Svarstant ribojantį perėjimą prie Furjė transformacijos, buvo pristatyta signalo spektrinio tankio samprata ir pateikta analogija, paaiškinanti spektrinio tankio sampratą ir jo skirtumą nuo periodinio signalo spektro.

Iš lygybės (9) išplaukia, kad signalo energija gali būti pavaizduota kaip integralas išilgai visos dažnio ašies:

Tada naudodamiesi ta pačia analogija kaip ir skyriuje, ypač palygindami (12) su, galime padaryti išvadą, koks yra signalo spektrinės energijos tankis. Integruodami per visą ašį, gauname bendrą signalo energiją, lygiai taip pat, kaip integruojant strypo tankį išilgai ilgio, gauname bendrą masę. Spektrinės energijos tankis yra signalo dažnio atsako kvadratas. Be to, tai tikra neneigiama dažnio funkcija. Signalo spektrinis energijos tankis matuojamas džauliais hercui (J/Hz) arba vatų ir sekundės kvadratu (Ws).

Pažymėkime svarbią pastabą. Spektrinės energijos tankis nepaiso signalo fazės atsako. Tada galime daryti išvadą, kad tas pats spektrinės energijos tankis gali atitikti daug skirtingų signalų, turinčių vienodą dažnio atsaką ir skirtingas fazinio atsako charakteristikas.

Signalų spektriniai tankiai dažnio atžvilgiu mažėja, todėl praktikoje yra svarbi mažėjančio spektrinio tankio elgsenos analizė didėjant dažniui. Tačiau grafinė analizė gali būti sudėtinga dėl didelio spektrinio tankio mažėjimo dažnio greičio, o spektrinio energijos tankio atveju - dvigubai sudėtinga, nes dažnio atsako kvadratūra tik paspartina mažėjimą. Todėl plačiai paplito spektrinės energijos tankio vaizdavimas logaritmine skale, išreikštas decibelų vienetais (dB):

Kaip pavyzdys, 1 paveiksle pavaizduoti stačiakampių, trikampių, dvipusių eksponentinių ir Gauso impulsų spektriniai energijos tankiai tiesine ir logaritmine skalėmis.

1 pav. Kai kurių signalų spektrinis energijos tankis
a - tiesine skale; b - logaritminėje skalėje

Kaip matyti iš 1a paveikslo, impulsų spektriniai energijos tankiai tiesine skale praktiškai susilieja ir juos labai sunku atskirti.

Spektrinio energijos tankio logaritminė skalė yra patogi lyginant signalo charakteristikas. Jei dviejų signalų energijos skiriasi 100 kartų, tai logaritminėje skalėje jų energijų santykis yra 20 dB. Jei energijos skiriasi 1 000 000 kartų, tai logaritminėje skalėje tai atitinka 60 dB. Signalo energijos padvigubinimas logaritmine skale atitinka 3 dB padidėjimą.

išvadas

Šiame skyriuje nagrinėjome periodinių ir neperiodinių signalų energetines charakteristikas. Mes parodėme, kad periodiniai signalai turi begalinę energiją, bet ribotą vidutinę galią. Vidutinė neperiodinių signalų galia linkusi į nulį, o jų energija yra baigtinė.

Buvo pristatyta signalų skaliarinės sandaugos koncepcija ir gauta apibendrinta Rayleigh formulė, kuri susieja skaliarinę sandaugą laiko ir dažnio srityse.

Parseval lygybė yra nustatyta neperiodiniams signalams, kaip ypatingas Rayleigh formulės atvejis.

Pristatoma spektrinės energijos tankio, kaip signalo spektrinio tankio kvadratinio modulio, samprata. Taip pat nagrinėjamas spektrinės energijos tankio vaizdavimas tiesine ir logaritminėmis skalėmis įvairiems signalams.

Taip pat žr

Bibliografija

Baskakovas, S.I. Maskva, LENANDAS, 2016, 528 p. ISBN 978-5-9710-2464-4

Gonorovskis I.S. Radijo grandinės ir signalai Maskva, Sovietų radijas, 1977, 608 p.

Tarptautinė švietimo korporacija

Taikomųjų mokslų fakultetas

Esė

tema"Galios tankio spektras ir jo ryšys su koreliacijos funkcija"

Pagal discipliną„Elektros komunikacijos teorija »

Atlikta: grupės mokinys

FPN-REiT(z)-4S *

Džumageldinas D

Patikrinta: Glukhova N.V.

Almata, 2015 m

I Įvadas

II Pagrindinė dalis

1. Galios spektrinis tankis

1.1 Atsitiktiniai kintamieji

1.2 Atsitiktinio dydžio funkcijos tikimybės tankis

2. Atsitiktinis procesas

3. Galios spektrinio tankio nustatymo metodas pagal koreliacijos funkcija

III Išvada

IV Naudotos literatūros sąrašas

Įvadas

Tikimybių teorija atsitiktinius dydžius ir jų charakteristikas nagrinėja „statikoje“. Atsitiktinių signalų aprašymo ir tyrimo „dinamiškai“, kaip atsitiktinių reiškinių, besivystančių laikui bėgant ar pagal bet kurį kitą kintamąjį, atspindį, problemą sprendžia atsitiktinių procesų teorija.

Paprastai kintamąjį „t“ naudosime kaip universalią koordinatę atsitiktinių dydžių pasiskirstymui per nepriklausomą kintamąjį ir vien dėl patogumo traktuosime jį kaip laiko koordinatę. Atsitiktinių dydžių pasiskirstymas laikui bėgant, taip pat signalai, rodantys juos bet kokia matematine forma, paprastai vadinami atsitiktiniais procesais. Techninėje literatūroje terminai " atsitiktinis signalas“ ir „atsitiktinis procesas“ vartojami pakaitomis.

Fizinių ir techninių duomenų apdorojimo ir analizės procese dažniausiai tenka susidurti su trijų tipų signalais, aprašytais statistiniais metodais. Pirma, tai informaciniai signalai, atspindintys tikimybinio pobūdžio fizikinius procesus, tokius kaip, pavyzdžiui, jonizuojančiosios spinduliuotės dalelių registravimo aktai radionuklidų skilimo metu. Antra, informaciniai signalai, priklausantys nuo tam tikrų fizinių procesų ar objektų parametrų, kurių reikšmės iš anksto nežinomos ir kurie paprastai nustatomi iš duomenų. informaciniai signalai. Ir trečia, tai yra triukšmas ir trukdžiai, chaotiškai besikeičiantys laike, lydintys informacinius signalus, tačiau, kaip taisyklė, statistiškai nepriklausomi nuo jų tiek savo vertėmis, tiek pokyčiais laikui bėgant.

Galios spektrinis tankis

Galios spektrinis tankis leidžia spręsti apie atsitiktinio proceso dažnines savybes. Jis apibūdina jo intensyvumą esant įvairiems dažniams arba, kitaip tariant, vidutinę galią dažnių juostos vienetui.

Vidutinės galios pasiskirstymas tarp dažnių vadinamas galios spektru. Prietaisas, matuojantis galios spektrą, vadinamas spektro analizatoriumi. Spektras, rastas atlikus matavimus, vadinamas aparatūros spektru.

Spektro analizatorius veikia pagal šiuos matavimo metodus:

· filtravimo būdas;

· transformacijos metodas pagal Wiener-Hinchen teoremą;

· Furjė transformacijos metodas;

· metodas naudojant ženklų funkcijas;

· stačiakampių funkcijų aparatinio taikymo metodas.

Galios spektro matavimo ypatumas yra reikšminga eksperimento trukmė. Dažnai tai viršija diegimo egzistavimo trukmę arba laiką, per kurį išlieka tiriamo proceso stacionarumas. Galios spektro įverčiai, gauti iš vieno stacionaraus ergodinio proceso įgyvendinimo, ne visada yra priimtini. Dažnai reikia atlikti daugybę matavimų, nes reikia apskaičiuoti realizacijų vidurkį tiek per laiką, tiek per ansamblį. Daugeliu atvejų tiriamų atsitiktinių procesų diegimai yra iš anksto įsimenami, todėl eksperimentą galima pakartoti daug kartų, keičiant analizės trukmę, naudojant skirtingus apdorojimo algoritmus ir įrangą.

Preliminariai registruojant atsitiktinio proceso įgyvendinimus, aparatinės įrangos klaidos gali būti sumažintos iki verčių dėl baigtinės įgyvendinimo trukmės ir nestacionarumo.

Analizuotų diegimų įsiminimas leidžia pagreitinti aparatinės įrangos analizę ir ją automatizuoti.

Atsitiktiniai kintamieji

Atsitiktinis dydis apibūdinamas tikimybiniais dėsniais. Tikimybė, kad nuolatinis dydis X matuojant pateks į bet kurį intervalą x 1<х <х 2 , nustatoma pagal išraišką:

, Kur p(x)- tikimybės tankis ir . Diskrečiajam atsitiktiniam dydžiui x i P(x = x i)=P i, Kur P i- tikimybė, atitinkanti i-ąjį kiekio lygį X.

7 paskaita.

ATSITIKTINIO PROCESO SPEKTRINIS GALIOS TANKIS

Kai turime omenyje atsitiktinį procesą kaip realizacijų aibę (ansamblį), reikia turėti omenyje, kad skirtingų formų realizacijos atitinka skirtingas spektrines charakteristikas. Sudėtingo spektrinio tankio vidurkis visuose įgyvendinimuose lemia nulinį proceso spektrą (kai vidurkis = 0) dėl spektrinių komponentų fazių atsitiktinumo ir nepriklausomumo skirtinguose įgyvendinimuose. Tačiau galima įvesti atsitiktinio dydžio vidutinio kvadrato spektrinio tankio koncepciją, nes vidutinio kvadrato reikšmė nepriklauso nuo sumuojamų harmonikų fazinio ryšio. Jei atsitiktinė funkcija x(t) reiškia elektros įtampą arba srovę, tai šios funkcijos vidutinis kvadratas gali būti laikomas vidutine galia, išsiskiriančia esant 1 omo varžai. Ši galia paskirstoma dažniais tam tikroje juostoje, priklausomai nuo atsitiktinio proceso formavimosi mechanizmo. Vidutinės galios spektrinis tankis yra vidutinė galia Hz tam tikru dažniu ω . Tokiu būdu įvestas spektrinis tankis S(ω) toliau vadinsime funkcijos energijos spektrą x(t) . Šio pavadinimo reikšmę lemia funkcijos matmuo S(ω) , kuris yra galios ir dažnių juostos santykis:

[S(ω) ] = [galia / dažnių juostos plotis] = [galia × laikas] = [energija],

Energijos spektrą galima rasti, jei žinomas atsitiktinio proceso susidarymo mechanizmas. Čia apsiribosime keletu bendrų apibrėžimų.

PSD skaičiavimo metodai

Spektrinio tankio funkcijos gali būti apibrėžtos trimis skirtingais lygiaverčiais būdais, kuriuos apžvelgsime toliau:

Kovariacijos funkcijų naudojimas;

Naudojant baigtinę Furjė transformaciją;

Naudojant filtravimą, kvadratą ir vidurkį.

Spektrų nustatymas naudojant koreliacijos funkcijas.

Istoriškai pirmasis spektrinio tankio nustatymo būdas atsirado matematikoje. Jį sudaro iš anksto apskaičiuotos koreliacijos funkcijos Furjė transformacija. Atėmus vidurkius, tokios (begalinės) Furjė transformacijos dažniausiai egzistuoja, net jei pradinio proceso (begalinės) Furjė transformacijos neegzistuoja. Šis metodas suteikia dažniams apibrėžtą dvipusį spektrinį tankį f nuo - iki + ir žymimas S(f) .

Tebūnie koreliacijos ir kryžminės koreliacijos funkcijos Rx(t), Ry(t) Ir Rxy(t) . Taip pat darykime prielaidą, kad jų absoliučių verčių integralai yra baigtiniai

R( d

Praktiškai šios sąlygos visada tenkinamos baigtinio ilgio įgyvendinimams. Tada veikia PF funkcijos R(t) egzistuoja ir yra nustatomi pagal formules

S x (f) =

S y (f)= (1)

S xy (f)=

Tokie integralai virš baigtinių realizacijų visada egzistuoja. Funkcijos S x(f) Ir S y(f) vadinamos procesų spektrinio tankio funkcijomis x(t) Ir y(t) atitinkamai arba tiesiog spektriniai tankiai ir funkcija vadinamas dviejų procesų tarpusavio spektriniu tankiu x(t) Ir y(t) .

Atvirkštiniai PF iš (1) formulių duoda

Rx(τ ) =

Ry(τ ) = (2)

Rxy(τ ) = df.

Santykiai (1) ir (2) vadinami Wiener-Chinchin formulėmis, kurios 30-aisiais savarankiškai nustatė ryšį tarp koreliacijos funkcijų ir spektrinio tankio per PF. Sprendžiant praktines problemas reikia leisti R(t) Ir S(f) delta funkcijų buvimas.

Iš stacionarių kovariacijos funkcijų simetrijos savybių išplaukia

S x (-f)= S x (f) a S xy (-f) = S yx (f)

Todėl spektrinis tankis S x(f) yra tikra lygi funkcija, a S xy(f) – sudėtinga funkcija iš f.

Tada spektrinius ryšius iš (1) galima transformuoti į formą

Galios spektrinio tankio įvertinimas yra gerai žinoma atsitiktinių procesų problema. Atsitiktinių procesų pavyzdžiai yra triukšmas, taip pat signalai, pernešantys informaciją. Paprastai reikia rasti statistiškai stabilų įvertinimą. Signalo analizė išsamiai aprašyta Skaitmeninio signalo apdorojimo kurse. Pradinė informacija pateikiama.

Signalų, kurių statistinės charakteristikos žinomos, spektrinę sudėtį galima nustatyti pagal baigtinį šio signalo intervalą. Jei statistinės signalo charakteristikos nežinomos, iš signalo segmento galima gauti tik jo spektro įvertinimą. Skirtingi metodai naudoja skirtingas prielaidas, todėl pateikia skirtingus įverčius.

Renkantis sąmatą, daroma prielaida, kad bendruoju atveju analizuojamas signalas yra atsitiktinis procesas. Ir būtina pasirinkti nešališką įvertį su maža dispersija, leidžiančia apskaičiuoti signalo spektro vidurkį. Poslinkis yra skirtumas tarp vidutinio įvertinimo ir tikrosios kiekio vertės. Nešališkas įvertis yra nulinio poslinkio įvertis. Įvertis su maža dispersija gerai lokalizuoja norimus kiekius, t.y. tikimybės tankis sutelktas aplink vidutinę reikšmę. Patartina turėti nuoseklų vertinimą, t.y. įvertis, kuris, didėjant imties dydžiui, yra linkęs į tikrąją vertę (pokrypis ir dispersija linkę nulį). Yra parametriniai įverčiai, kuriuose naudojama tik informacija apie patį signalą, ir neparametriniai įverčiai, kurie naudoja atsitiktinio signalo statistinį modelį ir pasirenka šio modelio parametrus.

Vertinant atsitiktinius procesus, dažnai naudojamos koreliacijos funkcijos.

Ergodiniam procesui galima nustatyti statistinius proceso parametrus, apskaičiuojant vieno įgyvendinimo vidurkį.

Dėl stacionarus atsitiktinis procesas koreliacijos funkcija R x (t) priklauso nuo laiko intervalo, kuriam ji nustatyta. Šis dydis apibūdina santykį tarp x(t) reikšmių, atskirtų intervalu t. Kuo lėčiau mažėja R(t), tuo ilgesnis intervalas, per kurį stebimas statistinis ryšys tarp atsitiktinio proceso verčių.

kur yra matematinė x(t) lūkestis.

Ryšys tarp koreliacijos funkcijos R(t) ir galios spektrinio tankio W(w) atsitiktiniam procesui nustatomas pagal Wiener-Chinchin teoremą.

Diskretiesiems procesams Vynerio-Khinchino teorema nustato ryšį tarp diskretiško atsitiktinio proceso spektro W(w) ir jo koreliacijos funkcijos R x (n)

W(w) = R x (n) exp(-j w n T)

Norint įvertinti signalo energiją laiko ir dažnio srityse, naudojama Parseval lygybė

Vienas iš įprastų spektrinio tankio įvertinimo būdų yra naudoti periodogramos metodą.

Periodograma.Šiuo metodu atliekama diskretinė Furjė transformacija signalui x(n), nurodytam diskrečiųjų imties taškuose, kurių ilgis yra N imties ir jo statistinis vidurkinimas. Tikrasis spektro X(k) apskaičiavimas atliekamas tik esant baigtiniam dažnių taškų skaičiui N. Taikoma greitoji Furjė transformacija (FFT). Vieno mėginio galios spektrinis tankis apskaičiuojamas:

P xx (X k)=|X(k)| 2/N, X(k)= , k=0,1,…,N-1.

Norint gauti statistiškai stabilų įvertinimą, turimi duomenys suskirstomi į persidengiančius mėginius, po to apskaičiuojamas kiekvienos imties spektrų vidurkis. Nurodomas mėginių skaičius mėginyje N ir kiekvieno paskesnio mėginio pradžios poslinkis ankstesnio N t pradžios atžvilgiu. Kuo mažesnis imčių skaičius imtyje, tuo daugiau imčių ir tuo mažesnė įverčių dispersija. Tačiau kadangi imties ilgis N yra susijęs su dažnio skiriamąja geba (2.4), sumažėjus imties ilgiui, sumažėja dažnio skiriamoji geba.

Taigi signalas žiūrimas pro langą, o duomenys, kurie nepatenka į langą, laikomi nuliu. Baigtinis signalas x(n), susidedantis iš N pavyzdžių, paprastai pateikiamas kaip signalo, kuris yra begalinis laike, padauginimo rezultatas. (n)į stačiakampį langą, kurio ilgis w R (n):

x(n) = (n)∙w R (n),

o stebimų signalų x(n) ištisinis spektras X N (f) apibrėžiamas kaip begalinio laike signalo Furjė vaizdų X(f), W R (f) konvoliucija. (n)∙ir langai w R (n)

X N (f) = X (f) * W R (f) =

Ištisinio stačiakampio lango (tiesioginio) spektras turi vientiso sinuso formą sinc(x)=sin(x)/x. Jame yra pagrindinė skiltis ir keletas šoninių skilčių, iš kurių didžiausia yra maždaug 13 dB žemiau pagrindinės smailės (žr. 15 pav.).

Atskiros sekos Furjė vaizdas (spektras), gautas imant ištisinio stačiakampio lango N tašką, parodytas 32 pav. Jį galima apskaičiuoti susumavus pasislinkusius integralinius sinusus (2.9), ir gaunamas Dirichlet branduolys

Ryžiai. 32. Diskretaus stačiakampio lango spektras

Nors begalinio ilgio signalas sutelks savo galią tiksliai diskrečiu dažniu f k , o kvadratinės bangos atrinktas signalas turi paskirstytą galios spektrą. Kuo trumpesnis pavyzdys, tuo labiau paskirstytas spektras.

Spektrinėje analizėje duomenys pasveriami naudojant lango funkcijas, taip sumažinant šoninių „skilčių“ įtaką spektriniams įverčiams.

Norint aptikti dvi harmonikas f 1 ir f 2 su artimais dažniais, būtina, kad laiko langui T pagrindinės „skilties“ plotis Df -3 ≈ Df L =0 =1/T, nustatytas esant -3 reikšmei. dB, yra mažesnis nei norimų dažnių skirtumas

Df=f 1 -f 2 > Df -3

Laiko lango plotis T yra susietas su atrankos dažniu f s ir atrankos imčių skaičiumi pagal (2.4) formulę.

Harmoninės analizės įrankiai. Signalams tirti labai patogu naudoti MATLAB paketą, ypač jo taikomąją programą (Toolbox) Signal Processing.

Modifikuotos periodogramos naudokite ne stačiakampio lango funkcijas, kurios sumažina Gibbso efektą. Pavyzdys yra Hamingo lango naudojimas. Tačiau tuo pačiu metu pagrindinės spektrogramos skilties plotis padidėja maždaug dvigubai. Kaiser langas buvo šiek tiek labiau optimizuotas. Padidinus pagrindinių skilčių plotį kuriant žemųjų dažnių filtrus, padidėja perėjimo juosta (tarp praėjimo ir sustabdymo juostų).

Welcho taškų skaičiavimo funkcija. Metodas susideda iš nuoseklių laiko duomenų padalijimo į segmentus (galbūt persidengiančius), tada apdorojamas kiekvienas segmentas ir spektro įvertinimas apskaičiuojant segmentų apdorojimo rezultatų vidurkį. Norint pagerinti įvertinimą, galima naudoti ne stačiakampio lango funkcijas, pvz., Hamingo langą. Segmentų skaičiaus didinimas mažina sklaidą, bet tuo pačiu mažėja metodo dažninė skiriamoji geba. Šis metodas duoda gerų rezultatų, kai naudingas signalas yra šiek tiek didesnis nei triukšmas, ir yra gana dažnai naudojamas praktikoje.

33 paveiksle pavaizduoti harmoninės sudėties įverčiai duomenims, kuriuose yra siauros juostos naudingų signalų ir baltojo triukšmo, naudojant skirtingus pavyzdžius (N=100, N=67) ir naudojant skirtingus metodus.

Ryžiai. 33. Signalo harmonikų įvertinimas 1024 taškų FFT transformacijai

Parametriniai metodai naudoti autoregresinius (AR) modelius. Metodai sudaro filtrų modelius ir naudoja juos signalų spektrams įvertinti. Visi metodai, kai signale yra triukšmo, pateikia šališkus įvertinimus. Metodai yra skirti signalams su harmoniniais komponentais apdoroti triukšmo fone. Metodo (filtro) tvarka nustatoma dvigubai daugiau nei signale esančių harmonikų skaičius. Buvo pasiūlyti keli parametriniai metodai.

Burg metodas suteikia aukšto dažnio skiriamąją gebą trumpiems mėginiams. Esant didelei filtrų eilei, spektrinės smailės suskaidomos. Spektrinių smailių padėtis priklauso nuo pradinių harmoninių fazių.

Kovariacijos metodas leidžia įvertinti signalo, kuriame yra harmoninių komponentų suma, spektrą.

Yule-Walker metodas suteikia gerų rezultatų ilgiems mėginiams ir nerekomenduojamas trumpiems mėginiams.

Koreliacijos metodai. MISIC (Kelių signalų klasifikacija) ir EV (savųjų vektorių) metodai duoda rezultatus pseudospektro pavidalu. Metodai paremti signalų koreliacijos matricos vektorių analize. Šie metodai suteikia šiek tiek geresnę dažnio skiriamąją gebą nei autokoreliacijos metodai.