Faktorli tahlil matematik statistikaning bir bo'limidir. Uning maqsadlari, matematik statistikaning boshqa tarmoqlarining maqsadi kabi, fizik shaklidan qat'i nazar, eksperimental yoki kuzatilgan ma'lumotlar massivlarini tahlil qilish va izohlash imkonini beradigan modellar, tushunchalar va usullarni ishlab chiqishdir.

Eksperimental ma'lumotlarni aks ettirishning eng tipik shakllaridan biri matritsa bo'lib, uning ustunlari turli parametrlar, xususiyatlar, testlar va boshqalarga, qatorlar esa alohida parametr qiymatlari to'plami bilan tavsiflangan alohida ob'ektlar, hodisalar, rejimlarga mos keladi. Amalda, matritsaning o'lchamlari juda katta bo'lib chiqadi: masalan, ushbu matritsaning qatorlari soni bir necha o'ndan bir necha yuz minggacha (masalan, sotsiologik so'rovlarda) va ustunlar soni - dan bir-ikki, bir necha yuz. Bunday o'lchamdagi matritsalarni to'g'ridan-to'g'ri, "vizual" tahlil qilish mumkin emas, shuning uchun matematik statistikada matritsadagi dastlabki ma'lumotlarni boshqariladigan o'lchamga "siqish" va eng "muhim"larini olish uchun mo'ljallangan ko'plab yondashuvlar va usullar paydo bo'ldi. dastlabki ma'lumotlardan "ikkilamchi", "tasodifiy" dan voz kechish.

Matritsa shaklida taqdim etilgan ma'lumotlarni tahlil qilishda ikki turdagi muammolar paydo bo'ladi. Birinchi turdagi vazifalar ob'ektlarni taqsimlashning "qisqa tavsifi" ni olishga, ikkinchi turdagi vazifalar esa parametrlar o'rtasidagi munosabatlarni aniqlashga qaratilgan.

Shuni yodda tutish kerakki, ushbu vazifalarning paydo bo'lishining asosiy rag'bati nafaqat katta miqdordagi raqamlarni qisqacha kodlash istagida, balki uslubiy xarakterdagi ancha fundamental sharoitda ham yotadi: katta miqdordagi raqamlarni qisqacha tavsiflash mumkin bo'lsa, unda qisqacha tavsiflash imkoniyatini aniqlaydigan ma'lum bir ob'ektiv naqsh aniqlanganiga ishonish mumkin; ammo ob'ektiv naqshlarni izlash, qoida tariqasida, ma'lumotlar yig'iladigan asosiy maqsaddir.

Ma'lumotlar matritsalarini qayta ishlashning yuqorida ko'rsatilgan yondashuvlari va usullari hal qilish uchun mo'ljallangan ma'lumotlarni qayta ishlash muammosi turiga va qanday o'lchamdagi matritsalar qo'llanilishiga qarab farqlanadi.

Ushbu parametrlarning o'rtacha soniga ega bo'lgan parametrlar orasidagi bog'lanishlarning qisqacha tavsifi muammosiga kelsak, bu holda tegishli korrelyatsiya matritsasi bir necha o'nlab yoki yuzlab raqamlarni o'z ichiga oladi va o'z-o'zidan u hali "qisqa tavsif" bo'lib xizmat qila olmaydi. parametrlar o'rtasidagi mavjud aloqalar, ammo bu bilan keyingi ishlov berish uchun kerak.

Faktorli tahlil - bu korrelyatsiya matritsasidagi ma'lumotlarni "siqish" uchun mo'ljallangan modellar va usullar to'plami. Turli omillar tahlili modellarining asosini quyidagi gipoteza tashkil etadi: kuzatilayotgan yoki o'lchangan parametrlar faqat o'rganilayotgan ob'ekt yoki hodisaning bilvosita xarakteristikasidir, lekin aslida ichki (yashirin, bevosita kuzatilmaydigan) parametrlar yoki xususiyatlar mavjud bo'lib, ularning soni. kichik va kuzatilgan parametrlarning qiymatlarini aniqlaydi. Ushbu ichki parametrlar odatda omillar deb ataladi. Omil tahlilining vazifasi kuzatilgan parametrlarni omillarning chiziqli birikmalari va, ehtimol, ba'zi qo'shimcha, "muhim bo'lmagan" miqdorlar - "aralashuv" shaklida taqdim etishdir. Ajablanarlisi shundaki, omillarning o'zi ma'lum bo'lmasa-da, bunday parchalanishni olish mumkin va bundan tashqari, bunday omillarni aniqlash mumkin, ya'ni. har bir ob'ekt uchun har bir omilning qiymatlari ko'rsatilishi mumkin.

Faktor tahlili, qanday usullardan foydalanilishidan qat'i nazar, korrelyatsiya matritsasi deb ataladigan testlar to'plami bo'yicha olingan o'zaro bog'liqliklar jadvalini qayta ishlash bilan boshlanadi va omil matritsasi olish bilan tugaydi, ya'ni. har bir test uchun har bir omilning og'irligi yoki yuklanishini ko'rsatadigan jadval. 1-jadval faqat ikkita omilni o'z ichiga olgan faraziy omil matritsasi.

Omillar jadvalning yuqori qatorida eng muhimdan eng muhimgacha sanab o'tilgan va 10 ta testning har biridagi og'irliklari tegishli ustunlarda berilgan.

1-jadval

Gipotetik omil matritsasi

Koordinata o'qlari. Omillarni geometrik tarzda koordinata o'qlari shaklida ifodalash odatiy holdir, ularga nisbatan har bir test nuqta sifatida tasvirlanishi mumkin. Guruch. 1 ushbu protsedurani tushuntiradi. Ushbu grafikda 1-jadvalda keltirilgan 10 ta testning har biri I va II o'qlarga mos keladigan ikkita omilga nisbatan nuqta sifatida ko'rsatilgan. Shunday qilib, test 1 I o'q bo'ylab koordinatalari 0,74 va II o'q bo'ylab 0,54 bo'lgan nuqta bilan ifodalanadi. Qolgan 9 ta testni ifodalovchi nuqtalar jadvaldagi vazn qiymatlaridan foydalangan holda shunga o'xshash tarzda chizilgan. 1.

Shuni ta'kidlash kerakki, koordinata o'qlarining pozitsiyasi ma'lumotlar bilan aniqlanmagan. Dastlabki korrelyatsiya jadvali faqat testlarning o'rnini aniqlaydi (ya'ni, 1-rasmdagi nuqtalar) bir-biriga nisbatan. Xuddi shu nuqtalarni koordinata o'qlarining istalgan pozitsiyasi bilan tekislikda chizish mumkin. Shu sababli, omil tahlilini o'tkazishda, eng mos va oson talqin qilinadigan displey olinmaguncha, o'qlarni aylantirish odatiy holdir.

Guruch. 1. 10 ta testning har biri uchun ikkita guruh omillarining og'irligini ko'rsatadigan gipotetik omil ekrani.

Shaklda. 1, aylanishdan keyin olingan I" va II" o'qlari nuqta chiziqlar bilan ko'rsatilgan. Ushbu aylanish Thurstone tomonidan taklif qilingan mezonlarga muvofiq amalga oshiriladi ijobiy xilma-xillik va oddiy tuzilish. Birinchisi, o'qlarni barcha muhim salbiy og'irliklar yo'q qilinadigan joyga aylantirishni o'z ichiga oladi. Aksariyat psixologlar manfiy omil yuklamalarini qobiliyat testlari uchun mantiqan noo'rin deb hisoblashadi, chunki bunday yuklamalar shaxsning ma'lum bir omil bo'yicha balli qanchalik yuqori bo'lsa, tegishli testda uning balli past bo'lishini bildiradi. Oddiy dizayn mezoni aslida har bir test imkon qadar kamroq omillarga yuklanishi kerakligini anglatadi.

Ikkala mezonni bajarish eng oson va aniq talqin qilinishi mumkin bo'lgan omillarni keltirib chiqaradi. Agar test bitta omil bo'yicha yuqori yuklamaga ega bo'lsa va boshqa omillar bo'yicha sezilarli yuklamalar bo'lsa, biz ushbu omilning mohiyatini mazmunini o'rganish orqali bilib olamiz. bu test. Aksincha, agar test olti omil bo'yicha o'rtacha yoki past yuklamalarga ega bo'lsa, u bizga ulardan birortasining tabiati haqida ozgina ma'lumot beradi.

Shaklda. 1-rasmda koordinata o'qlarini aylantirgandan so'ng, barcha og'zaki testlar (1-5) I o'q bo'ylab yoki juda yaqin joylashganligi aniq ko'rsatilgan va raqamli testlar (6-10) II o'q atrofida chambarchas guruhlangan. Aylanadigan o'qlarga nisbatan o'lchangan yangi omil yuklari Jadvalda ko'rsatilgan. 2. Jadvaldagi omil yuklamalari. 2 salbiy qiymatlarga ega emas, tanlab olish xatolariga aniq bog'liq bo'lgan ahamiyatsiz qiymatlar bundan mustasno. Barcha og'zaki testlarda I omil bo'yicha yuqori yuklamalar "va II omil bo'yicha deyarli nol yuklamalar mavjud." Raqamli testlar, aksincha, II omil bo'yicha yuqori yuklarga ega "va I omil bo'yicha ahamiyatsiz yuklamalar". Shunday qilib, koordinata o'qlarining aylanishi ikkala omilni aniqlash va nomlashni, shuningdek, har bir testning omil tarkibini tavsiflashni sezilarli darajada soddalashtirdi. Amalda, omillar soni ko'pincha ikkitadan ko'p bo'lib chiqadi, bu, albatta, ularni murakkablashtiradi geometrik tasvir Va statistik tahlil, lekin ko'rib chiqilayotgan protseduraning mohiyatini o'zgartirmaydi.

jadval 2

Aylanishdan keyingi omil matritsasi

Ba'zi tadqiqotchilar o'qning aylanish printsipi sifatida nazariy modelni boshqaradilar. Bundan tashqari, mustaqil ravishda amalga oshirilgan, ammo taqqoslanadigan tadqiqotlarda o'zgarmaslik yoki bir xil omillarni tasdiqlash hisobga olinadi.

Faktorlarni talqin qilish. Aylanish protsedurasidan so'ng omil yechimini (yoki oddiyroq aytganda, omil matritsasi) olganimizdan so'ng, biz omillarni talqin qilish va nomlashga o'tishimiz mumkin. Ishning ushbu bosqichi statistik tayyorgarlikni emas, balki psixologik sezgini talab qiladi. Muayyan omilning mohiyatini tushunish uchun bizda ushbu omil bo'yicha yuqori yuklamalarga ega bo'lgan testlarni o'rganish va ular uchun umumiy psixologik jarayonlarni ochishga harakat qilishdan boshqa ilojimiz yo'q. Berilgan omil bo'yicha yuqori yuklangan testlar qanchalik ko'p bo'lsa, uning tabiatini ochish osonroq bo'ladi. Stoldan 2, masalan, I omil og'zaki, II omil esa raqamli ekanligi darhol aniq bo'ladi. Jadvalda keltirilgan. 2 omil yuklamalari har bir testning omil bilan bog'liqligini ham aks ettiradi.

Agar faktorlar tahlili standart sozlamalar bilan qoniqish o'rniga to'g'ri bajarilgan bo'lsa ("kichik jifflar", metodologlar istehzo bilan standart jentlmenlar to'plami deb atashadi), omillarni ajratib olishning afzal usuli maksimal ehtimollik yoki umumlashtirilgan eng kichik kvadratlardir. Bu erda bizni muammo kutishi mumkin: protsedura xato xabarini chiqaradi: korrelyatsiya matritsasi ijobiy aniq emas. Bu nimani anglatadi, nima uchun bu sodir bo'ladi va muammoni qanday hal qilish kerak?
Gap shundaki, faktorizatsiya jarayonida protsedura deb ataladigan narsani qidiradi teskari matritsa korrelyatsiyaga nisbatan. Bu erda odatiy haqiqiy raqamlar bilan o'xshashlik mavjud: raqamni teskarisiga ko'paytirish orqali biz bitta (masalan, 4 va 0,25) olishimiz kerak. Biroq, ba'zi raqamlar uchun teskari raqamlar mavjud emas - nolni bittaga olib keladigan narsaga ko'paytirib bo'lmaydi. Bu matritsalar bilan bir xil hikoya. Matritsaning teskari ko'paytmasi identifikatsiya matritsasini beradi (birlari diagonalda va boshqa barcha qiymatlar nolga teng). Biroq, ba'zi matritsalar uchun teskari belgilar mavjud emas, ya'ni bunday holatlar uchun omil tahlilini amalga oshirish mumkin emas. Aniqlash uchun bu fakt determinant deb ataladigan maxsus raqam yordamida amalga oshirilishi mumkin. Agar u nolga moyil bo'lsa yoki matritsa uchun salbiy bo'lsa, biz muammoga duch kelamiz.
Bu holatning sabablari nimada? Ko'pincha u mavjudligi tufayli paydo bo'ladi chiziqli bog'liqlik o'zgaruvchilar orasida. Bu g'alati tuyuladi, chunki biz ko'p o'lchovli usullardan foydalangan holda aynan shunday bog'liqliklarni qidirmoqdamiz. Biroq, bunday bog'liqliklar ehtimollikdan to'xtab, qat'iy deterministik bo'lib qolsa, ko'p o'lchovli tahlil algoritmlari muvaffaqiyatsizlikka uchraydi. Quyidagi misolni ko'rib chiqing. Keling, quyidagi ma'lumotlar to'plamini olamiz:
ma'lumotlar ro'yxati bepul / V1 dan V3 gacha. ma'lumotlarni boshlash. 1 2 3 2 1 2 3 5 4 4 4 5 5 3 1 yakuniy maʼlumotlar. V4 = V1 + V2 + V3 hisoblang.
Oxirgi o'zgaruvchi birinchi uchtasining aniq yig'indisidir. Haqiqiy tadqiqotda bu holat qachon paydo bo'ladi? Subtestlar va umuman test uchun xom ballarni o'zgaruvchilar to'plamiga kiritganimizda; o'zgaruvchilar soni sub'ektlar sonidan ancha katta bo'lganda (ayniqsa, o'zgaruvchilar yuqori darajada korrelyatsiya qilingan yoki cheklangan qiymatlar to'plamiga ega bo'lsa). Bunday holda, aniq chiziqli munosabatlar tasodifan paydo bo'lishi mumkin. Bog'liqliklar ko'pincha o'lchash protsedurasining artefaktidir - masalan, agar kuzatuvlar ichidagi foizlar hisoblansa (masalan, ma'lum turdagi bayonotlar ulushi), tartiblash usuli yoki doimiy summani taqsimlash qo'llanilsa, ba'zi cheklovlar joriy etiladi. muqobil variantlarni tanlash va boshqalar. Ko'rib turganingizdek, bu juda keng tarqalgan holatlar.
Agar yuqoridagi massivning SPSS da faktor tahlilini o'tkazishda siz determinant va teskari korrelyatsiya matritsasi chiqishiga buyurtma bersangiz, paket muammo haqida xabar beradi.
Multikollinearlikni yaratuvchi o'zgaruvchilar guruhini qanday aniqlash mumkin? Ma'lum bo'lishicha, asosiy komponentlarning eski yaxshi usuli, chiziqli bog'liqlikka qaramay, ishlashda davom etadi va nimadir ishlab chiqaradi. Agar ba'zi o'zgaruvchilarning umumiyligi 0,90-0,99 ga yaqinlashayotganini va ba'zi omillarning o'ziga xos qiymatlari juda kichik (yoki hatto salbiy) bo'lishini ko'rsangiz, bu yaxshi belgi emas. Bundan tashqari, varimax aylanishga buyurtma bering va jinoiy aloqada gumon qilingan do'stingiz bilan qaysi guruh o'zgaruvchilari kiritilganligini ko'ring. Odatda bu omilga uning yuki juda katta (masalan, 0,99). Agar bu o'zgaruvchilar to'plami kichik bo'lsa, mazmunan heterojen bo'lsa, artefaktli chiziqli bog'liqlik ehtimoli chiqarib tashlansa va tanlanma etarlicha katta bo'lsa, unda bunday munosabatlarning ochilishini teng darajada qimmatli natija deb hisoblash mumkin. Bunday guruhni regressiya tahlilida aylantirishingiz mumkin: eng yuqori yukni ko'rsatgan o'zgaruvchini bog'liq qilib qo'ying va qolganlarini bashorat qiluvchi sifatida sinab ko'ring. R, ya'ni. ko'p korrelyatsiya koeffitsienti bu holda 1 ga teng bo'lishi kerak. Agar chiziqli munosabatlar juda e'tiborsiz bo'lsa, regressiya ba'zi boshqa bashoratchilarni jimgina chiqarib tashlaydi, nima etishmayotganiga diqqat bilan qarang. Multikollinearlik diagnostikasi natijalariga qo'shimcha buyurtma berish orqali siz oxir-oqibat aniq chiziqli munosabatlarni tashkil etuvchi noxush to'plamni topishingiz mumkin.
Va nihoyat, korrelyatsiya matritsasi ijobiy aniq emasligining yana bir qancha kichikroq sabablari bor. Bu, birinchi navbatda, ko'p sonli javobsizlarning mavjudligi. Ba'zan mavjud ma'lumotlardan maksimal darajada foydalanish uchun tadqiqotchi bo'shliqlarni juftlik bilan qayta ishlashni buyuradi. Natijada, natijada shunday "mantiqsiz" bog'lanish matritsasi bo'lishi mumkinki, uni omil tahlili modeli bajarolmaydi. Ikkinchidan, agar siz adabiyotda keltirilgan korrelyatsiya matritsasini faktorlarga ajratishni tanlasangiz, yaxlitlash raqamlarining salbiy ta'siriga duch kelishingiz mumkin.

FAKTORLARNI TAHLILI OLISH QADAMLARI

Faktor tahlilining to'qqiz bosqichi mavjud. Aniqlik uchun biz ushbu bosqichlarni diagrammada taqdim etamiz va keyin ularga qisqacha tavsif beramiz.

Faktorli tahlilni amalga oshirish bosqichlari rasmda ko'rsatilgan.

Guruch.

MUAMMONI TUZILISh VA KORELATSIYA MATRIXASINI QURISH.

Muammoni shakllantirish. Faktor tahlilining maqsadlarini aniq belgilash zarur. Faktor tahliliga tortiladigan o‘zgaruvchilar o‘tgan tadqiqotlar, nazariy mulohazalar asosida yoki tadqiqotchining ixtiyoriga ko‘ra o‘rnatiladi. O'zgaruvchilar nuqtai nazaridan o'lchanishi kerak interval yoki qarindosh masshtab. Tajriba shuni ko'rsatadiki, tanlov hajmi o'zgaruvchilar sonidan to'rt-besh baravar ko'p bo'lishi kerak.

Korrelyatsiya matritsasini qurish. Tahlil o'zgaruvchilar orasidagi korrelyatsiya matritsasiga asoslanadi. Faktorli tahlilni amalga oshirishning maqsadga muvofiqligi o'zgaruvchilar o'rtasidagi korrelyatsiya mavjudligi bilan belgilanadi. Agar barcha o'zgaruvchilar orasidagi korrelyatsiya kichik bo'lsa, unda omil tahlili foydasizdir. Yuqori korrelyatsiyaga ega bo'lgan o'zgaruvchilar, odatda, bir xil omil yoki omillar bilan yuqori darajada korrelyatsiya qilinadi.

Faktorli modeldan foydalanishning maqsadga muvofiqligini tekshirish uchun bir nechta statistik ma'lumotlar mavjud. Bartlettning sharsimonlik testidan foydalanib, populyatsiyadagi o'zgaruvchilar o'rtasida korrelyatsiya yo'qligi haqidagi nol gipoteza tekshiriladi. Bu shuni anglatadiki, aholining korrelyatsiya matritsasi ko'rib chiqilayotganligi haqidagi bayonot barcha diagonal elementlari bittaga, qolganlari esa nolga teng bo'lgan o'ziga xoslik matritsasidir. Sferiklik testi korrelyatsiya matritsasi determinantini chi-kvadrat statistikasiga aylantirishga asoslangan. Agar statistik qiymat katta bo'lsa, nol gipoteza rad etiladi. Agar nol gipoteza rad etilmasa, omil tahlilini o'tkazish maqsadga muvofiq emas. Yana bir foydali statistik ma'lumot - bu Kaiser-Meyer-Olkin (KMO) tanlovning adekvatligi testidir. Ushbu koeffitsient kuzatilgan korrelyatsiya koeffitsientlarining qiymatlarini qisman korrelyatsiya koeffitsientlari qiymatlari bilan taqqoslaydi. KMO statistikasining kichik qiymatlari o'zgaruvchilar juftligi o'rtasidagi korrelyatsiyalarni boshqa o'zgaruvchilar bilan izohlab bo'lmasligini ko'rsatadi, bu omil tahlilidan foydalanish noto'g'ri ekanligini anglatadi.

Quyidagi misol hayotdan qoniqishni o'rganish bilan bog'liq xayoliy ma'lumotlarga asoslangan. Faraz qilaylik, anketa tasodifiy tanlangan 100 nafar kattalarga yuborilgan. Anketa ishdagi qoniqishni, sevimli mashg'ulotlaridan qoniqishni, uy hayotidan qoniqishni va hayotning boshqa sohalarida umumiy qoniqishni o'lchash uchun mo'ljallangan 10 ta elementni o'z ichiga oladi. Mavzularga javoblar kompyuterga kiritildi va barcha elementlarning o'rtacha qiymati taxminan 100 ga teng bo'lishi uchun o'lchov qilindi.

Natijalar Factor.sta ma'lumotlar fayliga joylashtirildi. Ushbu faylni Fayl - Ochish variantidan foydalanib ochishingiz mumkin; Ehtimol, ushbu ma'lumotlar fayli /Examples/Datasets katalogida joylashgan. Quyida ushbu fayldagi oʻzgaruvchilar roʻyxati keltirilgan (roʻyxatni olish uchun Data menyusidan All Variable Specifications ni tanlang).

Tahlil maqsadi . Tahlilning maqsadi - faoliyatning turli sohalarida qoniqish o'rtasidagi munosabatlarni o'rganish. Xususan, faoliyatning turli sohalari orqasida "yashirinayotgan" omillar soni va ularning ahamiyati haqidagi savolni o'rganish maqsadga muvofiqdir.

Tahlil tanlash. Factor Analysis moduli ishga tushirish panelini ko'rsatish uchun Analysis - Multivariate Exploratory Analysis menyusidan Factor Analysis ni tanlang. Ishga tushirish panelidagi "O'zgaruvchilar" tugmasini bosing (pastga qarang) va ushbu fayldagi barcha 10 o'zgaruvchini tanlang.

Boshqa variantlar . Ushbu dialog oynasi standart omil tahlilini bajarish uchun kerak bo'lgan hamma narsani o'z ichiga oladi. Olish uchun qisqacha ma'lumot Ishga tushirish panelida mavjud bo'lgan boshqa buyruqlar uchun siz kirish fayli sifatida korrelyatsiya matritsasini tanlashingiz mumkin (Ma'lumotlar fayli maydonidan foydalanib). PD olib tashlash maydonida siz etishmayotgan ma'lumotlar uchun qatorlarni, juftlarni yo'q qilishni yoki o'rtacha hisoblashni tanlashingiz mumkin.

Faktorni ajratib olish usulini belgilang. Endi keyingisiga o'tish uchun OK tugmasini bosing dialog oynasi nomi bilan Faktorni chiqarish usulini belgilang. Ushbu muloqot oynasidan foydalanib, tavsiflovchi statistik ma'lumotlarni ko'rish, bir nechta regressiya tahlilini o'tkazish, omillarni ajratib olish usulini tanlash, omillarning maksimal sonini, minimal o'ziga xos qiymatlarni va omillarni ajratib olish usullarining o'ziga xos xususiyatlari bilan bog'liq boshqa harakatlarni tanlash mumkin. Endi tavsif yorlig'iga o'tamiz.

Ta'riflovchi statistikani ko'ring. Endi View corr./average/std.deviation tugmasini bosing. Ushbu oynada tavsiflovchi statistikani ko'rish oynasini ochish uchun.

Endi siz tavsiflovchi statistik ma'lumotlarni grafik yoki natijalar jadvallari yordamida ko'rishingiz mumkin.

Korrelyatsiya matritsasini hisoblash. Korrelyatsiyalar bilan natijalar jadvalini ko'rsatish uchun Kengaytirilgan yorlig'idagi Korrelyatsiyalar tugmasini bosing.

Ushbu natijalar jadvalidagi barcha korrelyatsiyalar ijobiy va ba'zi korrelyatsiyalar sezilarli darajada. Masalan, Hobby_1 va Miscel_1 o'zgaruvchilari 0,90 darajasida korrelyatsiya qilinadi. Ba'zi korrelyatsiyalar (masalan, ishdagi qoniqish va uydagi qoniqish o'rtasidagi bog'liqlik) nisbatan kichik ko'rinadi. Go'yo matritsa qandaydir aniq tuzilishga ega.

Tanlash usuli. Endi "Omilni ajratib olish usulini ko'rsatish" dialog oynasiga qaytish uchun tavsiflovchi statistikani ko'rish dialog oynasidagi Bekor qilish tugmasini bosing. Siz “Kengaytirilgan” yorlig‘ida bir nechta ajratib olish usullaridan birini tanlashingiz mumkin (har bir usul tavsifi uchun “Omilni ajratib olish usulini ko‘rsatish” dialog oynasining “Kengaytirilgan” yorlig‘iga qarang, shuningdek, “Asosiy komponentlar” usuli va “Asosiy omillar” usuli tavsifi uchun “Kirish ko‘rinishi”ga qarang. ). Ushbu misolda standart usul - Asosiy komponentlar, Maks maydoni. omillar soni 10 qiymatini (ushbu misoldagi omillarning maksimal soni) va Min maydonini o'z ichiga oladi. Shaxsiy qiymat 0 ni o'z ichiga oladi (ushbu buyruq uchun minimal qiymat).

Tahlilni davom ettirish uchun OK tugmasini bosing.

Natijalarni ko'rish. Faktor tahlili natijalarini Factor Analysis Natijalari dialog oynasida ko'rishingiz mumkin. Birinchidan, Variance Explained yorlig'ini tanlang.

Xususiy qiymatlarni ko'rsatish . Xususiy qiymatlarning maqsadi va ularning foydalanuvchi uchun qancha omillarni saqlash (talqin qilish) kerakligini hal qilishda foydaliligi Kirish sharhida tasvirlangan. Endi o'ziga xos qiymatlar, umumiy dispersiya foizi, to'plangan o'ziga xos qiymatlar va to'plangan foizlar bilan jadvalni olish uchun "Xususiy qiymatlar" tugmasini bosing.

Jadvaldan ko'rinib turibdiki, birinchi omil uchun xos qiymat 6,118369; bular. birinchi omil bilan izohlangan dispersiya ulushi taxminan 61,2% ni tashkil qiladi. E'tibor bering, bu qiymatlarni bu erda osongina solishtirish mumkin, chunki 10 ta o'zgaruvchi tahlil qilinadi va shuning uchun barcha o'z qiymatlarining yig'indisi 10 ga teng bo'ladi. Ikkinchi omil dispersiyaning taxminan 18% ni o'z ichiga oladi. Boshqa omillar 5% dan ko'p emasumumiy dispersiya.Faktorlar sonini tanlash. "Kirish" bo'limida olingan o'ziga xos qiymatlardan modelda qancha omillarni saqlash kerakligini hal qilish uchun qanday foydalanish mumkinligi qisqacha tavsiflanadi. Kayzer mezoniga ko'ra (Kaiser, 1960), siz o'z qiymati 1 dan katta bo'lgan omillarni saqlashingiz kerak. Yuqoridagi jadvaldan ko'rinib turibdiki, mezon ikkita omilni tanlashga olib keladi.

Skrining mezoni . Endi Kattellning skrining mezonini qo'llash uchun o'ziga xos qiymatlar syujetini olish uchun Scree Plot tugmasini bosing (Cattell, 1966). Quyidagi grafik mezonni ko'proq vizual qilish uchun qo'shni o'ziga xos qiymatlarni bog'laydigan chiziq segmentlari bilan to'ldirildi. Kettell, Monte-Karlo usuliga asoslanib, xususiy qiymatlarning uzluksiz pasayishi sekinlashishi va undan tashqarida qolgan o'ziga xos qiymatlar darajasi faqat tasodifiy "shovqin" ni aks ettiradi, deb ta'kidlaydi. Quyidagi grafikda bu nuqta 2 yoki 3 faktorga to'g'ri kelishi mumkin (strelkalar bilan ko'rsatilganidek). Shuning uchun, ikkala yechimni sinab ko'ring va qaysi biri mosroq tasvirni ko'rsatayotganini ko'ring.

Endi faktor yuklamalarini ko'rib chiqamiz.

Faktor yuklamalari . "Kirish" bo'limida tavsiflanganidek, omillar yuklanishi omillar va o'zgaruvchilar o'rtasidagi korrelyatsiya sifatida talqin qilinishi mumkin. Shuning uchun ular eng ko'p ifodalaydi muhim ma'lumotlar, omillar talqini bunga asoslanadi. Keling, birinchi navbatda barcha o'nta omil uchun (aylanmagan) omil yuklarini ko'rib chiqaylik. Faktor tahlili natijalari dialog oynasining "Yuklashlar" yorlig'ida, "Omillarni aylantirish" maydonida, qiymatni aylantirmasdan o'rnating va yuk jadvalini ko'rsatish uchun Faktor yuklanishlari tugmasini bosing.

Eslatib o'tamiz, omillarni tanlash shunday sodir bo'ldiki, keyingi omillar kamroq va kamroq tafovutlarni o'z ichiga oladi (Kirish sharhi bo'limiga qarang). Shuning uchun, birinchi omil eng yuqori yuklanishga ega bo'lishi ajablanarli emas. E'tibor bering, omillar yuklanishining belgilari bir xil omil bo'yicha qarama-qarshi yuklarga ega bo'lgan o'zgaruvchilar ushbu omil bilan qarama-qarshi yo'llar bilan o'zaro ta'sir qilishini ko'rsatish uchun ahamiyatlidir. Biroq, siz ustundagi barcha yuklarni -1 ga ko'paytirishingiz va belgilarni teskari o'zgartirishingiz mumkin. Boshqa barcha jihatlarda natijalar o'zgarishsiz qoladi.

Faktorli eritmaning aylanishi. "Kirish" bo'limida ta'riflanganidek, omillar fazosida omillarning haqiqiy yo'nalishi ixtiyoriydir va har qanday omil aylanishi boshqa aylanishlar kabi korrelyatsiyalarni ham takrorlaydi. Shuning uchun omillarni sharhlash uchun eng oson omil tuzilmasini tanlaydigan tarzda aylantirish tabiiy ko'rinadi. Darhaqiqat, oddiy tuzilma atamasi Thurstone (1947) tomonidan ishlab chiqilgan va ta'riflangan, birinchi navbatda, omillarning ba'zi o'zgaruvchilarga yuqori yuklanishi va boshqalarga nisbatan past yuklanishi va bir nechta katta o'zaro faoliyat yuklar mavjud bo'lgan sharoitlarni tavsiflash uchun, ya'ni. bir nechta omillar bo'yicha sezilarli yuklamalarga ega bo'lgan bir nechta o'zgaruvchilar mavjud. Oddiy strukturani olish uchun eng standart hisoblash aylanish usuli Kaiser (1958) tomonidan taklif qilingan varimax aylanish usuli hisoblanadi. Harman (1967) tomonidan taklif qilingan boshqa usullar kvartimax, biquartimax va ekvimaks usullaridir (qarang Harman, 1967).

Aylanish tanlovi . Avval aylanma va sharhlash uchun qoldirmoqchi bo'lgan omillar sonini ko'rib chiqing. Ilgari eng maqbul va maqbul omillar soni ikkita ekanligiga qaror qilingan, ammo skrining mezoniga asoslanib, uchta omil bilan yechimni ham ko'rib chiqishga qaror qilindi. Faktorlarni ajratib olish usulini oʻrnatish muloqot oynasiga qaytish uchun Bekor qilish tugmasini bosing va Tez yorligʻidagi Omillarning maksimal soni maydonini 10 dan 3 gacha oʻzgartiring, soʻngra tahlilni davom ettirish uchun OK tugmasini bosing.

Endi aylanmani varimax usuli yordamida bajaramiz. Faktor tahlili natijalari dialog oynasining "Yuklashlar" yorlig'ida Faktorni aylantirish maydonida asl qiymatning Varimaxini o'rnating.

Jadvalda hosil bo'lgan omil yuklamalari natijalarini ko'rsatish uchun Factor loadings tugmasini bosing.

Uch omilni aylantirish orqali yechimni ko'rsatish. Jadvalda uy bilan bog'liq bo'lganlardan tashqari barcha o'zgaruvchilar uchun birinchi omil bo'yicha sezilarli yuklamalar ko'rsatilgan. 2-omil ishdan qoniqish bilan bog'liq bo'lganlardan tashqari barcha o'zgaruvchilar uchun sezilarli yuklamalarga ega. 3-omil Home_1 o‘zgaruvchisida faqat bitta muhim yuklanishga ega. Faqat bitta o'zgaruvchining uchinchi omilga yuqori yuklanishi, natija uchinchi omilsiz ham xuddi shunday yaxshi bo'lishi mumkinmi, degan savol tug'diradi?

Ikki omilni aylantirishda yechimni ko'rib chiqish . Faktorlarni ajratib olish usulini ko'rsatish dialog oynasiga qaytish uchun Faktor tahlili natijalari muloqot oynasidagi Bekor qilish tugmasini yana bosing. Tez yorlig'ida Omillarning maksimal soni maydonini 3 dan 2 gacha o'zgartiring va Faktor tahlili natijalari dialog oynasiga o'tish uchun OK tugmasini bosing. "Yuklashlar" yorlig'ida, "Omilni aylantirish" maydonida, asl qiymatning Varimaxini o'rnating va Faktor yuklanishlari tugmasini bosing.

Jadvaldan ko'rinib turibdiki, 1-omil ishdan qoniqish bilan bog'liq bo'lgan o'zgaruvchilar uchun eng yuqori yuklarga ega. U uydan qoniqish bilan bog'liq o'zgaruvchilar uchun eng kichik yuklarga ega. Boshqa yuklar oraliq qiymatlarni oladi. 2-omil uyda qoniqish bilan bog'liq o'zgaruvchilar uchun eng yuqori yuklamalarga, ishdagi qoniqish uchun eng past yuklarga va qolgan o'zgaruvchilar uchun o'rtacha yuklarga ega.

Ikki faktorli aylanish uchun yechimning talqini . Talqin qilish mumkinmi bu model? Ikki omil ishdan qoniqish omili (1-omil) va uy hayotidan qoniqish omili (2-omil) sifatida eng yaxshi aniqlanganga o'xshaydi. O'z sevimli mashg'ulotlaridan va hayotning boshqa turli jihatlaridan qoniqish ikkala omilga ham bog'liqdek tuyuladi. Ushbu model qaysidir ma'noda ushbu namunadagi ish va uy hayotidan qoniqish bir-biridan mustaqil bo'lishi mumkinligini ko'rsatadi, lekin ikkalasi ham sevimli mashg'ulotlaridan va hayotning boshqa jihatlaridan qoniqishga hissa qo'shadi.

Ikki omilning aylanishiga asoslangan eritma diagrammasi . Ikki omilning tarqalish grafigini olish uchun Faktor tahlili natijalari dialog oynasining Yuklanishlar yorlig'idagi 2M yuklash chizmasi tugmasini bosing. Quyida ko'rsatilgan diagrammada har bir o'zgaruvchi uchun ikkita yuklanish ko'rsatilgan. E'tibor bering, scatterplot ikkita mustaqil omil va 4 o'zgaruvchini (Hobby_1, Hobby_2, Miscel_1, Miscel_2) o'zaro yuklanishlar bilan yaxshi tasvirlaydi.

Endi kuzatilgan kovariatsiya matritsasi ikki faktorli yechim yordamida qanchalik yaxshi takrorlanishi mumkinligini ko‘rib chiqamiz.

Replikatsiyalangan va qoldiq korrelyatsiya matritsasi. Qayta ishlab chiqarilgan korrelyatsiya matritsasi va qoldiq korrelyatsiya matritsasi (kuzatilgan minus takrorlangan korrelyatsiyalar) bilan ikkita jadvalni olish uchun Tushuntirilgan tafovut yorlig'idagi Qayta ishlab chiqarilgan va qoldiq korrelyatsiyalar tugmasini bosing.

Qoldiq korrelyatsiyalar jadvalidagi yozuvlarni ikkita natijaviy omil hisoblab bo'lmaydigan korrelyatsiyalarning "yig'indisi" sifatida talqin qilish mumkin. Albatta, matritsaning diagonal elementlari standart og'ishni o'z ichiga oladi, bu omillarni hisobga olib bo'lmaydi, bu ikki omil uchun tegishli umumiyliklarni olib tashlagan holda birning kvadrat ildiziga tengdir (esda tutingki, o'zgaruvchining umumiyligi dispersiyadir. Bu tanlangan omillar soni bilan izohlanishi mumkin). Agar siz ushbu matritsaga diqqat bilan qarasangiz, 0,1 dan katta yoki -0,1 dan kam qoldiq korrelyatsiyalar deyarli yo'qligini ko'rishingiz mumkin (aslida ularning faqat kichik soni bu qiymatga yaqin). Bunga qo'shing, birinchi ikkita omil umumiy dispersiyaning taxminan 79% ni tashkil qiladi (natijalar jadvalidagi o'z qiymatlarining to'plangan foiziga qarang).

Muvaffaqiyatli misolning "siri" . Siz o'rgangan misol aslida idealga yaqin bo'lgan ikki faktorli muammoning echimini ishlab chiqaradi. U dispersiyaning ko'p qismini hisobga oladi, oqilona talqinga ega va o'rtacha og'ishlar (qoldiq korrelyatsiyalar) bilan korrelyatsiya matritsasini takrorlaydi. Haqiqatda, haqiqiy ma'lumotlar kamdan-kam hollarda bunday oddiy echimni beradi va aslida bu xayoliy ma'lumotlar to'plami tasodifiy sonlar generatori yordamida yaratilgan. normal taqsimot tizimda mavjud. Maxsus usulda ma'lumotlarga ikkita ortogonal (mustaqil) omil "kiritilgan", ularga ko'ra o'zgaruvchilar o'rtasidagi korrelyatsiyalar yaratilgan. Faktor tahlilining ushbu misoli ikkita omilni o'z holicha takrorlaydi (ya'ni, ishdan qoniqish omili va uy hayotidan qoniqish omili). Shunday qilib, agar hodisa (masalan, sun'iy ma'lumotlar emas) ushbu ikki omilni o'z ichiga olgan bo'lsa, ularni ajratib, siz hodisaning yashirin yoki yashirin tuzilishi haqida biror narsa bilib olishingiz mumkin.

Boshqa natijalar . Yakuniy xulosa chiqarishdan oldin biz boshqa natijalar haqida qisqacha izoh beramiz.

Umumiyliklar . Yechimning umumiy ma'lumotlarini olish uchun Faktor tahlili natijalari dialog oynasining "Tushuntirilgan dispersiya" yorlig'idagi "Umumiyliklar" tugmasini bosing. Eslatib o'tamiz, o'zgaruvchining umumiyligi ma'lum bir qator omillarni hisobga olgan holda takrorlanishi mumkin bo'lgan dispersiya ulushidir. Faktor fazosining aylanishi umumiylikning kattaligiga ta'sir qilmaydi. Bir yoki ikkita o'zgaruvchilar uchun juda past umumiylik (tahlildagi ko'plab o'zgaruvchilardan) bu o'zgaruvchilar model tomonidan juda yaxshi tushuntirilmaganligini ko'rsatishi mumkin.

Qiymat koeffitsientlari. Faktor koeffitsientlari har bir kuzatish uchun omil qiymatlarini hisoblash uchun ishlatilishi mumkin. Koeffitsientlarning o'zi odatda unchalik qiziq emas, ammo faktor qiymatlari keyingi tahlil uchun foydalidir. Koeffitsientlarni ko'rsatish uchun Faktor tahlili natijalari dialog oynasining Qiymatlar yorlig'idagi Faktor qiymatlari koeffitsientlari tugmasini bosing.

Faktor qiymatlari. Faktor qiymatlari so'rov o'tkazilayotgan har bir respondent uchun joriy qiymatlar sifatida ko'rib chiqilishi mumkin (ya'ni dastlabki ma'lumotlar jadvalidagi har bir kuzatish uchun). Omillar tahlili natijalari dialog oynasining Qiymatlar yorlig'idagi Faktor qiymatlari tugmasi omil qiymatlarini hisoblash imkonini beradi. Ushbu qiymatlarni keyinroq "Qiymatlarni saqlash" tugmasini bosish orqali saqlash mumkin.

Yakuniy izoh. Faktor tahlili oddiy protsedura emas. Doimiy foydalanadigan har bir kishi omil tahlili ko'p (masalan, 50 yoki undan ortiq) o'zgaruvchilar bilan "patologik xatti-harakat" ning ko'plab misollarini ko'rish mumkin, masalan: salbiy o'ziga xos qiymatlar va izohlanmaydigan echimlar, maxsus matritsalar va boshqalar. Agar siz ko'p sonli o'zgaruvchilarning muhim omillarini aniqlash yoki aniqlash uchun omil tahlilidan foydalanishga qiziqsangiz, ba'zilarini diqqat bilan o'rganishingiz kerak. batafsil qo'llanma(masalan, Harmanning kitobi (Harman, 1968)). Shunday qilib, omil tahlilidagi ko'plab tanqidiy qarorlar sub'ektiv xarakterga ega bo'lganligi sababli (omillar soni, aylanish usuli, yuklarni talqin qilish), unga ishonch hosil qilishdan oldin biroz tajriba talab qilinishiga tayyor bo'ling. Faktor tahlili moduli foydalanuvchiga turli xil sonli omillar, aylanishlar va h.k.lar oʻrtasida interaktiv almashishni osonlashtirish uchun maxsus ishlab chiqilgan boʻlib, turli yechimlarni sinab koʻrish va solishtirish mumkin.

Ushbu misol PPP yordam tizimidan olingan STATISTIKA StatSoft'dan

Asosiy tenglamalar

Ilgari, faktorli tahlil bo'yicha deyarli barcha darsliklar va monografiyalarda asosiy hisoblarni "qo'lda" yoki oddiy hisoblash moslamasidan (qo'shish mashinasi yoki kalkulyator) qanday amalga oshirish kerakligi haqida tushuntirish berilgan. Bugungi kunda, munosabatlar matritsasini qurish, omillarni ajratish va ularni aylantirish uchun zarur bo'lgan hisob-kitoblarning murakkabligi va katta hajmi tufayli, ehtimol foydalanmaydigan biron bir odam qolmagan. kuchli kompyuterlar va tegishli dasturlar.

Shuning uchun biz faktorli tahlildan eng muhim matritsalarni (ma'lumotlar to'plamini) qanday olish mumkinligi, ularning bir-biri bilan qanday bog'liqligi va ma'lumotlarni sharhlashda qanday ishlatilishiga e'tibor qaratamiz. Barcha kerakli hisob-kitoblar har qanday yordamida amalga oshirilishi mumkin kompyuter dasturi(SPSS yoki STADIA kabi).

IN stol 1 Asosiy komponent usullari va omillar tahlili uchun eng muhim matritsalar ro'yxati keltirilgan. Ushbu ro'yxat asosan munosabatlar matritsalarini (o'zgaruvchilar o'rtasidagi, omillar o'rtasidagi, o'zgaruvchilar va omillar o'rtasidagi), standartlashtirilgan qiymatlarni (o'zgaruvchilar va omillar uchun), regressiya og'irliklarini (o'zgaruvchilar uchun qiymatlardan foydalangan holda omil qiymatlarini hisoblash uchun) o'z ichiga oladi. shuningdek, qiyshiq aylanishdan keyin omillar va o'zgaruvchilar o'rtasidagi munosabatlarning omil xaritalari matritsalari. IN stol 1 xos qiymatlar matritsalari va ularga mos keladigan xos vektorlar ham berilgan. O'z qiymatlari (o'ziga xos qiymatlar) va o'z vektorlari omillarni aniqlashda muhimligi, bu borada ko'plab maxsus atamalardan foydalanish va statistik tadqiqotlarda xos qiymatlar va dispersiya o'rtasidagi chambarchas bog'liqlik tufayli tavsiflanadi.

1-jadval

Faktorli tahlilda eng ko'p ishlatiladigan matritsalar

Eslatma. O'lchamni belgilashda qatorlar soni x ustunlar soni beriladi: R- o'zgaruvchilar soni, N- kuzatishlar soni, f- omillar yoki komponentlar soni. Agar munosabatlar matritsasi bo'lsa R degenerativ emas va teng darajaga ega R, keyin u haqiqatan ham ajralib turadi R xos qiymatlar va xos vektorlar emas f. Biroq, ular faqat qiziqish uyg'otadi f ulardan. Shuning uchun qolgan p-f ko'rsatilmaydi.

Matritsalarga S Va F Faqat qiyshiq aylanish qo'llaniladi, qolganlari uchun - ortogonal va qiyshiq aylanish.

Faktorli tahlil uchun tayyorlangan ma'lumotlar to'plami ma'lum shkalalar (o'zgaruvchilar) bo'yicha ko'p sonli sub'ektlarning (respondentlarning) o'lchovlari (so'rovi) natijalaridan iborat. IN stol 2 omilli tahlil talablarini qondirish uchun shartli ko'rib chiqilishi mumkin bo'lgan ma'lumotlar massivi taqdim etiladi.

Dengiz bo'yidagi kurortga chipta sotib olish uchun sayyohlik agentligiga murojaat qilgan besh nafar respondentdan yozgi ta'til joyini tanlashda ular uchun to'rtta shartning (o'zgaruvchining) ahamiyati haqida so'ralgan. Bu o'zgaruvchan shartlar quyidagilar edi: sayohat narxi, kompleksning qulayligi, havo harorati, suv harorati. Respondentning nuqtai nazari bo'yicha u uchun u yoki bu shart qanchalik muhim bo'lsa, u unga shunchalik ahamiyat bergan. Tadqiqot vazifasi o'zgaruvchilar o'rtasidagi munosabatlar sxemasini o'rganish va kurortni tanlashni belgilaydigan asosiy sabablarni aniqlash edi. (Masalan, albatta, illyustrativ va ma'rifiy maqsadlar uchun juda soddalashtirilgan va mazmun jihatidan jiddiy qabul qilinmasligi kerak.)

Aloqa matritsasi ( stol 2) korrelyatsiya sifatida hisoblangan. Undagi munosabatlarning tuzilishiga e'tibor bering, vertikal va bilan ta'kidlangan gorizontal chiziqlar. Yuqori chap va pastki o'ng kvadrantlardagi yuqori korrelyatsiyalar turning narxi va kompleksning qulayligi bo'yicha reytinglar, shuningdek, havo harorati va suv harorati uchun reytinglar o'zaro bog'liqligini ko'rsatadi. Qolgan ikkita kvadrant havo harorati va kompleksning qulayligi bilan bog'liqligini ko'rsatadi, shuningdek, kompleksning qulayligi va suv harorati.

Keling, kichik korrelyatsiya matritsasida oddiy ko'zga osongina ko'rinadigan korrelyatsiya strukturasini faktorli tahlil yordamida aniqlashga harakat qilaylik (katta matritsada buni qilish juda qiyin).

jadval 2

Faktor tahlili uchun ma'lumotlar (qo'llanma namunasi)

Korrelyatsiya matritsasi

Faktorizatsiya

Matritsa algebrasidan muhim teorema ma'lum shartlarni qondiradigan matritsalarni diagonallashtirish mumkinligini aytadi, ya'ni. asosiy diagonalda raqamlar va boshqa barcha pozitsiyalarda nollar bo'lgan matritsaga aylantiriladi. Aloqa matritsalari diagonallashtiriladigan matritsalar turiga xosdir. Transformatsiya quyidagi formula bo'yicha amalga oshiriladi:

bular. R matritsani diagonallashtirish avval uni (chapda) V' ko'rsatilgan V matritsaga, so'ngra (o'ngda) V matritsaning o'ziga ko'paytirish orqali amalga oshiriladi.

V matritsadagi ustunlar xos vektorlar, L matritsaning bosh diagonalidagi qiymatlar esa xos qiymatlar deb ataladi. Birinchi xos vektor birinchi xos qiymatga mos keladi va hokazo. (batafsil ma'lumot uchun 1-ilovaga qarang).

Yuqoridagi misolda to'rtta o'zgaruvchi ko'rib chiqilganligi sababli, biz ularning tegishli xos vektorlari bilan to'rtta xos qiymatni olamiz. Ammo omil tahlilining maqsadi munosabatlar matritsasini iloji boricha kamroq omillar orqali umumlashtirish va har bir o'ziga xos qiymat turli xil potentsial omillarga mos kelganligi sababli, odatda faqat katta o'z qiymatiga ega bo'lgan omillar hisobga olinadi. "Yaxshi" omil yechimi bilan ushbu cheklangan omillar to'plamidan foydalangan holda olingan hisoblangan munosabatlar matritsasi amalda munosabatlar matritsasini takrorlaydi.

Bizning misolimizda, omillar soniga hech qanday cheklovlar qo'yilmasa, to'rtta mumkin bo'lgan omillarning har biri uchun 2.02, 1.94, .04 va .00 xos qiymatlari hisoblanadi. Faqat dastlabki ikkita omil uchun xos qiymatlar keyingi ko'rib chiqish mavzusi bo'lish uchun etarlicha katta. Shuning uchun faqat birinchi ikkita omil qayta tanlanadi. Jadvalda ko'rsatilganidek, ular mos ravishda 2,00 va 1,91 o'z qiymatlariga ega. 3. (6) tenglamadan foydalanib va ​​berilgan misoldagi qiymatlarni kiritib, biz quyidagilarni olamiz:

(Kompyuter tomonidan hisoblangan barcha qiymatlar bir xil; qo'lda hisob-kitoblar yaxlitlash noaniqliklari tufayli farq qilishi mumkin.)

Chap tarafdagi xos vektorlar matritsasini uning transpozitsiyasiga ko‘paytirish E identifikatsiya matritsasini beradi (asosiy diagonalda birlar, qolganlari esa nollar bilan). Shuning uchun biz aytishimiz mumkinki, (6) formula bo'yicha munosabatlar matritsasini o'zgartirish uning o'zini o'zgartirmaydi, balki uni tahlil qilish uchun qulayroq shaklga aylantiradi:

Masalan:

3-jadval

Ko'rib chiqilayotgan o'quv misoli uchun xos vektorlar va tegishli o'z qiymatlari

Korrelyatsiya matritsasi diagonallashtirilganligi sababli, omil tahlili natijalarini olish uchun unga xos vektorlar va o'z qiymatlarining matritsa algebrasi qo'llanilishi mumkin (1-ilovaga qarang). Agar matritsani diagonallash mumkin bo'lsa, unda omil tuzilishi haqidagi barcha muhim ma'lumotlar uning diagonal shaklida mavjud. Omil tahlilida o'z qiymatlari omillar bilan izohlangan dispersiyaga mos keladi. Eng katta xususiy qiymatga ega bo'lgan omil eng ko'p dispersiyani tushuntiradi va siz odatda tahlilga kiritilmaydigan kichik yoki salbiy o'z qiymatlari bo'lgan omillarga kelguningizcha davom etadi. Xususiy qiymatlar va xos vektorlarni hisoblash juda ko'p mehnat talab qiladi va ularni hisoblash qobiliyati o'zining amaliy maqsadlari uchun omil tahlilini o'zlashtirgan psixolog uchun mutlaq zarurat emas. Biroq, ushbu protsedura bilan tanishish zarar qilmaydi, shuning uchun 1-ilovada biz kichik matritsa bo'yicha o'z qiymatlari va xos vektorlarini hisoblash misolini keltiramiz.

Xususiy qiymatlarni topish uchun kvadrat matritsa p x p darajali ko'phadning ildizlarini topish, xos vektorlarini topish uchun esa p noma'lum p tenglamalarni qo'shimcha yon cheklashlar bilan yechish kerak, bu p>3 uchun kamdan-kam hollarda qo'lda bajariladi. Xususiy vektorlar va o'z qiymatlari topilgandan so'ng, omil tahlilining qolgan qismi (yoki asosiy komponent tahlili) ko'proq yoki kamroq aniq bo'ladi (8-11 tenglamalarga qarang).

(6) tenglama quyidagicha ifodalanishi mumkin: R=V’LV, (8)

bular. munosabatlar matritsasi uchta matritsaning ko'paytmasi sifatida qaralishi mumkin - xos qiymatlar matritsasi, mos keladigan xos vektorlar matritsasi va unga ko'chirilgan matritsa.

Transformatsiyadan so'ng L o'z qiymat matritsasi quyidagicha ifodalanishi mumkin:

va shuning uchun: R=VÖLÖL V’ (10)

yoki (bu bir xil): R=(VÖL)(ÖL V’)

Belgilaymiz: A=(VÖL) va A’=(ÖL V’), keyin R=AA’ (11)

bular. munosabatlar matritsasi ikkita matritsaning mahsuloti sifatida ham ifodalanishi mumkin, ularning har biri xos vektorlar va xos qiymatlarning kvadrat ildizlari birikmasidir.

(11) tenglama ko'pincha omilli tahlilning asosiy tenglamasi deb ataladi. U munosabatlar matritsasi omil yuklamalari (A) matritsasi va uning transpozitsiyasining mahsuloti ekanligi haqidagi bayonotni ifodalaydi.

(10) va (11) tenglamalar, shuningdek, faktorli tahlil va asosiy komponentlar usullarida hisob-kitoblarning muhim qismi o'z qiymatlari va xos vektorlarini aniqlashdan iborat ekanligini ko'rsatadi. Bular ma'lum bo'lgandan so'ng, aylanishdan oldingi faktor matritsasi to'g'ridan-to'g'ri matritsani ko'paytirish orqali olinadi:

Bizning misolimizda:

Faktorlarni yuklash matritsasi - bu omillar va o'zgaruvchilar o'rtasidagi munosabatlar matritsasi (korrelyatsiya koeffitsientlari sifatida talqin etiladi). Birinchi ustun birinchi omil va o'z navbatida har bir o'zgaruvchi o'rtasidagi korrelyatsiya: sayohat narxi (-.400), kompleksning qulayligi (.251), havo harorati (.932), suv harorati (. 956). Ikkinchi ustun ikkinchi omil va har bir o'zgaruvchi o'rtasidagi korrelyatsiya: sayohat narxi (.900), kompleksning qulayligi (-.947), havo harorati (.348), suv harorati (.286). Faktor u bilan yuqori darajada bog'langan o'zgaruvchilar asosida talqin qilinadi (ya'ni, undagi yuklamalar yuqori). Shunday qilib, birinchi omil asosan "iqlim" (havo va suv harorati), ikkinchisi esa "iqtisodiy" (sayohat narxi va kompleksning qulayligi).

Ushbu omillarni izohlashda, birinchi omil (havo harorati va suv harorati) bo'yicha yuqori yuklangan o'zgaruvchilar o'zaro ijobiy bog'liqligiga e'tibor berishingiz kerak, ikkinchi omil bo'yicha yuqori yuklangan o'zgaruvchilar (chipta narxi va kompleksning qulayligi) o'zaro salbiy bog'liqdir (arzon kurortdan ko'p qulaylik kutish mumkin emas). Birinchi omil unipolyar (barcha o'zgaruvchilar bir qutbda guruhlangan), ikkinchisi esa bipolyar deb ataladi (o'zgaruvchilar ma'no jihatidan qarama-qarshi bo'lgan ikkita guruhga bo'linadi - ikkita qutb). Faktor yuklamalari "ortiqcha" belgisi bo'lgan o'zgaruvchilar musbat qutb hosil qiladi va "minus" belgisi bo'lganlar manfiy qutb hosil qiladi. Shu bilan birga, omilni izohlashda "ijobiy" va "salbiy" qutblarning nomlari "yomon" va "yaxshi" baholovchi ma'noga ega emas. Hisoblash paytida belgi tasodifiy tanlanadi. Barcha belgilarni qarama-qarshi belgilar bilan almashtirish (barcha plyuslarni minuslar bilan va barcha minuslarni ortiqcha bilan) almashtirish yechimni o'zgartirmaydi. Belgilarni tahlil qilish faqat guruhlarni aniqlash uchun kerak (nimaga qarshi). Xuddi shu muvaffaqiyat bilan bir qutbni o'ng, ikkinchisini chap deb atash mumkin. Bizning misolimizda sayohatning o'zgaruvchan narxi musbat (o'ng) qutbda edi, unga salbiy (chap) qutbdagi kompleksning o'zgaruvchan qulayligi qarshi edi. Va bu omil "Iqtisodiyot va qulaylik" deb talqin qilinishi (deb ataladi) mumkin. Tejamkorlik muammosi muhim bo'lgan respondentlar o'ng tomonda edilar - ular "ortiqcha" belgisi bilan omil qiymatlarini oldilar. Dam olish maskani tanlashda ular uning arzonligiga ko'proq e'tibor berishadi va qulaylikka kamroq e'tibor berishadi. Ta'tilda tejamkor bo'lmagan (sayohat narxi ularni bezovta qilmaydi) va birinchi navbatda qulay sharoitda dam olishni xohlaydigan respondentlar chap tomonda edi - ular "minus" belgisi bilan omil qiymatlarini oldilar.

Biroq, barcha o'zgaruvchilar ikkala omil bilan sezilarli darajada bog'liqligini yodda tutish kerak. Buning bir qismi sifatida oddiy misol talqini aniq, lekin haqiqiy ma'lumotlar bo'lsa, u qadar oddiy emas. Odatda, agar o'zgaruvchilarning faqat kichik bir qismi u bilan yuqori darajada bog'liq bo'lsa, qolganlari esa yo'q bo'lsa, omilni izohlash osonroq bo'ladi.

Ortogonal aylanish

Yuqori korrelyatsiyalarni maksimal darajaga ko'tarish va past korrelyatsiyalarni kamaytirish uchun aylanish odatda omillarni ajratib olishdan keyin qo'llaniladi. Ko'p aylanish usullari mavjud, lekin eng ko'p qo'llaniladigan varimaxni aylantirishdir, bu dispersiyani maksimal darajada oshirish protsedurasidir. Ushbu aylanish omil yuklamalarining farqini maksimal darajada oshiradi, bu esa har bir omil kunida yuqori yuklanishlarni yuqoriroq va past yuklarni kamaytirishga imkon beradi. Bu maqsad yordamida erishiladi transformatsiya matritsalari L:

A burilishdan oldin L = A burilishdan keyin,

bular. aylanishdan oldingi yuklanish matritsasi aylanish faktorini yuklash matritsasini ishlab chiqarish uchun transformatsiya matritsasiga ko'paytiriladi. Bizning misolimizda:

Aylanishdan oldin va keyin matritsalarni solishtiring. E'tibor bering, aylanishdan keyingi matritsada aylanishdan oldingi matritsaga qaraganda past faktorli yuklar pastroq va yuqori omil yuklari yuqori. Yuklanishlardagi ta'kidlangan farq omilni talqin qilishni osonlashtiradi va u bilan kuchli bog'liq bo'lgan o'zgaruvchilarni aniq tanlash imkonini beradi.

Transformatsiya matritsasining elementlari maxsus geometrik talqinga ega:

Transformatsiya matritsasi - bu aylanish amalga oshiriladigan ps burchakning sinuslari va kosinuslari matritsasi. (Shundan transformatsiya nomi - aylanish, chunki geometrik nuqtai nazardan qaraganda, o'qlar omil fazoning kelib chiqishi atrofida aylanadi.) Bizning misolimizda bu burchak taxminan 19 daraja: cos19 ° = .946 va sin19 ° = .325. Geometrik jihatdan, bu omil o'qlarining kelib chiqishi atrofida 19 gradusga aylanishiga to'g'ri keladi. (Aylanishning geometrik jihatlari haqida ko'proq ma'lumot olish uchun pastga qarang.)