Remiantis: demo Vieningo valstybinio egzamino parinktys informatikos studijas 2015 m., remiantis Liudmilos Leonidovnos Bosovos vadovėliu

Ankstesnėje 1 dalyje su jumis aptarėme logines operacijas Disjunkcija ir Konjunkcija, mums belieka išanalizuoti inversiją ir pereiti prie Vieningo valstybinio egzamino užduoties sprendimo.

Inversija

Inversija- loginė operacija, susiejanti kiekvieną teiginį su nauju teiginiu, kurio prasmė yra priešinga pirminiam.

Inversijai rašyti naudojami šie simboliai: NOT, `¯`, ` ¬ `

Inversija nustatoma pagal šią tiesos lentelę:

Inversija kitaip vadinama loginiu neigimu.

Bet koks sudėtingas teiginys gali būti parašytas formoje loginė išraiška— išraiškos, kuriose yra loginių kintamųjų, loginių operatorių ženklų ir skliaustų. Loginės operacijos loginėje išraiškoje atliekamos tokia tvarka: inversija, konjunkcija, disjunkcija. Galite pakeisti operacijų tvarką naudodami skliaustus.

Loginės operacijos turi tokį prioritetą: inversija, konjunkcija, disjunkcija.

Taigi, prieš mus yra 2015 m. Vieningojo valstybinio informatikos egzamino užduotis Nr

Aleksandra pildė tiesos lentelę frazei F. Jai pavyko užpildyti tik nedidelį lentelės fragmentą:

x1	x2	x3	x4	x5	x6	x7	x8	F
	0						1	0
1			0					1
			1				1	1

Kokia gali būti F išraiška?

Daug lengviau išspręsti problemą yra tai, kad kiekvienoje sudėtingos išraiškos F versijoje yra tik viena loginė operacija: daugyba arba sudėtis. Dauginimo atveju /\ jei bent vienas kintamasis lygus nuliui, tai visos išraiškos F reikšmė taip pat turi būti lygi nuliui. O pridėjimo V atveju, jei bent vienas kintamasis yra lygus vienetui, tai visos išraiškos F reikšmė turi būti lygi 1.

Duomenų, esančių lentelėje kiekvienam iš 8 išraiškos F kintamųjų, mums visiškai pakanka, kad galėtume išspręsti.

Patikrinkime išraiškos numerį 1:

• ? /\ 1 /\ ? /\ ? /\ ? /\ ? /\ ? /\ 0 )
• iš antrosios lentelės eilutės x1=1, x4=0 matome, kad F galimas ir gali būti lygus = 1, jei visi kiti kintamieji lygūs 1 (1 /\ ? /\ ? /\ 1 /\ ? /\ ? /\ ? /\ ? )
• pagal trečią lentelės eilutę x4=1, x8=1 matome, kad F=0 (? /\ ? /\ ? /\ 0 /\ ? /\ ? /\ ? /\ 0 ), o lentelėje turime F=1, o tai reiškia, kad išraiška numeris vienas yra skirtas mums TIKRAI NETINKAMAS.

Patikrinkime išraiškos numerį 2:

• iš pirmosios lentelės eilutės x2=0, x8=1 matome, kad F galimas ir gali būti lygus = 0, jei visi kiti kintamieji lygūs 0 (? V 0 V ? V ? V ? V ? V ? V 0 )
• iš antrosios lentelės eilutės x1=1, x4=0 matome, kad F = 1 ( 1 V ? V ? V 1 V ? V ? V ? V ? )
• pagal trečią lentelės eilutę x4=1, x8=1 matome, kad F galimas ir gali būti lygus = 1, jei bent vienas iš likusių kintamųjų yra lygus 1 ( ? V ? V ? V 0 V ? V ? V ? V 0 )
  

Patikrinkime išraiškos numerį 3:

• iš pirmosios lentelės eilutės x2=0, x8=1 matome, kad F=0 (? /\ 0 /\ ? /\ ? /\ ? /\ ? /\ ? /\ 1 )
• iš antrosios lentelės eilutės x1=1, x4=0 matome, kad F =0 (0 /\ ? /\ ? /\ 0 /\ ? /\ ? /\ ? /\ ? ), o lentelėje turime F=1, o tai reiškia, kad išraiška numeris trys mums suteikia TIKRAI NETINKAMAS.

Patikrinkime išraiškos numerį 4:

• iš pirmosios lentelės eilutės x2=0, x8=1 matome, kad F=1 ( ? V 1 V ? V ? V ? V ? V ? V 0 ), o lentelėje turime F=0, o tai reiškia, kad išraiška numeris keturi mums suteikia TIKRAI NETINKAMAS.

Sprendžiant vieningo valstybinio egzamino užduotį, reikia daryti lygiai tą patį: atmesti tas parinktis, kurios tikrai netinka pagal lentelės duomenis. Likę galimas variantas(kaip ir mūsų atveju, variantas numeris 2) bus teisingas atsakymas.

Išraiškos tiesos nustatymo problema susiduria su daugeliu mokslų. Bet kokia įrodinėjimo disciplina turi būti pagrįsta tam tikrais įrodymų tiesos kriterijais. Mokslas, tiriantis šiuos kriterijus, vadinamas logikos algebra. Pagrindinis logikos algebros postulatas yra tas, kad bet kuris puošniausias teiginys gali būti pavaizduotas kaip paprastesnių teiginių algebrinė išraiška, kurių teisingumą ar klaidingumą lengva nustatyti.

Bet kuriai „algebrinei“ operacijai su teiginiu yra nurodyta taisyklė, pagal kurią nustatoma modifikuoto teiginio tiesa arba klaidinga, remiantis pradinio teiginio teisingumu ar klaidingumu. Šios taisyklės yra parašytos išraiškos tiesos lentelės. Prieš sudarydami tiesos lenteles, turite labiau susipažinti su logikos algebra.

Loginių reiškinių algebrinės transformacijos

Bet kuri loginė išraiška, taip pat jos kintamieji (teiginiai), turi dvi reikšmes: melas ar tiesa. Netiesa žymima nuliu, o tiesa – vienetu. Supratę apibrėžimo sritį ir priimtinų reikšmių diapazoną, galime nagrinėti logikos algebros operacijas.

Neigimas

Neigimas ir inversija- paprasčiausia loginė transformacija. Tai atitinka dalelę „ne“. Ši transformacija tiesiog apverčia teiginį. Atitinkamai teiginio prasmė taip pat pasikeičia į priešingą. Jei teiginys A yra teisingas, tada "ne A" yra klaidingas. Pavyzdžiui, teiginys „status kampas yra kampas, lygus devyniasdešimčiai laipsnių“ yra teisingas. Tada jo neigimas „status kampas nelygus devyniasdešimčiai laipsnių“ yra melas.

Tiesos lentelė neigimui bus taip:

Disjunkcija

Ši operacija gali būti įprastas ar griežtas, jų rezultatai skirsis.

Įprastas disjunkcija arba loginis priedas atitinka jungtuką „arba“. Tai bus tiesa, jei bent vienas iš joje esančių teiginių yra teisingas. Pavyzdžiui, posakis „Žemė apvali arba stovi ant trijų stulpų“ bus teisinga, nes pirmasis teiginys yra teisingas, nors antrasis – klaidingas. Lentelėje jis atrodys taip:

Taip pat vadinama griežta disjunkcija arba modulo pridėjimas "išskirtinis arba". Ši operacija gali būti gramatinės konstrukcijos forma „vienas iš dviejų: arba... arba...“. Čia loginės išraiškos reikšmė bus klaidinga, jei visi į ją įtraukti teiginiai turi tą pačią tiesą. Tai reiškia, kad abu teiginiai yra teisingi kartu arba klaidingi.

Išskirtinių arba

Potekstė ir lygiavertiškumas

Potekstė yra pasekmė ir gali būti gramatiškai išreikštas kaip „nuo A seka B“. Čia teiginys A bus vadinamas prielaida, o B – pasekmė. Potekstė gali būti klaidinga tik vienu atveju: jei prielaida teisinga, o pasekmė klaidinga. Tai yra, melas negali sekti iš tiesos. Visais kitais atvejais tai yra teisinga. Variantai, kai abu teiginiai turi tą pačią tiesą, klausimų nekelia. Bet kodėl tikros klaidingos prielaidos pasekmės yra teisingos? Esmė ta, kad iš klaidingos prielaidos gali kilti bet kas. Tai ir išskiria implikaciją nuo lygiavertiškumo.

Matematikoje (ir kitose parodomosiose disciplinose) implikacija naudojama norint nurodyti būtiną sąlygą. Pavyzdžiui, teiginys A yra „taškas O yra tolydžios funkcijos ekstremumas“, teiginys B yra „tęstinės funkcijos išvestinė taške O tampa nuliu“. Jei O iš tikrųjų yra tolydžios funkcijos ekstremumo taškas, tai išvestinė šiame taške iš tikrųjų bus lygi nuliui. Jei O nėra ekstremumo taškas, tada išvestinė šiame taške gali būti nulis arba ne. Tai yra, B yra būtinas A, bet nepakankamas.

Tiesos lentelė implikacijai taip:

Loginė lygiavertiškumo operacija iš esmės yra abipusio poveikio. „A yra lygiavertis B“ reiškia, kad „iš A seka B“ ir „iš B seka A“ tuo pačiu metu. Ekvivalentiškumas yra teisingas, kai abu teiginiai vienu metu yra teisingi arba tuo pačiu metu klaidingi.

Matematikoje būtinai ir pakankamai sąlygai nustatyti naudojamas lygiavertiškumas. Pavyzdžiui, teiginys A – „Taškas O yra ištisinės funkcijos ekstremalus taškas“, teiginys B – „Taške O funkcijos išvestinė tampa nuliu ir keičia ženklą“. Šie du teiginiai yra lygiaverčiai. B yra būtina ir pakankama sąlyga A. Atkreipkite dėmesį, kad in šiame pavyzdyje teiginiai B iš tikrųjų yra dviejų kitų junginys: „išvestinė taške O tampa nuliu“ ir „išvestinė taške O keičia ženklą“.

Kitos loginės funkcijos

Aukščiau aptarėme pagrindines dažnai naudojamas logines operacijas. Yra ir kitų naudojamų funkcijų:

• Schaefferio smūgis arba nesuderinamumas yra A ir B jungties neigimas
• Peirce'o rodyklė reiškia disjunkcijos neigimo nesėkmę.

Tiesos lentelių konstravimas

Norėdami sukurti bet kurios loginės išraiškos tiesos lentelę, turite veikti pagal algoritmą:

1. Suskaidykite išraišką į paprastus teiginius ir pažymėkite kiekvieną kaip kintamąjį.
2. Apibrėžkite logines transformacijas.
3. Nustatykite šių transformacijų tvarką.
4. Suskaičiuokite būsimos lentelės eilutes. Jų skaičius lygus dviem N laipsniui, kur N yra kintamųjų skaičius ir viena lentelės antraštės eilutė.
5. Nustatykite stulpelių skaičių. Jis lygus kintamųjų skaičiaus ir veiksmų skaičiaus sumai. Kiekvieno veiksmo rezultatą galite pateikti kaip naują kintamąjį, jei tai prasminga.
6. Antraštė pildoma nuosekliai, pirmiausia visi kintamieji, tada veiksmų rezultatai tokia tvarka, kokia jie buvo atlikti.
7. Lentelę reikia pradėti pildyti pirmuoju kintamuoju. Jai eilučių skaičius padalintas per pusę. Viena pusė užpildyta nuliais, antroji - vienetais.
8. Kiekvienam paskesniam kintamajam nuliai ir vienetai kaitaliojasi du kartus dažniau.
9. Tokiu būdu užpildomi visi stulpeliai su kintamaisiais ir paskutiniam kintamoji vertė keičiasi kiekvienoje eilutėje.
10. Tada paeiliui užpildomi visų veiksmų rezultatai.

Dėl to paskutiniame stulpelyje bus rodoma visos išraiškos reikšmė, atsižvelgiant į kintamųjų reikšmę.

Atskirai reikėtų paminėti apie loginių veiksmų tvarka. Kaip tai apibrėžti? Čia, kaip ir algebroje, yra taisyklės, kurios nustato veiksmų seką. Jie atliekami tokia tvarka:

1. posakiai skliausteliuose;
2. neigimas arba inversija;
3. jungtis;
4. griežta ir įprasta disjunkcija;
5. implikacija;
6. lygiavertiškumas.

Pavyzdžiai

Norėdami konsoliduoti medžiagą, galite pabandyti sukurti tiesos lentelę anksčiau minėtiems loginiams posakiams. Pažvelkime į tris pavyzdžius:

• Schaefferio insultas.
• Pierce'o strėlė.
• Lygiavertiškumo apibrėžimas.

Schaefferio insultas

Schaefferio potėpis yra Būlio išraiška, kurią galima parašyti kaip „ne (A ir B)“. Yra du kintamieji ir du veiksmai. Jungtukas yra skliausteliuose, o tai reiškia, kad jis vykdomas pirmiausia. Lentelėje bus antraštė ir keturios eilutės su kintamomis reikšmėmis, taip pat keturi stulpeliai. Užpildykime lentelę:

Jungtinio neigimas atrodo kaip neigimų disjunkcija. Tai galima patikrinti sukūrus tiesos lentelę posakiui „ne A arba ne B“. Padarykite tai patys ir atkreipkite dėmesį, kad čia jau bus trys operacijos.

Pierce'o strėlė

Atsižvelgdami į Peirce'o rodyklę, kuri reiškia disjunkcijos „ne (A arba B)“ neigimą, palyginkime ją su neiginių „ne A ir ne B“ jungtuku. Užpildykime dvi lenteles:

Posakių reikšmės sutapo. Išnagrinėję šiuos du pavyzdžius, galime padaryti išvadą, kaip atidaryti skliaustus po neigimo: neigimas taikomas visiems skliausteliuose esantiems kintamiesiems, konjunkcija keičiasi į disjunkciją, o disjunkcija keičia į konjunkciją.

Lygiavertiškumo apibrėžimas

Apie teiginius A ir B galime pasakyti, kad jie yra lygiaverčiai tada ir tik tada, kai iš B seka A, o iš A seka B. Parašykime tai kaip loginę išraišką ir sukurkime jam tiesos lentelę. "(A yra lygiavertis B) yra lygiavertis (iš A seka B) ir (iš B seka A)."

Yra du kintamieji ir penki veiksmai. Statome stalą:

Visos reikšmės paskutiniame stulpelyje yra teisingos. Tai reiškia, kad aukščiau pateiktas lygiavertiškumo apibrėžimas galioja bet kurioms A ir B reikšmėms. Tai reiškia, kad jis visada teisingas. Būtent naudojant tiesos lentelę galite patikrinti bet kokių apibrėžimų ir loginių konstrukcijų teisingumą.

Pamokos trukmė: 45 min

Pamokos tipas: kartu:

• žinių patikrinimas – darbas žodžiu;
• nauja medžiaga – paskaita;
• įtvirtinimas – praktinės pratybos;
• žinių patikrinimas – savarankiško darbo užduotys.

Pamokos tikslai:

• pateikti tiesos lentelės sampratą;
• ankstesnės pamokos „Teiginių algebra“ medžiagos konsolidavimas;
• naudojimas informacines technologijas;
• ugdyti įgūdžius savarankiškai ieškoti naujos medžiagos;
• smalsumo ir iniciatyvumo ugdymas;
• informacinės kultūros ugdymas.

Pamokos planas:

1. Organizacinis momentas (2 min.).
2. Praeitos pamokos medžiagos kartojimas (klausimas žodžiu) (4 min.).
3. Naujos medžiagos paaiškinimas (12 min.).
4. Konsolidavimas

• atvejo analizė (5 min.);
• praktiniai pratimai (10 min.);
• užduotys savarankiškam darbui (10 min).

Įranga ir programinė įranga:

• balta lenta;
• multimedijos projektorius;
• kompiuteriai;
• pristatymų rengyklė MS PowerPoint 2003;
• padalomoji informacinė medžiaga „Tiesos lentelės“;
• „Tiesos lentelės“ pristatymo demonstravimas.

Per užsiėmimus

I. Organizacinis momentas

Tęsiame temą „Logikos pagrindai“. Ankstesnėse pamokose matėme, kad logika gana glaudžiai susijusi su mūsų kasdienybe, taip pat matėme, kad beveik bet kokį teiginį galima parašyti kaip formulę.

II. Ankstesnės pamokos medžiagos kartojimas

Prisiminkime pagrindinius apibrėžimus ir sąvokas:

III. Naujos medžiagos paaiškinimas

Paskutiniai du pavyzdžiai susiję su sudėtingais teiginiais. Kaip nustatyti sudėtingų teiginių teisingumą?

Sakėme, kad paskaičiuota. Tam tikslui logikoje yra sudėtinių (sudėtinių) teiginių tiesos skaičiavimo lentelės. Tai vadinamos tiesos lentelėmis.

Taigi, pamokos tema – TIESOS LENTELĖS.

3.1) Apibrėžimas. Tiesos lentelė yra lentelė, rodanti sudėtingo teiginio teisingumą visoms galimoms įvesties kintamųjų reikšmėms (1 pav.).

3.2) Išsamiau panagrinėkime kiekvieną loginę operaciją pagal jos apibrėžimą:

1. Inversija (neigimas) – tai loginė operacija, kuri kiekvieną paprastą teiginį susieja su sudėtiniu teiginiu, o tai reiškia, kad pradinis teiginys neigiamas.

Ši operacija taikoma tik vienam kintamajam, taigi tik du linijos, nes vienas kintamasis gali turėti vieną iš du reikšmės: 0 arba 1.

2. Jungtis (daugyba) yra loginė operacija, susiejanti kiekvieną du paprastus teiginius su sudėtiniu teiginiu, kuris yra teisingas tada ir tik tada, kai abu pirminiai teiginiai yra teisingi.

Nesunku pastebėti, kad ši lentelė iš tiesų yra panaši į daugybos lentelę.

3. Disjunkcija (sudėtis) – tai loginė operacija, susiejanti kiekvieną du paprastus teiginius su sudėtiniu teiginiu, kuris yra klaidingas tada ir tik tada, kai abu pradiniai teiginiai yra klaidingi.

Galite įsitikinti, kad lentelė yra panaši į pridėjimo lentelę, išskyrus paskutinį veiksmą. Dvejetainėje skaičių sistemoje 1 + 1 = 10, dešimtainėje skaičių sistemoje – 1 + 1 = 2. Logikoje kintamojo 2 reikšmė neįmanoma, panagrinėkime 10 logikos požiūriu: 1 – tiesa, 0 – netikras, t.y. 10 yra teisinga ir klaidinga tuo pačiu metu, o tai negali būti, todėl paskutinis veiksmas yra griežtai pagrįstas apibrėžimu.

4. Implikacija (sekanti) yra loginė operacija, susiejanti kiekvieną du paprastus teiginius su sudėtiniu teiginiu, kuris yra klaidingas tada ir tik tada, kai sąlyga teisinga, o pasekmė klaidinga.

5. Ekvivalentiškumas (ekvivalentiškumas) – tai loginė operacija, susiejanti kiekvieną du paprastus teiginius su sudėtiniu teiginiu, kuris yra teisingas tada ir tik tada, kai abu pradiniai teiginiai vienu metu yra teisingi arba klaidingi.

Paskutines dvi operacijas aptarėme ankstesnėje pamokoje.

3.3) Pažiūrėkime į tai tiesos lentelės algoritmas sudėtingam pareiškimui:

3.4) Apsvarstykite sudėtingo teiginio tiesos lentelės sudarymo pavyzdį:

Pavyzdys. Sukurkite tiesos lentelę formulei: A U B -> ¬A U C.

Sprendimas (2 pav.)

Pavyzdys rodo, kad tiesos lentelė yra ne visas sprendimas, o tik paskutinis veiksmas (stulpelis paryškintas raudonai).

IV. Konsolidavimas.

Medžiagai konsoliduoti prašoma savarankiškai išspręsti pavyzdžius po raidėmis a, b, c ir papildomai d–g (3 pav.).

V. Namų darbas, medžiagos apibendrinimas.

Namų darbai taip pat pateikiami monitoriaus ekrane (4 pav.)

Medžiagos santrauka:Šiandien pamokoje išmokome nustatyti sudėtinių teiginių teisingumą, bet daugiau matematiniu požiūriu, nes jums buvo pateikti ne patys teiginiai, o formulės, kurios juos parodo. Tolesnėse pamokose šiuos įgūdžius įtvirtinsime ir bandysime pritaikyti sprendžiant logines problemas.

1 apibrėžimas

Loginė funkcija– funkcija, kurios kintamieji turi vieną iš dviejų reikšmių: $1$ arba $0$.

Bet kurią loginę funkciją galima nurodyti naudojant tiesos lentelę: visų galimų argumentų rinkinys rašomas kairėje lentelės pusėje, o atitinkamos loginės funkcijos reikšmės – dešinėje.

2 apibrėžimas

Tiesos lentelė– lentelė, kurioje parodyta, kokias reikšmes įgis sudėtinė išraiška visoms galimoms į jį įtrauktų paprastų reiškinių reikšmių rinkiniams.

3 apibrėžimas

Lygiavertis vadinamos loginėmis išraiškomis, kurių paskutiniai tiesos lentelių stulpeliai sutampa. Lygiavertiškumas nurodomas naudojant $«=»$ ženklą.

Sudarant tiesos lentelę svarbu atsižvelgti į tokią loginių operacijų tvarką:

1 paveikslas.

Vykdant operacijų tvarką pirmenybė teikiama skliausteliams.

Loginės funkcijos tiesos lentelės konstravimo algoritmas

Nustatykite eilučių skaičių: eilučių skaičius= $2^n + 1$ (pavadinimo eilutei), $n$ – paprastų posakių skaičius. Pavyzdžiui, dviejų kintamųjų funkcijoms yra $2^2 = 4$ kintamųjų reikšmių rinkinių deriniai, trijų kintamųjų funkcijoms yra $2^3 = 8$ ir t.t.

Nustatykite stulpelių skaičių: stulpelių skaičius = kintamųjų skaičius + loginių operacijų skaičius. Nustatant loginių operacijų skaičių, atsižvelgiama ir į jų vykdymo eiliškumą.

Užpildykite stulpelius loginių operacijų rezultatais tam tikra seka, atsižvelgiant į pagrindinių loginių operacijų tiesos lenteles.

2 pav.

1 pavyzdys

Sukurkite tiesos lentelę loginei išraiškai $D=\bar(A) \vee (B \vee C)$.

Sprendimas:

Nustatykime eilučių skaičių:

eilučių skaičius = $2^3 + 1=9$.

Kintamųjų skaičius – $3$.

1. atvirkštinis ($\bar(A)$);
2. disjunkcija, nes jis yra skliausteliuose ($B \vee C$);

3. disjunkcija ($\overline(A)\vee \left(B\vee C\right)$) yra reikalinga loginė išraiška.

   Stulpelių skaičius = $3 + 3=6$.

Pildykime lentelę, atsižvelgdami į loginių operacijų tiesos lenteles.

3 pav.

2 pavyzdys

Naudodamiesi šia logine išraiška, sukurkite tiesos lentelę:

Sprendimas:

Nustatykime eilučių skaičių:

Paprastų posakių skaičius yra $n=3$, o tai reiškia

eilučių skaičius = $2^3 + 1=9$.

Nustatykime stulpelių skaičių:

Kintamųjų skaičius – $3$.

Loginių operacijų skaičius ir jų seka:

1. neigimas ($\bar(C)$);
2. disjunkcija, nes jis yra skliausteliuose ($A \vee B$);
3. jungtukas ($(A\vee B)\bigpleištas \overline(C)$);
4. neigimas, kurį žymime $F_1$ ($\overline((A\vee B)\bigwedge \overline(C))$);
5. disjunkcija ($A \vee C$);
6. jungtukas ($(A\vee C)\bigpleištas B$);
7. neigimas, kurį žymime $F_2$ ($\overline((A\vee C)\bigpleištas B)$);

8. disjunkcija yra norima loginė funkcija ($\overline((A\vee B)\bigwedge \overline(C))\vee \overline((A\vee C)\bigwedge B)$).

Instrukcijos. Įvesdami iš klaviatūros naudokite šiuos užrašus: Pavyzdžiui, loginė išraiška abc+ab~c+a~bc turi būti įvedama taip: a*b*c+a*b=c+a=b*c
Norėdami įvesti duomenis loginės diagramos pavidalu, naudokite šią paslaugą.

Loginės funkcijos įvedimo taisyklės

1. Vietoj v (disjunkcijos, ARBA) simbolio naudokite ženklą +.
2. Prieš loginę funkciją nereikia nurodyti funkcijos pavadinimo. Pavyzdžiui, vietoj F(x,y)=(x|y)=(x^y) reikia tiesiog įvesti (x|y)=(x^y) .
3. Didžiausias kintamųjų skaičius yra 10.

Kompiuterinių loginių grandinių projektavimas ir analizė atliekama naudojant specialią matematikos šaką – loginę algebrą. Logikos algebroje galima išskirti tris pagrindines logines funkcijas: „NE“ (neigimas), „AND“ (junginys), „ARBA“ (disjunkcija).
Norint sukurti bet kokį loginį įrenginį, būtina nustatyti kiekvieno išvesties kintamojo priklausomybę nuo esamų įvesties kintamųjų; ši priklausomybė vadinama perjungimo funkcija arba loginės algebros funkcija.
Loginė algebros funkcija vadinama visiškai apibrėžta, jei pateikiamos visos 2n jos reikšmės, kur n yra išvesties kintamųjų skaičius.
Jei apibrėžtos ne visos reikšmės, funkcija vadinama iš dalies apibrėžta.
Įrenginys vadinamas loginiu, jei jo būsena aprašoma naudojant loginės algebros funkciją.
Loginei algebros funkcijai pavaizduoti naudojami šie metodai:

• žodinis aprašymas yra forma, kuri naudojama pradiniame projektavimo etape ir turi sąlyginį atvaizdavimą.
• loginės algebros funkcijos aprašymas tiesos lentelės pavidalu.
• loginės algebros funkcijos aprašymas algebrinės išraiškos forma: naudojamos dvi algebrinės FAL formos:
  A) DNF – disjunkcinė normalioji forma yra loginė elementariųjų loginių sandaugų suma. DNF gaunamas iš tiesos lentelės naudojant šį algoritmą arba taisyklę:
  1) lentelėje parenkamos tos kintamųjų eilutės, kurių išvesties funkcija =1.
  2) kiekvienai kintamųjų eilutei rašomas loginis sandauga; Be to, kintamieji =0 rašomi su inversija.
  3) gautas produktas logiškai susumuojamas.
  Fdnf = X 1 * X 2 * X 3 ∨ X 1 x 2 X 3 ∨ X 1 X 2 x 3 ∨ X 1 X 2 X 3
  Sakoma, kad DNF yra tobulas, jei visi kintamieji turi vienodą rangą ar tvarką, t.y. Kiekvienas darbas turi apimti visus kintamuosius tiesiogine arba atvirkštine forma.
  b) CNF – konjunktyvinė normali forma yra elementariųjų loginių sumų loginis sandauga.
  CNF galima gauti iš tiesos lentelės naudojant šį algoritmą:
  1) pasirinkite kintamųjų rinkinius, kurių išvesties funkcija =0
  2) kiekvienai kintamųjų aibei rašome elementarią loginę sumą, o kintamieji =1 rašome su inversija.
  3) gautos sumos logiškai padauginamos.
  Fsknf=(X 1 V X 2 V X 3) ∧ (X 1 V X 2 V X 3) ∧ (X 1 V X 2 V X 3) ∧ (X 1 V X 2 V X 3)
  CNF vadinamas tobulu, jei visi kintamieji turi tą patį rangą.

1 paveikslas – loginio įrenginio schema

Visi logikos algebros veiksmai yra apibrėžti tiesos lenteles vertybes. Tiesos lentelė nustato operacijos rezultatą visi yra įmanoma x pradinių teiginių loginės reikšmės. Parinkčių, atspindinčių operacijų taikymo rezultatą, skaičius priklausys nuo teiginių skaičiaus loginėje išraiškoje. Jei teiginių skaičius loginėje išraiškoje yra N, tada tiesos lentelėje bus 2 N eilučių, nes yra 2 N skirtingų galimų argumentų reikšmių kombinacijų.

Operacija NOT – loginis neigimas (inversija)

• jei pradinė išraiška teisinga, tai jos neigimo rezultatas bus klaidingas;
• jei pradinė išraiška klaidinga, tada jos neigimo rezultatas bus teisingas.

ARBA operacija – loginis sudėjimas (atskyrimas, sujungimas)

Operacija AND – loginis dauginimas (jungtukas)

Operacija „IF-THEN“ – loginė pasekmė (implikacija)

Operacija „A tada ir tik jei B“ (lygiavertiškumas, lygiavertiškumas)

Operacija „Addition modulo 2“ (XOR, išskirtinė arba griežta disjunkcija)

Loginių operacijų prioritetas

• Veiksmai skliausteliuose
• Inversija
• Jungtukas (&)
• Disjunkcija (V), išskirtinis ARBA (XOR), 2 modulio suma
• Potekstė (→)
• Ekvivalentiškumas (↔)

Tobula disjunkcinė normali forma

1. Kiekvienas formulės loginis narys turi visus kintamuosius, įtrauktus į funkciją F(x 1,x 2,...x n).
2. Visi loginiai formulės terminai yra skirtingi.
3. Nė viename loginiame termine nėra kintamojo ir jo neigimo.
4. Joks loginis formulės terminas neturi to paties kintamojo du kartus.

Tobula konjunktyvinė normali forma

1. Visose elementariosiose disjunkcijose yra visi kintamieji, įtraukti į funkciją F(x 1 ,x 2 ,...x n).
2. Visos elementarios disjunkcijos yra skirtingos.
3. Kiekviena elementari disjunkcija turi kintamąjį vieną kartą.
4. Nė viename elementariame disjunkcijoje nėra kintamojo ir jo neigimo.