Signalų perdavimą realiais ryšio kanalais visada lydi šių signalų pokyčiai (transformacijos), dėl kurių gaunami signalai skiriasi nuo perduodamų. Šie skirtumai pirmiausia atsiranda dėl linijinių ir netiesinių įvesties signalų transformacijų, taip pat dėl ​​papildomo triukšmo kanale, kuris dažniausiai egzistuoja nepaisant perduodami signalai. Informacijos perdavimo kanalu požiūriu svarbu signalų transformacijas skirstyti į grįžtamąsias ir negrįžtamas. Kaip bus parodyta (žr. § 4.2), grįžtamosios transformacijos nepraranda informacijos. Dėl negrįžtamų transformacijų informacijos praradimas yra neišvengiamas. Grįžtamosioms signalų transformacijoms dažnai vartojamas terminas „iškraipymas“, o negrįžtamos transformacijos vadinamos trukdžiais (adityviais ir neadityviais).

Paprasčiausios deterministinės grįžtamosios įvesties signalo X(t) transformacijos, kuri nekeičia savo formos, pavyzdys yra

Y(t) = kX(t-τ). (3.1)

Šiuo atveju kanalo Y(t) išėjimo signalas nuo įėjimo signalo skiriasi tik žinoma skale k, kurią nesunkiai kompensuoja atitinkamas signalo stiprinimas arba slopinimas bei pastovus laiko delsimas τ. Dažniausiai jis yra mažas. Iš esmės tik bendraujant erdvės masteliu arba su labai dideliu skaičiumi reaktyviųjų ryšio linijos elementų vėlavimas gali būti pastebimas *.

* (Čia kalbame apie vėlavimą pačioje ryšio linijoje, o ne apie demoduliatoriaus ir dekoderio vėlavimą, kuris gali būti reikšmingas ir kartais apriboti galimybę padidinti atsparumą triukšmui.)

Jei (3.1) įvesties signalas X (t) yra siaurajuostis, patogu jį pavaizduoti kvaziharmonine forma (2.68): X(t) = A(t)cos× X [ω 0 t+Φ(t) )], kur A(t ) ir Φ(t) yra lėtai kintančios funkcijos. Todėl, esant pakankamai mažam delsai t, kaip pirmą aproksimaciją galime laikyti A (t-τ) ≈ A(t) ir Φ(t-τ)≈Φ(t), o išvesties signalą įrašyti į (3.1) ) taip:

Y (t) = kA(t-τ) cos[ω 0 (t-τ) + Φ(t-τ) ≈ kA (t) cos[ω 0 t+Φ(t)-θ K ], (3.2)

kur θ K =ω 0 τ - fazės poslinkis kanale. Taigi, naudojant siaurajuostį signalą, mažas delsimas sumažinamas iki tam tikro fazės poslinkio.

Tikruose ryšio kanaluose, net kai galima nepaisyti papildomo triukšmo, signalo transformacijos yra sudėtingos ir dažniausiai lemia išvesties signalo iš įvesties formos skirtumą.

Atsitiktinių procesų transformacijų, kai jie praeina per dinamines sistemas (tiek su reguliariais, tiek su atsitiktinai besikeičiančiais parametrais), tyrimas yra susijęs su dviejų tipų problemų sprendimu:

atsako Y(t) koreliacinės funkcijos (energijos spektro) nustatymas dinaminės sistemos, nurodytos jos charakteristikomis, išvestyje tam tikrai įvesties veiksmo koreliacijos funkcijai (arba energijos spektrui);

atsako Y(t) daugiamačio pasiskirstymo tam tikros dinaminės sistemos išėjime nustatymas remiantis daugiamačiu įėjimo įtakos X (t) pasiskirstymu.

Antroji iš šių užduočių yra bendresnė. Akivaizdu, kad iš jo sprendimo galima rasti pirmosios problemos sprendimą. Tačiau toliau daugiausia apsiribosime trumpu pirmosios problemos svarstymu ir tik atkreipsime dėmesį galimi būdai išspręsti antrąją, sudėtingesnę problemą.

Atsitiktinių signalų perdavimas per deterministinius tiesinės grandinės. Kaip žinoma, tiesinė grandinė su pastoviais parametrais apibūdinama jos impulsiniu atsaku g(t) arba Furjė transformacija perdavimo funkcija k(iω). Jei, pavyzdžiui, į grandinės įvestį patenka centruotas procesas X(t), tai procesas Y (t) išėjime nustatomas pagal Duhamelio integralą *

Fiziškai realizuojamoje grandinėje ties t

* (Čia ir toliau atsitiktinių procesų integracija suprantama vidurkio kvadratine prasme [žr f-lu (2,8)].)

Raskime centruoto išvesties proceso Y (t) koreliacijos funkciją:

kur θ 1 = t 1 -τ 1 θ 2 = t 2 - τ 2; B X (θ 1 -θ 2) - įvesties signalo koreliacinė funkcija.

Tegul įvesties procesas būna nejudantis. Tada B X (θ 1 - θ 2) = B (θ), kur θ = θ 2 - θ 1. Taip pat įveskime žymėjimą t 2 -t 1 =τ, t 1 -θ 1 = τ 1. Tada t 2 -θ 2 = τ+τ 1 -θ ir

kur naudojama „laikinės koreliacijos funkcija“ (TCF) iš neatsitiktinės impulsinės reakcijos

Šiuo atveju β = τ - θ.

Iš (3.4) aišku, kad esant stacionariam įvesties procesui, išvesties procesas taip pat pasirodo stacionarus, nes B Y (t 1 ,t+τ) nepriklauso nuo t 1 . Todėl galime rašyti

Gauta lygybė yra koreliacinių funkcijų Duhamelio integralo analogas. Taigi išvesties proceso FC yra integrali įvesties proceso FC ir grandinės impulsinės reakcijos VFC konvoliucija.

Atkreipkite dėmesį, kad impulsinio atsako VPC Furjė transformacija yra susieta su perdavimo funkcijos modulio kvadratu |k(iω)| 2 arba grandinės amplitudės-dažnio atsakas (AFC). tikrai,

Iš Furjė transformacijos teorijos žinoma, kad Furjė dviejų funkcijų konvoliucijos transformacija yra lygi šių funkcijų Furjė transformacijų sandaugai. Taikydami tai (3.5), gauname paprastą ryšį tarp stacionarių procesų spektrinių tankių tiesinės grandinės su pastovia perdavimo funkcija k (iω) įėjime ir išėjime:

G Y (J) = G X (f)|k(i2πf)| 2 (3,7)

Iš (3.5) ir (3.7) matyti, kad FC ir proceso spektras grandinės išvestyje yra visiškai nulemti FC arba proceso spektro įėjime ir grandinės dažnio atsako, t.y. nepriklauso nei nuo įvesties proceso tikimybių pasiskirstymo, nei nuo grandinės fazinių dažnių charakteristikų.

Panagrinėkime atsitiktinių procesų perėjimo per deterministines tiesines sistemas pavyzdį – baltojo triukšmo, kurio energijos spektras N 0, perėjimą per nuoseklią virpesių grandinę su parametrais R, L, C. Jei iš kondensatoriaus pašalinama išėjimo įtampa, tada grandinės kompleksinis perdavimo koeficientas

rezonanso dažnis,

Mažų detuningų srityje |k(ω)| 2 = ω 2 0 /(4[β 2 + (ω-ω 0) 2 ]), β = R/(2L), o pagal (3.7) energijos spektras išėjime

G Y (ω) = N 0 ω 2 0 /(4[β 2 + (ω - ω 0) 2 ]).

Išvesties koreliacijos funkcija

Kai signalas X(t) taikomas deterministinei tiesinei grandinei su kintamieji parametrai išėjimo signalas Y(t). kaip žinoma, gali būti išreikštas konvoliucijos integralu:

čia g(t, τ) yra dviejų kintamųjų funkcija, kuri nustato sistemos atsaką momentu t į δ impulsą, taikomą įėjimui momentu t-τ.

reiškia linijinės grandinės su kintamais parametrais perdavimo funkciją, kuri, žinoma, yra ne tik dažnio, bet ir laiko funkcija.

Kadangi fiziškai realizuojamoje grandinėje atsakas negali atsirasti prieš smūgį, tada g(t, τ)=0 ties τ

Atsakymo tikimybės skirstinio radimo problema linijinė sistema esant savavališkai atsitiktinei įtakai, bendruoju atveju tai yra labai sunku, net jei apsiribojame vienmačio skirstinio suradimu. Tačiau atkreipkite dėmesį, kad jei Gauso procesas taikomas tiesinės deterministinės sistemos įėjimui, tada procesas išvestyje pasirodo esąs Gauso procesas, o tai išplaukia iš žinomų savybių. normalus skirstinys, kuris išlieka normalus bet kokių tiesinių transformacijų metu. Jei įvesties procesas nėra Gauso, tai einant per tiesinę sistemą jos tikimybių pasiskirstymas kartais gana reikšmingai pasikeičia.

Atkreipkime dėmesį į bendrąją linijinėms sistemoms būdingą savybę. Jei dažnių juosta F C, kurią užima įvesties signalas X(t), yra daug platesnė nei tam tikros tiesinės sistemos dažnių juostos plotis, tada išvesties proceso pasiskirstymas linkęs artėti prie normalaus. Tai galima apytiksliai paaiškinti remiantis (3.8). Siauras dažnių juostos plotis reiškia, kad impulsinio atsako g(t, τ) trukmė kaip funkcija τ yra ilga, palyginti su įvesties proceso koreliacijos intervalu X(t). Todėl išvesties proceso Y(t) skerspjūvis bet kuriuo momentu t nustatomas integralu (3.8), kurio integralas, esant pakankamai dideliam svoriui, apima daug nekoreliuojamų proceso X(t) skerspjūvių. Tokio integralo tikimybės skirstinys pagal centrinę ribinę teoremą turėtų būti artimas normaliam, kuo arčiau įvesties signalo spektro pločio ir grandinės pralaidumo santykis. Ribiniu atveju, jei grandinės įvestis yra veikiama baltojo triukšmo, kurio spektrinis plotis yra begalinis, o grandinės pralaidumas yra ribotas, tada išvesties procesas bus griežtai Gauso.

Siaurajuosčių atsitiktinių signalų perdavimas per linijines pralaidumo grandines. Kaip pažymėta § 2.4, santykinai siauros juostos procesai (t. y. tie, kurių spektrinis plotis yra žymiai siauresnis) vidutinis dažnis) patogu pavaizduoti kvaziharmonine forma (2.68). Jeigu duotas vidutinis dažnis ω 0, tai tokį siaurajuostį signalą visiškai lemia jo kompleksinis gaubtas A(t) (2.70) arba jo tikroji ir menama dalys (kvadratūriniai komponentai) A C (t) ir A S (t), kurios yra žemo dažnio procesai, ty jų spektrai užima žemesnę dažnio sritį nei paties signalo spektras. Toks atvaizdavimas daugeliu atvejų signalų (pranešimų) perdavimo sistemų sintezės ir analizės stadijose yra labai naudingas. Taigi, norint pavaizduoti (2.72) intervale T prie Kotelnikovo, reikės 2T(f 0 + F) imčių, o tam pačiame intervale T pavaizduoti dvi nepriklausomas žemo dažnio realiąsias funkcijas A C (t) ir A S (t) (arba vienas sudėtinga funkcija A(t)), pakanka 4FT mėginių, t.y. maždaug f 0 /2F kartų mažiau.

Taip pat atkreipkite dėmesį, kad prireikus tokiais signalais kompiuteriu imituoti siaurajuosčius signalus ir ryšio sistemą arba jei reikia įgyvendinti įvairias tokių signalų transformacijas remiantis modernia mikroelektronine baze, iškyla sunkumų, dažniausiai praktiškai neįveikiamų, dėl riboto šių mašinų greičio ar atitinkamų mikroschemų . Natūralu, kad tokiais atvejais daug lengviau dirbti su žemo dažnio signalų ekvivalentais, kurie yra apvalkalo komponentai.

Siaurajuosčio signalo (2.72) žemo dažnio ekvivalento Ȧ x (t) išraiška, nustatyta pagal (2.70,a):

A X (t) = X(t) exp [-iω 0 t]

turi pagal (2.32) Furj spektrą

S Ȧ X (iω) = Sx.

3.1 paveiksle pavaizduoti spektriniai ryšiai realiam siaurajuosčiui signalui X * (t) (3.1 pav., a), analitinis signalas X (t) (3.1,6 pav.) ir jo žemo dažnio ekvivalentas Ȧ X (t) (3.1 pav., c).

* (Naudinga prisiminti, kad tikrojo signalo X(t) spektras S X (iω) yra simetriškas pradžios atžvilgiu, S * X (-iω) = S X (iω) (t. y. amplitudės spektras yra lyginė dažnio funkcija , o fazių spektras yra nelyginė funkcija arba tikroji dalis S X (iω) yra lyginė dažnio funkcija, o įsivaizduojama dalis yra nelyginė).)

Didžioji dalis tikrų nepertraukiamo ryšio kanalų yra tiesiniai ir siaurajuosčiai, todėl signalai jų išvestyje gali būti laikomi reakcija į siaurajuostį signalą X(t) pralaidumo filtras su perdavimo funkcija k(iωt), kurios modulis turi fig. 3.1,a. Signalų atvaizdavimo naudojant žemo dažnio ekvivalentą (sudėtinį apvalkalą) pranašumai atsiranda dėl to, kad siaurajuosčio signalo pralaidumo filtravimas gali būti interpretuojamas kaip sudėtingų žemo dažnio signalų filtravimas sudėtingais žemo dažnio filtrais.

Panagrinėkime siaurajuosčio signalo X(t) praėjimą siaurajuosčiu kanalu (juostos filtrą) su pastoviais parametrais ir perdavimo funkcija k(iω) (3.2a pav.).

Siaurajuostis įvesties signalas (2,72)

Atsižvelgiant į ankstesnę išnašą, nesunku parodyti, kad konjuguoto kompleksinio gaubto spektras A * X (t) = A C (t) - iA S (t) yra lygus S * Ȧ X (-iω), kur ( iω) yra A X (t) Furjė spektras. Kadangi laiko funkcijos padauginimas iš e ±itω 0 atitinka spektro poslinkį išilgai dažnio ašies ±ω 0, tai funkcijos X(t) Furjė spektrui, apibrėžtam pagal (3.10), galime parašyti.

Panašiai, darant prielaidą, kad vidutinis įvesties signalo dažnis ω 0 sutampa su centriniu filtro praėjimo dažniu, galime pavaizduoti juostos pralaidumo filtro perdavimo funkciją (filtro impulsinio atsako Furjė transformacija g(t) *

kur kompleksinio (analitinio) signalo Γ-Furier spektras ġ(t) = g(t) +ig̃(t) = γ̇(t)e itω 0, sudarytas iš g(t). Dydis Γ(iω) yra filtro g(t) impulsinio atsako kompleksinės gaubtinės γ̇(t) spektrinė charakteristika, t.y. siaurajuosčio kanalo žemo dažnio ekvivalentas.

* (Atkreipkite dėmesį, kad funkcijos Γ ir Γ*[-i(ω+ω 0)], kurių modulis yra simetriškas juostos pralaidumo filtro ordinačių ašiai, nesutampa, nes pirmoji yra beveik visiškai teigiamų dažnių srityje, o antrasis – neigiamas. Panašus teiginys galioja ir siaurajuosčio signalo funkcijoms S Ā ir S* Ȧ [-i(ω+ω 0)].)

Dabar suraskime Furjė signalo spektrą kanalo y(t) išvestyje. Viena vertus, kadangi šis signalas yra siaurajuostis, kurio vidutinis spektro dažnis ω 0, galime rašyti panašiai kaip (3.11)

kur S Ȧ y yra kompleksinio (analitinio) signalo Furjė spektras ẏ(t) = y(t) + iȳ(t) = Ȧ y e itω 0, o S Ȧ y (iω) yra kompleksinio gaubto Ay spektras (t) išėjimo signalo . Kita vertus, tiesinei sistemai su pastoviais parametrais signalų spektrinės charakteristikos įėjime ir išėjime yra susijusios su ryšiu

S y (i ω) - Sx (iω)k(iω). (3.14)

Pakeitę santykius (3.11) ir (3.12) į (3.14) ir atsižvelgdami į išnašą 78 puslapyje, gauname

Iš (3.13) ir (3.15)

Dėl to siaurajuosčio kanalo A y (t) išėjimo signalo kompleksinė gaubė gaunama kaip įvesties signalo A x (t) kompleksinės gaubtinės ir filtro impulso kompleksinės gaubės konvoliucija. atsakas γ̇(t)

Jei filtras yra neiškraipantis, ty Γ(iω) = γe -it 0 ω arba ġ(t) = γδ(t-t 0), tai naudojant b-funkcijos filtravimo savybę, gauname iš (3.17)

Parašykime sudėtingus vokus pagal fazės ir kvadratūros komponentus:

Ȧ X (t) = A X, C (t) + iA X, S (t);

γ̇(t) = γ C (t) + iγ S (t);

Ȧ y (t) = A Y, C (t) + iA Y, S (t), (3.18)

Tada nuo (3.17)

Privačiame domene santykiai (3.19) yra tokie:

Taigi, juostos pralaidumo filtravimas su siaurajuosčio perdavimo funkcija k (iω).

procesas x(t) yra lygiavertis žemųjų dažnių filtravimui su sudėtingo žemo dažnio proceso Ȧ x (t) perdavimo funkcija Γ(iω) (žr. 3.2 pav.).

Procesus A X,C ir A X,S galima gauti iš x(t) įrenginyje, kurio funkcinė schema parodyta fig. 3.3,a. Iš tiesų, padauginus x(t) iš 2cos ω 0 t, gauname

[ A X,C (t) cos ω 0 t + A X,S (t) sin ω 0 t] 2 cos ω 0 t = A X,C (t) + A X,C (t) cos 2 ω 0 t + A X, S (t) sin 2ω 0 t, (3.21)

o žemųjų dažnių filtras praeis tik pirmąjį žemo dažnio terminą; likusieji du terminai yra aukšto dažnio ir juos uždels filtras. Panašiai antroje šakoje bus paryškintas kvadratūros komponentas A X,S (t).

Dabar pažiūrėkime, kaip sudėtingas žemųjų dažnių filtravimas (3.19) arba (3.20) gali būti įgyvendintas naudojant tikrus žemųjų dažnių filtrus (tokiam filtrui atsakas į realų signalą yra tikras arba perdavimo funkcija atitinka išnašos sąlygą 77 psl. ), veikiantis su kvadratiniais komponentais. Tai atliekama pagal (3.19) arba (3.20) dviejų kanalų filtravimą realių žemo dažnio fazių ir kvadratinių komponentų (3.3,6 pav.).

Atsitiktinių signalų perdavimas netiesinės grandinės. Apsiribokime nagrinėdami tik beinercines netiesines sistemas su reguliariais parametrais, kuriose įvestis ir išvestis yra susieti tam tikru netiesiniu ryšiu, vadinamu sistemos charakteristika:

y(t) = φ, (3.22)

Ryšys (3.22) gali gana tiksliai apibūdinti daugelio nuorodų veikimą realiuose ryšio kanaluose, pavyzdžiui, tų, kurie yra įtraukti į demoduliatorius, ribotuvus, moduliatorius ir kt. Transformacija x(t)→y(t), kaip taisyklė, yra vienareikšmis, o tai ne visada įmanoma pasakyti atvirkštine transformacija y(t)→x(t) (pavyzdžiui, kvadratinė grandinė, kurios charakteristika y = kx 2). Dėl to, kad superpozicija nepritaikoma netiesinėms sistemoms, sudėtingo efekto (pavyzdžiui, deterministinių ir atsitiktinių terminų sumos) svarstymas negali būti sumažintas iki kiekvieno komponento perėjimo atskirai.

Atliekant netiesines transformacijas, įvyksta įvesties efekto spektro transformacija (pokytis). Taigi, jei netiesinės sistemos įvestį veikia reguliaraus signalo ir papildomo triukšmo mišinys X(t) = u(t) + N(t) siauroje dažnių juostoje F c, sugrupuotą aplink vidutinį dažnį f 0 , tada bendruoju atveju bus trijų tipų kombinuotų dažnių komponentai, sugrupuoti pagal dažnius nf 0 (n = 0, 1,...), įvesties signalo komponentų ritmų sandaugai tarpusavyje (c×c), sandaugai įvesties triukšmo komponentų taktų skaičius (w × w); signalo ir triukšmo ritmo produktai (s × w). Paprastai jų atskirti sistemos išvestyje neįmanoma.

Jei žinomos netiesinės sistemos charakteristika y = φ(x) ir įėjimo įtakos dvimatė skirstymo funkcija w(x 1, x 2, t 1, t 2), tai pagrindinės statistinės išvesties proceso charakteristikos. , iš esmės, visada galima nustatyti. Taigi, matematinis atsakymo lūkestis

ir jo koreliacijos funkcija

Naudojant atvirkštinę Furjė transformaciją, energijos spektrą taip pat galime rasti naudodami (3.24).

Naudojant atsitiktinių dydžių funkcijų (atsitiktinių procesų) paskirstymo dėsnių nustatymo taisykles, iš esmės galima rasti bet kokios eilės išvesties proceso pasiskirstymą, jei žinomas įvesties proceso pasiskirstymas. Tačiau nustatyti tikimybines netiesinių sistemų (grandinių) reakcijos charakteristikas net ir į stacionarius įvesties poveikius, pasirodo, yra labai sudėtinga ir sudėtinga, nepaisant to, kad šiai problemai išspręsti buvo sukurta nemažai specialių metodų. Daugeliu atvejų, ypač siaurajuosčio signalo atveju, šie skaičiavimai labai supaprastinami naudojant kvaziharmoninį proceso atvaizdavimą.

Kaip pavyzdį apsvarstykite harmoninio signalo s(t) = U 0 cos ω 0 t ir stacionaraus beveik balto siaurajuosčio triukšmo n(t) = X cn (t) × X cos ω sumos praėjimą per kvadratinį detektorių. 0 t + X sn sin ω 0 t , kur X cn (t), X sn (t) yra nekoreliuoti kvadratūriniai Gauso triukšmo komponentai, kuriems m Х сн = m X sn = 0, В X cn (τ) = В X sn (τ) = В(τ ), o energijos spektras yra vienodas ir ribojamas dažnių juostos F n

Tarkime, kad tiesinės stacionarios sistemos įėjime yra svyravimai, o tai reiškia tam tikrą atsitiktinio proceso įgyvendinimą. Jei šis įgyvendinimas yra nurodytas iš anksto, tada nekyla jokia nauja užduotis – signalas turėtų būti traktuojamas kaip deterministinė funkcija. Žinodami matematinį sistemos modelį, pavyzdžiui, dažnio perdavimo koeficientą, galite rasti išėjimo atsaką.

Tačiau specifika yra ta, kad nėra visos informacijos apie įvesties signalą – turime informaciją tik apie atsitiktinio proceso vidutines tikimybines charakteristikas.

Tikslas yra ištirti ryšį tarp statistinių procesų charakteristikų ir, kurį galima rasti remiantis matematiniu sistemos modeliu.

Įveskime apribojimą – nagrinėsime tik stacionarius įvesties atsitiktinius procesus. Matematiniai momentinių realizacijų verčių lūkesčiai yra pastovūs laike (), o koreliacijos funkcija priklauso tik nuo absoliutaus poslinkio tarp laiko ašies taškų dydžio.

Panagrinėkime atskirą įvesties signalo įgyvendinimą ir pavaizduokime jį Furjė integralo forma

kur yra spektrinis tankis.

Sistemos išėjimo signalas bus rastas, jei žinomas jo dažnio padidėjimas

(1)

Prielaida, kad procesas yra nejudantis, kelia sąlygą: vidutinę spektrinio tankio reikšmę.

Atlikdami statistinį vidurkį abiejose išraiškos pusėse (1), turime

(2)

Norint apskaičiuoti koreliacijos funkciją, būtina turėti išėjimo signalo reikšmę momentiniu momentu.

(3)

Nes funkcija yra reali, todėl formulė (3) nesikeičia, jei einame į sudėtingus konjuguotus dydžius jos dešinėje

(4)

Kur; - stacionaraus atsitiktinio proceso galios spektras. (Naudojama delta funkcijos filtravimo savybė).

(6)

Atsitiktinio išėjimo signalo galios spektras yra susijęs su panašiu įvesties signalo spektru pagal ryšį

Taikomosiose problemose dažnai tenka susidurti su vienpusiais spektrais, kurie apibrėžiami tik teigiamais dažniais,

todėl išėjimo signalo sklaida

(9)

Dažnai reikia atsižvelgti į plačiajuosčio ryšio atsitiktinių signalų, suformuotų, pavyzdžiui, chaotišką trumpų impulsų seką, poveikį linijinėms dažnio atrankos grandinėms. Tokiu atveju, jei įvesties atsitiktinio proceso efektyvusis spektrinis plotis gerokai viršija sistemos pralaidumą, tikrasis atsitiktinis procesas gali būti pakeistas lygiaverčiu baltu triukšmu, turinčiu vienpusį galios spektrą, kur yra tam tikras grandinės dažnių juostos pločio taškas.

Tada (9) formulė bus supaprastinta

Inžineriniuose skaičiavimuose linijinė dažnio atrankinė grandinė, veikiama plačiajuosčio atsitiktinio signalo, patogiai apibūdinama triukšmo pralaidumo juosta. Jis apibrėžiamas kaip idealaus pralaidumo filtro pralaidumas, kurio tikrasis stiprinimas lygus maksimaliai absoliučiai tikrosios grandinės stiprinimo vertei. Sužadinant idealias ir realias sistemas baltu triukšmu su galios spektru, abiejų grandinių išėjimų triukšmo signalų sklaidos turi sutapti.

(11)

Vadinasi

(12)

Pavyzdžiui, integruotai RC grandinei

;

Vadinasi

Kuriame.

Jei įvesties atsitiktinis procesas yra normalus (paskirstymo dėsnių Gauso prigimtis), tada atsitiktinis išvesties procesas turės šią savybę, nepaisant tiesinės sistemos dinaminių savybių.

Remiantis Duhamelio formule, momentinio atsako reikšmė

yra ankstesnių įvesties signalo verčių sumavimo rezultatas, padaugintas iš grandinės pasislinkusio impulso atsako.

Sk. 6 aptartas įvairių signalų perdavimas linijinėmis grandinėmis su pastoviais parametrais. Ryšys tarp įvesties ir išėjimo signalų tokiose grandinėse buvo nustatytas naudojant perdavimo funkciją (spektrinis metodas) arba naudojant impulsinį atsaką (superpozicijos integralinis metodas).

Panašūs ryšiai gali būti sukurti tiesinėms grandinėms su kintamais parametrais. Akivaizdu, kad tokiose grandinėse perdavimo proceso metu keičiasi įvesties ir išėjimo signalų ryšio pobūdis. Kitaip tariant, grandinės perdavimo funkcija priklauso ne tik nuo, bet ir nuo laiko; Impulso atsakas taip pat priklauso nuo dviejų kintamųjų: nuo intervalo tarp vieno impulso įjungimo momento ir išėjimo signalo t stebėjimo momento (kaip ir grandinės su pastoviais parametrais) ir, be to, nuo impulso padėties. intervalas laiko ašyje. Todėl grandinės su kintamaisiais parametrais impulso atsakas turėtų būti parašytas bendra forma

Jei keturpolio įėjime su impulsinis atsakas Jei veikia savavališkas signalas s(t) (10.2 pav.), tai, remiantis superpozicijos principu, išvesties signalas, pagal analogiją su (6.11) išraiška, gali būti nustatytas naudojant išraišką.

(10.12)

Dabar pabandykime įvesti perdavimo funkciją kintamų parametrų grandinei. Norėdami tai padaryti, funkciją pavaizduojame Furjė integralo forma:

(10.13)

kur signalo spektrinis tankis s(t).

Tada išraiška (10.13) tampa tokia:

Ryžiai. 10.2. Parametrinis keturpolis

Pažymėdami vidinį integralą, paskutinę išraišką perrašome taip:

(10.14)

Iš (10.14) matyti, kad funkcija, apibrėžta išraiška

Apsvarstykite tiesinę inercinę sistemą su žinoma perdavimo funkcija arba impulso atsaku. Tegul tokios sistemos įvestis yra stacionarus atsitiktinis procesas su nurodytomis charakteristikomis: tikimybių tankiu, koreliacijos funkcija arba energijos spektru. Nustatykime proceso charakteristikas sistemos išvestyje: ir

Lengviausias būdas rasti proceso energijos spektrą yra sistemos išvestyje. Iš tiesų, atskiri įvesties proceso įgyvendinimai yra deterministinės funkcijos, ir joms taikytinas Furjė aparatas. Leisti

sutrumpintas atsitiktinio proceso trukmės T įgyvendinimas įėjime, ir

Jo spektrinis tankis. Diegimo spektrinis tankis tiesinės sistemos išvestyje bus lygus

Proceso energijos spektras išėjime pagal (1.3) bus nustatytas išraiška

tie. bus lygus proceso energijos spektrui įėjime, padaugintam iš sistemos amplitudės-dažnio charakteristikos kvadrato, ir nepriklausys nuo fazinės-dažnio charakteristikos.

Proceso koreliacinė funkcija tiesinės sistemos išvestyje gali būti apibrėžta kaip energijos spektro Furjė transformacija:

Vadinasi, kai atsitiktinis stacionarus procesas veikia tiesinę sistemą, išvestis taip pat sukuria stacionarų atsitiktinį procesą su energijos spektru ir koreliacijos funkcija, apibrėžta (2.3) ir (2.4) išraiškomis. Proceso galia sistemos išvestyje bus lygi

Kaip pirmąjį pavyzdį, apsvarstykite galimybę perduoti baltąjį triukšmą su spektriniu tankiu per idealų žemųjų dažnių filtrą,

Pagal (2.3) proceso energijos spektras išėjime turės vienodą dažnių juostą spektrinis tankis, A koreliacijos funkcija bus nustatytas pagal išraišką

Atsitiktinio proceso galia idealaus žemųjų dažnių filtro išvestyje bus lygi

Kaip antrą pavyzdį panagrinėkime baltojo triukšmo perėjimą per idealų dažnių juostos filtrą, kurio amplitudės-dažnio atsaką teigiamiems dažniams (1.6 pav.) lemia išraiška:

Koreliacijos funkciją apibrėžiame naudodami Furjė kosinuso transformaciją:

Koreliacijos funkcijos grafikas parodytas fig. 1.7

Nagrinėjami pavyzdžiai yra orientaciniai tuo požiūriu, kad jie patvirtina § 3.3 nustatytą ryšį tarp žemo dažnio ir siauros juostos aukšto dažnio procesų koreliacijos funkcijų, turinčių vienodą energijos spektro formą. Proceso galia idealaus pralaidumo filtro išvestyje bus lygi

Atsitiktinio proceso tikimybių pasiskirstymo dėsnis tiesinės inercinės sistemos išvestyje skiriasi nuo pasiskirstymo įėjime dėsnio, o jį nustatyti yra labai sudėtinga užduotis, išskyrus du specialius atvejus, į kuriuos čia sutelksime dėmesį. .

Jei atsitiktinis procesas veikia siauros juostos tiesinę sistemą, kurios dažnių juostos plotis yra daug mažesnis už spektrinį plotį, tada reiškinys atsiranda sistemos išvestyje. normalizavimas paskirstymo įstatymas. Šis reiškinys slypi tame, kad siaurajuostės sistemos išvesties paskirstymo dėsnis yra normalus, nepaisant to, kokį paskirstymą turi plačiajuosčio ryšio atsitiktinis procesas įėjime. Fiziškai tai galima paaiškinti taip.

Procesas inercinės sistemos išvestyje tam tikru momentu yra atskirų sistemos reakcijų į chaotišką įvesties proceso įtaką skirtingais laiko momentais superpozicija. Kuo siauresnis sistemos pralaidumas ir platesnis įvesties proceso spektras, tuo didesnis elementarių atsakymų, sudarančių išvesties procesą, skaičius. Pagal centrinę tikimybių teorijos ribinę teoremą proceso pasiskirstymo dėsnis, kuris yra daugelio elementariųjų atsakymų suma, bus linkęs į normalų.

Iš aukščiau pateiktų samprotavimų išplaukia antras ypatingas, bet labai svarbus atvejis. Jei tiesinės sistemos įėjime vykstantis procesas turi normalųjį (Gauso) pasiskirstymą, tai jis išlieka normalus sistemos išvestyje. Šiuo atveju keičiasi tik koreliacijos funkcija ir proceso energijos spektras.

Darbo tikslas:

harmoninių signalų ir stačiakampių signalų perėjimo per tiesines grandines, pavyzdžiui, diferencijavimo ir integravimo grandines, nuosekliąsias ir lygiagrečias virpesių grandines, transformatorių, procesų tyrimas;

pereinamųjų procesų tiesinėse grandinėse tyrimas;

įgyti darbo su matavimo priemonėmis įgūdžių;

išmokti atlikti RCL grandinių skaičiavimus simboliniu metodu;

gautų eksperimentinių duomenų apdorojimas ir analizė.

Užduotys:

išmatuoti septynių tiesinių grandinių amplitudės-dažnio charakteristikas;

išmatuoti pirmiau išvardytų tiesinių grandinių fazinio dažnio charakteristikas;

gauti ir ištirti septynių tiesinių grandinių pereinamąsias charakteristikas;

1 Tiesinės grandinės

Radijo elektronikoje elektros grandinės yra sujungtų grandinės elementų, tokių kaip rezistoriai, kondensatoriai, induktoriai, diodai, tranzistoriai, operaciniai stiprintuvai, srovės šaltiniai, įtampos šaltiniai ir kt., rinkinys.

Grandinės elementai sujungiami naudojant laidus arba atspausdintas šynas. Elektros grandinės, sudarytos iš idealizuotų elementų, klasifikuojamos pagal kelis kriterijus:

Pagal energetines charakteristikas:

aktyvus (su maitinimo šaltiniais);

pasyviosios grandinės (neturi srovės ir (ar) įtampos šaltinių);

Pagal topologines savybes:

plokštuminis (plokščias);

neplokštuminis;

šakotas;

nešakotas;

paprastas (vienos, dvigubos grandinės);

kompleksas (kelių grandinių, kelių mazgų);

Pagal išorinių kaiščių skaičių:

bipolinis;

keturpoliai;

kelių prievadų tinklai;

Iš matavimo lauko dažnio:

grandinės su vienkartiniais parametrais (grandinėse su vienkartiniais parametrais tik rezistorius turi varžą, tik kondensatorius turi talpą ir tik induktorius turi induktyvumą);

grandinės su paskirstytais parametrais (grandinėse su paskirstytais parametrais net jungiamieji laidai turi talpą, laidumą ir induktyvumą, kurie yra paskirstyti išilgai; šis metodas labiausiai būdingas grandinėms mikrobangų srityje);

Iš elemento tipo:

linijinės grandinės, jei jos susideda iš linijinių idealizuotų elementų;

netiesinės grandinės, jei grandinėje yra bent vienas netiesinis elementas;

Šiame darbe nagrinėjamos pasyviosios grandinės, susidedančios iš trijų grandinės elementų. Elementai
– vadinami idealizuotais grandinės elementais. Srovė, tekanti per tokius elementus, yra tiesinė naudojamos įtampos funkcija:

rezistoriui
:
;

kondensatoriui :
;

induktoriui :

Todėl grandinės, susidedančios iš
elementai vadinami linijinis.

Griežtai kalbant, praktiškai ne visi
elementai yra linijiniai, tačiau daugeliu atvejų nuokrypis nuo tiesiškumo yra nedidelis ir tikrasis elementas gali būti laikomas idealizuotu linijiniu. Aktyvioji varža gali būti laikoma linijiniu elementu tik tuo atveju, jei per jį tekanti srovė yra tokia maža, kad dėl susidariusios šilumos pastebimai nepasikeičia jo varžos vertė. Panašūs svarstymai gali būti susiję su induktoriumi ir kondensatoriumi. Jei parametrai
grandinės išlieka nepakitusios per tą laiką, kai vyksta tiriamas elektrinis procesas, tada kalbame apie grandinę su pastoviais parametrais.

Kadangi procesai tiesinėse grandinėse aprašomi tiesinėmis lygtimis, jiems taikomas superpozicijos principas. Tai reiškia, kad sudėtingos formos signalo tiesinėje grandinėje veiksmo rezultatas gali būti rastas kaip paprastesnių signalų, į kuriuos išskaidomas pirminis sudėtingas signalas, veiksmų rezultatų suma.

Tiesinėms grandinėms analizuoti naudojami du metodai: dažnio atsako metodas ir pereinamojo atsako metodas.