Ein wichtiger physikalischer Parameter, der zur Lösung vieler Probleme in der Akustik und Funkelektronik notwendig ist. Sie kann je nach den angegebenen Parametern auf verschiedene Arten berechnet werden. Dies ist am bequemsten, wenn Sie die Häufigkeit bzw. Periode und Geschwindigkeit der Ausbreitung kennen.

Formeln

Die Grundformel, die die Frage beantwortet, wie man die Wellenlänge anhand der Frequenz ermittelt, ist unten aufgeführt:

Dabei ist l die Wellenlänge in Metern, v die Ausbreitungsgeschwindigkeit in m/s und u die lineare Frequenz in Hertz.

Da die Frequenz in umgekehrter Beziehung zur Periode steht, kann der vorherige Ausdruck anders geschrieben werden:

T ist die Schwingungsdauer in Sekunden.

Dieser Parameter kann als zyklische Frequenz und Phasengeschwindigkeit ausgedrückt werden:

l = 2 pi*v/w

In diesem Ausdruck ist w die zyklische Frequenz, ausgedrückt im Bogenmaß pro Sekunde.

Die Frequenz der Welle durch die Länge ergibt sich, wie aus dem vorherigen Ausdruck ersichtlich ist, wie folgt:

Betrachten wir eine elektromagnetische Welle, die sich in einer Substanz mit n ausbreitet. Dann wird die Frequenz der Welle in Bezug auf die Länge durch die folgende Beziehung ausgedrückt:

Wenn es sich im Vakuum ausbreitet, dann ist n = 1 und der Ausdruck nimmt die folgende Form an:

In der letzten Formel wird die Wellenfrequenz als Länge mit der Konstante c ausgedrückt – der Lichtgeschwindigkeit im Vakuum, c = 300.000 km/s.

(lat. Amplitude- Betrag) ist die größte Abweichung eines schwingenden Körpers von seiner Gleichgewichtslage.

Bei einem Pendel ist dies die maximale Entfernung, um die sich die Kugel von ihrer Gleichgewichtsposition entfernt (Abbildung unten). Für Schwingungen mit kleinen Amplituden kann ein solcher Abstand als die Länge des Bogens 01 oder 02 und die Längen dieser Segmente angenommen werden.

Die Amplitude von Schwingungen wird in Längeneinheiten gemessen – Meter, Zentimeter usw. Im Schwingungsdiagramm ist die Amplitude als maximale (Modulo-)Ordinate der Sinuskurve definiert (siehe Abbildung unten).

Schwingungsperiode.

Schwingungsperiode- Dies ist die kürzeste Zeitspanne, in der ein oszillierendes System wieder in denselben Zustand zurückkehrt, in dem es sich im Anfangszeitpunkt befand, der willkürlich gewählt wurde.

Mit anderen Worten, die Schwingungsperiode ( T) ist die Zeit, in der eine vollständige Schwingung auftritt. In der Abbildung unten ist dies beispielsweise die Zeit, die das Pendel benötigt, um sich vom äußersten rechten Punkt durch den Gleichgewichtspunkt zu bewegen UM zum Punkt ganz links und zurück durch den Punkt UM wieder ganz rechts.

Über eine volle Schwingungsperiode legt der Körper also eine Strecke zurück, die vier Amplituden entspricht. Die Schwingungsdauer wird in Zeiteinheiten gemessen – Sekunden, Minuten usw. Die Schwingungsdauer kann aus einem bekannten Schwingungsdiagramm bestimmt werden (siehe Abbildung unten).

Der Begriff „Schwingungsperiode“ ist streng genommen nur dann gültig, wenn sich die Werte der Schwingungsgröße nach einer bestimmten Zeitspanne genau wiederholen, also bei harmonischen Schwingungen. Dieses Konzept gilt jedoch auch für Fälle annähernd wiederkehrender Mengen, z gedämpfte Schwingungen.

Schwingungsfrequenz.

Schwingungsfrequenz- Dies ist die Anzahl der Schwingungen, die pro Zeiteinheit ausgeführt werden, beispielsweise in 1 s.

Die SI-Einheit der Frequenz wird benannt Hertz(Hz) zu Ehren des deutschen Physikers G. Hertz (1857-1894). Wenn die Schwingungsfrequenz ( v) ist gleich 1 Hz Das bedeutet, dass es jede Sekunde eine Schwingung gibt. Die Frequenz und die Periode der Schwingungen hängen durch die folgenden Beziehungen zusammen:

Auch in der Schwingungstheorie wird der Begriff verwendet zyklisch, oder Kreisfrequenz ω . Es hängt mit der Normalfrequenz zusammen v und Schwingungsdauer T Verhältnisse:

.

Zyklische Häufigkeit ist die Anzahl der durchgeführten Schwingungen pro 2π Sekunden

Da die lineare Geschwindigkeit die Richtung gleichmäßig ändert, kann die Kreisbewegung nicht als gleichmäßig bezeichnet werden, sie wird gleichmäßig beschleunigt.

Winkelgeschwindigkeit

Wählen wir einen Punkt auf dem Kreis 1 . Lasst uns einen Radius bilden. In einer Zeiteinheit bewegt sich der Punkt zum Punkt 2 . Der Radius beschreibt in diesem Fall den Winkel. Die Winkelgeschwindigkeit ist numerisch gleich dem Drehwinkel des Radius pro Zeiteinheit.

Zeitraum und Häufigkeit

Rotationszeitraum T- Dies ist die Zeit, in der der Körper eine Umdrehung durchführt.

Die Rotationsfrequenz ist die Anzahl der Umdrehungen pro Sekunde.

Häufigkeit und Zeitraum hängen durch die Beziehung zusammen

Zusammenhang mit der Winkelgeschwindigkeit

Lineare Geschwindigkeit

Jeder Punkt auf dem Kreis bewegt sich mit einer bestimmten Geschwindigkeit. Diese Geschwindigkeit wird als linear bezeichnet. Die Richtung des linearen Geschwindigkeitsvektors stimmt immer mit der Tangente an den Kreis überein. Beispielsweise bewegen sich Funken unter einer Schleifmaschine und wiederholen dabei die Richtung der momentanen Geschwindigkeit.

Stellen Sie sich einen Punkt auf einem Kreis vor, der eine Umdrehung durchführt. Die dafür aufgewendete Zeit ist die Periode T. Der Weg, den ein Punkt zurücklegt, ist der Umfang.

Zentripetalbeschleunigung

Bei der Bewegung auf einem Kreis steht der Beschleunigungsvektor immer senkrecht zum Geschwindigkeitsvektor und ist auf den Mittelpunkt des Kreises gerichtet.

Mit den vorherigen Formeln können wir die folgenden Beziehungen ableiten

Punkte, die auf derselben geraden Linie liegen, die vom Mittelpunkt des Kreises ausgeht (dies könnten beispielsweise Punkte sein, die auf den Speichen eines Rades liegen), haben die gleichen Winkelgeschwindigkeiten, die gleiche Periode und die gleiche Frequenz. Das heißt, sie drehen sich auf die gleiche Weise, jedoch mit unterschiedlichen linearen Geschwindigkeiten. Je weiter ein Punkt vom Zentrum entfernt ist, desto schneller bewegt er sich.

Das Gesetz der Geschwindigkeitsaddition gilt auch für Rotationsbewegungen. Wenn die Bewegung eines Körpers oder Bezugssystems nicht gleichmäßig ist, gilt das Gesetz für Momentangeschwindigkeiten. Beispielsweise ist die Geschwindigkeit einer Person, die am Rand eines rotierenden Karussells entlanggeht, gleich der Vektorsumme der linearen Rotationsgeschwindigkeit des Randes des Karussells und der Geschwindigkeit der Person.

Die Erde nimmt an zwei Hauptrotationsbewegungen teil: täglich (um ihre Achse) und orbital (um die Sonne). Die Rotationsperiode der Erde um die Sonne beträgt 1 Jahr oder 365 Tage. Die Erde dreht sich um ihre Achse von West nach Ost, die Dauer dieser Rotation beträgt 1 Tag oder 24 Stunden. Der Breitengrad ist der Winkel zwischen der Äquatorebene und der Richtung vom Erdmittelpunkt zu einem Punkt auf seiner Oberfläche.

Nach dem zweiten Newtonschen Gesetz ist die Ursache jeder Beschleunigung die Kraft. Wenn ein sich bewegender Körper eine Zentripetalbeschleunigung erfährt, können die Kräfte, die diese Beschleunigung verursachen, unterschiedlicher Natur sein. Bewegt sich beispielsweise ein Körper an einem daran befestigten Seil im Kreis, so ist die wirkende Kraft die elastische Kraft.

Wenn sich ein auf einer Scheibe liegender Körper mit der Scheibe um seine Achse dreht, dann ist eine solche Kraft die Reibungskraft. Wenn die Kraft aufhört zu wirken, bewegt sich der Körper geradlinig weiter

Betrachten Sie die Bewegung eines Punktes auf einem Kreis von A nach B. Die lineare Geschwindigkeit ist gleich vA Und vB jeweils. Beschleunigung ist die Geschwindigkeitsänderung pro Zeiteinheit. Finden wir den Unterschied zwischen den Vektoren.

Definition

Frequenz ist ein physikalischer Parameter, der zur Charakterisierung periodischer Prozesse verwendet wird. Die Häufigkeit ist gleich der Anzahl der Wiederholungen oder des Auftretens von Ereignissen pro Zeiteinheit.

In der Physik wird die Frequenz am häufigsten mit dem Buchstaben $\nu bezeichnet, manchmal gibt es auch andere Frequenzbezeichnungen, zum Beispiel $f$ oder $F$.

Die Frequenz ist (zusammen mit der Zeit) die am genauesten gemessene Größe.

Schwingungsfrequenzformel

Die Frequenz wird zur Charakterisierung von Schwingungen verwendet. In diesem Fall ist die Frequenz eine physikalische Größe, die reziprok zur Schwingungsdauer $(T).$ ist

\[\nu =\frac(1)(T)\left(1\right).\]

Die Frequenz ist in diesem Fall die Anzahl der vollständigen Schwingungen ($N$), die pro Zeiteinheit auftreten:

\[\nu =\frac(N)(\Delta t)\left(2\right),\]

wobei $\Delta t$ die Zeit ist, während der $N$ Schwingungen auftreten.

Die Frequenzeinheit im Internationalen Einheitensystem (SI) ist Hertz oder reziproke Sekunde:

\[\left[\nu \right]=с^(-1)=Hz.\]

Hertz ist eine Maßeinheit für die Frequenz eines periodischen Prozesses, bei dem ein Prozesszyklus in einer Zeit von einer Sekunde abläuft. Die Einheit zur Messung der Frequenz eines periodischen Prozesses erhielt ihren Namen zu Ehren des deutschen Wissenschaftlers G. Hertz.

Die Schwebungsfrequenz, die entsteht, wenn zwei entlang einer Geraden auftretende Schwingungen mit unterschiedlichen, aber ähnlichen Frequenzen ($(\nu )_1\ und\ (\nu )_2$) addiert werden, ist gleich:

\[(\nu =\nu )_1-\ (\nu )_2\left(3\right).\]

Eine weitere Größe, die den Oszillationsprozess charakterisiert, ist die zyklische Frequenz ($(\omega )_0$), die mit der Frequenz wie folgt verbunden ist:

\[(\omega )_0=2\pi \nu \left(4\right).\]

Die Zyklenfrequenz wird im Bogenmaß geteilt pro Sekunde gemessen:

\[\left[(\omega )_0\right]=\frac(rad)(s).\]

Die Schwingungsfrequenz eines Körpers mit der Masse $\ m,$, der an einer Feder mit einem Elastizitätskoeffizienten $k$ aufgehängt ist, ist gleich:

\[\nu =\frac(1)(2\pi \sqrt((m)/(k)))\left(5\right).\]

Formel (4) gilt für elastische, kleine Schwingungen. Außerdem muss die Masse der Feder klein sein im Vergleich zur Masse des an dieser Feder befestigten Körpers.

Bei einem mathematischen Pendel errechnet sich die Schwingungsfrequenz zu: Länge des Fadens:

\[\nu =\frac(1)(2\pi \sqrt((l)/(g)))\left(6\right),\]

wobei $g$ die Beschleunigung des freien Falls ist; $\l$ ist die Länge des Fadens (Länge der Aufhängung) des Pendels.

Ein physikalisches Pendel schwingt mit der Frequenz:

\[\nu =\frac(1)(2\pi \sqrt((J)/(mgd)))\left(7\right),\]

wobei $J$ das Trägheitsmoment eines um die Achse schwingenden Körpers ist; $d$ ist der Abstand vom Massenschwerpunkt des Pendels zur Schwingungsachse.

Die Formeln (4) – (6) sind Näherungswerte. Je kleiner die Amplitude der Schwingungen ist, desto genauer ist der mit ihrer Hilfe berechnete Wert der Schwingungsfrequenz.

Formeln zur Berechnung der Häufigkeit diskreter Ereignisse und der Rotationsgeschwindigkeit

diskrete Schwingungen ($n$) – eine physikalische Größe, die der Anzahl der Aktionen (Ereignisse) pro Zeiteinheit entspricht. Wenn die Zeit, die ein Ereignis benötigt, als $\tau $ bezeichnet wird, dann ist die Häufigkeit diskreter Ereignisse gleich:

Die Maßeinheit für die Häufigkeit diskreter Ereignisse ist die reziproke Sekunde:

\[\left=\frac(1)(с).\]

Eine Sekunde hoch minus der ersten Potenz entspricht der Häufigkeit diskreter Ereignisse, wenn ein Ereignis in einer Zeit von einer Sekunde auftritt.

Die Rotationsfrequenz ($n$) ist ein Wert, der der Anzahl der vollen Umdrehungen entspricht, die ein Körper pro Zeiteinheit ausführt. Wenn $\tau$ die Zeit ist, die für eine vollständige Umdrehung aufgewendet wird, dann:

Beispiele für Probleme mit Lösungen

Beispiel 1

Übung. Das Schwingsystem führte in einer Zeit von einer Minute ($\Delta t=1\min$) 600 Schwingungen aus. Welche Frequenz haben diese Schwingungen?

Lösung. Um das Problem zu lösen, verwenden wir die Definition der Schwingungsfrequenz: Die Frequenz ist in diesem Fall die Anzahl der vollständigen Schwingungen, die pro Zeiteinheit auftreten.

\[\nu =\frac(N)(\Delta t)\left(1.1\right).\]

Bevor wir mit den Berechnungen fortfahren, rechnen wir die Zeit in SI-Einheiten um: $\Delta t=1\ min=60\ s$. Berechnen wir die Häufigkeit.

1. Mechanische Wellen, Wellenfrequenz. Longitudinal- und Transversalwellen.

2. Wellenfront. Geschwindigkeit und Wellenlänge.

3. Ebene Wellengleichung.

4. Energieeigenschaften der Welle.

5. Einige besondere Wellenarten.

6. Der Doppler-Effekt und seine Verwendung in der Medizin.

7. Anisotropie bei der Ausbreitung von Oberflächenwellen. Die Wirkung von Stoßwellen auf biologisches Gewebe.

8. Grundkonzepte und Formeln.

9. Aufgaben.

2.1. Mechanische Wellen, Wellenfrequenz. Longitudinal- und Transversalwellen

Wenn an irgendeiner Stelle eines elastischen Mediums (fest, flüssig oder gasförmig) Schwingungen seiner Teilchen angeregt werden, dann beginnt sich diese Schwingung aufgrund der Wechselwirkung zwischen Teilchen im Medium mit einer bestimmten Geschwindigkeit von Teilchen zu Teilchen auszubreiten v.

Wenn beispielsweise ein oszillierender Körper in ein flüssiges oder gasförmiges Medium gebracht wird, wird die oszillierende Bewegung des Körpers auf die ihm benachbarten Partikel des Mediums übertragen. Sie wiederum versetzen benachbarte Teilchen in oszillierende Bewegungen und so weiter. In diesem Fall schwingen alle Punkte des Mediums mit der gleichen Frequenz, die der Schwingungsfrequenz des Körpers entspricht. Diese Frequenz wird aufgerufen Wellenfrequenz.

Welle ist der Prozess der Ausbreitung mechanischer Schwingungen in einem elastischen Medium.

Wellenfrequenz ist die Schwingungsfrequenz der Punkte des Mediums, in denen sich die Welle ausbreitet.

Die Welle ist mit der Übertragung von Schwingungsenergie von der Schwingungsquelle auf die peripheren Teile des Mediums verbunden. Gleichzeitig entstehen in der Umwelt

periodische Verformungen, die durch eine Welle von einem Punkt im Medium auf einen anderen übertragen werden. Die Teilchen des Mediums selbst bewegen sich nicht mit der Welle, sondern schwingen um ihre Gleichgewichtslagen. Daher geht die Wellenausbreitung nicht mit einer Materieübertragung einher.

Nach der Frequenz werden mechanische Wellen in verschiedene Bereiche eingeteilt, die in der Tabelle aufgeführt sind. 2.1.

Tabelle 2.1. Mechanische Wellenwaage

Abhängig von der Richtung der Teilchenschwingungen relativ zur Wellenausbreitungsrichtung werden Longitudinal- und Transversalwellen unterschieden.

Longitudinalwellen- Wellen, bei deren Ausbreitung die Teilchen des Mediums entlang derselben Geraden schwingen, entlang derer sich die Welle ausbreitet. Dabei wechseln sich im Medium Bereiche der Verdichtung und Verdünnung ab.

Es können longitudinale mechanische Wellen entstehen insgesamt Medien (fest, flüssig und gasförmig).

Transversalwellen- Wellen, bei deren Ausbreitung die Teilchen senkrecht zur Ausbreitungsrichtung der Welle schwingen. Dabei kommt es zu periodischen Scherverformungen im Medium.

In Flüssigkeiten und Gasen entstehen elastische Kräfte nur bei Kompression und nicht bei Scherung, daher bilden sich in diesen Medien keine Transversalwellen. Die Ausnahme bilden Wellen auf der Oberfläche einer Flüssigkeit.

2.2. Wellenfront. Geschwindigkeit und Wellenlänge

In der Natur gibt es keine Prozesse, die sich mit unendlich hoher Geschwindigkeit ausbreiten, daher wird eine Störung, die durch einen äußeren Einfluss an einer Stelle im Medium entsteht, nicht sofort, sondern nach einiger Zeit an einer anderen Stelle ankommen. In diesem Fall wird das Medium in zwei Bereiche unterteilt: einen Bereich, dessen Punkte bereits in Schwingungsbewegungen verwickelt sind, und einen Bereich, dessen Punkte sich noch im Gleichgewicht befinden. Die Fläche, die diese Bereiche trennt, wird genannt Wellenfront.

Wellenfront - der geometrische Ort der Punkte, die die Schwingung (Störung des Mediums) in diesem Moment erreicht hat.

Wenn sich eine Welle ausbreitet, bewegt sich ihre Vorderseite mit einer bestimmten Geschwindigkeit, die als Wellengeschwindigkeit bezeichnet wird.

Die Wellengeschwindigkeit (v) ist die Geschwindigkeit, mit der sich ihre Vorderseite bewegt.

Die Geschwindigkeit der Welle hängt von den Eigenschaften des Mediums und der Art der Welle ab: Transversal- und Longitudinalwellen breiten sich in einem Festkörper mit unterschiedlicher Geschwindigkeit aus.

Die Ausbreitungsgeschwindigkeit aller Wellentypen wird unter der Bedingung einer schwachen Wellendämpfung durch den folgenden Ausdruck bestimmt:

Dabei ist G der effektive Elastizitätsmodul und ρ die Dichte des Mediums.

Die Geschwindigkeit einer Welle in einem Medium darf nicht mit der Bewegungsgeschwindigkeit der am Wellenprozess beteiligten Teilchen des Mediums verwechselt werden. Wenn sich beispielsweise eine Schallwelle in Luft ausbreitet, beträgt die durchschnittliche Schwingungsgeschwindigkeit ihrer Moleküle etwa 10 cm/s, und die Geschwindigkeit einer Schallwelle unter normalen Bedingungen beträgt etwa 330 m/s.

Die Form der Wellenfront bestimmt den geometrischen Typ der Welle. Die einfachsten Wellentypen auf dieser Basis sind Wohnung Und sphärisch.

Wohnung ist eine Welle, deren Vorderseite eine Ebene senkrecht zur Ausbreitungsrichtung ist.

Ebene Wellen entstehen beispielsweise in einem geschlossenen Kolbenzylinder mit Gas, wenn der Kolben schwingt.

Die Amplitude der ebenen Welle bleibt nahezu unverändert. Ihre leichte Abnahme mit der Entfernung von der Wellenquelle hängt mit der Viskosität des flüssigen oder gasförmigen Mediums zusammen.

Kugelförmig bezeichnet man eine Welle, deren Vorderseite die Form einer Kugel hat.

Dies ist beispielsweise eine Welle, die in einem flüssigen oder gasförmigen Medium durch eine pulsierende kugelförmige Quelle verursacht wird.

Die Amplitude einer Kugelwelle nimmt mit der Entfernung von der Quelle umgekehrt proportional zum Quadrat der Entfernung ab.

Um eine Reihe von Wellenphänomenen wie Interferenz und Beugung zu beschreiben, wird eine spezielle Eigenschaft namens Wellenlänge verwendet.

Wellenlänge ist die Distanz, über die sich seine Front in einer Zeit bewegt, die der Schwingungsperiode der Teilchen des Mediums entspricht:

Hier v- Wellengeschwindigkeit, T - Schwingungsperiode, ν - Schwingungsfrequenz von Punkten im Medium, ω - zyklische Frequenz.

Da die Geschwindigkeit der Wellenausbreitung von den Eigenschaften des Mediums, der Wellenlänge, abhängt λ Beim Wechsel von einer Umgebung in eine andere ändert sich dabei die Frequenz ν Bleibt das selbe.

Diese Definition der Wellenlänge hat eine wichtige geometrische Interpretation. Schauen wir uns Abb. an. 2.1 a, das die Verschiebungen von Punkten im Medium zu einem bestimmten Zeitpunkt zeigt. Die Position der Wellenfront wird durch die Punkte A und B markiert.

Nach einer Zeit T, die einer Schwingungsperiode entspricht, bewegt sich die Wellenfront. Seine Positionen sind in Abb. dargestellt. 2.1, b Punkte A 1 und B 1. Aus der Abbildung ist ersichtlich, dass die Wellenlänge λ gleich dem Abstand zwischen benachbarten Punkten, die in der gleichen Phase schwingen, beispielsweise dem Abstand zwischen zwei benachbarten Maxima oder Minima einer Störung.

Reis. 2.1. Geometrische Interpretation der Wellenlänge

2.3. Ebene Wellengleichung

Eine Welle entsteht durch periodische äußere Einflüsse auf die Umwelt. Betrachten Sie die Verteilung Wohnung Welle, die durch harmonische Schwingungen der Quelle erzeugt wird:

wobei x und die Verschiebung der Quelle ist, A die Amplitude der Schwingungen ist, ω die Kreisfrequenz der Schwingungen ist.

Wenn ein bestimmter Punkt im Medium im Abstand s von der Quelle entfernt ist und die Wellengeschwindigkeit gleich ist v, dann erreicht die von der Quelle erzeugte Störung diesen Punkt nach der Zeit τ = s/v. Daher ist die Schwingungsphase am betreffenden Punkt zum Zeitpunkt t dieselbe wie die Schwingungsphase der Quelle zum Zeitpunkt (t - s/v), und die Amplitude der Schwingungen bleibt praktisch unverändert. Infolgedessen werden die Schwingungen dieses Punktes durch die Gleichung bestimmt

Hier haben wir Formeln für die Kreisfrequenz verwendet (ω = 2π/T) und Wellenlänge (λ = v T).

Wenn wir diesen Ausdruck in die ursprüngliche Formel einsetzen, erhalten wir

Es wird Gleichung (2.2) aufgerufen, die die Verschiebung eines beliebigen Punktes im Medium zu jedem Zeitpunkt bestimmt ebene Wellengleichung. Das Argument für den Kosinus ist die Größe φ = ωt - 2 π S /λ - angerufen Wellenphase.

2.4. Energieeigenschaften der Welle

Das Medium, in dem sich die Welle ausbreitet, verfügt über mechanische Energie, die die Summe der Energien der Schwingungsbewegung aller seiner Teilchen ist. Die Energie eines Teilchens mit der Masse m 0 ergibt sich nach Formel (1.21): E 0 = m 0 Α 2ω 2/2. Eine Volumeneinheit des Mediums enthält n = P/m 0 Teilchen (ρ - Dichte des Mediums). Daher hat eine Volumeneinheit des Mediums die Energie w ð = nЕ 0 = ρ Α 2ω 2 /2.

Volumetrische Energiedichte(\¥р) - Energie der Schwingungsbewegung von Partikeln des Mediums, die in einer Einheit seines Volumens enthalten sind:

Dabei ist ρ die Dichte des Mediums, A die Amplitude der Teilchenschwingungen und ω die Frequenz der Welle.

Während sich eine Welle ausbreitet, wird die von der Quelle abgegebene Energie in entfernte Regionen übertragen.

Um die Energieübertragung quantitativ zu beschreiben, werden die folgenden Größen eingeführt.

Energiefluss(F) – ein Wert, der der Energie entspricht, die eine Welle pro Zeiteinheit durch eine bestimmte Oberfläche überträgt:

Wellenintensität oder Energieflussdichte (I) – ein Wert, der dem Energiefluss entspricht, der von einer Welle durch eine Flächeneinheit senkrecht zur Wellenausbreitungsrichtung übertragen wird:

Es kann gezeigt werden, dass die Intensität einer Welle gleich dem Produkt aus ihrer Ausbreitungsgeschwindigkeit und der volumetrischen Energiedichte ist

2.5. Einige besondere Sorten

Wellen

1. Stoßwellen. Bei der Ausbreitung von Schallwellen überschreitet die Schwingungsgeschwindigkeit der Teilchen mehrere cm/s nicht, d. h. sie ist hunderte Male kleiner als die Wellengeschwindigkeit. Bei starken Störungen (Explosion, Bewegung von Körpern mit Überschallgeschwindigkeit, starke elektrische Entladung) kann die Geschwindigkeit schwingender Teilchen des Mediums mit der Schallgeschwindigkeit vergleichbar werden. Dadurch entsteht ein Effekt, der Stoßwelle genannt wird.

Bei einer Explosion dehnen sich auf hohe Temperaturen erhitzte Produkte mit hoher Dichte aus und komprimieren eine dünne Schicht umgebender Luft.

Stoßwelle - ein dünner Übergangsbereich, der sich mit Überschallgeschwindigkeit ausbreitet und in dem Druck, Dichte und Bewegungsgeschwindigkeit der Materie abrupt ansteigen.

Die Stoßwelle kann eine erhebliche Energie haben. So werden bei einer nuklearen Explosion etwa 50 % der gesamten Explosionsenergie für die Bildung einer Stoßwelle in der Umgebung aufgewendet. Die Stoßwelle, die Objekte erreicht, kann Zerstörung verursachen.

2. Oberflächenwellen. Neben Körperwellen in kontinuierlichen Medien können bei ausgedehnten Grenzen Wellen auftreten, die in der Nähe der Grenzen lokalisiert sind und die Rolle von Wellenleitern spielen. Dabei handelt es sich insbesondere um Oberflächenwellen in Flüssigkeiten und elastischen Medien, die der englische Physiker W. Strutt (Lord Rayleigh) in den 90er Jahren des 19. Jahrhunderts entdeckte. Im Idealfall breiten sich Rayleigh-Wellen entlang der Grenze des Halbraums aus und klingen in Querrichtung exponentiell ab. Dadurch lokalisieren Oberflächenwellen die Energie der an der Oberfläche erzeugten Störungen in einer relativ schmalen oberflächennahen Schicht.

Oberflächenwellen - Wellen, die sich entlang der freien Oberfläche eines Körpers oder entlang der Grenze eines Körpers zu anderen Medien ausbreiten und mit zunehmender Entfernung von der Grenze schnell schwächer werden.

Ein Beispiel für solche Wellen sind Wellen in der Erdkruste (seismische Wellen). Die Eindringtiefe von Oberflächenwellen beträgt mehrere Wellenlängen. In einer Tiefe gleich der Wellenlänge λ beträgt die volumetrische Energiedichte der Welle etwa 0,05 ihrer volumetrischen Dichte an der Oberfläche. Die Verschiebungsamplitude nimmt mit der Entfernung von der Oberfläche schnell ab und verschwindet praktisch in einer Tiefe von mehreren Wellenlängen.

3. Anregungswellen in aktiven Medien.

Eine aktiv erregbare oder aktive Umgebung ist eine kontinuierliche Umgebung, die aus einer großen Anzahl von Elementen besteht, von denen jedes über eine Energiereserve verfügt.

In diesem Fall kann sich jedes Element in einem von drei Zuständen befinden: 1 – Anregung, 2 – Feuerfestigkeit (Nichterregbarkeit für eine bestimmte Zeit nach der Anregung), 3 – Ruhe. Elemente können nur aus dem Ruhezustand erregt werden. Anregungswellen in aktiven Medien werden Autowellen genannt. Autowaves - Hierbei handelt es sich um sich selbst erhaltende Wellen in einem aktiven Medium, deren Eigenschaften aufgrund der im Medium verteilten Energiequellen konstant bleiben.

Die Eigenschaften einer Autowelle – Periode, Wellenlänge, Ausbreitungsgeschwindigkeit, Amplitude und Form – im stationären Zustand hängen nur von den lokalen Eigenschaften des Mediums und nicht von den Anfangsbedingungen ab. In der Tabelle 2.2 zeigt die Ähnlichkeiten und Unterschiede zwischen Autowellen und gewöhnlichen mechanischen Wellen.

Autowellen können mit der Ausbreitung von Bränden in der Steppe verglichen werden. Die Flamme breitet sich über eine Fläche mit verteilten Energiereserven (trockenes Gras) aus. Jedes nachfolgende Element (trockener Grashalm) wird vom vorherigen entzündet. Und so breitet sich die Front der Anregungswelle (Flamme) durch das aktive Medium (trockenes Gras) aus. Wenn zwei Feuer aufeinandertreffen, verschwindet die Flamme, weil die Energiereserven erschöpft sind – das ganze Gras ist ausgebrannt.

Eine Beschreibung der Ausbreitungsprozesse von Autowellen in aktiven Medien wird verwendet, um die Ausbreitung von Aktionspotentialen entlang von Nerven- und Muskelfasern zu untersuchen.

Tabelle 2.2. Vergleich von Autowellen und gewöhnlichen mechanischen Wellen

2.6. Der Doppler-Effekt und seine Verwendung in der Medizin

Christian Doppler (1803–1853) – österreichischer Physiker, Mathematiker, Astronom, Direktor des weltweit ersten physikalischen Instituts.

Doppler-Effekt besteht aus einer Änderung der vom Beobachter wahrgenommenen Schwingungsfrequenz aufgrund der relativen Bewegung der Schwingungsquelle und des Beobachters.

Der Effekt wird in der Akustik und Optik beobachtet.

Erhalten wir eine Formel, die den Doppler-Effekt für den Fall beschreibt, dass sich Quelle und Empfänger der Welle relativ zum Medium entlang derselben Geraden mit den Geschwindigkeiten v I bzw. v P bewegen. Quelle führt relativ zu seiner Gleichgewichtslage harmonische Schwingungen mit der Frequenz ν 0 aus. Die durch diese Schwingungen erzeugte Welle breitet sich mit hoher Geschwindigkeit durch das Medium aus v. Lassen Sie uns herausfinden, welche Schwingungsfrequenz in diesem Fall aufgezeichnet wird Empfänger.

Durch Schwingungen der Quelle verursachte Störungen breiten sich durch das Medium aus und erreichen den Empfänger. Betrachten Sie eine vollständige Schwingung der Quelle, die zum Zeitpunkt t 1 = 0 beginnt

und endet im Moment t 2 = T 0 (T 0 ist die Schwingungsperiode der Quelle). Die in diesen Zeitpunkten erzeugten Störungen der Umgebung erreichen den Empfänger zu den Zeitpunkten t" 1 bzw. t" 2. In diesem Fall zeichnet der Empfänger Schwingungen mit Periode und Frequenz auf:

Finden wir die Momente t" 1 und t" 2 für den Fall, dass sich Quelle und Empfänger bewegen in Richtung zueinander und der anfängliche Abstand zwischen ihnen ist gleich S. Im Moment t 2 = T 0 wird dieser Abstand gleich S - (v И + v П)T 0 (Abb. 2.2).

Reis. 2.2. Die relative Position von Quelle und Empfänger zu den Zeitpunkten t 1 und t 2

Diese Formel gilt für den Fall, dass die Geschwindigkeiten v und und v p gerichtet sind in Richtung gegenseitig. Im Allgemeinen beim Umzug

Wenn Quelle und Empfänger entlang einer Geraden verlaufen, ergibt sich die Formel für den Doppler-Effekt:

Für die Quelle wird die Geschwindigkeit v And mit einem „+“-Zeichen angegeben, wenn sie sich in Richtung des Empfängers bewegt, andernfalls mit einem „-“-Zeichen. Für den Empfänger - ähnlich (Abb. 2.3).

Reis. 2.3. Auswahl von Vorzeichen für die Geschwindigkeiten von Wellenquelle und Wellenempfänger

Betrachten wir einen Sonderfall der Nutzung des Doppler-Effekts in der Medizin. Der Ultraschallgenerator soll mit einem Empfänger in Form eines gegenüber dem Medium ortsfesten technischen Systems kombiniert werden. Der Generator sendet Ultraschall mit der Frequenz ν 0 aus, der sich im Medium mit der Geschwindigkeit v ausbreitet. In Richtung Ein bestimmter Körper bewegt sich in einem System mit der Geschwindigkeit vt. Zunächst übernimmt das System die Rolle Quelle (v UND= 0) und der Körper ist die Rolle des Empfängers (v Tl= v T). Die Welle wird dann vom Objekt reflektiert und von einem stationären Empfangsgerät aufgezeichnet. In diesem Fall v И = v T, und v p = 0.

Durch zweimaliges Anwenden der Formel (2.7) erhalten wir eine Formel für die vom System aufgezeichnete Frequenz nach der Reflexion des ausgesendeten Signals:

Bei nähert sich Objekt auf die Sensorfrequenz des reflektierten Signals erhöht sich, und wann Entfernung - nimmt ab.

Durch Messung der Doppler-Frequenzverschiebung kann aus Formel (2.8) die Bewegungsgeschwindigkeit des reflektierenden Körpers ermittelt werden:

Das „+“-Zeichen entspricht der Bewegung des Körpers in Richtung des Emitters.

Mit dem Doppler-Effekt werden die Geschwindigkeit des Blutflusses, die Bewegungsgeschwindigkeit der Klappen und Wände des Herzens (Doppler-Echokardiographie) und anderer Organe bestimmt. Ein Diagramm der entsprechenden Anlage zur Messung der Blutgeschwindigkeit ist in Abb. dargestellt. 2.4.

Reis. 2.4. Installationsdiagramm zur Messung der Blutgeschwindigkeit: 1 - Ultraschallquelle, 2 - Ultraschallempfänger

Die Installation besteht aus zwei piezoelektrischen Kristallen, von denen einer zur Erzeugung von Ultraschallschwingungen (inverser piezoelektrischer Effekt) und der zweite zum Empfang von durch Blut gestreutem Ultraschall (direkter piezoelektrischer Effekt) dient.

Beispiel. Bestimmen Sie die Geschwindigkeit des Blutflusses in der Arterie mit Gegenreflexion des Ultraschalls (ν 0 = 100 kHz = 100.000 Hz, v = 1500 m/s) kommt es zu einer Doppler-Frequenzverschiebung der roten Blutkörperchen gegen D = 40 Hz.

Lösung. Mit Formel (2.9) finden wir:

v 0 = v D v /2v 0 = 40X 1500/(2X 100.000) = 0,3 m/s.

2.7. Anisotropie bei der Ausbreitung von Oberflächenwellen. Die Wirkung von Stoßwellen auf biologisches Gewebe

1. Anisotropie der Oberflächenwellenausbreitung. Bei der Untersuchung der mechanischen Eigenschaften der Haut mittels Oberflächenwellen mit einer Frequenz von 5-6 kHz (nicht zu verwechseln mit Ultraschall) tritt eine akustische Anisotropie der Haut auf. Dies drückt sich darin aus, dass die Ausbreitungsgeschwindigkeit einer Oberflächenwelle in zueinander senkrechten Richtungen – entlang der vertikalen (Y) und horizontalen (X) Achse des Körpers – unterschiedlich ist.

Um den Schweregrad der akustischen Anisotropie zu quantifizieren, wird der mechanische Anisotropiekoeffizient verwendet, der nach folgender Formel berechnet wird:

Wo v y- Geschwindigkeit entlang der vertikalen Achse, v x- entlang der horizontalen Achse.

Der Anisotropiekoeffizient wird als positiv (K+) angenommen, wenn v y> v x bei v y < v x der Koeffizient wird als negativ (K -) angenommen. Zahlenwerte der Geschwindigkeit von Oberflächenwellen in der Haut und der Grad der Anisotropie sind objektive Kriterien zur Beurteilung verschiedener Wirkungen, auch auf die Haut.

2. Die Wirkung von Stoßwellen auf biologisches Gewebe. In vielen Fällen der Einwirkung auf biologische Gewebe (Organe) ist es notwendig, die entstehenden Stoßwellen zu berücksichtigen.

Eine Stoßwelle entsteht beispielsweise, wenn ein stumpfer Gegenstand auf den Kopf trifft. Daher wird bei der Konstruktion von Schutzhelmen darauf geachtet, die Stoßwelle zu absorbieren und den Hinterkopf bei einem Frontalaufprall zu schützen. Diesem Zweck dient das Innenband im Helm, das auf den ersten Blick nur der Belüftung dient.

Stoßwellen entstehen im Gewebe, wenn es hochintensiver Laserstrahlung ausgesetzt wird. Danach beginnen sich häufig Narben (oder andere) Veränderungen in der Haut zu entwickeln. Dies kommt beispielsweise bei kosmetischen Eingriffen vor. Um die schädlichen Auswirkungen von Stoßwellen zu reduzieren, ist es daher notwendig, die Expositionsdosis im Voraus zu berechnen und dabei die physikalischen Eigenschaften sowohl der Strahlung als auch der Haut selbst zu berücksichtigen.

Reis. 2.5. Ausbreitung radialer Stoßwellen

Stoßwellen werden in der radialen Stoßwellentherapie eingesetzt. In Abb. Abbildung 2.5 zeigt die Ausbreitung radialer Stoßwellen vom Applikator.

Solche Wellen werden in Geräten erzeugt, die mit einem speziellen Kompressor ausgestattet sind. Die radiale Stoßwelle wird pneumatisch erzeugt. Der im Manipulator befindliche Kolben bewegt sich unter dem Einfluss eines kontrollierten Druckluftimpulses mit hoher Geschwindigkeit. Wenn der Kolben auf den im Manipulator montierten Applikator trifft, wird seine kinetische Energie in mechanische Energie des betroffenen Körperbereichs umgewandelt. Um Verluste bei der Wellenübertragung im Luftspalt zwischen Applikator und Haut zu reduzieren und eine gute Leitfähigkeit der Stoßwellen zu gewährleisten, wird in diesem Fall ein Kontaktgel verwendet. Normaler Betriebsmodus: Frequenz 6-10 Hz, Betriebsdruck 250 kPa, Anzahl der Impulse pro Sitzung - bis zu 2000.

1. Auf dem Schiff wird eine Sirene eingeschaltet, die im Nebel signalisiert, und nach t = 6,6 s ist ein Echo zu hören. Wie weit ist die reflektierende Oberfläche entfernt? Schallgeschwindigkeit in Luft v= 330 m/s.

Lösung

In der Zeit t legt der Schall eine Strecke von 2S zurück: 2S = vt →S = vt/2 = 1090 m. Antwort: S = 1090 m.

2. Was ist die Mindestgröße von Objekten, die Fledermäuse mit ihrem 100.000-Hz-Sensor erkennen können? Was ist die Mindestgröße von Objekten, die Delfine mit einer Frequenz von 100.000 Hz erkennen können?

Lösung

Die Mindestabmessungen eines Objekts entsprechen der Wellenlänge:

λ 1= 330 m/s / 10 5 Hz = 3,3 mm. Dies entspricht ungefähr der Größe der Insekten, von denen sich Fledermäuse ernähren.

λ 2= 1500 m/s / 10 5 Hz = 1,5 cm. Ein Delfin kann einen kleinen Fisch erkennen.

Antwort:λ 1= 3,3 mm; λ 2= 1,5 cm.

3. Zuerst sieht ein Mensch einen Blitz und 8 Sekunden später hört er einen Donnerschlag. In welcher Entfernung von ihm zuckte der Blitz?

Lösung

S = v star t = 330 X 8 = 2640 m. Antwort: 2640 m.

4. Zwei Schallwellen haben die gleichen Eigenschaften, nur dass eine die doppelte Wellenlänge der anderen hat. Welches trägt mehr Energie? Wie oft?

Lösung

Die Intensität der Welle ist direkt proportional zum Quadrat der Frequenz (2.6) und umgekehrt proportional zum Quadrat der Wellenlänge (ω = 2πv/λ ). Antwort: der mit der kürzeren Wellenlänge; 4 Mal.

5. Eine Schallwelle mit einer Frequenz von 262 Hz breitet sich mit einer Geschwindigkeit von 345 m/s durch die Luft aus. a) Welche Wellenlänge hat es? b) Wie lange dauert es, bis sich die Phase an einem bestimmten Punkt im Raum um 90° ändert? c) Wie groß ist die Phasendifferenz (in Grad) zwischen Punkten im Abstand von 6,4 cm?

Lösung

A) λ =v /ν = 345/262 = 1,32 m;

V) Δφ = 360°s/λ= 360 X 0,064/1,32 = 17,5°. Antwort: A) λ = 1,32 m; b) t = T/4; V) Δφ = 17,5°.

6. Schätzen Sie die Obergrenze (Frequenz) von Ultraschall in Luft ab, wenn seine Ausbreitungsgeschwindigkeit bekannt ist v= 330 m/s. Nehmen Sie an, dass Luftmoleküle eine Größe in der Größenordnung von d = 10 -10 m haben.

Lösung

In Luft ist eine mechanische Welle longitudinal und die Wellenlänge entspricht dem Abstand zwischen den beiden nächstgelegenen Konzentrationen (oder Verdünnungen) von Molekülen. Da der Abstand zwischen den Kondensationen keinesfalls kleiner sein kann als die Größe der Moleküle, gilt d = λ. Aus diesen Überlegungen haben wir ν =v /λ = 3,3X 10 12 Hz. Antwort:ν = 3,3X 10 12 Hz.

7. Zwei Autos bewegen sich mit der Geschwindigkeit v 1 = 20 m/s und v 2 = 10 m/s aufeinander zu. Die erste Maschine sendet ein Signal mit einer Frequenz aus ν 0 = 800 Hz. Schallgeschwindigkeit v= 340 m/s. Welches Frequenzsignal wird der Fahrer des zweiten Autos hören: a) bevor sich die Autos treffen; b) nach dem Treffen der Autos?

8. Wenn ein Zug vorbeifährt, hört man, wie sich die Frequenz seines Pfiffs von ν 1 = 1000 Hz (bei Annäherung) auf ν 2 = 800 Hz (bei Entfernung des Zugs) ändert. Wie schnell ist der Zug?

Lösung

Dieses Problem unterscheidet sich von den vorherigen dadurch, dass wir die Geschwindigkeit der Schallquelle – des Zuges – nicht kennen und die Frequenz seines Signals ν 0 unbekannt ist. Daher erhalten wir ein Gleichungssystem mit zwei Unbekannten:

Lösung

Lassen v- Windgeschwindigkeit und weht von einer Person (Empfänger) zur Schallquelle. Sie sind relativ zum Boden stationär, aber relativ zur Luft bewegen sie sich beide mit der Geschwindigkeit u nach rechts.

Mit der Formel (2.7) erhalten wir die Schallfrequenz. von einer Person wahrgenommen. Es ist unverändert:

Antwort: Die Frequenz ändert sich nicht.