و اکنون ادامه موضوع وجود خواهد داشت که در آن نه تنها مطالب جدید را در نظر خواهیم گرفت، بلکه اقداماتی را با ماتریس ها نیز انجام خواهیم داد.

ویژگی های بسیار زیادی وجود دارد که به عملیات با ماتریس مربوط می شود؛ در همان ویکی پدیا می توانید رتبه های منظم قوانین مربوطه را تحسین کنید. با این حال، در عمل، بسیاری از خواص به معنای خاصی "مرده" هستند، زیرا تنها تعداد کمی از آنها در حل مشکلات واقعی استفاده می شود. هدف من این است که با مثال های خاص به کاربرد عملی خواص نگاه کنم و اگر به یک نظریه دقیق نیاز دارید لطفا از منبع اطلاعات دیگری استفاده کنید.

بیایید به استثناهایی از این قاعده نگاه کنیم که برای تکمیل کارهای عملی لازم است.

اگر یک ماتریس مربع دارای ماتریس معکوس باشد، ضرب آنها جابجایی است:

ماتریس هویت یک ماتریس مربع است که مورب اصلیواحدها قرار دارند و عناصر باقی مانده برابر با صفر هستند. به عنوان مثال: و غیره

در این مورد، ویژگی زیر صادق است: اگر یک ماتریس دلخواه در سمت چپ یا راست توسط یک ماتریس هویت با اندازه های مناسب ضرب شود، نتیجه ماتریس اصلی خواهد بود:

همانطور که می بینید، جابجایی ضرب ماتریس نیز در اینجا انجام می شود.

بیایید مقداری ماتریس بگیریم، خوب، بیایید بگوییم، ماتریس مسئله قبلی: .

علاقه مندان می توانند بررسی کنند و مطمئن شوند که:

ماتریس واحد برای ماتریس ها، آنالوگ واحد عددی اعداد است، که به ویژه از مثال هایی که قبلاً بحث شد، واضح است.

برای ماتریس ها و اعداد حقیقی ویژگی زیر برقرار است:

یعنی فاکتور عددی را می توان (و باید) به جلو برد تا در ضرب ماتریس ها "تداخل نداشته باشد".

توجه داشته باشید : به طور کلی، فرمول بندی ویژگی ناقص است - "لامبدا" را می توان در هر جایی بین ماتریس ها، حتی در انتها قرار داد. اگر سه یا چند ماتریس ضرب شوند، این قانون همچنان معتبر است.

مثال 4

محاسبه محصول

راه حل :

(1) با توجه به اموال عامل عددی را به جلو حرکت دهید. خود ماتریس ها قابل تنظیم مجدد نیستند!

(2) - (3) ضرب ماتریس را انجام دهید.

(4) در اینجا می توانید هر عدد را بر 10 تقسیم کنید، اما پس از آن کسری اعشاری در بین عناصر ماتریس ظاهر می شود که خوب نیست. با این حال، متوجه می شویم که همه اعداد در ماتریس بر 5 بخش پذیر هستند، بنابراین هر عنصر را در ضرب می کنیم.

پاسخ :

یک معمای کوچک برای حل آن به تنهایی:

مثال 5

محاسبه کنید اگر

راه حل و پاسخ در پایان درس است.

چه تکنیکی هنگام حل چنین مثال هایی مهم است؟ بیایید اعداد را دریابیم آخر سر .

بیایید کالسکه دیگری را به لوکوموتیو وصل کنیم:

اول از همه، چه چیزی باید حاصل ضرب سه ماتریس باشد؟ گربه موش به دنیا نمی آورد. اگر ضرب ماتریس امکان پذیر باشد، نتیجه نیز یک ماتریس خواهد بود. هوم، خوب، معلم جبر من نمی بیند که چگونه بسته بودن ساختار جبری را نسبت به عناصر آن توضیح می دهم =)

حاصل ضرب سه ماتریس به دو صورت قابل محاسبه است:

1) پیدا کنید و سپس در ماتریس "ce" ضرب کنید: ;

2) یا ابتدا پیدا کنید، سپس ضرب کنید.

نتایج مطمئناً منطبق خواهند بود، و در تئوری این ویژگی را تداعی ضرب ماتریس می نامند:

مثال 6

ماتریس ها را به دو صورت ضرب کنید

الگوریتم حل دو مرحله ای است: حاصل ضرب دو ماتریس را پیدا می کنیم، سپس دوباره حاصل ضرب دو ماتریس را پیدا می کنیم.

1) از فرمول استفاده کنید

اقدام اول:

قانون دوم:

2) از فرمول استفاده کنید

اقدام اول:

قانون دوم:

پاسخ :

راه حل اول، البته، آشناتر و استانداردتر است، جایی که "به نظر می رسد همه چیز مرتب است." ضمناً در مورد سفارش. در کار مورد بررسی، اغلب این توهم ایجاد می شود که ما در مورد نوعی جایگشت ماتریس ها صحبت می کنیم. آنها اینجا نیستند. دوباره به شما یادآوری می کنم که در حالت کلی، بازگرداندن ماتریس ها غیرممکن است. بنابراین، در پاراگراف دوم، در مرحله دوم، ضرب را انجام می دهیم، اما در هیچ موردی انجام نمی دهیم. با اعداد معمولی، چنین عددی کار می‌کند، اما با ماتریس‌ها اینطور نیست.

خاصیت ضرب انجمنی نه تنها برای مربع، بلکه برای ماتریس های دلخواه نیز صادق است - تا زمانی که ضرب شوند:

مثال 7

حاصل ضرب سه ماتریس را پیدا کنید

این یک مثال برای شماست که خودتان آن را حل کنید. در حل نمونه، محاسبات به دو صورت انجام می شود؛ تجزیه و تحلیل کنید که کدام مسیر سودآورتر و کوتاهتر است.

خاصیت تداعی ضرب ماتریس نیز برای تعداد بیشتری از عوامل اعمال می شود.

اکنون زمان بازگشت به قدرت های ماتریس است. مربع ماتریس در همان ابتدا در نظر گرفته شده است و سوال در دستور کار این است:

این عملیات نیز فقط برای ماتریس های مربعی تعریف شده است. برای مکعب کردن یک ماتریس مربع، باید حاصل را محاسبه کنید:

در واقع، این یک مورد خاص از ضرب سه ماتریس است، با توجه به خاصیت انجمنی ضرب ماتریس: . و ماتریسی که در خودش ضرب شود مربع ماتریس است:

بنابراین، ما فرمول کار را دریافت می کنیم:

یعنی کار در دو مرحله انجام می شود: ابتدا باید ماتریس را مربع کرد و سپس ماتریس حاصل را در ماتریس ضرب کرد.

مثال 8

ماتریس را به صورت مکعب بسازید.

این یک مشکل کوچک است که باید به تنهایی حل شود.

بالا بردن یک ماتریس به توان چهارم به روش طبیعی انجام می شود:

با استفاده از تداعی ضرب ماتریس، دو فرمول کاری استخراج می کنیم. اولا: - این حاصل ضرب سه ماتریس است.

1) . به عبارت دیگر، ابتدا پیدا می کنیم، سپس آن را در "be" ضرب می کنیم - یک مکعب می گیریم، و در نهایت، دوباره ضرب را انجام می دهیم - یک توان چهارم وجود خواهد داشت.

2) اما راه حلی یک قدم کوتاهتر وجود دارد: . یعنی در مرحله اول یک مربع پیدا می کنیم و با دور زدن مکعب، ضرب را انجام می دهیم

کار اضافی برای مثال 8:

ماتریس را تا توان چهارم بالا ببرید.

همانطور که اشاره شد، این کار به دو صورت انجام می شود:

1) از آنجایی که مکعب مشخص است، پس ضرب را انجام می دهیم.

2) اما اگر با توجه به شرایط مسئله نیاز به ساخت ماتریس باشد فقط به قدرت چهارم، سپس کوتاه کردن مسیر مفید است - مربع ماتریس را پیدا کنید و از فرمول استفاده کنید.

هر دو راه حل و پاسخ در پایان درس است.

به طور مشابه، ماتریس به قدرت های پنجم و بالاتر ارتقا می یابد. از تجربه عملی می توانم بگویم که گاهی اوقات به نمونه هایی از افزایش قدرت 4 برمی خورم، اما چیزی در مورد قدرت پنجم به خاطر ندارم. اما در هر صورت، الگوریتم بهینه را ارائه خواهم کرد:

1) پیدا کردن؛
2) پیدا کردن؛
3) ماتریس را به توان پنجم برسانید: .

اینها، شاید، تمام خصوصیات اساسی عملیات ماتریس هستند که می توانند در مسائل عملی مفید باشند.

در بخش دوم درس، جمعیتی به همان اندازه رنگارنگ انتظار می رود.

بیایید عبارات معمول مدرسه را با اعداد تکرار کنیم. یک عبارت عددی شامل اعداد، نمادهای ریاضی و پرانتز است، به عنوان مثال: . هنگام محاسبه، اولویت جبری آشنا اعمال می شود: اول، براکت ها، سپس اجرا شد توان/ریشه دهی، سپس ضرب / تقسیمو آخرین اما نه کم اهمیت - جمع / تفریق.

اگر یک عبارت عددی معنی داشته باشد، نتیجه ارزیابی آن یک عدد است، به عنوان مثال:

عبارات ماتریسی تقریباً به همین صورت عمل می کنند! با این تفاوت که شخصیت های اصلی ماتریس هستند. به علاوه برخی از عملیات ماتریس خاص، مانند جابجایی و یافتن معکوس یک ماتریس.

عبارت ماتریس را در نظر بگیرید ، برخی از ماتریس ها کجا هستند. در این عبارت ماتریسی، سه جمله و عملیات جمع/تفریق در آخر انجام می شود.

در ترم اول، ابتدا باید ماتریس "be" را جابجا کنید، سپس ضرب را انجام دهید و "دو" را در ماتریس حاصل وارد کنید. توجه داشته باشید که عملیات جابجایی اولویت بیشتری نسبت به ضرب دارد. پرانتزها، مانند عبارات عددی، ترتیب اعمال را تغییر می دهند: - در اینجا، ابتدا ضرب انجام می شود، سپس ماتریس حاصل جابجا شده و در 2 ضرب می شود.

در ترم دوم ابتدا ضرب ماتریس انجام می شود و ماتریس معکوس از حاصل ضرب پیدا می شود. اگر براکت ها را حذف کنید، ابتدا باید ماتریس معکوس را پیدا کنید و سپس ماتریس ها را ضرب کنید: . پیدا کردن معکوس یک ماتریس نیز بر ضرب ارجحیت دارد.

با عبارت سوم، همه چیز واضح است: ماتریس را به یک مکعب می آوریم و "پنج" را در ماتریس حاصل وارد می کنیم.

اگر یک عبارت ماتریسی منطقی باشد، نتیجه ارزیابی آن یک ماتریس است.

همه کارها از تست های واقعی خواهند بود و ما با ساده ترین آنها شروع می کنیم:

مثال 9

ماتریس های داده شده . پیدا کردن:

راه حل: ترتیب اعمال واضح است، ابتدا ضرب انجام می شود سپس جمع.

جمع نمی تواند انجام شود زیرا ماتریس ها اندازه های متفاوتی دارند.

تعجب نکنید؛ اقدامات آشکارا غیرممکن اغلب در کارهایی از این نوع پیشنهاد می شود.

بیایید سعی کنیم عبارت دوم را محاسبه کنیم:

اینجا همه چیز خوب است.

پاسخ: عمل را نمی توان انجام داد، .

ماتریس A -1 ماتریس معکوس نسبت به ماتریس A نامیده می شود اگر A*A -1 = E، که در آن E ماتریس هویت مرتبه n است. ماتریس معکوس فقط برای ماتریس های مربعی می تواند وجود داشته باشد.

هدف از خدمات. با استفاده از این سرویس آنلاین می‌توانید مکمل‌های جبری، ماتریس A T انتقال یافته، ماتریس متحد و ماتریس معکوس را بیابید. تصمیم گیری مستقیماً در وب سایت (آنلاین) انجام می شود و رایگان است. نتایج محاسبات در یک گزارش در قالب ورد و اکسل ارائه می شود (یعنی امکان بررسی راه حل وجود دارد). نمونه طراحی را ببینید

دستورالعمل ها. برای به دست آوردن یک راه حل، باید ابعاد ماتریس را مشخص کرد. بعد، ماتریس A را در کادر محاوره ای جدید پر کنید.

همچنین به ماتریس معکوس با استفاده از روش جردنو-گاوس مراجعه کنید

مثال شماره 1. بیایید ماتریس را به شکل زیر بنویسیم: