2.6. Koreliacinė-spektrinė analizė deterministiniai signalai. Radijo grandinės ir signalus. I dalis

2.6. Deterministinių signalų koreliacinė-spektrinė analizė

Daugeliui radijo inžinerijos problemų dažnai reikia palyginti signalą ir jo kopiją, kurį laiką pasislinkusį. Ypač tokia situacija atsiranda radare, kai nuo taikinio atsispindėjęs impulsas į imtuvo įvestį patenka su laiko uždelsimu. Šių signalų palyginimas tarpusavyje, t.y. Jų ryšio nustatymas apdorojimo metu leidžia nustatyti taikinio judėjimo parametrus.

Norint kiekybiškai įvertinti ryšį tarp signalo ir jo laiko poslinkio kopijos, įvedama charakteristika

Kuris vadinamas autokoreliacijos funkcija(AKF).

Norėdami paaiškinti fizinę ACF reikšmę, pateikiame pavyzdį, kai signalas yra stačiakampis trukmės ir amplitudės impulsas. Fig. 2.9 paveiksle parodytas impulsas, jo kopija, pasislinkusi pagal laiko intervalą ir gaminys. Akivaizdu, kad produkto integravimas suteikia impulso ploto vertę, kuri yra sandauga. Šią vertę, kai ji yra fiksuota, galima pavaizduoti tašku koordinatėse. Keisdami gausime autokoreliacijos funkcijos grafiką.

Raskime analitinę išraišką. Nes

tada pakeisdami šią išraišką į (2.57), gauname

Jei perkeliate signalą į kairę, tada naudojant panašius skaičiavimus tai lengva parodyti

Tada sujungę (2,58) ir (2,59), gauname

Iš nagrinėjamo pavyzdžio galima padaryti tokias svarbias išvadas, kurios galioja savavališkoms bangų formoms:

1. Neperiodinio signalo autokoreliacinė funkcija mažėja augant (kitų tipų signalams nebūtinai monotoniškai). Akivaizdu, kad ACF taip pat linkęs į nulį.

2. ACF pasiekia maksimalią vertę. Šiuo atveju jis lygus signalo energijai. Taigi, ACF yra energijos būdinga signalui. Kaip ir galima tikėtis, signalas ir jo kopija yra visiškai koreliuojami (susiję).

3. Iš (2.58) ir (2.59) palyginimo matyti, kad ACF yra lygi funkcija argumentas, t.y.

Svarbi signalo savybė yra koreliacijos intervalas. Koreliacijos intervalas suprantamas kaip laiko intervalas, per kurį signalas ir jo kopija pasislenka nekoreliuoja.

Matematiškai koreliacijos intervalas nustatomas pagal šią išraišką

arba kadangi yra lygi funkcija

Fig. 2.10 paveiksle parodytas savavališkos bangos formos ACF. Jei pastatysite stačiakampį, kurio plotas lygus plotui po kreive, esant teigiamoms reikšmėms (dešinė kreivės šaka), kurios viena pusė yra lygi, tada antroji pusė atitiks.

Raskime stačiakampio impulso koreliacijos intervalą. Po paprastų transformacijų (2.58) pakeisdami į (2.60), gauname:

kaip matyti iš fig. 2.9.

Pagal analogiją su autokoreliacijos funkcija, apskaičiuojamas dviejų signalų ryšio laipsnis kryžminės koreliacijos funkcija(VKF)

Raskime dviejų signalų kryžminės koreliacijos funkciją: stačiakampio impulso su amplitude ir trukme

ir tokios pat amplitudės ir trukmės trikampio impulso

Naudodami (2.61) ir atskirai apskaičiuodami ir integralus, gauname:

Grafinės konstrukcijos, iliustruojantys CCF skaičiavimus, parodyta Fig. 2.11

Čia punktyrinės linijos rodo pradinę (prie) trikampio impulso padėtį.

Kai išraiška (2.61) transformuojama į (2.57). Iš to išplaukia, kad ACF yra ypatingas CCF atvejis su visiškai atitinkančiais signalais.

Atkreipkite dėmesį į pagrindines VKF savybes.

1. Kaip ir autokoreliacijos funkcija, VCF yra mažėjanti argumento funkcija. Kai VKF linkęs į nulį.

2. Savavališkos kryžminės koreliacijos funkcijos reikšmės yra vertės abipusė energija(sąveikos energijos) signalai ir.

3. Kai kryžminės koreliacijos funkcija (skirtingai nei autokoreliacijos funkcija) ne visada pasiekia maksimumą.

4. Jei signalai apibūdinami lyginėmis laiko funkcijomis, tai CCF taip pat yra lyginis. Jei bent vienas iš signalų yra aprašytas nelygine funkcija, tada CCF taip pat yra nelyginis. Pirmąjį teiginį lengva įrodyti, jei apskaičiuosite dviejų priešingo poliškumo stačiakampių impulsų CCF

Tokių signalų kryžminės koreliacijos funkcija

yra lygioji argumento funkcija.

Kalbant apie antrąjį teiginį, tai įrodo svarstomas stačiakampių ir trikampių impulsų CCF skaičiavimo pavyzdys.

Kai kuriose taikomose problemose radijo inžinieriai naudoja normalizuotą ACF

ir normalizuotas VKF

kur ir yra vidinės signalų energijos ir. Kai iškviečiama normalizuoto VCF reikšmė kryžminės koreliacijos koeficientas. Jei , tai kryžminės koreliacijos koeficientas

Akivaizdu, kad vertės svyruoja nuo -1 iki +1. Jei palyginsime (2,65) su (1,32), galime įsitikinti, kad kryžminės koreliacijos koeficientas atitinka kampo tarp vektorių ir ties kosinuso reikšmę. geometrinis vaizdas signalus.

Apskaičiuokime aukščiau aptartų pavyzdžių kryžminės koreliacijos koeficientą. Kadangi stačiakampio impulsinio signalo energija yra

ir trikampis impulsas

tada kryžminės koreliacijos koeficientas pagal (2.62) ir (2.65) bus lygus. Kalbant apie antrąjį pavyzdį, dviejų stačiakampių impulsų, kurių amplitudė ir trukmė yra tokia pati, bet priešingas poliškumas, .

Eksperimentiškai ACF ir VCF galima gauti naudojant įrenginį, kurio struktūrinė schema parodyta fig. 2.12

Nuimant ACF, signalas siunčiamas į vieną iš daugiklio įėjimų, o į antrąjį, bet kurį laiką uždelstas. Produktui proporcingas signalas yra integruojamas. Integratoriaus išvestyje generuojama įtampa, kuri yra proporcinga ACF vertei esant fiksuotai vertei. Pakeitę delsos laiką, galite sukurti signalo ACF.

Norint eksperimentiškai sukurti VCF, signalas tiekiamas į vieną iš daugiklio įėjimų, o signalas – į vėlinimo įrenginį (įeinančios grandinės rodomos punktyrinėmis linijomis). Priešingu atveju įrenginys veikia taip pat. Atkreipkite dėmesį, kad aprašytas įrenginys vadinamas koreliatorius ir yra plačiai naudojamas įvairiose radijo sistemose signalams priimti ir apdoroti.

Iki šiol atlikome neperiodinių signalų, turinčių baigtinę energiją, koreliacinę analizę. Tuo pačiu metu tokios analizės poreikis dažnai iškyla periodiniams signalams, kurie teoriškai turi begalinę energiją, bet baigtinę vidutinę galią. Šiuo atveju ACF ir CCF apskaičiuojami vidurkiu per laikotarpį ir turi vidutinės galios reikšmę (atitinkamai savaime arba abipuse). Taigi periodinio signalo ACF yra:

ir dviejų periodinių signalų su keliais periodais kryžminės koreliacijos funkcija:

kur yra didžiausia laikotarpio reikšmė.

Raskime harmoninio signalo autokoreliacijos funkciją

kur yra apskritimo dažnis ir yra pradinė fazė.

Pakeičiant šią išraišką į (2.66) ir apskaičiuojant integralą naudojant žinomą trigonometrinį ryšį:

Iš nagrinėjamo pavyzdžio galime padaryti tokias išvadas, kurios galioja bet kuriam periodiniam signalui.

1. Periodinio signalo ACF yra periodinė funkcija su tuo pačiu periodu.

2. Periodinio signalo ACF yra lygioji argumento funkcija.

3. Kai reikšmė yra vidutinė galia, kuris išsiskiria 1 Ohm varža ir yra matuojamas.

4. Periodinio signalo ACF nėra informacijos apie pradinę signalo fazę.

Taip pat reikėtų pažymėti, kad periodinio signalo koreliacijos intervalas.

Dabar apskaičiuokime dviejų vienodo dažnio harmoninių signalų, kurių amplitudė ir pradinės fazės skiriasi, kryžminės koreliacijos funkciją.

Signalų koreliacijos funkcijos naudojamos integraliems kiekybiniams signalų formų ir jų panašumo laipsnio įvertinimams.

Signalų autokoreliacijos funkcijos (ACF). (koreliacijos funkcija, CF). Kalbant apie deterministinius signalus, kurių energija yra baigtinė, ACF yra kiekybinė signalo formos integralas ir reiškia dviejų signalo kopijų s(t), paslinktų vienas kito atžvilgiu laiku t, sandaugą:

B s (t) = s(t) s(t+t) dt. (2.25)

Kaip matyti iš šios išraiškos, ACF yra signalo ir jo kopijos skaliarinė sandauga, funkcinė priklausomybė nuo poslinkio t kintamosios reikšmės. Atitinkamai, ACF turi fizinį energijos matmenį, o esant t = 0, ACF vertė yra tiesiogiai lygi signalo energijai:

B s (0) =s (t) 2 dt = E s .

ACF funkcija yra nuolatinė ir lygi. Pastarąjį nesunku patikrinti pakeitus kintamąjį t = t-t išraiškoje (2.25):

B s (t) = s(t-t) s(t) dt = s(t) s(t-t) dt = B s (-t). (2,25 colio)

Atsižvelgiant į paritetą, grafinis vaizdavimas ACF atliekamas tik esant teigiamoms t reikšmėms. Praktiškai signalai paprastai nurodomi teigiamų argumentų verčių intervale nuo 0-T. Ženklas +t išraiškoje (2.25) reiškia, kad didėjant t reikšmėms, signalo s(t+t) kopija pasislenka į kairę išilgai t ašies ir išeina už 0, todėl reikia atitinkamai pratęsti signalas į neigiamų argumento verčių sritį. O kadangi skaičiavimuose intervalas t nurodyti, kaip taisyklė, yra daug mažesnis nei signalo nurodymo intervalas, praktiškiau signalo kopiją perstumti į kairę išilgai argumento ašies, t.y. naudojant funkciją s(t-t) vietoj s(t+t) išraiškoje (2.25).

Didėjant baigtinių signalų poslinkio t reikšmei, laikinas signalo sutapimas su jo kopija mažėja, o skaliarinė sandauga linkusi į nulį.

Pavyzdys. Intervale (0,T) duotas stačiakampis impulsas, kurio amplitudė lygi A. Apskaičiuokite impulso autokoreliacijos funkciją.

Kai impulso kopija perkeliama išilgai t ašies į dešinę, esant 0≤t≤T, signalai sutampa intervale nuo t iki T. Taškinė sandauga:

B s (t) = A 2 dt = A 2 (T-t).

Perkeliant impulso kopiją į kairę, esant -T≤t

B s (t) = A 2 dt = A 2 (T + t).

Ties |t| > T signalas ir jo kopija neturi susikirtimo taškų, o signalų skaliarinė sandauga lygi nuliui (signalas ir jo pasislinkusi kopija tampa stačiakampiai).

Apibendrinant skaičiavimus, galime parašyti:

Periodinių signalų atveju ACF apskaičiuojamas per vieną laikotarpį T, apskaičiuojant skaliarinės sandaugos ir jo pasislinkusios kopijos vidurkį per laikotarpį:

B s (t) = (1/T) s (t) s (t-t) dt.

Esant t=0, ACF reikšmė šiuo atveju yra lygi ne energijai, o vidutinei signalų galiai intervale T. Periodinių signalų ACF taip pat yra periodinė funkcija su tuo pačiu periodu T. vieno tono harmoninis signalas, tai akivaizdu. Pirmoji maksimali ACF reikšmė atitiks t=0. Kai signalo kopija pasislenka ketvirtadaliu periodo, palyginti su originalu, integrandų funkcijos tampa viena kitai statmenos (cos w o (t-t) = cos (w o t-p/2) º sin w o t) ir suteikia nulinį ACF. vertė. Paslinkus t=T/2, signalo kopija tampa priešinga pačiam signalui ir skaliarinė sandauga pasiekia mažiausią reikšmę. Toliau didėjant poslinkiui, prasideda atvirkštinis skaliarinės sandaugos reikšmių didinimo procesas, kertant nulį ties t=3T/2 ir pakartojant maksimalią reikšmę, kai t=T=2p/w o (cos w o t-2p º cos w o t signalo kopijos). Panašus procesas vyksta ir periodiniams savavališkos formos signalams (2.11 pav.).

Atkreipkite dėmesį, kad gautas rezultatas nepriklauso nuo harmoninio signalo pradinės fazės, kuri būdinga bet kokiems periodiniams signalams ir yra viena iš ACF savybių.

Signalams, duodamiems per tam tikrą intervalą, ACF apskaičiuojamas normalizuojant pagal intervalo ilgį:

B s (t) =s (t) s (t+t) dt. (2.26)

Signalo autokoreliaciją taip pat galima įvertinti pagal autokoreliacijos koeficientų funkciją, kuri apskaičiuojama pagal formulę (remiantis centruotais signalais):

r s (t) = cos j(t) = ás(t), s(t+t)ñ /||s(t)|| 2.

Kryžminės koreliacijos funkcija Signalų (CCF) (kryžminės koreliacijos funkcija, CCF) parodo dviejų signalų formos panašumo laipsnį ir jų santykinę padėtį vienas kito atžvilgiu išilgai koordinatės (nepriklausomas kintamasis), kuriai taikoma ta pati formulė (2.25). naudojamas kaip ACF, bet po integralu yra dviejų sandauga skirtingus signalus, iš kurių vienas yra perkeltas laiku t:

B 12 (t) = s 1 (t) s 2 (t+t) dt. (2.27)

Pakeitę kintamąjį t = t-t formulėje (2.4.3), gauname:

B 12 (t) = s 1 (t-t) s 2 (t) dt = s 2 (t) s 1 (t-t) dt = B 21 (-t)

Ryžiai. 2.12. Signalai ir VKF

Iš to išplaukia, kad CCF pariteto sąlyga netenkinama, o CCF vertės neturi turėti didžiausios vertės, kai t = 0. Tai aiškiai matyti Fig. 2.12, kur duoti du vienodi signalai, kurių centrai yra taškuose 0,5 ir 1,5. Skaičiavimas naudojant (2.27) formulę su laipsniškas didėjimas t reikšmės reiškia nuoseklius signalo s2(t) poslinkius į kairę išilgai laiko ašies (kiekvienai s1(t) reikšmei imamos reikšmės s2(t+t) integruojant ir dauginant).

Esant t=0 signalai yra stačiakampiai, o B 12 (t) reikšmė=0. Didžiausias B 12 (t) bus stebimas, kai signalas s2(t) pasislenka į kairę reikšme t=1, kai signalai s1(t) ir s2(t+t) yra visiškai sujungti. Skaičiuojant B 21 (-t) reikšmes, panašus procesas atliekamas nuosekliai perkeliant signalą s1(t) į dešinę išilgai laiko ašies, palaipsniui didinant neigiamas t reikšmes ir atitinkamai B 21 (-t) reikšmės yra veidrodinis (atsižvelgiant į ašį t = 0) rodo reikšmes B 12 (t) ir atvirkščiai. Fig. 2.13 tai aiškiai matyti.

Ryžiai. 2.13. Signalai ir VKF

Taigi, norint apskaičiuoti visą TCF formą, t ašyje turi būti neigiamos reikšmės, o t ženklo keitimas formulėje (2.27) prilygsta signalų pertvarkymui.

Periodiniams signalams CCF sąvoka dažniausiai netaikoma, išskyrus signalus su tuo pačiu periodu, pavyzdžiui, sistemų įvesties ir išvesties signalus tiriant sistemų charakteristikas.

Dviejų signalų kryžminės koreliacijos koeficientų funkcija apskaičiuojama pagal formulę (remiantis centruotais signalais):

r sv (t) = cos j(t) = ás(t), v(t+t)ñ /||s(t)|| ||v(t)||. (2.28)

Kryžminės koreliacijos koeficientų reikšmė gali svyruoti nuo -1 iki 1.

9 Koreliacinė analizė. Koreliacinė funkcija, jos savybės. Vieno impulso ir periodinio signalo koreliacijos funkcijos skaičiavimas

Kartu su spektrine analize signalų teorijoje svarbų vaidmenį atlieka koreliacinė analizė. Jo reikšmė yra išmatuoti signalų panašumo (skirtumo) laipsnį. Šiuo tikslu naudojama koreliacijos funkcija.

CF yra dviejų signalo kopijų, pasislinkusių viena kitos atžvilgiu, sandaugos integralas. draugas kurį laiką.

Kuo didesnė CF reikšmė, tuo stipresnis panašumas. CF turi šias savybes:

1. CF vertė esant

lygi signalo energijai (jo kvadrato integralui)

2. Ar lygi funkcija

3. CF vertė esant

4. Didėjant abs. vertybes Signalo, kurio energija yra baigtinė, CF susilpnėja

5. Jei signalas yra įtampos ir laiko funkcija, tada jo CF matmuo [

]

Periodinio signalo atveju (su periodu T) CF apskaičiuojamas apskaičiuojant vieno periodo pasislinkusių kopijų sandaugą:

Keičiasi tokio CF savybių rinkinys:

1. CF vertė esant

lygus vidutinei signalo galiai

2. Išsaugoma pariteto nuosavybė.

3. CF vertė esant

yra maksimaliai įmanoma.

4. CF yra periodinė funkcija (su tuo pačiu periodu kaip ir signalas)

5. Jei signale nėra delta funkcijų, tai jo CF yra nuolatinis.

6. Jei signalas yra U(t) priklausomybė, tai CF [ matmuo

]

Harmoninio signalo CF yra harmoninė funkcija, kuri nepriklauso nuo pradinės signalo fazės.

10 Kryžminės koreliacijos funkcija, jos savybės. Signalų kryžminės koreliacijos funkcijos skaičiavimas

Kryžminės koreliacijos funkcija (CCF) yra funkcija, rodanti dviejų skirtingų signalų, pasislinkusių laike, panašumo laipsnį.

Bendra forma:

Pavyzdžiui, apskaičiuokime 2 funkcijų CCF:

At

At

At

Sujungę rezultatus galime parašyti:

VKF savybės:

1)

2)

3)

4) Jei funkcijos S 1 (t) Ir S 2 (t) neturi delta funkcijų, tada jų ICF negali turėti pertrūkių.

5) Jei signalas yra funkcija U(t) , tada VKF matmuo

11 Atsitiktiniai procesai. Atsitiktinio proceso įgyvendinimas. Atsitiktinių procesų pasiskirstymo dėsniai

Kartais praktikoje tenka susidurti su reiškiniais, kurių eiga laikui bėgant yra nenuspėjama ir kiekvienu laiko momentu aprašoma atsitiktiniu dydžiu. Tokie reiškiniai vadinami atsitiktiniais procesais. Atsitiktiniu būdu vadinama funkcija ζ( t) neatsitiktinis argumentas t (dažniausiai laikas), kuris kiekvienai fiksuotai argumento reikšmei yra atsitiktinis kintamasis. Pavyzdžiui, temperatūra per dieną, užfiksuota registratoriumi. Proceso paimtos reikšmės ζ( t) V tam tikromis akimirkomis laikas vadinami teigia, o visų būsenų aibė yra fazinė erdvė atsitiktinis procesas. Priklausomai nuo atsitiktinio proceso galimų būsenų skaičiaus, jo fazinė erdvė gali būti diskretus arba tęstinis. Jeigu atsitiktinis procesas gali pakeisti savo būseną tik tam tikrais laiko momentais, tai toks procesas vadinamas atsitiktinis procesas su diskrečiu laiku; o jei savavališkuose, tada - nuolatinis laiko procesas .

Atsitiktinis procesas ζ( t) vadinamas stacionarus, jei jo galimų būsenų tikimybių skirstinys laikui bėgant nekinta. Pavyzdžiui, metant kauliuką kas sekundę, atitinkamo atsitiktinio proceso būsenų tikimybių skirstinys (44 pav. b) nepriklauso (nekeičia) nuo laiko (šiuo atveju visos būsenos ζ( t) yra vienodai įmanomi). Priešingai, atsitiktinis procesas, apibūdinantis aplinkos temperatūrą, nėra stacionarus, nes Vasara pasižymi aukštesne temperatūra nei žiema.

Stacionaraus atsitiktinio proceso būsenų tikimybinis skirstinys vadinamas stacionarus paskirstymas.

Yra įvairių paskirstymo dėsnių, tarp kurių yra vienodas, Gauso (normalus)

Uniforma: tegul kuri nors x reikšmė paima x 1 reikšmes

P(x) = sistema (0 x x 2)

Paskirstymo funkciją randame integruodami

F(x) = sistema (0 ir x x 2)

Gauso (normalus) skirstinys. Teoriškai atsitiktiniai signalai Gauso tikimybės tankis yra esminis

Pagal lygybę (13.5) netiesinio įrenginio atsako koreliacijos funkcija gali būti išreikšta taip, kaip šio įrenginio pereinamojo laikotarpio funkcija:

Dvigubas integralas yra lygus, kaip matyti iš palyginimo su lygybe (4.25), bendrai charakteristikai dydžių, užrašytų kaip sudėtingų kintamųjų funkcija, funkcijai. Vadinasi,

Išraiška (13.40) yra pagrindinė atsitiktinių efektų netiesiniuose įrenginiuose analizės formulė, naudojant transformacijos metodą. Likusi šio skyriaus dalis skirta šiai išraiškai įvertinti įvairių tipų prietaisai ir įvairaus pobūdžio įtaka jiems.

Daugeliu problemų įtaka sistemos įėjimui yra naudingo signalo ir triukšmo suma:

kur yra statistiškai nepriklausomų tikimybinių procesų imties funkcijos. Tokiais atvejais jungtinė charakteristinė įtakos funkcija yra lygi signalo ir triukšmo charakteristikų funkcijų sandaugai, o lygybė (13.40)

kur - bendra charakteristika dydžių funkcija - bendra charakteristika dydžių funkcija ir

Gauso triukšmas įėjime. Jei įrenginio įvesties triukšmas yra tikrojo Gauso tikimybinio proceso pavyzdinė funkcija su nuliu matematinis lūkestis, tada pagal lygybę (8.23),

kur Koreliacijos atsako funkcija šiuo atveju įgauna formą

Jei funkcijos iš ir funkcijos iš dabar gali būti pavaizduotos kaip funkcijų sandaugos arba kaip tokių sandaugų sumos, tai dvigubas integralas paskutinėje išraiškoje gali būti apskaičiuojamas kaip integralų sandauga. Faktas, kad eksponentinė funkcija gali būti pavaizduota per funkcijų sandaugas ir išplaukia iš jos išplėtimo į laipsnių eilutę

Todėl galima parašyti netiesinio įrenginio atsako koreliacijos funkciją, kai jo įvestis taikomas Gauso triukšmui.

Sinusoidiniai signalai.

Tarkime, kad prietaiso įvesties signalas yra moduliuotas sinusoidas, t.y.

kur yra žemo dažnio tikimybinio proceso (t. y. tokio, kuriam spektrinis tankis skiriasi nuo nulio tik dažnių diapazonu, esančiu greta nulinio dažnio, ir siauras, palyginti su ir kur atsitiktinis dydis yra pasiskirstęs tolygiai per intervalą ir nepriklauso nuo moduliuojančio signalo ir triukšmo. Būdinga tokio signalo funkcija yra lygi

Išplėsdami eksponentą iki Jacobi-Anger formulės [išraiška (13.20)], gauname

Nes

kur gauname tai amplitudės moduliuoto sinusinio signalo atveju

Netiesinio įtaiso atsako koreliacijos funkciją, kai į jo įvestį nukreipiamas sinusinis signalas ir Gauso triukšmas, dabar galima rasti pakeičiant (13.47) į (13.45). Apibrėžkime funkciją

kur ir koreliacijos funkcija

kur vidurkinimas atliekamas per moduliavimo signalą; tada atsako koreliacinė funkcija bus lygi

Jei ir moduliuojantis signalas, ir triukšmas yra nejudantys, tada išraiška (13.50) įgauna formą

Jei įvesties signalas yra nemoduliuota sinusinė banga

nes šiuo atveju koeficientai yra pastovūs ir lygūs vienas kitam.

Signalo ir triukšmo komponentai išėjime.

Dabar panagrinėkime atvejį, kai įvesties triukšmas turi moduliuoto sinusoido formą. Šiuo atveju koreliacijos funkcija išvestyje pateikiama išraiška (13.52). Išplėskime šią išraišką taip:

Pažvelkime į atskirus jo komponentus. Pirmasis terminas atitinka pastovų komponentą įrenginio išvestyje. Kita terminų grupė atitinka periodinę atsako dalį ir daugiausia dėl įvesties signalo sąveikos su savimi. Likę terminai atitinka atsitiktinius atsako svyravimus, ty triukšmą išėjime. Tie iš

šie likę terminai daugiausia susiję su įvesties triukšmo sąveika su savimi, ir tie, kurių signalo ir triukšmo sąveika įėjime.

Įsivaizduokime netiesinio įrenginio atsaką kaip vidutinės vertės, periodinių komponentų ir atsitiktinio komponento sumą:

Tada koreliacijos atsako funkciją galima parašyti kaip

kur Lyginant lygybes (13,53) ir (13,55), matome, kad vidutinė atsako reikšmė ir jos periodinių komponentų amplitudė gali būti išreikšta tiesiogiai per koeficientus

Be to, atsitiktinės atsako dalies koreliacijos funkciją galima parašyti kaip

kur mes pateikiame pagal apibrėžimą pagal (13.50)

Reikėtų pažymėti, kad griežtai kalbant, visi šie terminai yra proceso, moduliuojančio įvesties signalą, funkcijos.

Klausimo, kuris iš (13.62) terminų lemia naudingą išėjimo signalą, sprendimas, žinoma, priklauso nuo netiesinio įrenginio paskirties. Jei, pavyzdžiui, įrenginys naudojamas kaip detektorius, tuomet naudinga išėjimo signalo žemo dažnio dalis. Šiuo atveju naudingas signalas atitinka lygybės apibrėžtos koreliacijos funkcijos dalį

Kita vertus, jei įrenginys naudojamas kaip netiesinis stiprintuvas, tada

nes šiuo atveju naudinga signalo komponentė yra sutelkta aplink įvesties signalo nešlio dažnį

Literatūra: [L.1], 77-83 p

[L.2], 22-26 p

[L.3], 39-43 p

Daugelyje radijo inžinerijos užduočių dažnai reikia palyginti signalą ir jo kopiją, kurį laiką pasislinkusį

Nuimant ACF, signalas siunčiamas į vieną iš daugiklio įėjimų, o į antrąjį, bet uždelstas. Produkto proporcingas signalas , vyksta integravimo operacija. Integratoriaus išvestyje generuojama įtampa, kuri yra proporcinga ACF vertei esant fiksuotai vertei. Pakeitę delsos laiką, galite sukurti signalo ACF.

Norint eksperimentiškai sukurti VCF, signalas tiekiamas į vieną iš daugiklio įėjimų, o signalas – į vėlinimo įrenginį (įeinančios grandinės rodomos punktyrinėmis linijomis). Priešingu atveju įrenginys veikia taip pat. Atkreipkite dėmesį, kad aprašytas įrenginys vadinamas koreliatorius ir yra plačiai naudojamas įvairiose radijo sistemose signalams priimti ir apdoroti.

Iki šiol atlikome neperiodinių signalų, turinčių baigtinę energiją, koreliacinę analizę. Tuo pačiu metu tokios analizės poreikis dažnai iškyla periodiniams signalams, kurie teoriškai turi begalinę energiją, bet baigtinę vidutinę galią. Šiuo atveju ACF ir CCF apskaičiuojami vidurkiu per laikotarpį ir turi vidutinės galios reikšmę (atitinkamai savaime arba abipuse). Taigi periodinio signalo ACF yra:

, (2.66)

ir dviejų periodinių signalų su keliais periodais kryžminės koreliacijos funkcija:

, (2.67)

kur yra didžiausia laikotarpio reikšmė.

Raskime harmoninio signalo autokoreliacijos funkciją

,

kur yra apskritimo dažnis ir yra pradinė fazė.

Pakeičiant šią išraišką į (2.66) ir apskaičiuojant integralą naudojant žinomą trigonometrinį ryšį:

.

Iš nagrinėjamo pavyzdžio galime padaryti tokias išvadas, kurios galioja bet kuriam periodiniam signalui.

1. Periodinio signalo ACF yra periodinė funkcija su tuo pačiu periodu.

2. Periodinio signalo ACF yra lygioji argumento funkcija.

3. Vertė reiškia vidutinę galią, kuri išleidžiama esant 1 omo varžai ir turi išmatuotą vertę.

4. Periodinio signalo ACF nėra informacijos apie pradinę signalo fazę.

Taip pat reikėtų pažymėti, kad periodinio signalo koreliacijos intervalas.

Dabar apskaičiuokime dviejų vienodo dažnio harmoninių signalų, kurių amplitudė ir pradinės fazės skiriasi, kryžminės koreliacijos funkciją.

Ir.

Naudodamiesi (2.67) ir atlikdami paprastus skaičiavimus, gauname

,

Kur – signalų pradinių fazių skirtumas ir.

Taigi dviejų nagrinėjamų signalų kryžminės koreliacijos funkcijoje yra informacijos apie pradinių fazių skirtumą. Ši svarbi savybė plačiai naudojama statant įvairius radijo inžinerijos įrenginius, ypač kai kurių radijo automatikos sistemų ir kitų sinchronizavimo įrenginius.

Kadangi ir yra tikrosios ir lyginės funkcijos, išraiškas (2.69) ir (2.70) galima parašyti atitinkamai forma

, (2.71)

. (2.72)

Nagrinėjama koreliacinė-spektrinė analizė leidžia pateikti kitą efektyvaus spektrinio pločio interpretaciją. Jei žinomas energijos spektras, efektyvusis spektro plotis nustatomas taip:

. (2.73)

Kitaip tariant, jis vaizduoja kraštinę stačiakampio, kurio plotas lygus plotui po vienpusio spektro kreive, kurio antroji kraštinė lygi (2.13 pav.). Akivaizdu, kad efektyvaus energijos spektro pločio ir koreliacijos intervalo vertės sandauga yra pastovi vertė

.

Taigi šiuo atveju susiduriame su neapibrėžtumo principo pasireiškimu: kuo didesnis koreliacijos intervalas, tuo mažesnis energijos spektro plotis ir atvirkščiai.

Testo klausimai 2 skyriui

1. Kas yra pagrindinių trigonometrinių funkcijų sistema?

2. Kaip galime parašyti trigonometrinę Furjė eilutę?

3. Apibrėžkite periodinio signalo amplitudę ir fazių spektrą.

4. Kokia yra stačiakampių impulsų sekos spektro prigimtis?

5. Kuo vieno impulso spektras skiriasi nuo periodinės impulsų sekos spektro?

6. Užrašykite tiesioginę ir atvirkštinę Furjė transformacijas.

7. Kaip rasti efektyvią trukmę ir efektyvus plotis stačiakampio signalo spektras?

8. Koks yra delta funkcijos formos signalo spektras?

9. Apibrėžkite deterministinio signalo autokoreliacijos funkciją.

10. Kokia yra dviejų signalų kryžminės koreliacijos funkcija?

11. Kaip rasti kryžminės koreliacijos koeficientą?

12. Kokias savybes turi periodinio signalo autokoreliacijos funkcija?

Signalai ir tiesinės sistemos. Signalų koreliacija

6 tema. Signalų koreliacija

Nepaprasta baimė ir didžiulis drąsos užsidegimas vargina skrandį ir sukelia viduriavimą.

Michelis Montaigne'as. Prancūzų teisininkas mąstytojas, XVI a.

Tai yra skaičius! Abi funkcijos turi 100% koreliaciją su trečiąja ir yra statmenos viena kitai. Na, o Visagalis juokavo kurdamas Pasaulį.

Anatolijus Pyshmintsevas. Novosibirsko Uralo mokyklos geofizikas, XX a.

1. Signalų autokoreliacinės funkcijos. Autokoreliacijos funkcijų (ACF) samprata. Riboto laiko signalų ACF. Periodinių signalų ACF. Autokoviacijos funkcijos (ACF). Diskrečiųjų signalų ACF. Triukšmingų signalų ACF. Kodinių signalų ACF.

2. Signalų kryžminės koreliacijos funkcijos (CCF). Kryžminės koreliacijos funkcija (CCF). Triukšmingų signalų kryžminė koreliacija. Diskrečiųjų signalų CCF Periodinių signalų triukšme įvertinimas. Tarpusavio koreliacijos koeficientų funkcija.

3. Koreliacinių funkcijų spektriniai tankiai. ACF spektrinis tankis. Signalo koreliacijos intervalas. VKF spektrinis tankis. Koreliacijos funkcijų skaičiavimas naudojant FFT.

Įvadas

Koreliacija ir jos ypatingas atvejis centruotiems signalams – kovariacija, yra signalų analizės metodas. Pateikiame vieną iš metodo panaudojimo variantų. Tarkime, kad yra signalas s(t), kuriame gali būti (arba negali būti) kokia nors baigtinio ilgio T seka x(t), kurios laiko padėtis mus domina. Norint ieškoti šios sekos T ilgio laiko lange, slenkančiame išilgai signalo s(t), apskaičiuojamos signalų s(t) ir x(t) skaliarinės sandaugos. Taigi signalui s(t) „pritaikome“ norimą signalą x(t), slysdami jo argumentu ir pagal skaliarinės sandaugos reikšmę įvertiname signalų panašumo laipsnį palyginimo taškuose.

Koreliacinė analizė leidžia signaluose (arba skaitmeninių signalų duomenų serijose) nustatyti tam tikrą ryšį tarp nepriklausomo kintamojo signalo reikšmių pokyčių, tai yra, kai yra didelės vieno signalo reikšmės (santykinis). prie vidutinių signalo verčių) yra susietos su didelėmis kito signalo reikšmėmis (teigiama koreliacija), arba, atvirkščiai, mažos vieno signalo reikšmės yra susijusios su didelėmis kito signalo reikšmėmis (neigiama koreliacija) arba du signalai niekaip nesusiję (nulinė koreliacija).

Signalų funkcinėje erdvėje šis ryšio laipsnis gali būti išreikštas normalizuotais koreliacijos koeficiento vienetais, t.y. kampo tarp signalų vektorių kosinusu ir atitinkamai ims reikšmes nuo 1 (visiškas signalų sutapimas) iki -1 (visiškai priešingas) ir nepriklauso nuo matavimo vienetų vertės (skalės). .

Autokoreliacijos versijoje panaši technika naudojama norint nustatyti signalo s(t) skaliarinę sandaugą su savo kopija, slenkančia išilgai argumento. Autokoreliacija leidžia įvertinti vidutinę statistinę esamų signalų pavyzdžių priklausomybę nuo jų ankstesnių ir vėlesnių verčių (vadinamasis signalo verčių koreliacijos spindulys), taip pat nustatyti periodiškai pasikartojančių elementų buvimą signale.

Koreliacijos metodai yra ypač svarbūs analizuojant atsitiktinius procesus, siekiant nustatyti neatsitiktinius komponentus ir įvertinti neatsitiktinius šių procesų parametrus.

Atkreipkite dėmesį, kad yra tam tikros painiavos dėl terminų „koreliacija“ ir „kovariacija“. Matematinėje literatūroje terminas „kovariacija“ taikomas centrinėms funkcijoms, o „koreliacija“ – savavališkoms. Techninėje literatūroje, o ypač literatūroje apie signalus ir jų apdorojimo būdus, dažnai vartojama visiškai priešinga terminija. Tai nėra esminė svarba, tačiau susipažinus su literatūros šaltiniais verta atkreipti dėmesį į priimtą šių terminų paskirtį.

Signalų koreliacijos funkcija yra laikina savybė

suteikia supratimą apie signalo kitimo greitį laikui bėgant, taip pat signalo trukmę, nesuskaidant jo į harmoninius komponentus.

Yra autokoreliacijos ir kryžminės koreliacijos funkcijos. Deterministinio signalo f(t) autokoreliacijos funkcija pateikiama pagal

kur yra signalo laiko poslinkio dydis.

apibūdina signalo f (t) ryšio (koreliacijos) laipsnį su juo

kopija, pasislinkusi dydžiu išilgai laiko ašies. Sukurkime stačiakampio impulso f (t) autokoreliacijos funkciją (ACF). Signalas perkeliamas į priekinę pusę, kaip parodyta Fig. 6.25.

Grafike kiekviena reikšmė turi savo sandaugą ir plotą po funkcijos grafiku. Skaitmeninis

tokių sričių reikšmės atitinkamam τ suteikia funkcijos ordinates

Kai τ didėja, jis mažėja (nebūtinai monotoniškai) ir su

Tai yra, didesnis nei signalo trukmė yra nulis.

taip pat yra periodinė funkcija su periodu T.

Panagrinėkime pagrindines autokoreliacijos funkcijos savybes:

1. ACF yra lygi funkcija, t.y., funkcija mažėja, kai ji didėja.

2. ACF pasiekia maksimalus esant , nes bet kuris signalas yra visiškai koreliuojamas su savimi. Šiuo atveju didžiausia ACF vertė yra lygi energijai

Kuo platesnis signalo spektras, tuo mažesnis koreliacijos intervalas, t.y. poslinkio, kurio ribose koreliacijos funkcija skiriasi nuo nulio, dydis. Atitinkamai, kuo didesnis signalo koreliacijos intervalas, tuo siauresnis jo spektras.

Koreliacijos funkcija taip pat gali būti naudojama dviejų skirtingų signalų f 1 (t) ir f 2 (t), pasislinkusių laiku, ryšio laipsniui įvertinti.

Šiuo atveju ji vadinama kryžminės koreliacijos funkcija (MCF) ir apibrėžiama išraiška:

Kryžminės koreliacijos funkcija nebūtinai yra lygi τ atžvilgiu ir nebūtinai pasiekia maksimumą ties. Dviejų trikampių signalų f 1 (t) ir f 2 (t) CCF konstrukcija parodyta fig. 6.26. Perjungiant

signalas f 2 (t) į kairę (t > 0, 6.26 pav., a) signalo koreliacinė funkcija iš pradžių didėja, po to sumažėja iki nulio ties. Kai signalas f 2 (t) pasislenka į dešinę (t< 0, рис. 6.26, б) корреляционная функция сразу убывает. В результате получается нессиметричная относительно оси ординат ВКФ , показанная на рис. 6.26, в.

f1(t)

f2(t)

0 T t

0 t - T T

f 1 (t) × f 2 (t + t)

f1(t)

f2(t)

0 T

f 1 (t) × f 2 (t - t)

6.9. Modifikuotų signalų samprata. Amplitudės moduliacija

Aukšto dažnio signalai naudojami informacijai perduoti per atstumą. Perduota informacija turi būti vienaip ar kitaip įterpta į aukšto dažnio virpesius, kurie vadinami nešančioji banga. Cha pasirinkimas -

Nešančiojo signalo reikšmė ω priklauso nuo daugelio faktorių, bet bet kuriuo atveju ω

turėtų būti daug daugiau nei didžiausias dažnis perduodamo pranešimo spektras, t.y.

Priklausomai nuo nešiklio pobūdžio, išskiriami du moduliavimo tipai:

– nenutrūkstamas – su harmoniniu nešikliu, nenutrūkstamu laike;

– impulsinis - kai nešiklis yra periodinės impulsų sekos pavidalu.

Informaciją nešantis signalas gali būti pavaizduotas formoje

Jei ir yra pastovios reikšmės, tai yra paprastas harmoninis svyravimas, kuris neperduoda informacijos. Jei jie yra priversti keistis, kad perduotų pranešimą, tada svyravimai tampa moduliuojami.

Jei A (t) pasikeičia, tai yra amplitudės moduliacija, jei kampas yra kampinis. Kampinė moduliacija skirstoma į du tipus: dažnį (FM) ir fazę (PM).

Nuo tada ir yra lėtai kintančios laiko funkcijos. Tada galime manyti, kad bet kokio tipo moduliacijos signalo parametrai

(1) (amplitudė, fazė ir dažnis) kinta taip lėtai, kad per vieną periodą aukšto dažnio virpesiai gali būti laikomi harmoniniais. Šia prielaida grindžiamos signalų savybės ir jų spektrai.

Amplitudinė moduliacija (AM). Naudojant AM, nešlio signalo amplitudės gaubė kinta pagal dėsnį, kuris sutampa su perduodamo pranešimo, dažnio kitimo dėsniu.nesikeičia, o pradinė fazėgali skirtis priklausomai nuo moduliavimo pradžios momento. Bendroji išraiška (6.22) gali būti pakeista

Grafinis amplitudės moduliuoto signalo vaizdas parodytas. 6.27. Čia S (t) yra perduodamas nuolatinis pranešimas, nešančiojo harmoninio aukšto dažnio signalo amplitudė. Vokas A (t) keičiasi pagal dėsnį, kuris atkuria pranešimą

S(t).

Koreliacijos sąvoka reiškia panašumą. Signalo koreliacijos funkcija yra funkcija ir ją suteikia

kur τ yra signalo laiko poslinkis.

Kai išraiška (2.65) įgauna formą

kur E yra signalo energija. Taigi, esant nuliniam laiko poslinkiui, koreliacijos funkcija yra lygi signalo energijai.

Be koreliacijos funkcijos (2.65), yra ir abipusės koreliacijos funkcija, kuri apibūdina abipusį ryšį tarp dviejų signalų verčių ir nustatoma pagal išraišką:

Kai U1(t) ir U2(t) yra tas pats signalas U(t), tai kryžminės koreliacijos ir koreliacijos funkcijos yra vienodos.

Koreliacijos funkcija maksimalią reikšmę įgauna tik esant . Dviejų identiškų signalų kryžminės koreliacijos funkcija taip pat pasiekia maksimumą ties . Skirtingiems signalams U1(t) ir U2(t) maksimali funkcijos reikšmė gali nepasiekti . Pavyzdžiui, kosinuso bangos kryžminės koreliacijos funkcijos didžiausia vertė yra .

Panagrinėkime tipinių signalų koreliacijos funkcijas.

Kvadratinės bangos vaizdo signalas ir jo koreliacijos funkcija parodyta Fig. 2.24.

Periodinio vaizdo signalo koreliacijos funkcija su periodu T, pagrįsta (2.66), yra tokia:

(2.67)

Harmoninio signalo koreliacinė funkcija yra lygi:

Signalas ir jo koreliacijos funkcija parodyta 2.25 pav.

Ryžiai. 2.25. Harmoninis signalas (a) ir jo koreliacinė funkcija (b).

Dviejų to paties dažnio harmoninių signalų kryžminės koreliacijos funkcija yra tokia:

(2.69)

Jei ir , tai kryžminės koreliacijos funkcija (2.68) lygi harmoninio signalo koreliacijos funkcijai (2.69).

Dviejų skirtingų dažnių harmoninių signalų kryžminės koreliacijos funkcija yra lygi nuliui. Vadinasi, harmoniniai signalai su skirtingais dažniais yra nekoreliuojami (nepanašūs) vienas su kitu.

Koreliacija yra matematinė operacija, panaši į konvoliuciją, leidžianti gauti trečiąjį signalą iš dviejų signalų. Būna: autokoreliacija (autokoreliacijos funkcija), kryžminė koreliacija (kryžminės koreliacijos funkcija, kryžminės koreliacijos funkcija). Pavyzdys:

[Kryžminės koreliacijos funkcija]

[Autokoreliacijos funkcija]

Koreliacija yra anksčiau žinomų signalų aptikimo triukšmo fone technika, dar vadinama optimaliu filtravimu. Nors koreliacija labai panaši į konvoliuciją, jos apskaičiuojamos skirtingai. Skirtingos ir jų taikymo sritys (c(t)=a(t)*b(t) – dviejų funkcijų konvoliucija, d(t)=a(t)*b(-t) – kryžminė koreliacija).

Koreliacija yra ta pati konvoliucija, tik vienas iš signalų yra apverstas iš kairės į dešinę. Autokoreliacija (autokoreliacijos funkcija) apibūdina ryšio tarp signalo ir jo kopijos, pasislinkusios τ, laipsnį. Kryžminės koreliacijos funkcija apibūdina 2 skirtingų signalų ryšio laipsnį.

Autokoreliacijos funkcijos savybės:

• 1) R(τ)=R(-τ). Funkcija R(τ) yra lyginė.
• 2) Jei x(t) yra sinusoidinė laiko funkcija, tai jos autokoreliacinė funkcija yra to paties dažnio kosinusinė funkcija. Prarandama informacija apie pradinį etapą. Jei x(t)=A*sin(ωt+φ), tai R(τ)=A 2 /2 * cos(ωτ).
• 3) Autokoreliacijos funkcija ir galios spektras yra susieti Furjė transformacija.
• 4) Jei x(t) yra bet kuri periodinė funkcija, tai R(τ) jai gali būti pavaizduota kaip autokoreliacijos funkcijų suma iš pastovaus komponento ir iš sinusiškai kintančio komponento.
• 5) Funkcija R(τ) neperduoda jokios informacijos apie signalo harmoninių komponentų pradines fazes.
• 6) Atsitiktinei laiko funkcijai R(τ) greitai mažėja didėjant τ. Laiko intervalas, po kurio R(τ) tampa lygus 0, vadinamas autokoreliacijos intervalu.
• 7) Duotas x(t) atitinka tiksliai apibrėžtą R(τ), bet tam pačiam R(τ) gali atitikti skirtingas funkcijas x(t).

Originalus signalas su triukšmu:

Pradinio signalo autokoreliacijos funkcija:

Kryžminės koreliacijos funkcijos (MCF) savybės:

• 1) VKF nėra nei lyginė, nei nelyginė funkcija, t.y. R xy (τ) nėra lygus R xy (-τ).
• 2) VCF išlieka nepakitęs, kai keičiasi funkcijų kaitaliojimas ir keičiasi argumento ženklas, t.y. R xy (τ)=R xy (-τ).
• 3) Jei atsitiktinės funkcijos x(t) ir y(t) neturi pastovių komponentų ir yra sukurtos nepriklausomų šaltinių, tai joms R xy (τ) linkusi į 0. Tokios funkcijos vadinamos nekoreliuojančiomis.

Originalus signalas su triukšmu:

To paties dažnio kvadratinė banga:

Pradinio signalo ir meandro koreliacija:

Dėmesio! Kiekvienas elektroninis paskaitų konspektas yra jo autoriaus intelektinė nuosavybė ir skelbiama svetainėje tik informaciniais tikslais.