Atsisiųskite iš „Depositfiles“.

1-4 paskaitos

KELIŲ KINTAMŲJŲ FUNKCIJOS.

Kontroliniai klausimai.

Dalinis ir visiškas kelių kintamųjų funkcijos prieaugis (FNP).

Kelių kintamųjų funkcijos riba. FNP limitų savybės.

FNP tęstinumas. Ištisinių funkcijų savybės.

Pirmosios eilės dalinės išvestinės.

Apibrėžimas : jei kiekvienas svarstomas kintamųjų reikšmių rinkinys atitinka tam tikrą kintamojo reikšmęw, tada paskambinsimw nepriklausomų kintamųjų funkcija:

(1)

Apibrėžimas : apibrėžimo sritisD ( f ) funkcija (1) yra tokių skaičių rinkinių rinkinys
, kuriai apibrėžta funkcija (1).

Regionas D ( f ) gali būti atvira arba uždara. Pavyzdžiui, funkcijai:

D (f ) erdvėje bus visi taškai, kuriems galioja nelygybė (uždarytas rutulys), ir funkcijai (atviras rutulys).

Toliau daugiausia nagrinėsime dviejų kintamųjų funkcijas, nes pirma, nėra esminio skirtumo tarp dviejų ar daugiau kintamųjų; kintamųjų skaičiaus padidinimas tik lemia sudėtingus skaičiavimus. Antra, dviejų kintamųjų atveju galima gauti aiškią geometrinę interpretaciją.

Geometrinis dviejų kintamųjų funkcijos vaizdavimas
yra tam tikras paviršius, kuris gali būti nurodytas tiesiogiai arba netiesiogiai. Pavyzdžiui: a )
— aiški užduotis (sukimosi paraboloidas), b)
— numanoma užduotis (sfera).

Kuriant grafiką dažnai naudojamos funkcijossekcijos metodu .

Pavyzdys . Sukurkite funkcijos grafiką.
Naudokime sekcijos metodą.

– lėktuve
– parabolė.

– lėktuve
- parabolė.

– lėktuve
– ratas.

Reikalingas paviršius yra apsisukimo paraboloidas.

Atstumas tarp dviejų savavališkų taškų
Ir
(Euklido) erdvės
skambino numeriu

Taškų rinkinys vadinamasatviras ratas spindulys centruojamas taške , – perimetras spindulys su centru taške .

Atidaryti spindulio apskritimą su centru taške vadinamas- apylinkes taškais

APIE

ryžtas. Taškas vadinamasvidinis taškas rinkiniai , jei yra -kaimynystė
taškas, visiškai priklausantis rinkiniui (t. y.
).

Apibrėžimas . Taškas vadinamasribinis taškas aibės, jei kurioje nors iš jos apylinkių yra taškų, priklausančių aibei ir jai nepriklausančių.

Aibės ribinis taškas gali priklausyti šiai aibei arba nepriklausyti.

Apibrėžimas . Rinkinys vadinamasatviras , jei visi jo taškai yra vidiniai.

Apibrėžimas . Rinkinys vadinamasuždaryta , jei jame yra visi ribiniai taškai. Visų aibės ribinių taškų aibė vadinama jossiena (ir dažnai nurodomas simboliu
). Atkreipkite dėmesį, kad rinkinys
yra uždarytas ir vadinamaskomplekto uždarymas.

Pavyzdys . Jei tada. Kuriame.

Dalinis ir visiškas funkcijos padidėjimas.

Jei vienas nepriklausomas kintamasis (pvz.X ) didinamas X , o kitas kintamasis nesikeičia, tada funkcija padidinama:

kuris vadinamas daline funkcijos prieaugiu argumentuX .

Jei visi kintamieji padidina, tada funkcija gauna visą prieaugį:

Pavyzdžiui, dėl funkcijos
turėsiu:

Kelių kintamųjų funkcijos riba.

Apibrėžimas . Sakysime, kad taškų seka
susilieja adresu
iki taško
, jei .

Šiuo atveju taškas
paskambinoriba nurodytą seką ir parašykite:
adresu
.

Tai lengva parodyti tada ir tik tada, kai abu
,
(t. y. taškų sekos erdvėje konvergencija yra lygiavertėkoordinačių konvergencija ).

Apibrėžimas . Skambina numeriu riba funkcijas
adresu
, jei už

toks kad
, kai tik.

Šiuo atveju jie rašo
arba
adresu
.

Nepaisant akivaizdžios visiškos vieno ir dviejų kintamųjų funkcijų ribos sąvokų analogijos, tarp jų yra didelis skirtumas. Vieno kintamojo funkcijos atveju tam, kad taške egzistuotų riba, būtina ir pakanka tik dviejų skaičių lygybė - ribos dviem kryptimis: į dešinę ir į kairę nuo ribinio taško. . Dviejų kintamųjų funkcijai – polinkis į ribinį tašką
plokštumoje gali vykti begaliniu skaičiumi krypčių (ir nebūtinai išilgai tiesės), todėl dviejų (arba kelių) kintamųjų funkcijos ribos egzistavimo reikalavimas yra „griežtesnis“, palyginti su funkcija vienas kintamasis.

Pavyzdys . Rasti
.

Tegul trokšta ribinis taškas
vyksta tiesia linija
. Tada
.

Akivaizdu, kad riba neegzistuoja, nes skaičius
priklauso nuo .

FNP limitų savybės:

Jei jie yra
, Tai:, Dalinė išvestinė, susijusi su ir įvedamas jo žymėjimas.

Nesunku pastebėti, kad dalinė išvestinė yra vieno kintamojo funkcijos išvestinė, kai kito kintamojo reikšmė yra fiksuota. Todėl dalinės išvestinės skaičiuojamos pagal tas pačias taisykles kaip ir vieno kintamojo funkcijų išvestinės.

Pavyzdys . Raskite funkcijos dalines išvestines
.

Mes turime:
,
.

V. DIFERENCINIS SKAIČIUS

KELIŲ KINTAMŲJŲ FUNKCIJOS

Kelių kintamųjų funkcijos samprata

Anksčiau buvo nagrinėjama vieno nepriklausomo kintamojo funkcija. Tačiau spręsdamas konkrečias praktines problemas tyrėjas apskritai susiduria su reiškiniais, kurie priklauso nuo kelių nepriklausomų kintamųjų vienu metu. Kaip ir labiausiai paprasti pavyzdžiai Dėl to gali prireikti apskaičiuoti stačiakampio plotą arba gretasienio tūrį. Iš tiesų, stačiakampio plotą lemia du vienas nuo kito nepriklausomi dydžiai - stačiakampio kraštinių ilgiai ir:

Gretasienio tūrį lemia trys nepriklausomi dydžiai - jo kraštų ilgiai , , :

Galima cituoti ir daugiau sudėtingų pavyzdžių. Kitaip tariant, nepriklausomų kintamųjų skaičius gali būti bet koks. Tokiais atvejais jie sako, kad norimas kiekis yra dviejų, trijų ar daugiau kintamųjų funkcija.

Jie dažnai bando pašalinti antrinius kintamuosius ir palikti tik vieną, pagrindinį, tai yra, bando gauti vieno kintamojo funkciją. Tačiau tai ne visada įmanoma. Supaprastinus išraišką dažnai gaunama dviejų ar trijų kintamųjų funkcija. Iš karto reikia pažymėti, kad daugelio kintamųjų funkcijų tyrimas turi panašius metodus. Todėl paprastumo dėlei išnagrinėsime dviejų kintamųjų funkcijas ir, jei reikia, gautus rezultatus apibendrinsime į savavališką atvejį.

Vieno kintamojo atveju funkcija buvo operatorius, kuris kiekvienam elementui iš rinkinio priskyrė vieną ir tik vieną elementą iš aibės.

Kaip nustatomas dviejų kintamųjų funkcijos argumentas? Kadangi tiriame realiųjų argumentų funkcijas, tokios funkcijos reikšmė priklauso nuo dviejų realiųjų skaičių poros. Aibių teorijos požiūriu tai yra ne kas kita, kaip dviejų aibių ir sandauga, kuriai priklauso kintamieji ir.

Apibrėžimas 5.1.1 . Tegu , a , tada sandauga suteikia naują aibę, kurios kiekviename elemente yra skaičių pora.

Iš 5.1.1 apibrėžimo matyti, kad žinant dviejų kintamųjų reikšmių ir funkcijų rinkinį, galima rasti jo apibrėžimo sritį. Akivaizdu, kad tai bus visi galimi ir deriniai.

Dviejų realiųjų skaičių aibių sandauga sudaro aibę erdvėje. Šio darbo grafinis vaizdas yra plokštuma arba šios plokštumos dalis.

Apibrėžimas 5.1.2 . Dviejų kintamųjų funkcija yra ryšys, kuris kiekvienai skaičių porai priskiria vieną ir tik vieną skaičių.

Jei yra kintamųjų funkcija, tada jos apibrėžimo sritis bus erdvė arba jos dalis. Toks rinkinys grafiškai nebepavaizduojamas.

Dviejų kintamųjų funkcijos, taip pat vieno kintamojo funkcijos gali būti pavaizduotos naudojant lentelę, grafiką arba analitinę išraišką. Lentelinis metodas yra pats patogiausias, tačiau eksperimentiškai nustatant funkcijos reikšmę, jis gali būti vienintelis. Grafinė ir analitinė funkcijos specifikacija yra informatyvesnė. Šiuo atveju pastarasis metodas yra patogiausias, nes jis leidžia atlikti išsamų šios koncepcijos tyrimą.

Dėl grafinis vaizdavimas dviejų kintamųjų funkcijos nubrėžia trimatę koordinačių sistemą, pavyzdžiui, stačiakampę Dekarto. Plokštumoje pavaizduota duotosios funkcijos apibrėžimo sritis. Kiekviename apibrėžimo srities taške atkuriamas statmenas, kurio ilgis lygus funkcijos reikšmei šiame taške. Sujungus visus gautus taškus, gaunamas tam tikras paviršius (5.1.1 pav.). Taigi grafiškai dviejų kintamųjų funkcija yra paviršius. Didesnio kintamųjų skaičiaus funkcijoms pavaizduoti grafinis metodas nebetaikomas.

Analitiškai nurodant dviejų kintamųjų funkciją, rašoma formulė, kurios pagalba pagal pateiktas nepriklausomų kintamųjų reikšmes randama funkcijos reikšmė. Analitiškai nurodant funkciją kintamųjų skaičiaus padidinimas nesukelia problemų ( ).

Tiriant dviejų ar daugiau kintamųjų funkciją, atsiranda tos pačios sąvokos kaip ir vieno kintamojo funkcijai: riba, tęstinumas, prieaugiai, išvestinė.

Pirmiausia panagrinėkime paviršiaus pjūvius plokštumomis ir (5.1.2 pav.).

Kadangi eilutėje yra konstanta, ji keičiasi tik priklausomai nuo pokyčio. Jei taške nustatysite prieaugį, pereisite prie taško . Skirtumas tarp taikomųjų šiuose taškuose bus lygus funkcijos reikšmės pokyčiui, kuris nepriklausys nuo kintamojo.

Taigi, duodami prieaugį, gauname prieaugį, kuris vadinamas daliniu prieaugiu žymimas ir .

Dalinis prieaugis nustatomas panašiai: .

Vienu metu suteikdami prieaugius kintamiesiems ir , gauname visą funkcijos prieaugį: . Reikia turėti omenyje, kad .

Dabar pristatykime plokštumos taško kaimynystės sąvoką.

Apibrėžimas 5.1.3 . -Taško su spinduliu kaimynystė yra visų taškų, kurie tenkina nelygybę, rinkinys , arba, kitaip tariant, aibė visų taškų, esančių spindulio apskritimo, kurio centras yra taške, viduje (5.1.3 pav.).

Remdamiesi -kaimynystės apibrėžimu, galime įvesti dviejų kintamųjų funkcijos ribos sampratą. Tegu funkcija apibrėžta tam tikroje srityje (5.1.3 pav.). Paimkime tam tikrą tašką šioje srityje. iki taško;

3) apibrėžta visuose taškuose, bet .

Nagrinėdami vieno kintamojo funkcijas, atkreipėme dėmesį, kad tiriant daugelį reiškinių tenka susidurti su dviejų ar daugiau nepriklausomų kintamųjų funkcijomis. Pateiksime kelis pavyzdžius.

1 pavyzdys. Stačiakampio su kraštinėmis, kurių ilgiai lygūs x ir y, plotas S išreiškiamas formule Kiekviena reikšmių pora x ir y atitinka tam tikrą ploto S reikšmę; S yra dviejų kintamųjų funkcija.

2 pavyzdys. Stačiakampio gretasienio su kraštinėmis, kurių ilgiai lygūs x, tūris V išreiškiamas formule. Čia V yra trijų kintamųjų x funkcija.

3 pavyzdys. Pradiniu greičiu paleisto sviedinio nuotolis R. Iš pistoleto, kurio vamzdis pasviręs į horizontą kampu, išreikštas formule, jei nepaisoma oro pasipriešinimo). Čia yra pagreitis dėl gravitacijos. Kiekvienai verčių porai ši formulė suteikia konkrečią R reikšmę, t. y. R yra dviejų kintamųjų funkcija

4 pavyzdys. ir čia yra keturių kintamųjų funkcija

Apibrėžimas 1. Jei kiekviena dviejų nepriklausomų kintamųjų x ir y reikšmių pora iš tam tikros jų variacijos D srities atitinka tam tikrą dydžio reikšmę, tai sakome, kad yra apibrėžta dviejų nepriklausomų kintamųjų x ir y funkcija. regione

Simboliškai dviejų kintamųjų funkcija žymima taip:

Dviejų kintamųjų funkciją galima nurodyti, pavyzdžiui, naudojant lentelę arba analitiškai – naudojant formulę, kaip buvo padaryta keturiuose aukščiau aptartuose pavyzdžiuose. Remdamiesi formule, galite sukurti funkcijų reikšmių lentelę kai kurioms nepriklausomų kintamųjų verčių poroms. Taip, už

Pirmajame pavyzdyje galite sukurti šią lentelę:

Šioje lentelėje eilutės ir stulpelio sankirtoje, atitinkančioje tam tikras x ir y reikšmes, nurodoma atitinkama funkcijos reikšmė

Jei funkcinė priklausomybė gaunama išmatavus z reikšmę eksperimentinio reiškinio tyrimo metu, tai iš karto gaunama lentelė, apibrėžianti z kaip dviejų kintamųjų funkciją. Šiuo atveju funkcija nurodoma tik lentelėje.

Kaip ir vieno nepriklausomo kintamojo atveju, dviejų kintamųjų funkcija paprastai neegzistuoja jokioms x ir y reikšmėms.

2 apibrėžimas. Reikšmių porų, kurioms apibrėžta funkcija, rinkinys vadinamas apibrėžimo sritimi arba šios funkcijos egzistavimo sritimi.

Funkcijos apibrėžimo sritis aiškiai iliustruota geometriškai. Jei kiekvieną reikšmių porą x ir y pavaizduosime kaip tašką plokštumoje, tada funkcijos apibrėžimo sritis bus pavaizduota kaip tam tikras taškų rinkinys plokštumoje. Šį taškų rinkinį taip pat vadinsime funkcijos apibrėžimo sritimi. Visų pirma, apibrėžimo sritis gali būti visa plokštuma. Toliau daugiausia nagrinėsime tokias sritis, kurios yra linijomis apribotos plokštumos dalys. Šią sritį ribojanti linija bus vadinama zonos riba. Regiono taškai, kurie nėra ant ribos, bus vadinami vidiniais regiono taškais. Sritis, susidedanti tik iš vidinių taškų, vadinama atvira arba neuždaryta. Jei ribos taškai taip pat priklauso regionui, tada sritis vadinama uždara. Apribota sritis vadinama, jei yra tokia konstanta C, kad bet kurio srities taško M atstumas nuo koordinačių O pradžios yra mažesnis už C, t.y.

5 pavyzdys: nustatykite natūralią funkcijos sritį

Analitinė išraiška yra prasminga bet kurioms x ir y reikšmėms. Vadinasi, natūrali funkcijos apibrėžimo sritis yra visa plokštuma

6 pavyzdys.

Kad ji turėtų realią reikšmę, šaknis turi turėti neneigiamą skaičių, tai yra x ir y turi tenkinti nelygybę arba

Visi taškai, kurių koordinatės tenkina nurodytą nelygybę, yra 1 spindulio apskritime, kurio centras yra šio apskritimo pradžioje ir riboje.

7 pavyzdys.

Kadangi logaritmai apibrėžiami tik teigiamiems skaičiams, nelygybė arba turi būti tenkinama.

Tai reiškia, kad funkcijos apibrėžimo sritis yra pusė plokštumos, esančios virš tiesės, neįskaitant pačios tiesės (166 pav.).

8 pavyzdys: 5 trikampio plotas yra pagrindo ir aukščio funkcija

Šios funkcijos apibrėžimo sritis yra plotas kaip trikampio pagrindas ir jo aukštis negali būti nei neigiamas, nei nulis). Atkreipkite dėmesį, kad nagrinėjamos funkcijos apibrėžimo sritis nesutampa su natūralia analitinės išraiškos, su kuria funkcija nurodoma, apibrėžimo sritis, nes natūrali išraiškos apibrėžimo sritis, be abejo, yra visa Oxy plokštuma.

Iki šiol tyrinėjome vieno kintamojo funkciją, t.y. kintamojo, kurio reikšmės priklauso nuo vieno nepriklausomo kintamojo reikšmių, tyrimas.

Praktikoje dažnai tenka susidurti su dydžiais, kurių skaitinės reikšmės priklauso nuo kelių dydžių, kurie skiriasi vienas nuo kito, verčių. Tokių dydžių tyrimas veda prie kelių kintamųjų funkcijos sampratos. Pateiksime kelis pavyzdžius.

1 pavyzdys. Stačiakampio plotas yra dviejų nepriklausomai kintančių kintamųjų funkcija - stačiakampio kraštinės ir: .

2 pavyzdys. Darbas elektros srovė grandinės atkarpoje priklauso nuo potencialų skirtumo atkarpos galuose, srovės stiprumo ir laiko: .

3 pavyzdys. Temperatūra, matuojama įvairiuose tam tikro kūno taškuose, yra taško, kuriame ji matuojama, koordinačių ir laiko momento funkcija.

1 apibrėžimas. Paskambinkime n -matavimo taškas sutvarkytas skaičių rinkinys. Skaičiai skambinami koordinates - matmenų taškas. Pavadinkime visų galimų -matmenų taškų aibę n matmenų erdvė ir mes jį pažymėsime . Pavadinkime esmę kilmės -dimensinėje erdvėje, o skaičius yra matmuo erdvė.

Ypatingi atvejai:

1. – skaičių eilutė;

2. – lėktuvas;

3. – trimatė erdvė.

2 apibrėžimas. Tegul būna kintamų dydžių, o kiekvienas jų reikšmių rinkinys iš tam tikro rinkinio atitinka vieną tiksliai apibrėžtą kintamojo reikšmę. Tada sako, kad duota kelių kintamųjų funkcija

Kintamieji vadinami nepriklausomi kintamieji arba argumentai , – priklausomas kintamasis , simbolis - korespondencijos įstatymas .

Kaip ir vieno kintamojo funkcija, galima nurodyti kelių kintamųjų funkciją aišku - Ir netiesiogiai – .

Bet kuri aiški kelių kintamųjų funkcija gali būti pavaizduota kaip taško funkcija -dimensinėje erdvėje: , kur tašką apibrėžia jo koordinačių rinkinys.

Jei kiekvienas apibrėžimo srities taškas atitinka vieną reikšmę, tada funkcija iškviečiama nedviprasmiškas , kitaip - polisemantinis .

Rinkinys vadinamas funkcijos sritis , tai yra -dimensinės erdvės poaibis. Panašus į tarpo plotą gali būti uždaryta arba apie atviras priklausomai nuo to, ar ji turi savo sieną, ar ne.

Natūrali apibrėžimo sritis funkcija (1) yra taškų, kurių koordinatės vienareikšmiškai pateikia tikrąsias ir baigtines funkcijos reikšmes, rinkinys. Toliau, jei problemos teiginys nenustato papildomų nepriklausomų kintamųjų kitimo apribojimų, funkcijos apibrėžimo sritis turime omenyje jos natūralią apibrėžimo sritį.

Išsamiau panagrinėkime du specialius atvejus, kurie yra patys paprasčiausi ir leidžia geometriškai interpretuoti.

1. Dviejų kintamųjų funkcija ( n = 2)

Dviejų kintamųjų funkciją pažymėsime . Dalinė funkcijos reikšmė taške arba taške rašoma forma , , arba .

Funkcijos sritis yra koordinačių plokštumos taškų poaibis. Visų pirma, funkcijos apibrėžimo sritis gali būti visa plokštuma arba plokštumos dalis, apribota linijomis. Šią sritį ribojanti linija bus vadinama siena srityse. Bus vadinami plokštumos taškai, kurie nėra ant ribos vidinis .

4 pavyzdys. Funkcija apibrėžta visoje plokštumoje.

5 pavyzdys. Funkcija apibrėžiama visoje plokštumoje, išskyrus tiesią liniją.

6 pavyzdys. Funkcijos apibrėžimo sritis – tai aibė plokštumos taškų, kurių koordinatės tenkina ryšį, t.y. 1 spindulio apskritimas, kurio centras yra ištakoje. Šios funkcijos apibrėžimo sritis uždaryta.

Pažvelkime į kitą pavyzdį išsamiau.

7 pavyzdys. Raskite funkcijos domeną.

Sprendimas.

Logaritmas apibrėžiamas tik tada, kai argumentas yra teigiamas, todėl yra viena argumentų sąlyga: .

Norėdami pavaizduoti plotą geometriškai, pirmiausia suraskime jos ribą: . Gauta lygtis apibrėžia parabolę, kurios viršūnė yra taške, o ašis nukreipta į teigiama pusė kirvius

Vadinasi, norimą sritį sudaro vidiniai parabolės taškai. Pati parabolė nėra įtraukta į regioną, o tai reiškia, kad regionas yra atviras.

3 apibrėžimas. Kaimynystė taškas yra bet koks atviras apskritimas, kuriame yra taškas.

Visų pirma, kaimynystė yra atviras ratas, kurio centras yra taške ir spinduliu .

Akivaizdu, kad apskritimas plokštumoje yra dvimatis tiesės linijos intervalo analogas.

Tiriant kelių kintamųjų funkcijas, plačiai naudojamas jau sukurtas matematinis aparatas vieno kintamojo funkcijoms. Būtent: bet kurią funkciją galima susieti su vieno kintamojo funkcijų pora: fiksuotai reikšmei – funkcija, o fiksuotai – funkcija.

Reikėtų nepamiršti, kad nors funkcijos turi tą pačią „kilmę“, jų išvaizda gali labai skirtis.

9 pavyzdys. Panagrinėkime funkciją. Kai funkcija yra galia, o kai funkcija yra eksponentinė.

Geometrinis dviejų kintamųjų funkcijos vaizdavimas.

Kaip žinoma, vieno kintamojo funkcija gali būti pavaizduota tam tikra kreive plokštumoje, jei jos argumento reikšmes laikysime abscisėmis, o funkcijos reikšmes – kaip kreivės taškų ordinates.

Panašiai dviejų kintamųjų funkcija gali būti pavaizduota grafiškai.

Apsvarstykite funkciją, apibrėžtą srityje plokštumoje ir stačiakampio sistemą Dekarto koordinatės. Su kiekvienu aibės tašku susiejame erdvės tašką, kurio aplikacija yra lygi funkcijos reikšmei taške: . Visų tokių taškų rinkinys vaizduoja tam tikrą paviršių, kuris natūraliai laikomas funkcijos grafiniu vaizdu.

Apibrėžimas 4. Dviejų kintamųjų funkcijos grafikas yra trimatėje erdvėje esančių taškų rinkinys, kurio aplikacija funkciniu ryšiu susijusi su abscisėmis ir ordinatėmis.

2. Trijų kintamųjų funkcija (n = 3)

Pažymėsime trijų kintamųjų funkciją ir manysime, kad , ir yra nepriklausomi kintamieji (arba argumentai), ir yra priklausomas kintamasis (arba funkcija).

Apibrėžimo sritis tokia funkcija vadinama visų nagrinėjamų skaičių trigubų aibe. Jei funkcija nurodyta analitiškai, pagal natūralią apibrėžimo sritį reiškia visų trigubų skaičių, kurių funkcija įgyja realias reikšmes, rinkinį.

Apibrėžimas 6. Kaimynystė taškas yra bet kokia atvira sfera, kurioje yra taškas.

Visų pirma, kaimynystė yra atvira sfera, kurios centras yra taške ir spinduliu .

Skaičių trigubus pavaizduodami erdvės taškais, trijų kintamųjų funkciją galime laikyti erdvės taško funkcija, o trijų kintamųjų funkcijos apibrėžimo sritį – tam tikra erdvės taškų rinkiniu.

Iki šiol svarstėme paprasčiausią funkcinį modelį, kuriame funkcija priklauso nuo vienintelio dalyko argumentas. Tačiau tirdami įvairius supančio pasaulio reiškinius, dažnai susiduriame su daugiau nei dviejų dydžių pokyčiais vienu metu ir daugelis procesų gali būti efektyviai formalizuoti. kelių kintamųjų funkcija, kur - argumentai arba nepriklausomi kintamieji. Pradėkime plėtoti temą nuo labiausiai paplitusios praktikoje. dviejų kintamųjų funkcijos .

Dviejų kintamųjų funkcija paskambino įstatymas, pagal kurią kiekviena reikšmių pora nepriklausomi kintamieji(argumentai) iš apibrėžimo sritis atitinka priklausomo kintamojo (funkcijos) reikšmę.

Ši funkcijažymimas taip:

Arba, arba kita standartinis laiškas:

Kadangi užsakyta reikšmių pora „x“ ir „y“ nustato taškas lėktuve, tada funkcija taip pat įrašoma per , kur yra taškas plokštumoje su koordinatėmis. Šis užrašas plačiai naudojamas kai kuriose praktinėse užduotyse.

Geometrinė dviejų kintamųjų funkcijos reikšmė labai paprasta. Jei vieno kintamojo funkcija atitinka tam tikrą tiesę plokštumoje (pavyzdžiui, pažįstama mokyklos parabolė), tai dviejų kintamųjų funkcijos grafikas yra trimatėje erdvėje. Praktikoje dažniausiai tenka susidurti su paviršius, bet kartais funkcijos grafikas gali būti, pavyzdžiui, erdvinė linija (-ės) arba net vienas taškas.

Esame gerai susipažinę su elementariu paviršiaus pavyzdžiu iš kurso analitinė geometrija- Tai lėktuvas. Darant prielaidą, kad lygtį galima lengvai perrašyti funkcine forma:

Svarbiausias 2 kintamųjų funkcijos požymis yra jau nurodytas domenas.

Dviejų kintamųjų funkcijos sritis vadinamas rinkiniu Visi poros, kurių vertė egzistuoja.

Grafiškai apibrėžimo sritis yra visa plokštuma arba jos dalis. Taigi funkcijos apibrėžimo sritis yra visa koordinačių plokštuma – dėl tos priežasties bet kuriam taškas egzistuoja vertė .

Tačiau toks tuščiosios eigos susitarimas, žinoma, įvyksta ne visada:

Kaip du kintamieji?

Nagrinėjant įvairias kelių kintamųjų funkcijos sąvokas, naudinga nubrėžti analogijas su atitinkamomis vieno kintamojo funkcijos sąvokomis. Ypač išsiaiškinant apibrėžimo sritis ypatingą dėmesį skyrėme toms funkcijoms, kuriose yra trupmenos, net šaknys, logaritmai ir t.t. Čia viskas lygiai taip pat!

Jūsų teminiame darbe susidursite su užduotimi rasti dviejų kintamųjų funkcijos apibrėžimo sritį beveik 100% tikimybe, todėl panagrinėsiu nemažai pavyzdžių:

1 pavyzdys

Raskite funkcijos sritį

Sprendimas: kadangi vardiklis negali eiti į nulį, tada:

Atsakymas: visa koordinačių plokštuma, išskyrus linijai priklausančius taškus

Taip, taip, atsakymą geriau parašyti tokiu stiliumi. Dviejų kintamųjų funkcijos apibrėžimo sritis retai žymima kokiu nors simboliu; jis naudojamas daug dažniau žodinis aprašymas ir/arba piešimas.

Jei pagal sąlygą reikalaujama padaryti brėžinį, tuomet reikėtų pavaizduoti koordinačių plokštumą ir punktyras padaryti tiesią liniją. Taškinė linija rodo, kad linija Išskirtaį apibrėžimo sritį.

Kaip matysime šiek tiek vėliau, sunkesniuose pavyzdžiuose visiškai neapsieisite be piešinio.

2 pavyzdys

Raskite funkcijos sritį

Sprendimas: radikali išraiška turi būti neneigiama:

Atsakymas: pusiau plokštuma

Grafinis vaizdasčia taip pat primityvu: nubrėžiame Dekarto koordinačių sistemą, kietas nubrėžkite tiesią liniją ir užtemdykite viršų pusiau plokštuma. Ištisinė linija rodo faktą, kad tai įskaitantį apibrėžimo sritį.

Dėmesio! Jei iš antrojo pavyzdžio nieko nesuprantate, išstudijuokite / pakartokite pamoką išsamiai Tiesinės nelygybės– be jo bus labai sunku!

Savarankiško sprendimo miniatiūra:

3 pavyzdys

Raskite funkcijos sritį

Dviejų eilučių sprendimas ir atsakymas pamokos pabaigoje.

Tęsiame apšilimą:

4 pavyzdys

Ir pavaizduokite jį piešinyje

Sprendimas: nesunku suprasti, kad tai yra problemos formuluotė reikalauja brėžinio vykdymas (net jei apibrėžimo sritis labai paprasta). Bet pirma, analitika: išraiškos radikalas turi būti neneigiamas: ir, atsižvelgiant į tai, kad vardiklis negali pasiekti nulio, nelygybė tampa griežta:

Kaip nustatyti sritį, kurią apibrėžia nelygybė? Rekomenduoju tą patį veiksmų algoritmą kaip ir sprendime tiesinės nelygybės.

Pirmiausia piešiame linija, kuris nustatytas atitinkamą lygybę. Lygtis nustato ratas centruotas spindulio, dalijančio koordinačių plokštumą į, pradžią du dalys - apskritimo „vidus“ ir „išorė“. Kadangi turime nelygybę griežtas, tada pats apskritimas tikrai nebus įtrauktas į apibrėžimo sritį ir todėl jį reikia nubrėžti punktyras.

Dabar paimkime savavališkas plokštumos taškas, nepriklausantis apskritimą, o jo koordinates pakeiskite nelygybe. Paprasčiausias būdas, žinoma, yra pasirinkti kilmę:

Gauta klaidinga nelygybė, taigi, taškas netenkina nelygybė Be to, šios nelygybės netenkina joks taškas, esantis apskritimo viduje, todėl norima apibrėžimo sritis yra jo išorinė dalis. Apibrėžimo sritis tradiciškai išbrynuojama:

Kiekvienas gali paimti bet kurį tašką, priklausantį tamsesniam plotui, ir įsitikinti, kad jo koordinatės tenkina nelygybę. Beje, priešinga nelygybė duoda ratas centruotas į pradžią, spindulys .

Atsakymas: išorinė apskritimo dalis

Grįžkime prie geometrinės problemos reikšmės: radome apibrėžimo sritį ir ją nuspalvinome, ką tai reiškia? Tai reiškia, kad kiekviename užtamsintos srities taške yra reikšmė „zet“ ir grafiškai funkcija yra toks paviršius:

Scheminis brėžinys aiškiai rodo, kad šis paviršius yra vietomis aukščiau lėktuvas (arti ir toli oktantai nuo mūsų), kai kur – pagal lėktuvas (kairysis ir dešinysis oktantai mūsų atžvilgiu). Paviršius taip pat eina per ašis. Tačiau funkcijos kaip tokios elgesys mums dabar nelabai įdomus – svarbu tai visa tai vyksta išskirtinai apibrėžimo srityje. Jei paimsime bet kurį apskritimui priklausantį tašką, ten paviršiaus nebus (nes nėra „zet“), kaip rodo apvali erdvė paveikslo viduryje.

Prašome gerai suprasti analizuojamą pavyzdį, nes jame išsamiai paaiškinau pačią problemos esmę.

Šią užduotį turite išspręsti patys:

5 pavyzdys

Greitas Sprendimas ir piešinys pamokos pabaigoje. Apskritai nagrinėjamoje temoje tarp 2 eilės eilės populiariausias yra ratas, tačiau, kaip parinktis, jie gali „įstumti“ į problemą elipsė, hiperbolė arba parabolė.

Pajudėkime aukštyn:

6 pavyzdys

Raskite funkcijos sritį

Sprendimas: radikalioji išraiška turi būti neneigiama: o vardiklis negali būti lygus nuliui: . Taigi apibrėžimo sritį nurodo sistema.

Pirmąją sąlygą sprendžiame pagal pamokoje aptartą standartinę schemą. Tiesinės nelygybės: nubrėžkite tiesią liniją ir nustatykite nelygybę atitinkančią pusplokštumą. Nes nelygybė negriežtas, tada pati tiesi linija taip pat bus sprendimas.

Su antrąja sistemos sąlyga viskas taip pat paprasta: lygtis nurodo ordinačių ašį, o kadangi , tada ji turėtų būti pašalinta iš apibrėžimo srities.

Nubraižykime piešinį, nepamiršdami, kad ištisinė linija rodo jo įėjimą į apibrėžimo sritį, o punktyrinė – išskyrimą iš šios srities:

Reikia pažymėti, kad čia mes jau esame priverstas padaryti piešinį. Ir tokia situacija yra tipiška – daugelyje užduočių žodinis vietovės apibūdinimas yra sunkus, net jei jį apibūdinsite, greičiausiai būsite prastai suprastas ir priverstas vaizduoti vietovę.

Atsakymas: domenas:

Beje, toks atsakymas be piešinio tikrai atrodo drėgnas.

Dar kartą pakartokime gauto rezultato geometrinę reikšmę: užtamsintame plote yra funkcijos grafikas, kuris reiškia trimatės erdvės paviršius. Šis paviršius gali būti virš/žemiau plokštumos, arba gali susikirsti su plokštuma – šiuo atveju visa tai yra lygiagreti mums. Svarbus pats paviršiaus egzistavimo faktas, todėl svarbu teisingai rasti regioną, kuriame jis egzistuoja.

7 pavyzdys

Raskite funkcijos sritį

Tai pavyzdys, kurį galite išspręsti patys. Apytikslis paskutinės užduoties pavyzdys pamokos pabaigoje.

Neretai iš pažiūros paprastos funkcijos sukuria ilgalaikį sprendimą:

8 pavyzdys

Raskite funkcijos sritį

Sprendimas: naudojant kvadratinio skirtumo formulė, suskaidykime radikaliąją išraišką: .

Dviejų veiksnių sandauga yra neneigiama , Kada tiek daugikliai yra neneigiami: ARBA Kada tiek neteigiamas: . Tai tipiška savybė. Taigi, turime išspręsti du tiesinių nelygybių sistemos Ir SUJUNGTI gautus plotus. Panašioje situacijoje vietoj standartinio algoritmo mokslinio, tiksliau, praktinio kišimo metodas veikia daug greičiau =)

Nubrėžiame tiesias linijas, padalijančias koordinačių plokštumą į 4 „kampus“. Mes paimame tam tikrą tašką, priklausantį viršutiniam „kampui“, pavyzdžiui, tašką ir pakeičiame jo koordinates į 1-osios sistemos lygtis: . Gaunamos teisingos nelygybės, o tai reiškia, kad sistemos sprendimas yra visi viršutinis "kampas". Šešėliavimas.

Dabar paimame tašką, priklausantį dešiniajam „kampui“. Lieka 2-oji sistema, į kurią pakeičiame šio taško koordinates: . Antroji nelygybė nėra teisinga, todėl ir viskas tinkamas „kampas“ nėra sistemos sprendimas.

Panaši istorija yra ir su kairiuoju „kampu“, kuris taip pat neįtrauktas į apibrėžimo sritį.

Ir galiausiai apatinio „kampo“ eksperimentinio taško koordinates pakeičiame į 2-ąją sistemą: . Abi nelygybės yra teisingos, o tai reiškia, kad sistemos sprendimas yra ir viskas apatinis „kampas“, kuris taip pat turėtų būti tamsintas.

Realybėje, žinoma, nereikia to taip smulkiai aprašyti – visi komentuojami veiksmai nesunkiai atliekami žodžiu!

Atsakymas: apibrėžimo sritis yra sąjunga sisteminiai sprendimai .

Kaip ir galima numanyti, be piešinio toks atsakymas vargu ar veiks, ir ši aplinkybė verčia pasiimti liniuotę ir pieštuką, nors sąlyga to nereikalavo.

Ir tai yra jūsų riešutas:

9 pavyzdys

Raskite funkcijos sritį

Geras mokinys visada praleidžia logaritmus:

10 pavyzdys

Raskite funkcijos sritį

Sprendimas: logaritmo argumentas yra griežtai teigiamas, todėl apibrėžimo sritį suteikia sistema.

Nelygybė rodo dešinę pusę plokštumos ir neįtraukia ašies.

Su antrąja sąlyga situacija yra sudėtingesnė, bet ir skaidri. Prisiminkime sinusoidinė. Argumentas yra „Igrek“, bet tai neturėtų manęs suklaidinti – Igrek, tai Igrek, Zyu, taip Zyu. Kur sinusas didesnis už nulį? Sinusas yra didesnis už nulį, pavyzdžiui, intervale. Kadangi funkcija yra periodinė, tokių intervalų yra be galo daug ir sutrauktoje formoje nelygybės sprendimas bus parašytas taip:
, kur yra savavališkas sveikasis skaičius.

Be galo daug intervalų, žinoma, negali būti pavaizduoti, todėl apsiribosime intervalu ir jo kaimynai:

Užpildykime brėžinį, nepamiršdami, kad pagal pirmąją sąlygą mūsų veiklos sritis yra griežtai apribota dešine puse plokštumos:

hmm...paaiškėjo, kad tai kažkoks vaiduoklio piešinys...geras aukštosios matematikos atvaizdas...

Atsakymas:

Kitas logaritmas yra jūsų:

11 pavyzdys

Raskite funkcijos sritį

Sprendimo metu turėsite statyti parabolė, kuris padalins plokštumą į 2 dalis - „vidinę“, esančią tarp šakų, ir išorinę dalį. Straipsnyje ne kartą buvo pateiktas būdas rasti reikiamą dalį Tiesinės nelygybės ir ankstesni šios pamokos pavyzdžiai.

Sprendimas, piešimas ir atsakymas pamokos pabaigoje.

Paskutinės pastraipos riešutai yra skirti „arkoms“:

12 pavyzdys

Raskite funkcijos sritį

Sprendimas: arcsininis argumentas turi atitikti šias ribas:

Tada yra dvi techninės galimybės: labiau pasiruošę skaitytojai, panašūs į paskutinius pamokos pavyzdžius Vieno kintamojo funkcijos sritis jie gali „išvynioti“ dvigubą nelygybę ir palikti „Y“ viduryje. Manekenams rekomenduoju „lokomotyvą“ paversti ekvivalentu nelygybių sistema:

Sistema išspręsta kaip įprasta – konstruojame tiesias linijas ir randame reikiamas pusplokštumas. Kaip rezultatas:

Atkreipkite dėmesį, kad čia ribos įtraukiamos į apibrėžimo sritį, o tiesios linijos brėžiamos kaip ištisinės linijos. Tai visada turi būti atidžiai stebima, kad būtų išvengta rimtų klaidų.

Atsakymas: apibrėžimo sritis reiškia sistemos sprendimą

13 pavyzdys

Raskite funkcijos sritį

Mėginio sprendime naudojama pažangi technika – dvigubų nelygybių konvertavimas.

Praktikoje taip pat kartais susiduriame su problemomis ieškant apibrėžimo srities trijų funkcijų kintamieji Trijų kintamųjų funkcijos apibrėžimo sritis gali būti Visi trimatė erdvė arba jos dalis. Pirmuoju atveju funkcija yra apibrėžta bet kuriam taškai erdvėje, antrame - tik tiems taškams, kurie priklauso kokiam nors erdviniam objektui, dažniausiai - kūnas. Tai gali būti stačiakampis gretasienis, elipsoidinis, "viduje" parabolinis cilindras ir tt Užduotis rasti trijų kintamųjų funkcijos apibrėžimo sritį paprastai susideda iš šio kūno suradimo ir trimačio brėžinio sudarymo. Tačiau tokie pavyzdžiai yra gana reti. (radau tik porą gabalėlių), todėl apsiribosiu tik šia apžvalgine pastraipa.

Lygio linijos

Norėdami geriau suprasti šį terminą, palyginsime ašį su aukščio: kuo didesnė „Z“ reikšmė, tuo didesnis aukštis, kuo mažesnė „Z“ reikšmė, tuo mažesnis aukštis. Aukštis taip pat gali būti neigiamas.

Funkcija savo apibrėžimo srityje yra erdvinis grafikas; dėl apibrėžtumo ir didesnio aiškumo manysime, kad tai yra trivialus paviršius. Kas yra lygios linijos? Vaizdžiai tariant, lygios linijos yra horizontalūs paviršiaus „griežinėliai“ įvairiuose aukščiuose. Šie „griežinėliai“ arba, tiksliau, skyriuose atliekami lėktuvais, po to jie projektuojami į lėktuvą .

Apibrėžimas: funkcijos lygio linija – tai plokštumos linija, kurios kiekviename taške funkcija išlaiko pastovią reikšmę: .

Taigi, lygios linijos padeda išsiaiškinti, kaip atrodo konkretus paviršius – ir jos padeda nekonstruojant trimačio brėžinio! Panagrinėkime konkrečią užduotį:

14 pavyzdys

Raskite ir nubraižykite kelias funkcijos grafiko lygių eilutes

Sprendimas: Mes tiriame tam tikro paviršiaus formą naudodami lygias linijas. Patogumui išplėskime įrašą „nugara į priekį“:

Akivaizdu, kad šiuo atveju „zet“ (aukštis) negali priimti neigiamų verčių (kadangi kvadratų suma nėra neigiama). Taigi paviršius yra viršutinėje erdvės pusėje (virš plokštumos).

Kadangi sąlyga nenurodo, kokiuose konkrečiuose aukščiuose reikia „nupjauti“ lygio linijas, galime laisvai pasirinkti keletą „Z“ reikšmių savo nuožiūra.

Mes tiriame paviršių nuliniame aukštyje, kad tai padarytume, reikšmę įdedame į lygybę :

Šios lygties sprendimas yra taškas. Tai yra, kada lygio linija žymi tašką.

Mes pakylame į vieneto aukštį ir "pjauname" savo paviršių lėktuvas (pakeisti į paviršiaus lygtį):

Taigi, aukštyje lygio linija yra apskritimas, kurio centras yra vienetinio spindulio taške.

Aš jums tai primenu visos „griežinėlės“ projektuojamos į plokštumą, todėl taškų koordinates užsirašau dvi, o ne tris!

Dabar paimame, pavyzdžiui, plokštumą ir su ja „pjauname“ tiriamą paviršių (pakaitalasį paviršiaus lygtį):

Taigi, už ūgįlygio linija yra apskritimas, kurio centras yra spindulio taške.

Ir, tarkime, sukurkime dar vieną lygio liniją :

–apskritimas, kurio centras yra 3 spindulio taške.

Lygio linijos, kaip jau pabrėžiau, yra plokštumoje, tačiau kiekviena linija yra pasirašyta - kokį aukštį ji atitinka:

Nesunku suprasti, kad kitos nagrinėjamo paviršiaus lygio linijos taip pat yra apskritimai, ir kuo aukščiau kylame (didiname „Z“ reikšmę), tuo spindulys tampa didesnis. Taigi, pats paviršius Tai begalinis dubuo kiaušinio formos dugnu, kurio viršus yra plokštumoje. Šis „dubuo“ kartu su ašimi „išeina tiesiai į jus“ iš monitoriaus ekrano, tai yra, jūs žiūrite į jo dugną =) Ir tai ne be priežasties! Tik aš jį taip mirtinai išlieju ant kelio =) =)

Atsakymas: tam tikro paviršiaus lygio linijos yra koncentriniai formos apskritimai

Pastaba : kai gaunamas nulinio spindulio (taško) išsigimęs apskritimas

Pati lygio linijos sąvoka kilusi iš kartografijos. Perfrazuodami nusistovėjusią matematinę išraišką, galime pasakyti, kad lygio linija – geografinė vienodo aukščio taškų vieta. Apsvarstykite tam tikrą kalną, kurio lygio linijos yra 1000, 3000 ir 5000 metrų:

Paveikslėlyje aiškiai matyti, kad viršutinis kairysis kalno šlaitas yra daug statesnis nei apatinis dešinysis šlaitas. Taigi lygios linijos leidžia atspindėti reljefą „plokščiame“ žemėlapyje. Beje, čia neigiamos aukščio reikšmės taip pat įgyja labai specifinę reikšmę – juk kai kurios Žemės paviršiaus sritys yra žemiau nulinio pasaulio vandenynų lygio.