Apsvarstykite savavališką, nebūtinai kvadratinę, matricą A, kurios dydis yra mxn.

Matricos rangas.

Matricos rango sąvoka yra susijusi su sąvoka tiesinė priklausomybė matricos eilučių (stulpelių) (nepriklausomybė). Panagrinėkime šią stygų koncepciją. Kolonoms – panašiai.

Pažymime A matricos nutekėjimus:

e 1 =(a 11,a 12,…,a 1n); e 2 =(a 21,a 22,…,a 2n);…, e m =(a m1,a m2,…,a mn)

e k =e s, jei a kj =a sj , j = 1,2,…,n

Aritmetinės operacijos su matricos eilėmis (sudėtis, daugyba iš skaičiaus) pristatomos kaip operacijos, atliekamos po elemento: λе k =(λа k1 ,λа k2 ,…,λа kn);

e k +е s =[(a k1 +a s1),(a k2 +a s2),…,(a kn +a sn)].

E linija vadinama linijinis derinys eilutes e 1, e 2,…, e k, jei ji lygi šių eilučių sandaugų sumai iš savavališkų realiųjų skaičių:

e=λ 1 e 1 +λ 2 e 2 +…+λ k e k

Vadinamos eilutės e 1, e 2,…, e m tiesiškai priklausomas, jei yra realiųjų skaičių λ 1 ,λ 2 ,…,λ m , ne visi lygūs nuliui, kad šių eilučių tiesinė kombinacija yra lygi nulinei eilutei: λ 1 e 1 +λ 2 e 2 +…+λ m e m = 0 , Kur 0 =(0,0,…,0) (1)

Jei tiesinė kombinacija lygi nuliui tada ir tik tada, kai visi koeficientai λ i yra lygūs nuliui (λ 1 =λ 2 =...=λ m =0), tada eilutės e 1, e 2,..., e m yra vadinami tiesiškai nepriklausomas.

1 teorema. Kad eilutės e 1 , e 2 ,…, e m būtų tiesiškai priklausomos, būtina ir pakanka, kad viena iš šių eilučių būtų linijinis likusių eilučių derinys.

Įrodymas. Būtinybė. Tegul eilutės e 1, e 2,…, e m yra tiesiškai priklausomos. Tegul, aišku, (1) λ m ≠0, tada

Tai. eilutė e m yra linijinis likusių eilučių derinys. ir kt.

Tinkamumas. Tegul viena iš eilučių, pavyzdžiui, e m, yra linijinis likusių eilučių derinys. Tada bus tokie skaičiai, kad galioja lygybė, kuriuos galima perrašyti į formą

kur bent 1 iš koeficientų (-1) nėra lygus nuliui. Tie. eilutės yra tiesiškai priklausomos. ir kt.

Apibrėžimas. Mažoji k-oji tvarka mxn dydžio matrica A vadinama k-osios eilės determinantu, kurio elementai yra bet kurių k eilučių ir bet kurių k matricos A stulpelių sankirtoje. (k≤min(m,n)). .

Pavyzdys., 1 eilės nepilnamečiai: =, =;

2 eilės nepilnamečiai: , 3 eilės

3 eilės matrica turi 9 1 eilės nepilnamečius, 9 2 eilės nepilnamečius ir 1 3 eilės nepilnamečius (šios matricos determinantas).

Apibrėžimas. A matricos rangas yra aukščiausia šios matricos nepilnamečių eilė. Pavadinimas – rg A arba r(A).

Matricos rango savybės.

1) matricos A nxm rangas neviršija mažesnio iš jos matmenų, t.y.

r(A)≤min(m,n).

2) r(A)=0, kai visi matricos elementai lygūs 0, t.y. A=0.

3) Už kvadratinė matrica Ir n-osios eilės r(A)=n, kai A yra neišsigimęs.

(Įstrižainės matricos rangas yra lygus jos nulinių įstrižainių elementų skaičiui).

4) Jei matricos rangas yra lygus r, tai matrica turi bent vieną r eilės minorą, kuris nėra lygus nuliui, o visi aukštesnės eilės minorai yra lygūs nuliui.

Matricos rangams galioja tokie santykiai:

2) r(A+B)≤r(A)+r(B); 3) r(AB)≤min(r(A),r(B));

3) r(A+B)≥│r(A)-r(B)│; 4) r(AT A)=r(A);

5) r(AB)=r(A), jei B yra kvadratinė nevienetinė matrica.

6) r(AB)≥r(A)+r(B)-n, kur n yra A matricos stulpelių arba B matricos eilučių skaičius.

Apibrėžimas. Iškviečiamas r(A) eilės nulinis minoras pagrindinis nepilnametis. (Matricoje A gali būti keli nepilnamečiai). Atitinkamai vadinamos eilutės ir stulpeliai, kurių sankirtoje yra pagrindinis minoras bazinės stygos Ir bazinės kolonos.

2 teorema (apie pagrindinį mažąjį). Pagrindinės eilutės (stulpeliai) yra tiesiškai nepriklausomos. Bet kuri matricos A eilutė (bet kuris stulpelis) yra tiesinis pagrindinių eilučių (stulpelių) derinys.

Įrodymas. (Stygoms). Jei pagrindinės eilutės būtų tiesiškai priklausomos, tai pagal (1) teoremą viena iš šių eilučių būtų linijinis kitų pagrindinių eilučių derinys, tada, nekeičiant pagrindinės minorinės reikšmės, iš šios eilutės galite atimti nurodytą tiesinę kombinaciją. ir gauti nulinę eilutę, o tai prieštarauja faktui, kad pagrindinis minoras skiriasi nuo nulio. Tai. pagrindinės eilutės yra tiesiškai nepriklausomos.

Įrodykime, kad bet kuri matricos A eilutė yra tiesinė bazinių eilučių kombinacija. Nes savavališkai keičiant eilutes (stulpelius) determinantas išlaiko savybę būti lygus nuliui, tada, neprarandant bendrumo, galime daryti prielaidą, kad pagrindinis minoras yra viršutiniame kairiajame matricos kampe

A=, tie. esančios pirmosiose r eilutėse ir pirmuosiuose r stulpeliuose. Tegul 1£j£n, 1£i£m. Parodykime, kad (r+1) eilės determinantas

Jei j£r arba i£r, tai šis determinantas lygus nuliui, nes jis turės du vienodus stulpelius arba dvi vienodas eilutes.

Jei j>r ir i>r, tai šis determinantas yra matricos A (r+1) eilės minorinis. Matricos rangas yra r, o tai reiškia, kad bet kuris aukštesnės eilės minoras yra lygus 0.

Išplėsdami jį pagal paskutinio (pridėto) stulpelio elementus, gauname

a 1j A 1j +a 2j A 2j +…+a rj A rj +a ij A ij =0, kur paskutinis algebrinis papildinys A ij sutampa su baziniu minoriniu M r ir todėl A ij = M r ≠0.

Paskutinę lygybę padalinę iš A ij, elementą a ij galime išreikšti tiesine kombinacija: , kur .

Pataisykime i (i>r) reikšmę ir raskime, kad bet kuriam j (j=1,2,…,n) elementai i-oji eilutė e i tiesiškai išreiškiami per eilučių e 1, e 2,…, e r elementus, t.y. i-oji eilutė yra tiesinis pagrindinių eilučių derinys: . ir kt.

3. teorema (būtina ir pakankama sąlyga, kad determinantas būtų lygus nuliui). Kad n-osios eilės determinantas D būtų lygus nuliui, būtina ir pakanka, kad jo eilutės (stulpeliai) būtų tiesiškai priklausomos.

Įrodymas (p.40). Būtinybė. Jei n-osios eilės determinantas D yra lygus nuliui, tai jo matricos bazinis minoras yra r eilės

Taigi viena eilutė yra linijinis kitų derinys. Tada pagal 1 teoremą determinanto eilutės yra tiesiškai priklausomos.

Tinkamumas. Jei eilutės D yra tiesiškai priklausomos, tai pagal 1 teoremą viena eilutė A i yra tiesinė likusių eilučių kombinacija. Iš eilutės A i atėmus nurodytą tiesinę kombinaciją, nekeičiant D reikšmės, gauname nulinę eilutę. Todėl pagal determinantų savybes D=0. ir tt

4 teorema. Elementariųjų transformacijų metu matricos rangas nekinta.

Įrodymas. Kaip buvo parodyta nagrinėjant determinantų savybes, transformuojant kvadratines matricas, jų determinantai arba nesikeičia, arba dauginami iš ne nulio skaičiaus, arba keičiasi ženklas. Tokiu atveju išsaugoma aukščiausia pradinės matricos nenulinių nepilnamečių eilė, t.y. matricos rangas nesikeičia. ir kt.

Jei r(A)=r(B), tai A ir B yra ekvivalentas: A ~ B.

5 teorema. Naudodami elementarias transformacijas, matricą galite sumažinti iki laiptuotas vaizdas. Matrica vadinama laipsniškai, jei ji turi tokią formą:

A=, kur a ii ≠0, i=1,2,…,r; r≤k.

Sąlygą r≤k visada galima pasiekti perkeliant.

6 teorema. Ešelono matricos rangas yra lygus jos nulinių eilučių skaičiui .

Tie. Žingsnio matricos rangas yra lygus r, nes yra r eilės mažoji nulis:

Matricos rango sąvoka glaudžiai susijusi su jos eilučių ar stulpelių tiesinės priklausomybės (nepriklausomybės) samprata. Ateityje medžiagą pateiksime eilutėms, stulpeliams – panašiai.

Matricoje A Pažymime jo eilutes taip:

Sakoma, kad dvi matricos eilutės yra lygios, jei atitinkami jų elementai lygūs: , jei , .

Aritmetinės operacijos su matricos eilutėmis (eilutės padauginimas iš skaičiaus, eilučių pridėjimas) pristatomos kaip operacijos, atliekamos po elemento:

Linija e vadinamas linijiniu stygų deriniu..., matrica, jei ji lygi šių eilučių sandaugų sumai iš savavališkų realiųjų skaičių:

Matricos eilutės vadinamos tiesiškai priklausomas, jei yra skaičių, kurie vienu metu nėra lygūs nuliui, kad tiesinė matricos eilučių kombinacija būtų lygi nulinei eilutei:

, =(0,0,...,0). (3.3)

3.3 teoremaMatricos eilutės yra tiesiškai priklausomos, jei bent viena matricos eilutė yra tiesinis kitų derinys.

□ Iš tiesų, tada (3.3) formulėje apibrėžimui

Taigi, eilutė yra linijinis likusių eilučių derinys. ■

Jei linijinis eilučių derinys (3.3) yra lygus nuliui tada ir tik tada, kai visi koeficientai lygūs nuliui, tai eilutės vadinamos tiesiškai nepriklausomomis.

3.4 teorema.(apie matricos rangą) Matricos rangas yra lygus didžiausiam jos tiesiškai nepriklausomų eilučių ar stulpelių, per kuriuos visos kitos jos eilutės (stulpeliai) yra tiesiškai išreikštos, skaičiui.

□ Tegul matrica A dydis m n turi rangą r(r min). Tai reiškia, kad yra ne nulis nepilnametis r– įsakymas. Bet koks ne nulis nepilnametis rĮsakymas bus vadinamas baziniu nepilnamečiu.

Tikslumui tebūnie pagrindas minoras vedantis arba kampinis minoras. Tada matricos eilutės yra tiesiškai nepriklausomos. Tarkime, priešingai, tai yra, pavyzdžiui, viena iš šių eilučių yra linijinis kitų derinys. Atimti iš elementų r- 1-os eilutės 1-os eilutės elementai, padauginti iš , tada 2-os eilutės elementai, padauginti iš , ... ir elementai ( r- 1) – eilutės, padaugintos iš . Remiantis 8 savybe, su tokiomis matricos transformacijomis jos determinantas D nepasikeis, bet nuo tada r- eilutę dabar sudarys tik nuliai, tada D = 0 yra prieštaravimas. Todėl mūsų prielaida, kad matricos eilutės yra tiesiškai priklausomos, yra neteisinga.

Paskambinkime į linijas pagrindinis. Parodykime, kad bet kurios (r+1) matricos eilutės yra tiesiškai priklausomos, t.y. bet kuri eilutė išreiškiama pagrindinėmis.

Nagrinėkime pirmosios eilės minorą (r +1), kuris gaunamas papildant aptariamąjį mažąjį kitos eilutės elementais. i ir stulpelis j. Šis minoras yra nulis, nes matricos rangas yra r, todėl bet koks aukštesnės eilės minorinis yra nulis.

Išplėsdami jį pagal paskutinio (pridėto) stulpelio elementus, gauname

Kur paskutinio algebrinio papildinio modulis sutampa su baziniu minoru D ir todėl skiriasi nuo nulio, t.y. 0.

3. Voevodinas V.V., Kuznecovas Yu.A. Matricos ir skaičiavimai. - M.: Nauka, 1984.-320p.

4. Iljinas V.A., Poznyak E.G. Tiesinė algebra. - M.: "Mokslas", 1978. - 304 p.

Atkreipkite dėmesį, kad matricos eilutės ir stulpeliai gali būti laikomi aritmetiniais matmenų vektoriais m Ir n, atitinkamai. Taigi dydžio matricą galima interpretuoti kaip aibę m n-matmenų arba n m-matmenų aritmetiniai vektoriai. Analogiškai su geometriniais vektoriais pristatome matricos eilučių ir stulpelių tiesinės priklausomybės ir tiesinės nepriklausomybės sąvokas.

4.8.1. Apibrėžimas. Linija
paskambino linijinis stygų derinys su šansais
, jei visi šios eilutės elementai turi tokią lygybę:

,
.

4.8.2. Apibrėžimas.

Stygos
yra vadinami tiesiškai priklausomas, jei yra netrivialus tiesinis jų derinys, lygus nulinei eilutei, t.y. yra skaičių, kurie ne visi lygūs nuliui

,
.

4.8.3. Apibrėžimas.

Stygos
yra vadinami tiesiškai nepriklausomas, jei tik jų trivialus tiesinis derinys yra lygus nulinei eilutei, t.y.

,

4.8.4. Teorema. (Matricos eilučių tiesinės priklausomybės kriterijus)

Kad eilutės būtų tiesiškai priklausomos, būtina ir pakanka, kad bent viena iš jų būtų tiesinė kitų kombinacija.

Įrodymas:

Būtinybė. Tegul linijos
yra tiesiškai priklausomi, tada yra netrivialus tiesinis jų derinys, lygus nulinei eilutei:

.

Neprarasdami bendrumo, tarkime, kad pirmasis tiesinės kombinacijos koeficientas yra nulis (kitaip eilutės gali būti pernumeruotos). Padalijus šį santykį iš , mes gauname

,

tai yra, pirmoji eilutė yra tiesinis kitų derinys.

Tinkamumas. Tegul viena iš eilučių, pavyzdžiui, , yra tiesinis kitų derinys

tai yra, yra netrivialus linijinis stygų derinys
, lygus nulinei eilutei:

o tai reiškia linijas
yra tiesiškai priklausomi, o tai ir reikėjo įrodyti.

komentuoti.

Panašūs apibrėžimai ir teiginiai gali būti suformuluoti ir matricos stulpeliams.

§4.9. Matricos rangas.

4.9.1. Apibrėžimas. Nepilnametisįsakymas matricos dydis
vadinamas eilės determinantu su elementais, esančiais kai kurių jo sankirtoje linijos ir stulpelius.

4.9.2. Apibrėžimas. Nenulinis smulkus užsakymas matricos dydis
paskambino pagrindinis nepilnametis, jei visi matricos nepilnamečiai yra tvarkingi
yra lygūs nuliui.

komentuoti. Matrica gali turėti keletą pagrindinių nepilnamečių. Akivaizdu, kad jie visi bus tos pačios eilės. Taip pat gali būti, kad matrica dydis
smulkus užsakymas skiriasi nuo nulio, o nepilnamečiai yra tvarkingi
neegzistuoja, tai yra
.

4.9.3. Apibrėžimas. Eilutės (stulpeliai), kurios sudaro pagrindinį mažąjį, vadinamos pagrindinis eilučių (stulpelių).

4.9.4. Apibrėžimas. Reitingas matrica vadinama jos pagrindo eiliškumu. Matricos rangas žymimas
arba
.

komentuoti.

Atkreipkite dėmesį, kad dėl determinanto eilučių ir stulpelių lygybės matricos rangas nesikeičia ją perkėlus.

4.9.5. Teorema. (Matricos rango nekintamumas atliekant elementariąsias transformacijas)

Elementariųjų transformacijų metu matricos rangas nekinta.

Jokio įrodymo.

4.9.6. Teorema. (Apie pagrindinį nepilnametį).

Pagrindinės eilutės (stulpeliai) yra tiesiškai nepriklausomos. Bet kuri matricos eilutė (stulpelis) gali būti pavaizduota kaip linijinis pagrindinių eilučių (stulpelių) derinys.

Įrodymas:

Atlikime stygų įrodymą. Stulpelių teiginio įrodymas gali būti atliktas pagal analogiją.

Tegul matricos rangas dydžiai
lygus , A
− pagrindinis nepilnametis. Neprarasdami bendrumo, darome prielaidą, kad pagrindinis minoras yra viršutiniame kairiajame kampe (kitaip matrica gali būti sumažinta iki šios formos naudojant elementariąsias transformacijas):

.

Pirmiausia įrodykime bazinių eilučių tiesinę nepriklausomybę. Įrodinėjimą atliksime prieštaravimu. Tarkime, kad bazinės eilutės yra tiesiškai priklausomos. Tada, pagal 4.8.4 teoremą, viena iš eilučių gali būti pavaizduota kaip tiesinis likusių pagrindinių eilučių derinys. Todėl jei iš šios eilutės atimame nurodytą tiesinę kombinaciją, gauname nulinę eilutę, o tai reiškia, kad mažoji
yra lygus nuliui, o tai prieštarauja pagrindinio mažojo apibrėžimui. Taigi gavome prieštaravimą, todėl įrodytas bazinių eilučių tiesinis nepriklausomumas.

Dabar įrodykime, kad kiekviena matricos eilutė gali būti pavaizduota kaip tiesinis bazinių eilučių derinys. Jei atitinkamas eilutės numeris nuo 1 iki r, tada, aišku, jis gali būti pavaizduotas kaip tiesinis derinys, kurio koeficientas lygus 1 linijai ir nuliniai koeficientai likusioms eilutėms. Dabar parodykime, kad jei eilutės numeris iš
prieš
, jis gali būti vaizduojamas kaip linijinis bazinių eilučių derinys. Apsvarstykite mažąją matricą
, gautas iš pagrindo nepilnametis
pridedant eilutę ir savavališkas stulpelis
:

Parodykime, kad šis nepilnametis
iš
prieš
ir bet kuriam stulpelio numeriui nuo 1 iki .

Iš tiesų, jei stulpelio numeris nuo 1 iki r, tada turime determinantą su dviem vienodais stulpeliais, kuris akivaizdžiai lygus nuliui. Jei stulpelio numeris iš r+1 prie ir eilutės numerį iš
prieš
, Tai
yra pirminės matricos aukštesnio laipsnio minoras nei bazinis minoras, o tai reiškia, kad jis lygus nuliui iš pagrindinės minorinės apibrėžimo. Tokiu būdu įrodyta, kad nepilnametis
yra nulis bet kuriam eilutės numeriui iš
prieš
ir bet kuriam stulpelio numeriui nuo 1 iki . Išplėsdami jį paskutiniame stulpelyje, gauname:

Čia
− atitinkami algebriniai priedai. pastebėti, kad
, kadangi todėl
yra pagrindinė nepilnametė. Todėl linijos elementai k gali būti pavaizduotas kaip linijinis bazinių eilučių atitinkamų elementų derinys su koeficientais, nepriklausomais nuo stulpelio numerio :

Taigi, mes įrodėme, kad savavališka matricos eilutė gali būti pavaizduota kaip tiesinis jos bazinių eilučių derinys. Teorema įrodyta.

13 paskaita

4.9.7. Teorema. (Dėl nevienetinės kvadratinės matricos rango)

Kad kvadratinė matrica būtų ne vienaskaita, būtina ir pakanka, kad matricos rangas būtų lygus šios matricos dydžiui.

Įrodymas:

Būtinybė. Tegul kvadratinė matrica dydis n tada yra neišsigimęs
, todėl matricos determinantas yra bazinis minoras, t.y.

Tinkamumas. Leisti
tada pagrindinės mažosios eilės tvarka yra lygi matricos dydžiui, todėl pagrindinė mažoji yra matricos determinantas , t.y.
pagal pagrindinio nepilnamečio apibrėžimą.

Pasekmė.

Kad kvadratinė matrica būtų ne vienaskaita, būtina ir pakanka, kad jos eilutės būtų tiesiškai nepriklausomos.

Įrodymas:

Būtinybė. Kadangi kvadratinė matrica yra ne vienaskaita, jos rangas yra lygus matricos dydžiui
tai yra, matricos determinantas yra pagrindinis minoras. Todėl pagal 4.9.6 teoremą, remiantis minorine, matricos eilutės yra tiesiškai nepriklausomos.

Tinkamumas. Kadangi visos matricos eilutės yra tiesiškai nepriklausomos, jos rangas yra ne mažesnis už matricos dydį, o tai reiškia
todėl pagal ankstesnę 4.9.7 teoremą matrica yra neišsigimęs.

4.9.8. Nepilnamečių ribojimo metodas ieškant matricos rango.

Atkreipkite dėmesį, kad dalis šio metodo jau buvo netiesiogiai aprašyta pagrindinės mažosios teoremos įrodyme.

4.9.8.1. Apibrėžimas. Nepilnametis
paskambino ribojasi nepilnamečio atžvilgiu
, jei jis gautas iš nepilnamečio
prie pradinės matricos pridedant vieną naują eilutę ir vieną naują stulpelį.

4.9.8.2. Matricos rango nustatymo procedūra besiribojančių nepilnamečių metodu.

Randame bet kurį dabartinį matricos minorą, kuris skiriasi nuo nulio.

Skaičiuojame visus su juo besiribojančius nepilnamečius.

Jei jie visi lygūs nuliui, tada dabartinis minoras yra pagrindinis, o matricos rangas yra lygus esamos minorinės eilės tvarkai.

Jei tarp besiribojančių nepilnamečių yra bent vienas, kuris skiriasi nuo nulio, tai laikoma galiojančia ir procedūra tęsiama.

Naudodamiesi nepilnamečių ribojimo metodu, randame matricos rangą

.

Nesunku nurodyti esamą ne nulį antros eilės minorą, pvz.

.

Skaičiuojame su juo besiribojančius nepilnamečius:

Vadinasi, kadangi visi besiribojantys trečios eilės nepilnamečiai yra lygūs nuliui, tai nepilnametis
yra pagrindinis, tai yra

komentuoti. Iš nagrinėjamo pavyzdžio matyti, kad metodas yra gana daug darbo jėgos. Todėl praktikoje daug dažniau naudojamas elementariųjų transformacijų metodas, kuris bus aptartas toliau.

4.9.9. Matricos rango nustatymas elementariųjų transformacijų metodu.

Remiantis 4.9.5 teorema, galima teigti, kad atliekant elementariąsias transformacijas matricos rangas nekinta (tai yra, ekvivalentinių matricų eilės yra lygios). Todėl matricos rangas yra lygus žingsninės matricos rangui, gautam iš pradinės elementariomis transformacijomis. Žingsnio matricos rangas akivaizdžiai lygus jos nulinių eilučių skaičiui.

Nustatykime matricos rangą

elementariųjų transformacijų metodu.

Pateikiame matricą žingsninis vaizdas:

Gautos ešelono matricos nulinių eilučių skaičius yra trys, todėl

4.9.10. Tiesinių erdvės vektorių sistemos rangas.

Apsvarstykite vektorių sistemą
tam tikra linijinė erdvė . Jei jis yra tiesiškai priklausomas, tai joje galima išskirti tiesiškai nepriklausomą posistemį.

4.9.10.1. Apibrėžimas. Vektorių sistemos rangas
linijinė erdvė vadinamas maksimalus šios sistemos tiesiškai nepriklausomų vektorių skaičius. Vektorinės sistemos rangas
žymimas kaip
.

komentuoti. Jei vektorių sistema yra tiesiškai nepriklausoma, tai jos rangas yra lygus vektorių skaičiui sistemoje.

Suformuluokime teoremą, rodančią ryšį tarp vektorių sistemos rango tiesinėje erdvėje ir matricos rango sąvokų.

4.9.10.2. Teorema. (Dėl vektorių sistemos tiesinėje erdvėje rango)

Vektorių sistemos tiesinėje erdvėje rangas yra lygus matricos rangui, kurios stulpeliai ar eilutės yra vektorių koordinatės tam tikruose tiesinės erdvės pagrindu.

Jokio įrodymo.

Pasekmė.

Tam, kad vektorių sistema tiesinėje erdvėje būtų tiesiškai nepriklausoma, būtina ir pakanka, kad matricos, kurios stulpeliai ar eilutės yra vektorių koordinatės tam tikrame pagrinde, rangas būtų lygus skaičiui vektorių sistemoje.

Įrodymas akivaizdus.

4.9.10.3. Teorema (Apie tiesinio apvalkalo matmenį).

Linijinių korpuso vektorių matmenys
linijinė erdvė lygus šios vektorinės sistemos rangui:

Jokio įrodymo.

Tiesinė algebra

Slough teorija

1. Matricos, operacijos su matricomis, atvirkštinė matrica. Matricinės lygtys ir jų sprendiniai.

Matrica– stačiakampė savavališkų skaičių lentelė, išdėstyta tam tikra tvarka, dydis m*n (eilutės stulpeliais). Matricos elementai yra pažymėti, kur i yra eilutės numeris, aj yra stulpelio numeris.

Papildymas (atimti) matricos apibrėžiamos tik vienmatėms matricoms. Matricų suma (skirtumas) yra matrica, kurios elementai yra atitinkamai pradinių matricų elementų suma (skirtumas).

Daugyba (dalyba)už skaičių– kiekvieno matricos elemento daugyba (dalyba) iš šio skaičiaus.

Matricos daugyba apibrėžiama tik matricoms, kurių pirmosios stulpelių skaičius yra lygus antrosios eilučių skaičiui.

Matricos daugyba– matrica, kurios elementai pateikiami formulėmis:

Matricos perkėlimas– tokia matrica B, kurios eilutės (stulpeliai) yra stulpeliai (eilutės) pradinėje matricoje A. Paskirta

atvirkštinė matrica

Matricinės lygtys– A*X=B formos lygtys yra matricų sandauga, atsakymas į šią lygtį yra matrica X, kuri randama naudojant taisykles:

1. Matricos stulpelių (eilučių) tiesinė priklausomybė ir nepriklausomumas. Tiesinės priklausomybės kriterijus, pakankamos sąlygos tiesinei matricos stulpelių (eilučių) priklausomybei.

Eilučių (stulpelių) sistema vadinama tiesiškai nepriklausomas, jei tiesinis derinys trivialus (lygybė tenkinama tik tada, kai a1...n=0), kur A1...n yra stulpeliai (eilutės), aa1...n – plėtimosi koeficientai.

Kriterijus: tam, kad vektorių sistema būtų tiesiškai priklausoma, būtina ir pakanka, kad bent vienas iš sistemos vektorių būtų tiesiškai išreikštas per likusius sistemos vektorius.

Pakankama būklė:

1. Matricos determinantai ir jų savybės

Matricos determinantas (determinantas) yra skaičius, kurį kvadratinei matricai A galima apskaičiuoti iš matricos elementų naudojant formulę:

, kur yra elemento papildomas minoras

Savybės:

1. Atvirkštinė matrica, atvirkštinės matricos skaičiavimo algoritmas.

atvirkštinė matrica– tokia kvadratinė matrica X, kuri kartu su tos pačios eilės kvadratine matrica A tenkina sąlygą: kur E yra tos pačios eilės kaip A tapatumo matrica. Bet kuri kvadratinė matrica, kurios determinantas nėra lygus nuliui, turi 1 atvirkštinę matricą. Rasta naudojant elementariųjų transformacijų metodą ir naudojant formulę:

Matricos rango samprata. Teorema pagrindu minor. Kriterijus, kad matricos determinantas būtų lygus nuliui. Elementariosios matricų transformacijos. Reitingų skaičiavimai elementariųjų transformacijų metodu. Atvirkštinės matricos skaičiavimas elementariųjų transformacijų metodu.

Matricos rangas – pagrindinės mažosios eilės tvarka (rg A)

Pagrindinis nepilnametis – r eilės nepilnametis, kuris nėra lygus nuliui, kad visi r+1 ir aukštesnės eilės minorai būtų lygūs nuliui arba jų nėra.

Pagrindinė mažoji teorema - Savavališkoje matricoje A kiekvienas stulpelis (eilutė) yra linijinis stulpelių (eilučių), kuriuose yra pagrindinė mažoji, derinys.

Įrodymas: Tegul bazinis minoras matricoje A, kurios matmenys m*n, yra pirmose r eilutėse ir pirmuosiuose r stulpeliuose. Panagrinėkime determinantą, kuris gaunamas priskiriant atitinkamus s-osios eilutės ir k-osios stulpelio elementus matricos A baziniam minorui.

Atkreipkite dėmesį, kad bet kuriam u šis determinantas yra lygus nuliui. Jei arba, tada determinantas D turi dvi identiškas eilutes arba du vienodus stulpelius. Jei jie yra, tada determinantas D yra lygus nuliui, nes jis yra (r+λ)-ro eilės minoras. Išplėsdami determinantą išilgai paskutinės eilutės, gauname:, kur yra paskutinės eilutės elementų algebriniai papildiniai. Atminkite, kad tai yra pagrindinė nepilnametė. Todėl kur Užrašę paskutinę lygybę, gauname , t.y. K-asis stulpelis (bet kuriam) yra tiesinis pagrindinio mažojo stulpelių derinys, kurį mums reikėjo įrodyti.

d kriterijusetA=0– Determinantas lygus nuliui tada ir tik tada, kai jo eilutės (stulpeliai) yra tiesiškai priklausomos.

Elementarios transformacijos:

1) eilutės padauginimas iš kito skaičiaus nei nulis;

2) vienos eilutės elementų pridėjimas kitos eilutės elementų;

3) stygų pertvarkymas;

4) vienos iš identiškų eilučių (stulpelių) perbraukimas;

5) perkėlimas;

Reitingo skaičiavimas – Iš bazinės minorinės teoremos išplaukia, kad matricos A rangas yra lygus maksimaliam tiesiškai nepriklausomų eilučių (stulpelių matricoje) skaičiui, todėl elementariųjų transformacijų užduotis yra surasti visas tiesiškai nepriklausomas eilutes (stulpelius).

Atvirkštinės matricos skaičiavimas- Transformacijas galima įgyvendinti padauginus tam tikrą matricą T iš matricos A, kuri yra atitinkamų elementariųjų matricų sandauga: TA = E.

Ši lygtis reiškia, kad transformacijos matrica T yra matricos atvirkštinė matrica. Taigi, tada

Eilučių ir stulpelių linijinės priklausomybės ir tiesinės nepriklausomybės sąvokos apibrėžiamos vienodai. Todėl su šiomis stulpeliams suformuluotomis sąvokomis susijusios savybės, žinoma, galioja ir eilutėms.

1. Jei stulpelių sistemoje yra nulinis stulpelis, tai yra tiesiškai priklausoma.

2. Jei stulpelių sistemoje yra du vienodi stulpeliai, tai yra tiesiškai priklausoma.

3. Jei stulpelių sistemoje yra du proporcingi stulpeliai, tai yra tiesiškai priklausoma.

4. Stulpelių sistema yra tiesiškai priklausoma tada ir tik tada, kai bent vienas iš stulpelių yra tiesinis kitų stulpelių derinys.

5. Bet kurie stulpeliai, įtraukti į tiesiškai nepriklausomą sistemą, sudaro tiesiškai nepriklausomą posistemį.

6. Stulpelių sistema, turinti tiesiškai priklausomą posistemį, yra tiesiškai priklausoma.

7. Jei stulpelių sistema yra tiesiškai nepriklausoma, o pridėjus prie jos stulpelį paaiškėja, kad ji yra tiesiškai priklausoma, tai stulpelį galima išplėsti į stulpelius, be to, unikaliu būdu, t.y. plėtimosi koeficientus galima rasti vienareikšmiškai.

Įrodykime, pavyzdžiui, paskutinę savybę. Kadangi stulpelių sistema yra tiesiškai priklausoma, yra skaičių, kurie ne visi lygūs 0, kurie

Šioje lygybėje. Tiesą sakant, jei , tada

Tai reiškia, kad netrivialus tiesinis stulpelių derinys yra lygus nuliniam stulpeliui, o tai prieštarauja tiesinei sistemos nepriklausomybei. Todėl ir tada, t.y. stulpelis yra linijinis stulpelių derinys. Belieka parodyti tokio vaizdavimo išskirtinumą. Tarkime, priešingai. Tegul yra du plėtiniai ir , o ne visi plėtimų koeficientai yra atitinkamai lygūs vienas kitam (pavyzdžiui, ). Tada iš lygybės

Gauname (\alpha_1-\beta_1)A_1+\ldots+(\alpha_k-\beta_k)A_k=o

paeiliui tiesinis stulpelių derinys yra lygus nuliniam stulpeliui. Kadangi ne visi jo koeficientai yra lygūs nuliui (bent jau), šis derinys nėra trivialus, o tai prieštarauja stulpelių tiesinės nepriklausomybės sąlygai. Atsiradęs prieštaravimas patvirtina plėtimosi unikalumą.

3.2 pavyzdys.Įrodykite, kad du nuliniai stulpeliai ir yra tiesiškai priklausomi tada ir tik tada, kai yra proporcingi, t.y. .

Sprendimas. Tiesą sakant, jei stulpeliai yra tiesiškai priklausomi, tada yra skaičių, kurie tuo pačiu metu nėra lygūs nuliui, tokie, kad . Ir šioje lygybėje. Iš tiesų, darant prielaidą, kad , gauname prieštaravimą, nes stulpelis taip pat yra ne nulis. Reiškia,. Todėl yra toks skaičius, kad . Poreikis įrodytas.

Ir atvirkščiai, jei , tada . Gavome ne trivialų tiesinį stulpelių derinį, lygų nuliniam stulpeliui. Tai reiškia, kad stulpeliai yra tiesiškai priklausomi.

3.3 pavyzdys. Apsvarstykite visų rūšių sistemas, sudarytas iš stulpelių

Išnagrinėkite kiekvienos sistemos tiesinę priklausomybę.
Sprendimas. Panagrinėkime penkias sistemas, kuriose yra po vieną stulpelį. Pagal 3.1 pastabos 1 pastraipą: sistemos yra tiesiškai nepriklausomos, o sistema, susidedanti iš vieno nulio stulpelio, yra tiesiškai priklausoma.

Panagrinėkime sistemas, kuriose yra du stulpeliai:

– kiekviena iš keturių sistemų yra tiesiškai priklausoma, nes joje yra nulinis stulpelis (1 savybė);

– sistema yra tiesiškai priklausoma, nes stulpeliai yra proporcingi (3 savybė): ;

– kiekviena iš penkių sistemų yra tiesiškai nepriklausoma, nes stulpeliai yra neproporcingi (žr. 3.2 pavyzdžio teiginį).

Apsvarstykite sistemas, kuriose yra trys stulpeliai:

– kiekviena iš šešių sistemų yra tiesiškai priklausoma, nes joje yra nulinis stulpelis (1 savybė);

– sistemos yra tiesiškai priklausomos, nes jose yra tiesiškai priklausomas posistemis (6 savybė);

– sistemos ir yra tiesiškai priklausomos, nes paskutinis stulpelis tiesiškai išreiškiamas per likusią dalį (4 savybė): ir atitinkamai.

Galiausiai keturių ar penkių stulpelių sistemos yra tiesiškai priklausomos (pagal 6 savybę).

Matricos rangas

Šiame skyriuje apžvelgsime dar vieną svarbią skaitinę matricos charakteristiką, susijusią su jos eilučių (stulpelių) priklausomybe viena nuo kitos.

Apibrėžimas 14.10 Tegu pateikiama dydžių ir skaičiaus matrica, neviršijanti mažiausio iš skaičių: . Atsitiktinai parinksime matricos eilutes ir stulpelius (eilučių numeriai gali skirtis nuo stulpelių numerių). Matricos, sudarytos iš elementų pasirinktų eilučių ir stulpelių sankirtoje, determinantas vadinamas mažosios matricos eilės tvarka.

14.9 pavyzdys Leisti .

Pirmosios eilės minoras yra bet koks matricos elementas. Taigi 2, , yra pirmos eilės nepilnamečiai.

Antros eilės nepilnamečiai:

1. paimkite 1, 2 eilutes, 1, 2 stulpelius, gauname minorą ;

2. paimkite 1, 3 eilutes, 2, 4 stulpelius, gauname minorą ;

3. paimkite 2, 3 eilutes, 1, 4 stulpelius, gauname minorą

Trečiosios eilės nepilnamečiai:

eilutes čia galima pasirinkti tik vienu būdu,

1. paimkite 1, 3, 4 stulpelius, gauname minorą ;

2. paimkite 1, 2, 3 stulpelius, gauname minorą .

14.23 pasiūlymas Jei visi eilės matricos minorai yra lygūs nuliui, tai visi eilės minorai, jei jie egzistuoja, taip pat yra lygūs nuliui.

Įrodymas. Paimkime savavališką tvarkos nepilnametį . Tai yra eilės matricos determinantas. Išskaidykime jį pirmoje eilutėje. Tada kiekviename išplėtimo termine vienas iš veiksnių bus mažoji pradinės matricos eilės dalis. Pagal sąlygą užsakymo nepilnamečiai yra lygūs nuliui. Todėl įsakymo minoras bus lygus nuliui.

Apibrėžimas 14.11 Matricos rangas yra didžiausia matricos nepilnamečių tvarka, išskyrus nulį. Nulinės matricos rangas laikomas nuliu.

Nėra vieno standartinio matricos rango pavadinimo. Vadovaudamiesi vadovėliu, jį pažymėsime.

14.10 pavyzdys 14.9 pavyzdžio matrica turi 3 rangą, nes yra trečios eilės nepilnametis, kuris nėra nulis, bet ketvirtos eilės nepilnamečių nėra.

Matricos rangas yra lygus 1, nes yra ne nulis pirmos eilės minoras (matricos elementas), o visi antrosios eilės minorai yra lygūs nuliui.

Ne vienaskaitos kvadratinės matricos rangas yra lygus , nes jos determinantas yra eilės minoras, o ne vienaskaitos matricos nulis.

14.24 pasiūlymas Kai matrica yra perkelta, jos rangas nesikeičia, tai yra .

Įrodymas. Pirminės matricos perkeltas minoras bus perkeltos matricos minoras, ir atvirkščiai, bet koks minoras yra perkeltas pradinės matricos minoras. Transponuojant determinantas (minoras) nesikeičia (14.6 teiginys). Todėl, jei visi pirminės matricos eilės minorai yra lygūs nuliui, tai visi tos pačios eilės minorai taip pat yra lygūs nuliui. Jei pirminės matricos eilės minoras skiriasi nuo nulio, tada b yra tos pačios eilės minoras, kuris skiriasi nuo nulio. Vadinasi, .

Apibrėžimas 14.12 Tegul matricos rangas yra . Tada bet koks eilės minoras, išskyrus nulį, vadinamas baziniu minoru.

14.11 pavyzdys Leisti . Matricos determinantas yra nulis, nes trečioji eilutė yra lygi pirmųjų dviejų sumai. Antrosios eilės nepilnametis, esantis pirmose dviejose eilutėse ir pirmuose dviejuose stulpeliuose, yra lygus . Vadinasi, matricos rangas yra du, o laikomas nepilnametis yra pagrindinis.

Pagrindinis nepilnametis taip pat yra nepilnametis, esantis, tarkime, pirmoje ir trečioje eilutėse, pirmame ir trečiame stulpeliuose: . Antroje ir trečioje eilutėse, pirmame ir trečiame stulpeliuose pagrindas bus antraeilis: .

Pirmoje ir antroje eilutėse bei antrajame ir trečiame stulpeliuose esantis antrasis yra nulis, todėl nebus pagrindas. Skaitytojas gali savarankiškai patikrinti, kurie kiti antros eilės nepilnamečiai bus pagrindiniai, o kurie ne.

Kadangi matricos stulpelius (eilutes) galima sudėti, dauginti iš skaičių, sudaryti tiesines kombinacijas, galima įvesti matricos stulpelių (eilučių) sistemos tiesinės priklausomybės ir tiesinės nepriklausomybės apibrėžimus. Šie apibrėžimai yra panašūs į tuos pačius vektorių apibrėžimus 10.14, 10.15.

Apibrėžimas 14.13 Stulpelių (eilučių) sistema vadinama tiesiškai priklausoma, jei yra toks koeficientų rinkinys, iš kurių bent vienas skiriasi nuo nulio, kad tiesinis stulpelių (eilučių) derinys su šiais koeficientais bus lygus nuliui.

Apibrėžimas 14.14 Stulpelių (eilučių) sistema yra tiesiškai nepriklausoma, jei šių stulpelių (eilučių) tiesinės kombinacijos lygybė nuliui reiškia, kad visi šios tiesinės kombinacijos koeficientai yra lygūs nuliui.

Šis teiginys, panašus į 10.6 teiginį, taip pat yra teisingas.

Sakinio 14.25 d Stulpelių (eilučių) sistema yra tiesiškai priklausoma tada ir tik tada, kai vienas iš stulpelių (viena iš eilučių) yra linijinis kitų šios sistemos stulpelių (eilučių) derinys.

Suformuluokime teoremą, vadinamą pagrindinė mažoji teorema.

14.2 teorema Bet koks matricos stulpelis yra linijinis stulpelių, einančių per bazinį mažąjį, derinys.

Įrodymą galima rasti tiesinės algebros vadovėliuose, pavyzdžiui, ,.

14.26 pasiūlymas Matricos rangas yra lygus didžiausiam jos stulpelių, sudarančių tiesiškai nepriklausomą sistemą, skaičiui.

Įrodymas. Tegul matricos rangas yra . Paimkime stulpelius, einančius per bazinį minorą. Tarkime, kad šie stulpeliai sudaro tiesiškai priklausomą sistemą. Tada vienas iš stulpelių yra linijinis kitų derinys. Todėl pagrindinėje minoroje vienas stulpelis bus linijinis kitų stulpelių derinys. Pagal 14.15 ir 14.18 teiginius, šis pagrindinis nepilnametis turi būti lygus nuliui, o tai prieštarauja pagrindinio minoro apibrėžimui. Todėl prielaida, kad stulpeliai, einantys per bazinį minorą, yra tiesiškai priklausomi, nėra teisinga. Taigi maksimalus stulpelių, sudarančių tiesiškai nepriklausomą sistemą, skaičius yra didesnis arba lygus .

Tarkime, kad stulpeliai sudaro tiesiškai nepriklausomą sistemą. Padarykime iš jų matricą. Visi matriciniai minorai yra matriciniai minorai. Todėl matricos pagrindinės minorinės eilės tvarka yra ne didesnė kaip . Pagal bazinę minoro teoremą stulpelis, kuris nepereina per matricos bazinį minorą, yra tiesinis stulpelių, einančių per bazinį minorą, derinys, tai yra, matricos stulpeliai sudaro tiesiškai priklausomą sistemą. Tai prieštarauja stulpelių, sudarančių matricą, pasirinkimui. Vadinasi, maksimalus stulpelių, sudarančių tiesiškai nepriklausomą sistemą, skaičius negali būti didesnis nei . Tai reiškia, kad ji yra lygi tam, kas buvo nurodyta.

14.27 pasiūlymas Matricos rangas yra lygus didžiausiam jos eilučių, sudarančių tiesiškai nepriklausomą sistemą, skaičiui.

Įrodymas. Pagal 14.24 teiginį matricos rangas perkėlimo metu nekinta. Matricos eilutės tampa jos stulpeliais. Maksimalus naujų perkeltos matricos stulpelių (buvusių originalo eilučių), sudarančių tiesiškai nepriklausomą sistemą, skaičius yra lygus matricos rangui.

14.28 pasiūlymas Jei matricos determinantas yra nulis, tada vienas iš jos stulpelių (viena iš eilučių) yra linijinis likusių stulpelių (eilučių) derinys.

Įrodymas. Tegul matricos tvarka lygi . Determinantas yra vienintelis kvadratinės matricos minoras, turintis tvarką. Kadangi jis yra lygus nuliui, tada . Vadinasi, stulpelių (eilučių) sistema yra tiesiškai priklausoma, tai yra, vienas iš stulpelių (viena iš eilučių) yra tiesinis kitų junginys.

14.15, 14.18 ir 14.28 teiginių rezultatai pateikia tokią teoremą.

14.3 teorema Matricos determinantas yra lygus nuliui tada ir tik tada, kai vienas iš jos stulpelių (viena iš eilučių) yra linijinis likusių stulpelių (eilučių) derinys.

Norint rasti matricos rangą apskaičiuojant visus jos nepilnamečius, reikia per daug skaičiavimo darbo. (Skaitytojas gali patikrinti, ar ketvirtos eilės kvadratinėje matricoje yra 36 antros eilės nepilnamečiai.) Todėl rangui rasti naudojamas kitas algoritmas. Norint jį apibūdinti, reikės papildomos informacijos.

Apibrėžimas 14.15 Pavadinkime šiuos veiksmus su jais elementariomis matricų transformacijomis:

1) eilučių ar stulpelių pertvarkymas;
2) eilutės ar stulpelio padauginimas iš kito skaičiaus nei nulis;
3) prie vienos iš eilučių pridedant kitą eilutę, padaugintą iš skaičiaus, arba į vieną iš stulpelių pridedant kitą stulpelį, padaugintą iš skaičiaus.

14.29 pasiūlymas Elementariųjų transformacijų metu matricos rangas nekinta.

Įrodymas. Tegu matricos rangas lygus , - matricai, gautai atlikus elementariąją transformaciją.

Panagrinėkime stygų permutaciją. Tegul yra matricos minoras, tada matrica turi minorą, kuris sutampa arba skiriasi nuo jos pertvarkant eilutes. Ir atvirkščiai, bet kuri mažoji matrica gali būti susieta su mažosios matricos matrica, kuri sutampa arba skiriasi nuo jos eilučių tvarka. Todėl iš to, kad matricoje visi eilės minorai yra lygūs nuliui, išplaukia, kad matricoje visi šios eilės minorai taip pat yra lygūs nuliui. Ir kadangi matrica turi eilės minorą, skirtingą nuo nulio, tai matrica taip pat turi mažąją eilės eilę, kuri skiriasi nuo nulio, tai yra .

Apsvarstykite galimybę padauginti eilutę iš kito skaičiaus nei nulis. Mažoji iš matricos atitinka mažąją iš matricos, kuri su ja sutampa arba skiriasi tik viena eilute, kuri gaunama iš mažosios eilės padauginus iš kito skaičiaus nei nulis. Pastaruoju atveju. Visais atvejais arba ir yra vienu metu lygūs nuliui arba tuo pačiu metu skiriasi nuo nulio. Vadinasi,.