Yoniq erta bosqichlar Radiotexnikani rivojlantirish davrida ma'lum maxsus ilovalar uchun eng yaxshi signallarni tanlash masalasi juda dolzarb emas edi. Bu, bir tomondan, uzatiladigan xabarlarning nisbatan sodda tuzilishi bilan bog'liq edi (telegraf jo'natmalari, radioeshittirish); boshqa tomondan, murakkab shakldagi signallarni ularni kodlash, modulyatsiya qilish va xabarga teskari aylantirish uchun uskunalar bilan birgalikda amaliy amalga oshirish qiyin bo'lib chiqdi.

Hozirda vaziyat tubdan o'zgardi. Zamonaviy radioelektron tizimlarda signallarni tanlash, birinchi navbatda, ularni yaratish, konvertatsiya qilish va qabul qilishning texnik qulayligi bilan emas, balki signallarni qabul qilish imkoniyati bilan belgilanadi. optimal yechim tizimni loyihalashda nazarda tutilgan vazifalar. Maxsus tanlangan xususiyatlarga ega signallarga ehtiyoj qanday paydo bo'lishini tushunish uchun quyidagi misolni ko'rib chiqing.

Vaqt o'zgaruvchan signallarni taqqoslash.

Keling, qo'shiqqa masofani o'lchash uchun mo'ljallangan impulsli radarning ishlashi haqidagi soddalashtirilgan g'oyaga murojaat qilaylik. Bu erda o'lchov ob'ekti haqidagi ma'lumotlar qiymatda - tekshirish va qabul qilingan signallar orasidagi vaqtni kechiktirishda mavjud. Tekshiruv va qabul qilingan signallarning shakllari har qanday kechikish uchun bir xil bo'ladi.

Diapazonni o'lchash uchun mo'ljallangan radar signalini qayta ishlash qurilmasining blok diagrammasi rasmda ko'rsatilgandek ko'rinishi mumkin. 3.3.

Tizim "ma'lumotnoma" ni kechiktiradigan elementlar to'plamidan iborat. uzatilgan signal ba'zi ma'lum vaqtlar uchun

Guruch. 3.3. Signalning kechikish vaqtini o'lchash uchun qurilma

Kechiktirilgan signallar qabul qilingan signal bilan birgalikda printsipga muvofiq ishlaydigan taqqoslash moslamalariga beriladi: chiqish signali faqat ikkala kirish tebranishlari bir-birining "nusxasi" bo'lsa paydo bo'ladi. Belgilangan hodisa sodir bo'lgan kanalning sonini bilib, siz kechikishni va shuning uchun maqsad oralig'ini o'lchashingiz mumkin.

Bunday qurilma qanchalik aniq ishlaydi, signal va uning "nusxasi" vaqt o'tishi bilan bir-biridan qanchalik farq qilsa.

Shunday qilib, biz ma'lum bir dastur uchun qanday signallarni "yaxshi" deb hisoblash mumkinligi haqida sifatli "g'oya" ga ega bo'ldik.

Keling, qo'yilgan muammoning aniq matematik formulasiga o'tamiz va bu masalalar doirasi signallarning energiya spektrlari nazariyasi bilan bevosita bog'liqligini ko'rsatamiz.

Signalning avtokorrelyatsiya funksiyasi.

Signal va uning vaqt bo'yicha o'zgartirilgan nusxasi o'rtasidagi farq darajasini aniqlash uchun signal va nusxaning skalyar mahsulotiga teng bo'lgan signalning avtokorrelyatsiya funktsiyasini (ACF) kiritish odatiy holdir:

Keyinchalik, biz o'rganilayotgan signal vaqt bo'yicha lokalizatsiya qilingan impulsli xarakterga ega deb faraz qilamiz, shuning uchun (3.15) shakldagi integrali albatta mavjud bo'ladi.

Avtokorrelyatsiya funktsiyasi signal energiyasiga teng bo'lganda darhol aniq bo'ladi:

ACF ning eng oddiy xususiyatlaridan biri uning paritetidir:

Haqiqatan ham, agar (3.15) integralda o'zgaruvchilarni o'zgartirsak, u holda

Va nihoyat, avtokorrelyatsiya funktsiyasining muhim xususiyati quyidagilardan iborat: vaqt o'zgarishining har qanday qiymati uchun ACF moduli signal energiyasidan oshmaydi:

Bu fakt bevosita Koshi-Bunyakovskiy tengsizligidan kelib chiqadi (1-bobga qarang):

Shunday qilib, ACF har doim ijobiy bo'lgan markaziy maksimalga ega simmetrik egri chiziq bilan ifodalanadi. Bundan tashqari, signalning turiga qarab, avtokorrelyatsiya funktsiyasi monoton kamayuvchi yoki tebranuvchi xarakterga ega bo'lishi mumkin.

3.3-misol. To'rtburchak video impulsning ACF ni toping.

Shaklda. 3.4a amplitudasi U va davomiyligi bo'lgan to'rtburchak video pulsni ko'rsatadi.Uning "nusxasi" ham bu erda ko'rsatilgan, vaqt bo'yicha kechikish tomon siljigan. Integral (3.15) bu holda oddiygina asosida hisoblanadi grafik qurilish. Haqiqatan ham, va va mahsuloti faqat signalning o'zaro bog'liqligi kuzatilgan vaqt oralig'ida nolga teng emas. Rasmdan. 3.4, agar siljish puls davomiyligidan oshmasa, bu vaqt oralig'i teng ekanligi aniq. Shunday qilib, ko'rib chiqilayotgan signal uchun

Bunday funktsiyaning grafigi shaklda ko'rsatilgan uchburchakdir. 3.4, b. Uchburchak poydevorining kengligi pulsning davomiyligidan ikki baravar ko'p.

Guruch. 3.4. To'rtburchak video impulsning ACF ni topish

3.4-misol. To‘g‘ri burchakli radio impulsning ACF ni toping.

Shaklning radio signalini ko'rib chiqamiz

ACF juft ekanligini oldindan bilib, biz (3.15) integralni hisoblaymiz, sozlash . Qayerda

qayerga osongina erishamiz

Tabiiyki, qiymat bu impulsning energiyasiga teng bo'lganda (1.9-misolga qarang). Formula (3.21) ichida joylashgan barcha siljishlar uchun to'rtburchak radio pulsning ACF ni tavsiflaydi Agar siljishning mutlaq qiymati impuls davomiyligidan oshsa, u holda avtokorrelyatsiya funktsiyasi xuddi shunday yo'qoladi.

3.5-misol. To'rtburchak video impulslar ketma-ketligining ACF ni aniqlang.

Radarda signallar keng qo'llaniladi, ular bir xil shakldagi impulslar to'plami bo'lib, ular bir-birini kuzatib boradi. bir xil oraliq vaqt. Bunday portlashni aniqlash, shuningdek uning parametrlarini o'lchash, masalan, vaqt bo'yicha holatini aniqlash uchun ACFni hisoblash uchun apparat algoritmlarini amalga oshiradigan qurilmalar yaratiladi.

Guruch. 3.5. Uchta bir xil video impulslar to'plamining ACF: a - impulslar to'plami; b - ACF grafigi

Shaklda. 3.5c uchta bir xil to'rtburchak video impulslardan iborat paketni ko'rsatadi. Uning (3.15) formula yordamida hisoblangan avtokorrelyatsiya funksiyasi ham shu yerda keltirilgan (3.5-rasm, b).

Aniq ko'rinib turibdiki, maksimal ACFga erishiladi Biroq, agar kechikish ketma-ketlik davrining ko'paytmasi bo'lsa (bizning holatlarimizda), ACFning yon bo'laklari kuzatiladi, balandligi bo'yicha asosiy bo'lak bilan solishtiriladi. Shuning uchun biz ushbu signalning korrelyatsiya strukturasining ma'lum bir nomukammalligi haqida gapirishimiz mumkin.

Cheksiz kengaytirilgan signalning avtokorrelyatsiya funksiyasi.

Vaqt bo'yicha cheksiz davomiylik davriy ketma-ketliklarini ko'rib chiqish zarur bo'lsa, signallarning korrelyatsiya xususiyatlarini o'rganishga yondashuv biroz o'zgartirilishi kerak.

Biz bunday ketma-ketlik vaqti-vaqti bilan lokalizatsiya qilingan, ya'ni impulsli signaldan, ikkinchisining davomiyligi cheksizlikka moyil bo'lganda olinadi deb taxmin qilamiz. Olingan ifodalarning farqlanishiga yo'l qo'ymaslik uchun biz ionli ACFni signalning skaler mahsuloti va uning nusxasining o'rtacha qiymati sifatida aniqlaymiz:

Ushbu yondashuv bilan avtokorrelyatsiya funktsiyasi bu ikki signalning o'rtacha o'zaro kuchiga teng bo'ladi.

Misol uchun, agar siz cheksiz kosinus to'lqini uchun ACFni vaqt ichida topmoqchi bo'lsangiz, davomiyligi radio impuls uchun olingan formuladan (3.21) foydalanishingiz mumkin va keyin (3.22) ta'rifni hisobga olgan holda chegaraga o'ting. Natijada biz olamiz

Bu ACFning o'zi davriy funktsiyadir; uning qiymati ga teng

Signalning energiya spektri va uning avtokorrelyatsiya funktsiyasi o'rtasidagi bog'liqlik.

Ushbu bobdagi materialni o'rganayotganda, o'quvchi korrelyatsiya tahlili usullari spektral parchalanish tamoyillari bilan hech qanday aloqasi bo'lmagan ba'zi bir maxsus texnikalar sifatida ishlaydi deb o'ylashi mumkin. Biroq, unday emas. ACF va signalning energiya spektri o'rtasida yaqin aloqa borligini ko'rsatish oson.

Haqiqatan ham, (3.15) formulaga muvofiq, ACF skalyar mahsulotdir: Bu erda belgi signalning vaqtga o'tgan nusxasini bildiradi va ,

Umumlashtirilgan Rayleigh formulasiga (2.42) murojaat qilib, biz tenglikni yozishimiz mumkin

Vaqt o'tgan signalning spektral zichligi

Shunday qilib, biz natijaga kelamiz:

Spektral zichlik modulining kvadrati, ma'lumki, signalning energiya spektrini ifodalaydi. Shunday qilib, energiya spektri va avtokorrelyatsiya funktsiyasi Furye konvertatsiyasi bilan bog'langan:

Bundan tashqari, teskari munosabat mavjudligi aniq:

Ushbu natijalar ikkita sababga ko'ra muhim ahamiyatga ega. Birinchidan, signallarning korrelyatsiya xususiyatlarini ularning energiyasini spektr bo'yicha taqsimlash asosida baholash mumkin bo'ladi. Signalning chastota diapazoni qanchalik keng bo'lsa, avtokorrelyatsiya funktsiyasining asosiy bo'lagi shunchalik torayadi va uning boshlanish momentini aniq o'lchash imkoniyati nuqtai nazaridan signal shunchalik mukammal bo'ladi.

Ikkinchidan, (3.24) va (3.26) formulalar energiya spektrini eksperimental aniqlash usulini ko'rsatadi. Ko'pincha avval avtokorrelyatsiya funksiyasini olish, so'ngra Furye transformatsiyasidan foydalanib, signalning energiya spektrini topish qulayroqdir. Ushbu uslub real vaqt rejimida yuqori tezlikda ishlaydigan kompyuterlar yordamida signallarning xususiyatlarini o'rganishda keng tarqaldi.

Munosabat sovtk Bundan kelib chiqadiki, korrelyatsiya oralig'i

kichikroq bo'lib chiqadi, signal spektrining yuqori chegara chastotasi qanchalik baland bo'lsa.

Signalning avtokorrelyatsiya funktsiyasi shakliga qo'yilgan cheklovlar.

Avtokorrelyatsiya funktsiyasi va energiya spektri o'rtasidagi aniqlangan bog'liqlik, berilgan korrelyatsiya xususiyatlariga ega signal mavjudligi uchun qiziqarli va birinchi qarashda aniq bo'lmagan mezonni o'rnatishga imkon beradi. Gap shundaki, har qanday signalning energiya spektri, ta'rifiga ko'ra, ijobiy bo'lishi kerak [qarang. formula (3.25)]. Bu holat har qanday ACF tanlovi uchun bajarilmaydi. Masalan, olsak

va mos keladigan Furye konvertatsiyasini hisoblang

Bu o'zgaruvchan funksiya hech qanday signalning energiya spektrini ifodalay olmaydi.

Signal korrelyatsiya funksiyasi vaqtinchalik xususiyatdir

signalning vaqt o'tishi bilan o'zgarish tezligi, shuningdek signalning harmonik komponentlarga parchalanmasdan davomiyligi haqida fikr berish.

Avtokorrelyatsiya va o'zaro bog'liqlik funktsiyalari mavjud. Deterministik signal f(t) uchun avtokorrelyatsiya funksiyasi bilan berilgan

signal vaqti siljishining kattaligi qayerda.

f (t) signalining u bilan bog'lanish darajasini (korrelyatsiyasini) tavsiflaydi

nusxasi vaqt o'qi bo'ylab bir miqdorga siljiydi. To'rtburchak impuls f (t) uchun avtokorrelyatsiya funksiyasini (ACF) quramiz. Signal, rasmda ko'rsatilganidek, etakchi tomonga siljiydi. 6.25.

Grafikda har bir qiymat o'z mahsulotiga va funktsiya grafigi ostidagi maydonga ega. Raqamli

mos keladigan t uchun bunday maydonlarning qiymatlari funksiya ordinatalarini beradi

t ning ortishi bilan u kamayadi (montonik ravishda shart emas) va bilan

Ya'ni, signal davomiyligidan kattaroq nolga teng.

davriy funksiya ham T davriga ega.

Avtokorrelyatsiya funktsiyasining asosiy xususiyatlarini ko'rib chiqamiz:

1. ACF juft funktsiya, ya'ni funktsiya ortishi bilan kamayadi.

2. ACF da maksimalga etadi, chunki har qanday signal o'zi bilan to'liq bog'liqdir. Bunday holda, ACF ning maksimal qiymati energiyaga teng bo'ladi

Signal spektri qanchalik keng bo'lsa, korrelyatsiya oralig'i shunchalik kichik bo'ladi, ya'ni. korrelyatsiya funksiyasi noldan farq qiladigan siljishning kattaligi. Shunga ko'ra, signalning korrelyatsiya oralig'i qanchalik katta bo'lsa, uning spektri shunchalik torayadi.

Korrelyatsiya funktsiyasidan vaqt bo'yicha siljigan ikki xil f 1 (t) va f 2 (t) signallari orasidagi bog'lanish darajasini baholash uchun ham foydalanish mumkin.

Bunday holda, u o'zaro bog'liqlik funktsiyasi (MCF) deb ataladi va quyidagi ifoda bilan aniqlanadi:

O'zaro bog'liqlik funksiyasi t ga nisbatan ham bo'lishi shart emas va maksimal darajaga etishi shart emas. Ikkita f 1 (t) va f 2 (t) uchburchak signallari uchun CCF ning qurilishi rasmda ko'rsatilgan. 6.26. O'zgartirish paytida

signal f 2 (t) chapga (t > 0, 6.26-rasm, a) signalning korrelyatsiya funksiyasi avval ortadi, keyin esa at nolga kamayadi. Signal f 2 (t) o'ngga siljiganda (t< 0, рис. 6.26, б) корреляционная функция сразу убывает. В результате получается нессиметричная относительно оси ординат ВКФ , показанная на рис. 6.26, в.

f1(t)

f2(t)

0 T t

0 t -T T

f 1 (t) × f 2 (t + t)

f1(t)

f2(t)

0 T

f 1 (t) × f 2 (t - t)

6.9. Modulyatsiyalangan signallar tushunchasi. Amplituda modulyatsiyasi

Yuqori chastotali signallar ma'lumotni masofaga uzatish uchun ishlatiladi. Uzatilgan ma'lumot u yoki bu tarzda yuqori chastotali tebranishda joylashtirilishi kerak, bu tashuvchi to'lqin deb ataladi. Cha-ni tanlash

Tashuvchi signalining ō qiymati ko'pgina omillarga bog'liq, lekin har qanday holatda ō

dan ancha ko'p bo'lishi kerak eng yuqori chastota uzatilgan xabarning spektri, ya'ni.

Tashuvchining xususiyatiga qarab, modulyatsiyaning ikki turi ajratiladi:

– uzluksiz - vaqtida uzluksiz garmonik tashuvchi bilan;

– impulsli - tashuvchi impulslarning davriy ketma-ketligi shaklida bo'lganda.

Ma'lumotni o'tkazuvchi signal shaklda ifodalanishi mumkin

Agar va doimiy qiymatlar bo'lsa, bu oddiy garmonik tebranish bo'lib, u ma'lumotni olib yurmaydi. Agar ular xabarni uzatish uchun o'zgartirishga majbur bo'lsa, u holda tebranish modulyatsiyalanadi.

Agar A (t) o'zgarsa, burchak burchakli bo'lsa, bu amplituda modulyatsiyasi. Burchak modulyatsiyasi ikki turga bo'linadi: chastota (FM) va faza (PM).

dan beri, keyin va vaqtning sekin o'zgaruvchan funktsiyalari. Keyin biz har qanday modulyatsiya uchun signal parametrlarini taxmin qilishimiz mumkin

(1) (amplituda, faza va chastota) shunchalik sekin o'zgaradiki, bir davr ichida yuqori chastotali tebranishni garmonik deb hisoblash mumkin. Bu asos signallarning xususiyatlari va ularning spektrlari asosida yotadi.

Amplituda modulyatsiyasi (AM). AM bilan tashuvchi signalining amplitudali konverti uzatiladigan xabar, chastotadagi o'zgarishlar qonuniga to'g'ri keladigan qonunga muvofiq o'zgaradi.o'zgarmaydi va dastlabki bosqichmodulyatsiya boshlangan paytga qarab farq qilishi mumkin. Umumiy ifoda (6.22) bilan almashtirilishi mumkin

Amplitudali modulyatsiyalangan signalning grafik tasviri ko'rsatilgan. 6.27. Bu erda S (t) uzatiladigan uzluksiz xabar, tashuvchining harmonik yuqori chastotali signalining amplitudasi. Konvert A (t) xabarni qayta ishlab chiqaruvchi qonunga muvofiq o'zgaradi

S(t).

Korrelyatsiya - bu konvolyutsiyaga o'xshash matematik operatsiya bo'lib, ikkita signaldan uchinchi signalni olish imkonini beradi. Bu sodir bo'ladi: avtokorrelyatsiya (avtokorrelyatsiya funktsiyasi), o'zaro bog'liqlik (o'zaro bog'liqlik funktsiyasi, o'zaro bog'liqlik funktsiyasi). Misol:

[Oʻzaro korrelyatsiya funksiyasi]

[Avtokorrelyatsiya funksiyasi]

Korrelyatsiya - shovqin fonida avval ma'lum bo'lgan signallarni aniqlash usuli, shuningdek optimal filtrlash deb ataladi. Korrelyatsiya konvolyutsiyaga juda o'xshash bo'lsa-da, ular boshqacha hisoblanadi. Ularning qo'llanish sohalari ham har xil (c(t)=a(t)*b(t) - ikkita funktsiyaning konvolyutsiyasi, d(t)=a(t)*b(-t) - o'zaro bog'liqlik).

Korrelyatsiya bir xil konvolyutsiyadir, signallardan faqat bittasi chapdan o'ngga teskari. Avtokorrelyatsiya (avtokorrelyatsiya funktsiyasi) signal va uning nusxasi o'rtasidagi bog'lanish darajasini t ga siljiganligini tavsiflaydi. O'zaro korrelyatsiya funktsiyasi 2 xil signal o'rtasidagi bog'lanish darajasini tavsiflaydi.

Avtokorrelyatsiya funksiyasining xususiyatlari:

• 1) R(t)=R(-t). R(t) funksiyasi juft.
• 2) Agar x(t) vaqtning sinusoidal funksiyasi bo‘lsa, uning avtokorrelyatsiya funksiyasi bir xil chastotali kosinus funksiyasi bo‘ladi. Dastlabki bosqich haqida ma'lumot yo'qoladi. Agar x(t)=A*sin(ōt+ph), u holda R(t)=A 2 /2 * cos(ōt) bo‘ladi.
• 3) Avtokorrelyatsiya funktsiyasi va quvvat spektri Furye konvertatsiyasi bilan bog'langan.
• 4) Agar x(t) har qanday davriy funktsiya bo'lsa, u uchun R(t) doimiy komponentdan va sinusoidal o'zgaruvchan komponentdan avtokorrelyatsiya funktsiyalari yig'indisi sifatida ifodalanishi mumkin.
• 5) R(t) funksiyasi signalning garmonik komponentlarining dastlabki fazalari haqida hech qanday ma’lumotga ega emas.
• 6) Vaqtning tasodifiy funksiyasi uchun R(t) t ortishi bilan tez kamayadi. R(t) 0 ga teng bo'lgan vaqt oralig'i avtokorrelyatsiya oralig'i deyiladi.
• 7) Berilgan x(t) aniq belgilangan R(t) ga mos keladi, lekin bir xil R(t) uchun turli xil funksiyalar x(t) mos kelishi mumkin.

Shovqinli asl signal:

Asl signalning avtokorrelyatsiya funktsiyasi:

O'zaro bog'liqlik funktsiyasining (MCF) xususiyatlari:

• 1) VKF juft ham, toq funksiya ham emas, yaʼni. R xy (t) R xy (-t) ga teng emas.
• 2) VCF funksiyalarning almashinishi va argumentning belgisi o'zgarganda o'zgarishsiz qoladi, ya'ni. R xy (t)=R xy (-t).
• 3) Agar x(t) va y(t) tasodifiy funksiyalar oʻzgarmas komponentlarni oʻz ichiga olmasa va mustaqil manbalar yordamida yaratilsa, ular uchun R xy (t) 0 ga intiladi.Bunday funksiyalar korrelyatsiyasiz deyiladi.

Shovqinli asl signal:

Xuddi shu chastotali kvadrat to'lqin:

Asl signal va meanderning o'zaro bog'liqligi:

Diqqat! Har bir elektron ma'ruza matni uning muallifining intellektual mulki hisoblanadi va faqat ma'lumot olish uchun veb-saytda e'lon qilinadi.

SIGNALAR Va LINEAR TIZIMLAR

Signallar va chiziqli tizimlar. Signallarning korrelyatsiyasi

6-mavzu. SIGNAL KORELYATSIYASI

Haddan tashqari qo'rquv va o'ta jasorat ishtiyoqi oshqozonni bezovta qiladi va ich ketishiga olib keladi.

Mishel Montaigne. Fransuz huquqshunos-mutafakkir, 16-asr.

Bu raqam! Ikkala funktsiya uchinchisi bilan 100% korrelyatsiyaga ega va bir-biriga ortogonaldir. Xo'sh, Qodir Ollohning dunyo yaratilishida hazillari bor edi.

Anatoliy Pishmintsev. Ural maktabining Novosibirsk geofiziki, 20-asr.

1. Signallarning avtokorrelyatsiya funksiyalari. Avtokorrelyatsiya funksiyalari (ACF) tushunchasi. Vaqt cheklangan signallarning ACF. Davriy signallarning ACF. Avtokovariatsiya funktsiyalari (ACF). AKF diskret signallar. Shovqinli signallarning ACF. Kod signallarining ACF.

2. Signallarning o'zaro bog'liqlik funktsiyalari (CCF). O'zaro korrelyatsiya funktsiyasi (CCF). Shovqinli signallarning o'zaro bog'liqligi. Diskret signallarning VCF. Shovqindagi davriy signallarni baholash. O'zaro funktsiya korrelyatsiya koeffitsientlari.

3. Korrelyatsiya funksiyalarining spektral zichliklari. ACF ning spektral zichligi. Signal korrelyatsiya oralig'i. VKF ning spektral zichligi. FFT yordamida korrelyatsiya funksiyalarini hisoblash.

kirish

Korrelyatsiya va uning markazlashtirilgan signallar uchun maxsus holati - kovariatsiya signallarni tahlil qilish usuli hisoblanadi. Usulni qo'llash variantlaridan birini taqdim etamiz. Faraz qilaylik, s(t) signali mavjud bo'lib, unda vaqtinchalik pozitsiyasi bizni qiziqtiradigan chekli uzunlikdagi T qandaydir x(t) ketma-ketligi bo'lishi mumkin (yoki bo'lmasligi mumkin). Bu ketma-ketlikni s(t) signali bo‘ylab sirg‘alib yuruvchi T uzunlikdagi vaqt oynasida izlash uchun s(t) va x(t) signallarining skalyar ko‘paytmalari hisoblanadi. Shunday qilib, biz kerakli x(t) signalni s(t) signaliga uning argumenti bo‘ylab sirpanib “qo‘llaymiz” va skaler mahsulotning qiymati bo‘yicha biz taqqoslash nuqtalarida signallarning o‘xshashlik darajasini baholaymiz.

Korrelyatsiya tahlili signallarda (yoki signallarning raqamli ma'lumotlari seriyasida) mustaqil o'zgaruvchidagi signal qiymatlarining o'zgarishi o'rtasida ma'lum bir bog'liqlik mavjudligini aniqlashga imkon beradi, ya'ni bitta signalning katta qiymatlari (nisbiy bo'lganda) o'rtacha signal qiymatlari) boshqa signalning katta qiymatlari (ijobiy korrelyatsiya) bilan bog'liq yoki aksincha, bir signalning kichik qiymatlari boshqasining katta qiymatlari (salbiy korrelyatsiya) yoki ma'lumotlar bilan bog'liq. ikkita signal hech qanday tarzda bog'liq emas (nol korrelyatsiya).

Signallarning funktsional maydonida bu bog'lanish darajasi korrelyatsiya koeffitsientining normallashtirilgan birliklarida, ya'ni signal vektorlari orasidagi burchakning kosinusida ifodalanishi mumkin va shunga mos ravishda 1 dan qiymatlarni oladi (to'liq mos kelishi). signallari) -1 ga (to'liq qarama-qarshi) va o'lchov birliklarining qiymatiga (shkalasiga) bog'liq emas.

Avtokorrelyatsiya versiyasida argument bo'ylab o'z nusxasi siljishi bilan s(t) signalining skalyar mahsulotini aniqlash uchun shunga o'xshash texnikadan foydalaniladi. Avtokorrelyatsiya joriy signal namunalarining oldingi va keyingi qiymatlariga (signal qiymatlarining korrelyatsiya radiusi deb ataladigan) o'rtacha statistik bog'liqligini baholashga, shuningdek signalda vaqti-vaqti bilan takrorlanadigan elementlarning mavjudligini aniqlashga imkon beradi.

Tahlilda korrelyatsiya usullari alohida ahamiyatga ega tasodifiy jarayonlar tasodifiy bo'lmagan komponentlarni aniqlash va bu jarayonlarning tasodifiy bo'lmagan parametrlarini baholash.

E'tibor bering, "korrelyatsiya" va "kovarians" atamalarida ba'zi chalkashliklar mavjud. Matematik adabiyotlarda markazlashtirilgan funksiyalarga "kovariatsiya" atamasi, ixtiyoriylarga esa "korrelyatsiya" atamasi qo'llaniladi. Texnik adabiyotlarda, ayniqsa signallar va ularni qayta ishlash usullari bo'yicha adabiyotlarda ko'pincha teskari terminologiya qo'llaniladi. Bu fundamental ahamiyatga ega emas, lekin adabiy manbalar bilan tanishishda ushbu atamalarning qabul qilingan maqsadiga e'tibor qaratish lozim.

6.1. Signallarning avtokorrelyatsiya funksiyalari.

Signallarning avtokorrelyatsiya funksiyalari haqida tushuncha . Energiya jihatidan chekli s(t) signalining avtokorrelyatsiya funktsiyasi (CF - korrelyatsiya funktsiyasi) signal shaklining miqdoriy integral xarakteristikasi bo'lib, signalda har doim sodir bo'ladigan namunalarning o'zaro vaqtinchalik munosabatlarining tabiati va parametrlarini aniqlaydi. davriy signallar uchun, shuningdek, joriy vaqtdagi o'qish qiymatlarining joriy momentning oldingi tarixiga bog'liqligi oralig'i va darajasi. ACF t vaqt bo'yicha bir-biriga nisbatan siljigan s(t) signalining ikki nusxasi mahsulotining integrali bilan aniqlanadi:

Bs(t) =s(t) s(t+t) dt = ás(t), s(t+t)ñ = ||s(t)|| ||s(t+t)|| cos j(t). (6.1.1)

Ushbu ifodadan kelib chiqadigan bo'lsak, ACF signalning skalyar mahsuloti va uning t siljishning o'zgaruvchan qiymatiga funktsional bog'liqlikdagi nusxasi. Shunga ko'ra, ACF energiyaning jismoniy o'lchamiga ega va t = 0 da ACF qiymati to'g'ridan-to'g'ri signal energiyasiga teng va maksimal mumkin bo'lgan (signalning o'zi bilan o'zaro ta'sir qilish burchagi kosinasi 1 ga teng). ):

Bs(0) =s(t)2 dt = Es.

ACF (6.1.1) ifodadagi t = t-t o'zgaruvchisini almashtirish orqali tekshirish oson bo'lgan juft funksiyalarga ishora qiladi:

Bs(t) = s(t-t) s(t) dt = Bs(-t).

t=0 da signal energiyasiga teng bo'lgan maksimal ACF har doim ijobiy bo'ladi va vaqt o'zgarishining istalgan qiymatida ACF moduli signal energiyasidan oshmaydi. Ikkinchisi to'g'ridan-to'g'ri skalyar mahsulotning xususiyatlaridan kelib chiqadi (koshi-Bunyakovskiy tengsizligi kabi):

ás(t), s(t+t)ñ = ||s(t)||×||s(t+t)||×cos j(t),

cos j(t) = 1 da t = 0, ás(t), s(t+t)ñ = ||s(t)||×||s(t)|| = Es,

cos j(t)< 1 при t ¹ 0, ás(t), s(t+t)ñ = ||s(t)||×||s(t+t)||×cos j(t) < Es.

Misol sifatida rasmda. 6.1.1 ikkita signalni ko'rsatadi - to'rtburchak puls va bir xil T davomiylikdagi radio impuls va bu signallarga mos keladigan ularning ACF shakllari. Radio impuls tebranishlarining amplitudasi to'rtburchaklar pulsning amplitudasiga teng bo'ladi, signal energiyalari ham bir xil bo'ladi, bu ACF markaziy maksimallarining teng qiymatlari bilan tasdiqlanadi. Cheklangan impuls davomiyliklari uchun ACF davomiyliklari ham chekli bo‘lib, pulsning ikki baravar ko‘payishiga teng bo‘ladi (cheklangan impulsning nusxasi uning davomiyligi oralig‘ida chapga ham, o‘ngga ham siljiganda, pulsning ko‘paytmasi uning nusxasi bilan puls nolga teng bo'ladi). Radio impulsning ACF tebranishlarining chastotasi radio impulsni to'ldirish tebranishlarining chastotasiga teng (ACFning lateral minimal va maksimallari har safar radio impuls nusxasining davrning yarmiga ketma-ket siljishi bilan sodir bo'ladi. uni to'ldirish tebranishlari).

Paritetni hisobga olgan holda, grafik tasvir ACF odatda faqat t ning ijobiy qiymatlari uchun amalga oshiriladi. Amalda, signallar odatda 0-T dan ijobiy argument qiymatlari oralig'ida belgilanadi. (6.1.1) ifodadagi +t belgisi t qiymatlari ortishi bilan s(t+t) signalining nusxasi t o‘qi bo‘ylab chapga siljiydi va 0 dan oshib ketishini bildiradi. Raqamli signallar uchun, bu ma'lumotlarning salbiy argument qiymatlari mintaqasiga mos keladigan kengaytmasini talab qiladi. Va hisob-kitoblarda t ni ko'rsatish oralig'i odatda signalni ko'rsatish oralig'idan ancha kichik bo'lganligi sababli, signalning nusxasini argumentlar o'qi bo'ylab chapga siljitish, ya'ni uning o'rniga s(t-t) funktsiyasidan foydalanish qulayroqdir. (6.1.1) ifodadagi s(t+t) ning ).

Bs(t) = s(t) s(t-t) dt. (6.1.1")

Cheklangan signallar uchun siljishning t qiymati ortishi bilan signalning uning nusxasi bilan vaqtinchalik qoplanishi kamayadi va shunga mos ravishda o'zaro ta'sir burchagi va umuman skalyar mahsulotning kosinasi nolga moyil bo'ladi:

Markazlashtirilgan signal qiymatidan hisoblangan ACF s(t) ga teng avtokovariatsiya Signal funktsiyasi:

Cs(t) = dt, (6.1.2)

bu erda ms - o'rtacha signal qiymati. Kovariatsiya funktsiyalari korrelyatsiya funktsiyalari bilan juda oddiy munosabat bilan bog'lanadi:

Cs(t) = Bs(t) - ms2.

Vaqt cheklangan signallarning ACF. Amalda ma'lum bir oraliqda berilgan signallar odatda o'rganiladi va tahlil qilinadi. Turli vaqt oralig'ida ko'rsatilgan signallarning ACF ni solishtirish uchun ACFni interval uzunligiga normallashtirish bilan o'zgartirish amaliy qo'llanilishini topadi. Masalan, intervalda signalni belgilashda:

Bs(t) =s(t) s(t+t) dt. (6.1.3)

ACF ni cheksiz energiyaga ega bo'lgan zaif so'ndirilgan signallar uchun ham hisoblash mumkin, chunki signalning skalyar mahsulotining o'rtacha qiymati va signalni sozlash oralig'i cheksizlikka moyil bo'lganda uning nusxasi:

Bs(t) = . (6.1.4)

Ushbu iboralarga ko'ra ACF quvvatning jismoniy o'lchamiga ega va nusxaning siljishiga qarab, signal va uning nusxasining o'rtacha o'zaro kuchiga teng.

Davriy signallarning ACF. Davriy signallarning energiyasi cheksizdir, shuning uchun davriy signallarning ACF qiymati bir T davri uchun hisoblanadi, signalning skalyar mahsuloti va davr ichida uning siljigan nusxasi o'rtacha hisoblanadi:

Bs(t) = (1/T)s(t) s(t-t) dt. (6.1.5)

Matematik jihatdan yanada qat'iy ifoda:

Bs(t) = .

t=0 da davrga normalangan ACF qiymati o'rtacha quvvat davr ichida signallar. Bunda davriy signallarning ACF davri bir xil T davriga ega davriy funksiyadir. Shunday qilib, T=2p/w0 da s(t) = A cos(w0t+j0) signal uchun bizda:

Bs(t) = A cos(w0t+j0) A cos(w0(t-t)+j0) = (A2/2) cos(w0t). (6.1.6)

Olingan natija har qanday davriy signallarga xos bo'lgan va ACF xususiyatlaridan biri bo'lgan garmonik signalning boshlang'ich bosqichiga bog'liq emas. Avtokorrelyatsiya funksiyalaridan foydalanib, har qanday ixtiyoriy signallarda davriy xususiyatlarni tekshirishingiz mumkin. Davriy signalning avtokorrelyatsiya funktsiyasiga misol rasmda ko'rsatilgan. 6.1.2.

Avtokovariatsiya funktsiyalari (ACF) markazlashtirilgan signal qiymatlari yordamida xuddi shunday hisoblab chiqiladi. Ushbu funktsiyalarning diqqatga sazovor xususiyati ularning signallarning ss2 dispersiyasi bilan oddiy aloqasi (standart kvadrati - signal qiymatlarining o'rtacha qiymatdan standart og'ishi). Ma'lumki, dispersiya qiymati o'rtacha signal kuchiga teng, bu quyidagicha:

|Cs(t)| ≤ ss2, Cs(0) = ss2 º ||s(t)||2. (6.1.7)

Dispersiya qiymatiga normallashtirilgan FAC qiymatlari avtokorrelyatsiya koeffitsientlarining funktsiyasidir:

rs(t) = Cs(t)/Cs(0) = Cs(t)/ss2 º cos j(t). (6.1.8)

Bu funktsiya ba'zan "haqiqiy" avtokorrelyatsiya funktsiyasi deb ataladi. Normalizatsiya tufayli uning qiymatlari s(t) signal qiymatlarini ifodalash birliklariga (shkalasiga) bog'liq emas va signal o'rtasidagi t siljishining kattaligiga qarab signal qiymatlari orasidagi chiziqli bog'liqlik darajasini tavsiflaydi. namunalar. Rs(t) º cos j(t) qiymatlari 1 dan (o'qishlarning to'liq to'g'ridan-to'g'ri korrelyatsiyasi) -1 dan (teskari korrelyatsiya) o'zgarishi mumkin.

Shaklda. 6.1.3 da s(k) va s1(k) = s(k)+shovqin signallarining misoli ko'rsatilgan, bu signallarga mos keladigan FAK koeffitsientlari - rs va rs1. Grafiklardan ko'rinib turibdiki, FAK signallarda davriy tebranishlar mavjudligini ishonchli tarzda aniqladi. s1(k) signalidagi shovqin davriy tebranishlarning amplitudasini davrni o'zgartirmasdan kamaytirdi. Buni Cs/ss1 egri chizig'ining grafigi, ya'ni s1(k) signal dispersiyasi qiymatini normallashtirish (taqqoslash uchun) bilan s(k) signalining FAC si bilan tasdiqlanadi, bu erda shovqin impulslarini aniq ko'rish mumkin. , ularning o'qishlarining to'liq statistik mustaqilligi bilan, Cs(0) qiymatiga nisbatan Ss1(0) qiymatining oshishiga olib keldi va avtokovariatsiya koeffitsientlari funktsiyasini biroz "xiralashtirdi". Buning sababi shundaki, shovqin signallarining rs(t) qiymati t ® 0 da 1 ga intiladi va t ≠ 0 da nol atrofida o'zgaradi, tebranish amplitudalari esa statistik jihatdan mustaqil va signal namunalari soniga bog'liq (ular namunalar soni ortishi bilan nolga intiladi).

Diskret signallarning ACF. Ma'lumotlarni tanlash oralig'i Dt = const bo'lsa, ACF hisoblash Dt = Dt oraliqlari bo'ylab amalga oshiriladi va odatda namuna siljishi nDt ning n raqamlarining diskret funktsiyasi sifatida yoziladi:

Bs(nDt) = Dtsk×sk-n. (6.1.9)

Diskret signallar odatda ma'lum uzunlikdagi raqamli massivlar ko'rinishida ko'rsatilgan bo'lib, Dt = 1 da k = 0,1,...K namuna raqami bilan belgilanadi va energiya birliklarida diskret ACFni hisoblash bir tomonlama versiyada amalga oshiriladi, massivlarning uzunligini hisobga olgan holda. Agar butun signal massivi ishlatilsa va ACF namunalari soni massiv namunalari soniga teng bo'lsa, hisoblash quyidagi formula bo'yicha amalga oshiriladi:

Bs(n) = sk×sk-n. (6.1.10)

Ushbu funktsiyadagi K/(K-n) ko'paytmasi n o'zgarishi ortishi bilan ko'paytiriladigan va yig'ilgan qiymatlar sonining bosqichma-bosqich kamayishi uchun tuzatish omilidir. Markazsiz signallar uchun ushbu tuzatishsiz, ACF qiymatlarida o'rtacha qiymatlarni yig'ish tendentsiyasi paydo bo'ladi. Signal quvvati birliklarida o'lchashda K/(K-n) ko'paytmasi 1/(K-n) ko'paytirgich bilan almashtiriladi.

Formula (6.1.10) juda kamdan-kam hollarda, asosan kam sonli namunali deterministik signallar uchun ishlatiladi. Tasodifiy va shovqinli signallar uchun maxrajning kamayishi (K-n) va siljish ortishi bilan ko'paytiriladigan namunalar soni ACF hisoblashda statistik tebranishlarning oshishiga olib keladi. Ushbu shartlarda yuqori ishonchlilik ACFni signal quvvati birliklarida quyidagi formula yordamida hisoblash orqali ta'minlanadi:

Bs(n) = sk×sk-n, k-n da sk-n = 0< 0, (6.1.11)

ya'ni doimiy koeffitsient 1/K ga normallashtirish va signalni nol qiymatlarga uzaytirish bilan (chap tomonga siljiydi k-n yoki k+n siljishlardan foydalanganda o'ngga). Ushbu baho bir tomonlama va (6.1.10) formulaga qaraganda biroz kichikroq dispersiyaga ega. Formulalar (6.1.10) va (6.1.11) bo'yicha normalizatsiya o'rtasidagi farqni rasmda aniq ko'rish mumkin. 6.1.4.

Formula (6.1.11) mahsulotlar yig'indisining o'rtacha qiymati, ya'ni matematik kutishning taxmini sifatida ko'rib chiqilishi mumkin:

Bs(n) = M(sk sk-n) @ . (6.1.12)

Amalda diskret ACF uzluksiz ACF kabi xususiyatlarga ega. U ham juft bo'lib, uning n = 0 da qiymati normallashuvga qarab diskret signalning energiyasi yoki kuchiga teng.

Shovqinli signallarning ACF . Shovqinli signal v(k) = s(k)+q(k) yig'indisi sifatida yoziladi. Umuman olganda, shovqin nol o'rtacha qiymatga ega bo'lishi shart emas va quvvat bilan normallashtirilgan avtokorrelyatsiya funktsiyasi raqamli signal N - namunalarni o'z ichiga olgan , quyidagi shaklda yoziladi:

Bv(n) = (1/N) ás(k)+q(k), s(k-n)+q(k-n)ñ =

= (1/N) [ás(k), s(k-n)ñ + ás(k), q(k-n)ñ + áq(k), s(k-n)ñ + áq(k), q(k-n)ñ ] =

Bs(n) + M(sk qk-n) + M(qk sk-n) + M(qk qk-n).

Bv(n) = Bs(n) + + + . (6.1.13)

Matematik kutishning kengayishini hisobga olgan holda foydali signal s(k) va shovqin q(k) ning statistik mustaqilligi bilan.

M(sk qk-n) = M(sk) M(qk-n) =

quyidagi formuladan foydalanish mumkin:

Bv(n) = Bs(n) + 2 + . (6.1.13")

Shovqinli signal va uning ACF shovqinsiz signalga nisbatan misoli rasmda ko'rsatilgan. 6.1.5.

(6.1.13) formulalardan kelib chiqadiki, shovqinli signalning ACF 2+ qiymatigacha parchalanadigan, bir-biriga o'rnatilgan shovqin funksiyasi bilan foydali signalning signal komponentining ACF dan iborat. K ning katta qiymatlari uchun → 0 bo'lganda, Bv(n) » Bs(n). Bu nafaqat shovqinda deyarli butunlay yashirin bo'lgan ACF davriy signallarini aniqlashga imkon beradi (shovqin kuchi signal kuchidan ancha katta), balki ularning davri va shaklini yuqori aniqlik bilan aniqlash, va bir chastotali garmonik signallar uchun ularning amplitudasi ifodalar yordamida (6.1.6).

Kod signallari diskret signallarning bir turi hisoblanadi. M×Dt kodli so'zlarning ma'lum bir oralig'ida ular faqat ikkita amplituda qiymatga ega bo'lishi mumkin: 0 va 1 yoki 1 va -1. Muhim shovqin darajasida kodlarni aniqlashda kod so'zining ACF shakli alohida ahamiyatga ega. Shu nuqtai nazardan, eng yaxshi kodlar ACF yon lob qiymatlari markaziy cho'qqining maksimal qiymati bilan kod so'zlari oralig'ining butun uzunligi bo'ylab minimal bo'lgan kodlardir. Bunday kodlar 6.1-jadvalda ko'rsatilgan Barker kodini o'z ichiga oladi. Jadvaldan ko'rinib turibdiki, kodning markaziy cho'qqisining amplitudasi son jihatdan M qiymatiga teng, n ¹ 0 da lateral tebranishlarning amplitudasi 1 dan oshmaydi.

6.2. Signallarning o'zaro bog'liqlik funktsiyalari.

O'zaro korrelyatsiya funktsiyasi (VKF) turli signallar(o'zaro korrelyatsiya funktsiyasi, CCF) ikkita signal shaklidagi o'xshashlik darajasini ham, ularning koordinata (mustaqil o'zgaruvchi) bo'ylab bir-biriga nisbatan nisbiy joylashishini tavsiflaydi. Avtokorrelyatsiya funksiyasining formulasini (6.1.1) ikki xil s(t) va u(t) signallariga umumlashtirib, signallarning quyidagi skalyar mahsulotini olamiz:

Bsu(t) =s(t) u(t+t) dt. (6.2.1)

Signallarning o'zaro bog'liqligi ushbu signallar tomonidan aks ettirilgan hodisalar va fizik jarayonlarning ma'lum bir bog'liqligini tavsiflaydi va signallarni alohida qayta ishlash jarayonida ushbu munosabatlarning "barqarorligi" o'lchovi bo'lib xizmat qilishi mumkin. turli qurilmalar. Cheklangan energiyaga ega signallar uchun VCF ham chekli hisoblanadi va:

|Bsu(t)| £ ||s(t)||×||u(t)||,

Koshi-Bunyakovskiy tengsizligidan va signal normalarining koordinata siljishidan mustaqilligidan kelib chiqadi.

(6.2.1) formuladagi t = t-t o'zgaruvchisini almashtirganda, biz quyidagilarni olamiz:

Bsu(t) =s(t-t) u(t) dt = u(t) s(t-t) dt = Shina(-t).

Bundan kelib chiqadiki, Bsu(t) ¹ Bsu(-t) paritet sharti TCF uchun qanoatlanmaydi va TCF qiymatlari t = 0 da maksimalga ega bo'lishi shart emas.

Buni rasmda aniq ko'rish mumkin. 6.2.1, bu erda 0,5 va 1,5 nuqtalarda markazlar bilan ikkita bir xil signal beriladi. (6.2.1) formula yordamida hisoblash bosqichma-bosqich oshirish t qiymatlari s2(t) signalining vaqt o'qi bo'ylab chapga ketma-ket siljishini bildiradi (s1(t ning har bir qiymati uchun) integratsiyani ko'paytirish uchun s2(t+t) qiymatlari olinadi). t=0 da signallar ortogonal va B12(t)=0 qiymati. Maksimal B12(t) s2(t) signali t=1 qiymatiga chapga siljiganda kuzatiladi, bunda s1(t) va s2(t+t) signallari to‘liq birlashtiriladi.

(6.2.1) va (6.2.1") formulalar bo'yicha CCF ning bir xil qiymatlari signallarning bir xil nisbiy holatida kuzatiladi: u (t) signali s ga nisbatan t oralig'iga siljiganida. (t) ordinata o'qi bo'ylab o'ngga va u (t) signaliga nisbatan s (t) signal chapga, ya'ni Bsu (t) = Bus (-t).

Shaklda. 6.2.2 to'rtburchaklar signal s(t) va ikkita bir xil uchburchak signallari u(t) va v(t) uchun CCF misollarini ko'rsatadi. Barcha signallar bir xil T davomiyligiga ega, signal v(t) esa T/2 oralig'ida oldinga siljiydi.

s(t) va u(t) signallari vaqtning joylashuvi boʻyicha bir xil boʻlib, signallarning “qoplanish” maydoni t=0 da maksimal boʻladi, bu Bsu funksiyasi bilan belgilanadi. Shu bilan birga, Bsu funktsiyasi keskin assimetrikdir, chunki assimetrik signal shakli bilan u (t) simmetrik shakl s(t) uchun (signallarning markaziga nisbatan) signallarning "bir-biriga yopishgan" maydoni. siljish yo'nalishiga qarab har xil o'zgaradi (t ning qiymati noldan oshgani uchun t belgisi). Signalning u(t) boshlang’ich pozitsiyasi ordinata o’qi bo’ylab chapga siljiganda (s(t) signal - v(t) signalidan oldin) CCF shakli o’zgarishsiz qoladi va o’ngga siljiydi. bir xil siljish qiymati bilan - rasmdagi Bsv funktsiyasi. 6.2.2. Agar (6.2.1) funksiya ifodalarini almashtirsak, u holda yangi xususiyat Bvs t=0 ga nisbatan aks ettirilgan Bsv funksiya bo'ladi.

Ushbu xususiyatlarni hisobga olgan holda, umumiy CCF, qoida tariqasida, ijobiy va salbiy kechikishlar uchun alohida hisoblanadi:

Bsu(t) =s(t) u(t+t) dt. Shina(t) =u(t) s(t+t) dt. (6.2.1")

Shovqinli signallarning o'zaro bog'liqligi . Ikki shovqinli signallar uchun u(t) = s1(t)+q1(t) va v(t) = s2(t)+q2(t), formulalarni (6.1.13) nusxasini almashtirish bilan hosil qilish texnikasidan foydalangan holda. s(t) signali s2(t) signaliga o‘zaro bog‘liqlik formulasini quyidagi ko‘rinishda olish oson:

Buv(t) = Bs1s2(t) + Bs1q2(t) + Bq1s2(t) + Bq1q2(t). (6.2.2)

(6.2.2) ning o'ng tomonidagi oxirgi uchta had t ortishi bilan nolga tushadi. Signalni sozlashning katta intervallari uchun ifoda quyidagi shaklda yozilishi mumkin:

Buv(t) = Bs1s2(t) + + + . (6.2.3)

Nol o'rtacha shovqin qiymatlari va signallardan statistik mustaqillik bilan quyidagilar sodir bo'ladi:

Buv(t) → Bs1s2(t).

Diskret signallarning VCF. VKF ning barcha xususiyatlari analog signallar diskret signallarning CCF uchun ham amal qiladi, diskret ACF uchun yuqorida ko'rsatilgan diskret signallarning xususiyatlari ular uchun ham amal qiladi (6.1.9-6.1.12 formulalar). Xususan, K namunalar soni bilan x(k) va y(k) signallari uchun Dt = const =1 bilan:

Bxy(n) = xk yk-n. (6.2.4)

Quvvat bloklarida normallashtirilganda:

Bxy(n) = xk yk-n @ . (6.2.5)

Shovqindagi davriy signallarni baholash . Shovqinli signalni sinov va xatolik yordamida "mos yozuvlar" signali bilan o'zaro bog'liqlik yo'li bilan baholash mumkin, o'zaro bog'liqlik funktsiyasini uning maksimal qiymatiga moslashtiradi.

Shovqinning statistik mustaqilligi va → 0 bo‘lgan u(k)=s(k)+q(k) signali uchun q2(k)= bilan p(k) signal namunasi bilan o‘zaro korrelyatsiya funksiyasi (6.2.2) 0 quyidagi shaklni oladi:

Bup(k) = Bsp(k) + Bqp(k) = Bsp(k) +.

Va → 0 bo'lgani uchun N ortishi bilan Bup(k) → Bsp(k) bo'ladi. Shubhasiz, Bup(k) funksiya p(k) = s(k) bo‘lganda maksimalga ega bo‘ladi. Shablon p(k) shaklini o‘zgartirib, Bup(k) funksiyani maksimal darajaga ko‘tarib, optimal shakl p(k) ko‘rinishida s(k) ning bahosini olishimiz mumkin.

O'zaro korrelyatsiya koeffitsienti funktsiyasi (VKF) - s(t) va u(t) signallarining o'xshashlik darajasining miqdoriy ko'rsatkichi. Avtokorrelyatsiya koeffitsientlari funktsiyasiga o'xshab, u funktsiyalarning markazlashtirilgan qiymatlari orqali hisoblanadi (o'zaro kovariatsiyani hisoblash uchun funksiyalardan faqat bittasini markazlashtirish kifoya) va qiymatlar mahsulotiga normallashtiriladi. s(t) va v(t) standart funksiyalaridan:

rsu(t) = Csu(t)/sssv. (6.2.6)

t siljishi bilan korrelyatsiya koeffitsientlarining qiymatlarini o'zgartirish oralig'i -1 (to'liq teskari korrelyatsiya) dan 1 gacha (to'liq o'xshashlik yoki yuz foiz korrelyatsiya) o'zgarishi mumkin. Rsu(t) ning nol qiymatlari kuzatilgan t siljishlarida signallar bir-biridan mustaqil (korrelyatsiyasiz). O'zaro korrelyatsiya koeffitsienti signallarning fizik xususiyatlaridan va ularning kattaligidan qat'i nazar, signallar o'rtasidagi bog'liqlik mavjudligini o'rnatishga imkon beradi.

(6.2.4) formuladan foydalangan holda cheklangan uzunlikdagi shovqinli diskret signallarning CCF ni hisoblashda |rsu(n)| qiymatlarining paydo bo'lish ehtimoli mavjud. > 1.

Davriy signallar uchun CCF tushunchasi odatda qo'llanilmaydi, bir xil davrga ega bo'lgan signallar bundan mustasno, masalan, tizimlarning xususiyatlarini o'rganishda kirish va chiqish signallari.

6.3. Korrelyatsiya funksiyalarining spektral zichliklari.

ACF spektral zichligi quyidagi oddiy mulohazalar asosida aniqlash mumkin.

(6.1.1) ifodaga muvofiq, ACF signalning skalyar mahsuloti va uning nusxasi funksiyasi bo'lib, -¥ oralig'ida t oralig'ida siljiydi.< t < ¥:

Bs(t) = ás(t), s(t-t)ñ.

Nuqta mahsuloti signalning spektral zichligi va uning nusxalari bo'yicha aniqlanishi mumkin, ularning mahsuloti o'zaro quvvat spektral zichligi:

ás(t), s(t-t)ñ = (1/2p)S(w) St*(w) dw.

Signalning abscissa o'qi bo'ylab t oralig'ida siljishi spektral tasvirda signal spektrini exp(-jwt) ga, konjugat spektr uchun esa exp(jwt) omilga ko'paytirish orqali ko'rsatiladi:

St*(w) = S*(w) exp(jwt).

Buni hisobga olsak, biz quyidagilarni olamiz:

Bs(t) = (1/2p)S(w) S*(w) exp(jwt) dw =

= (1/2p)|S(w)|2 exp(jwt) dw. (6.3.1)

Lekin oxirgi ifoda signalning energiya spektrining (spektral energiya zichligi) teskari Furye konvertatsiyasidir. Shunday qilib, signalning energiya spektri va uning avtokorrelyatsiya funktsiyasi Furye konvertatsiyasi bilan bog'liq:

Bs(t) Û |S(w)|2 = Ws(w). (6.3.2)

Shunday qilib, ACF ning spektral zichligi signalning spektral quvvat zichligidan boshqa narsa emas, bu esa, o'z navbatida, ACF orqali to'g'ridan-to'g'ri Furye o'zgarishi bilan aniqlanishi mumkin:

|S(w)|2 = Bs(t) exp(-jwt) dt. (6.3.3)

Oxirgi ifoda ACF shakliga va ularning davomiyligini cheklash usuliga ma'lum cheklovlar qo'yadi.

Signallarning energiya spektri har doim ijobiy bo'ladi; signal kuchi salbiy bo'lishi mumkin emas. Binobarin, ACF to'rtburchak impuls shakliga ega bo'lolmaydi, chunki to'rtburchak impulsning Furye konvertatsiyasi o'zgaruvchan integral sinusdir. ACFda birinchi turdagi uzilishlar (sakrashlar) bo'lmasligi kerak, chunki ACF paritetini hisobga olgan holda, ±t koordinatasi bo'ylab har qanday simmetrik sakrash ACFning ma'lum bir uzluksiz funktsiya yig'indisiga "ajralishini" hosil qiladi. va energiya spektridagi salbiy qiymatlarning mos keladigan ko'rinishi bilan 2t davomiylikdagi to'rtburchak puls Ikkinchisining misoli rasmda ko'rsatilgan. 6.3.1 (funksiyalarning grafiklari, odatdagidek, juft funktsiyalar uchun, faqat o'ng tomoni bilan ko'rsatilgan).

Etarlicha kengaytirilgan signallarning ACFlari odatda o'lchamlari bilan cheklangan (ma'lumotlarning cheklangan korrelyatsiya intervallari -T / 2 dan T / 2 gacha o'rganiladi). Shu bilan birga, ACF ning qisqarishi ACF ning T davomiylikdagi to'rtburchaklar tanlov impulsi bilan ko'paytirilishi bo'lib, u chastota sohasida haqiqiy quvvat spektrining sinc (wT / 2) o'zgaruvchan integral sinus funktsiyasi bilan konvolyutsiyasida aks etadi. Bir tomondan, bu quvvat spektrining ma'lum bir tekislanishiga olib keladi, bu ko'pincha, masalan, sezilarli shovqin darajasida signallarni o'rganishda foydalidir. Ammo, boshqa tomondan, agar signalda harmonik komponentlar bo'lsa, shuningdek, cho'qqilar va sakrashlarning chekka qismlarida salbiy quvvat qiymatlari paydo bo'lsa, energiya cho'qqilarining kattaligi sezilarli darajada kam baholanishi mumkin. Ushbu omillarning namoyon bo'lishiga misol rasmda ko'rsatilgan. 6.3.2.

Guruch. 6.3.2. Turli uzunlikdagi ACFlar yordamida signalning energiya spektrini hisoblash.

Ma'lumki, signal quvvat spektrlari fazaviy xususiyatga ega emas va ulardan signallarni qayta qurish mumkin emas. Binobarin, signallarning ACF quvvat spektrlarining vaqtinchalik ko'rinishi sifatida signallarning fazaviy xarakteristikalari haqida ma'lumotga ega emas va ACF yordamida signallarni qayta qurish mumkin emas. Vaqt o'tishi bilan siljigan bir xil shakldagi signallar bir xil ACFga ega. Bundan tashqari, turli shakldagi signallar, agar ular o'xshash quvvat spektrlariga ega bo'lsa, o'xshash ACFlarga ega bo'lishi mumkin.

(6.3.1) tenglamani quyidagi shaklda qayta yozamiz

s(t) s(t-t) dt = (1/2p)S(w) S*(w) exp(jwt) dw,

va bu ifodaga t=0 qiymatini almashtiring. Olingan tenglik yaxshi ma'lum va deyiladi Parseval tengligi

s2(t) dt = (1/2p)|S(w)|2 dw.

Bu signal ta'rifining vaqt va chastota sohalarida signal energiyasini hisoblash imkonini beradi.

Signal korrelyatsiya oralig'i ACF kengligi va signal qiymatlarining argument bo'yicha muhim korrelyatsiya darajasini baholash uchun raqamli parametrdir.

Agar s(t) signali W0 qiymatiga ega va yuqori chegara chastotasi wv gacha bo'lgan taxminan bir xil energiya spektriga ega deb faraz qilsak (markazlangan to'rtburchak impulsning shakli, masalan, 6.3.3-rasmdagi 1-signal bilan. Bir tomonlama tasvirda fv = 50 Hz ), keyin signalning ACF ifodasi bilan aniqlanadi:

Bs(t) = (Wo/p)cos(wt) dw = (Vowv/p) sin(wvt)/(wvt).

Signalning korrelyatsiya oralig'i tk ACF markaziy cho'qqisining maksimaldan nol chizig'ining birinchi kesishishigacha bo'lgan kengligi deb hisoblanadi. Bunday holda, yuqori chegara chastotasi wv bo'lgan to'rtburchaklar spektr uchun birinchi nol kesishishi wvt = p da sinc(wvt) = 0 ga to'g'ri keladi, undan:

tk = p/wv =1/2fv. (6.3.4)

Signal spektrining yuqori chegara chastotasi qanchalik baland bo'lsa, korrelyatsiya oralig'i shunchalik kichik bo'ladi. Yuqorida silliq kesilgan signallar uchun kesish chastotasi wv parametrining rolini spektrning o'rtacha kengligi (6.3.3-rasmdagi 2-signal) o'ynaydi.

Bitta o'lchovdagi statistik shovqinning quvvat spektral zichligi tasodifiy funktsiya Wq(w) bo'lib, o'rtacha qiymati Wq(w) Þ sq2 bo'lib, bu erda sq2 shovqin dispersiyasidir. 0 dan ¥ gacha bo'lgan shovqinning yagona spektral taqsimoti bilan chegarada shovqin ACF t Þ 0 da Bq(t) Þ sq2 qiymatiga, t ¹ 0 da Bq(t) Þ 0 qiymatiga intiladi, ya'ni statistik shovqin emas. o'zaro bog'liq (tk Þ 0).

Cheklangan signallarning ACF ning amaliy hisob-kitoblari odatda t = (0, (3-5) tk) siljish oralig'i bilan chegaralanadi, bunda qoida tariqasida signallarning avtokorrelyatsiyasi bo'yicha asosiy ma'lumotlar jamlangan.

Spektral zichlik VKF AFC bilan bir xil mulohazalar asosida yoki to'g'ridan-to'g'ri (6.3.1) formuladan S(w) signalining spektral zichligini ikkinchi signalning spektral zichligi U(w) bilan almashtirish orqali olinishi mumkin:

Bsu(t) = (1/2p)S*(w) U(w) exp(jwt) dw. (6.3.5)

Yoki signallar tartibini o'zgartirganda:

Avtobus(t) = (1/2p)U*(w) S(w) exp(jwt) dw. (6.3.5")

S*(w)U(w) mahsuloti s(t) va u(t) signallarining Wsu(w) oʻzaro energiya spektrini ifodalaydi. Shunga ko'ra, U * (w) S (w) = Wus (w). Shuning uchun, ACF kabi, o'zaro bog'liqlik funktsiyasi va signallarning o'zaro kuchining spektral zichligi bir-biri bilan Furye transformlari bilan bog'liq:

Bsu(t) Û Wsu(w) º W*us(w). (6.3.6)

Avtobus(t) Û Wus(w) º W*su(w). (6.3.6")

Umumiy holda, juft funksiyalar spektrlari bundan mustasno, CCF funktsiyalari uchun paritetga mos kelmaslik shartidan kelib chiqadiki, o'zaro energiya spektrlari murakkab funktsiyalardir:

U(w) = Au(w) + j Bu(w), V(w) = Av(w) + j Bv(w).

Wuv = AuAv+BuBv+j(BuAv - AuBv) = Re Wuv(w) + j Im Wuv(w),

Shaklda. 6.3.4 bir-biriga nisbatan siljigan bir xil shakldagi ikkita signal misolidan foydalanib, CCF ning shakllanishi xususiyatlarini aniq ko'rishingiz mumkin.

Guruch. 6.3.4. VKF ning shakllanishi.

Signallarning shakli va ularning nisbiy joylashuvi A shaklida ko'rsatilgan. Signalning s(t) spektrining moduli va argumenti B shaklida ko'rsatilgan. Spektr moduli u(t) S(w) moduli bilan bir xil. ). Xuddi shu ko'rinishda o'zaro signal quvvat spektrining moduli ko'rsatilgan S(w)U*(w). Ma'lumki, murakkab spektrlarni ko'paytirishda spektrlarning modullari ko'paytiriladi va faza burchaklari qo'shiladi, konjugat spektri U*(w) uchun faza burchagi belgisi o'zgaradi. Agar CCF (6.2.1) ni hisoblash formulasidagi birinchi signal s(t) signal bo'lsa va ordinata o'qidagi u(t-t) signali s(t) dan oldinda bo'lsa, faza burchaklari S(w) bo'ladi. ) chastota burchaklar ortishi bilan manfiy qiymatlar tomon oshadi (qiymatlarning davriy ravishda 2p ga qayta tiklanishini hisobga olmagan holda) va mutlaq qiymatlardagi faza burchaklari U*(w) faza burchaklaridan s( t) va ijobiy qiymatlarga qarab (konjugatsiya tufayli) ortib boradi. Spektrlarni ko'paytirish natijasi (6.3.4-rasm, C ko'rinishida ko'rinib turganidek) faza burchaklari S(w) dan U * (w) burchak qiymatlarini ayirishdir. S(w)U*(w) spektri manfiy qiymatlar hududida qoladi, bu esa butun CCF funktsiyasini (va uning eng yuqori qiymatlarini) t o'qi bo'ylab ma'lum miqdorda noldan o'ngga siljishini ta'minlaydi (bir xil signallar uchun - ordinata o'qi bo'ylab signallar orasidagi farq miqdori bo'yicha). Signalning u (t) boshlang'ich pozitsiyasi s (t) signaliga siljiganida, faza burchaklari S (w) U * (w) signallarning to'liq mos kelishi bilan nol qiymatlari chegarasida kamayadi, Bsu(t) funksiyasi ACF ga o‘tkazishdan oldingi chegarada (bir xil s(t) va u(t) signallari uchun) t nol qiymatlarga o‘tadi.

Deterministik signallar uchun ma'lumki, agar ikkita signalning spektrlari bir-biriga to'g'ri kelmasa va shunga mos ravishda signallarning o'zaro energiyasi nolga teng bo'lsa, bunday signallar bir-biriga ortogonaldir. Energiya spektrlari va signallarning korrelyatsiya funktsiyalari o'rtasidagi bog'liqlik signallarning o'zaro ta'sirining yana bir tomonini ko'rsatadi. Agar signallarning spektrlari bir-biriga mos kelmasa va ularning o'zaro energiya spektri barcha chastotalarda nolga teng bo'lsa, har qanday vaqt oralig'ida t bir-biriga nisbatan ularning CCF ham nolga teng bo'ladi. Bu shuni anglatadiki, bunday signallar o'zaro bog'liq emas. Bu ham deterministik, ham deterministik uchun amal qiladi tasodifiy signallar va jarayonlar.

FFT yordamida korrelyatsiya funksiyalarini hisoblash ayniqsa uzun raqamlar qatorlari uchun o'nlab va yuzlab marta ko'pdir tezkor usul katta korrelyatsiya oraliqlarida vaqt sohasining ketma-ket siljishiga qaraganda. Usulning mohiyati ACF uchun (6.3.2) va VCF uchun (6.3.6) formulalardan kelib chiqadi. ACF ni bir xil signal uchun CCF ning maxsus holati sifatida ko'rib chiqish mumkinligini hisobga olsak, biz X (k) va y (k) signallari uchun CCF misolidan foydalanib, hisoblash jarayonini K namunalar soni bilan ko'rib chiqamiz. o'z ichiga oladi:

1. x(k) → X(k) va y(k) → Y(k) signallarining FFT spektrlarini hisoblash. Turli xil miqdordagi namunalar bilan, qisqaroq qator kattaroq qatorning o'lchamiga nol bilan to'ldiriladi.

2. Quvvat zichligi spektrlarini hisoblash Wxy(k) = X*(k) Y(k).

3. Teskari FFT Wxy(k) → Bxy(k).

Keling, usulning ba'zi xususiyatlarini ta'kidlaymiz.

Teskari FFT, ma'lumki, x(k) ③ y(k) funksiyalarning siklik konvolyutsiyasini hisoblaydi. Funksiya namunalari soni K ga teng bo’lsa, funksiya spektrlarining kompleks namunalari soni ham K ga, shuningdek ularning mahsuloti Wxy(k) namunalari soniga teng bo’ladi. Shunga ko'ra, teskari FFT paytida Bxy(k) namunalar soni ham K ga teng va K ga teng davr bilan tsiklik takrorlanadi. Shu bilan birga, (6.2.5) formula bo'yicha signallarning to'liq massivlarining chiziqli konvolyutsiyasi bilan, ICFning faqat yarmining o'lchami K nuqta, to'liq ikki tomonlama o'lcham esa 2K nuqta. Binobarin, teskari FFT bilan, konvolyutsiyaning siklligini hisobga olgan holda, uning yon davrlari ikkita funktsiyaning odatdagi tsiklik konvolyutsiyasida bo'lgani kabi, CCF ning asosiy davriga qo'shiladi.

Shaklda. 6.3.5 chiziqli konvolyutsiya (B1xy) va FFT (B2xy) orqali tsiklik konvolyutsiya bilan hisoblangan ikkita signal va VCF qiymatlarining namunasini ko'rsatadi. Yon davrlarning bir-biriga o'xshash ta'sirini bartaraf qilish uchun signallarni namunalar sonini ikki baravar ko'paytirish uchun chegarada nol bilan to'ldirish kerak, FFT natijasi (6.3.5-rasmdagi B3xy grafigi) chiziqli natijani to'liq takrorlaydi. konvolyutsiya (namunalar sonining ko'payishi uchun normalizatsiyani hisobga olgan holda).

Amalda, signal kengaytmasi nollarining soni korrelyatsiya funktsiyasining tabiatiga bog'liq. Nollarning minimal soni odatda funktsiyalarning muhim ma'lumot qismiga, ya'ni taxminan (3-5) korrelyatsiya oraliqlariga teng deb qabul qilinadi.

adabiyot

1. Baskakov sxemalari va signallari: Universitetlar uchun darslik. - M.: Oliy maktab, 1988 yil.

19. Vaqt seriyalarining amaliy tahlili. – M.: Mir, 1982. – 428 b.

25. Sergienko signalini qayta ishlash. / Universitetlar uchun darslik. – Sankt-Peterburg: Pyotr, 203. – 608 p.

33. Raqamli ishlov berish signallari. Amaliy yondashuv. / M., "Uilyams", 2004, 992 b.

Ko'rsatilgan xatolar, xatolar va qo'shimchalar bo'yicha takliflar haqida: *****@***ru.

Mualliflik huquqi©2008DavydovA.V.

Signallarni spektral tahlil qilishning maqsadi signalni oddiy garmonik tebranishlarning yig'indisi (yoki integral) sifatida qanday ko'rsatish mumkinligini va signalning shakli bu tebranishlarning amplitudalari va fazalarining chastota taqsimotining tuzilishini qanday aniqlashini o'rganishdir. Bundan farqli o'laroq, signal korrelyatsiyasini tahlil qilish vazifasi signallar yoki bir xil signalning vaqt bo'yicha ko'chirilgan nusxalari o'rtasidagi o'xshashlik va farq darajasini aniqlashdir. O'lchovni kiritish signallarning o'xshashlik darajasini miqdoriy o'lchashga yo'l ochadi. Signallarning spektral va korrelyatsion xarakteristikalari o'rtasida ma'lum bog'liqlik mavjudligi ko'rsatiladi.

3.1 Avtokorrelyatsiya funktsiyasi (ACF)

Cheklangan energiyaga ega signalning avtokorrelyatsiya funktsiyasi bu signalning ikki nusxasi mahsulotining integralining qiymati bo'lib, bir-biriga nisbatan t vaqtga siljigan, bu vaqt siljishi t funktsiyasi sifatida qaraladi:

Agar signal cheklangan vaqt oralig'ida aniqlangan bo'lsa , keyin uning ACF quyidagicha topiladi:

,

Qayerda
- signalning ko'chirilgan nusxalarining bir-biriga mos kelishi.

Avtokorrelyatsiya funktsiyasining qiymati qanchalik katta bo'lsa, deb ishoniladi
berilgan qiymatda , signalning ikki nusxasi qancha ko'p bo'lsa, ma'lum vaqt oralig'ida siljiydi , bir-biriga o'xshash. Shuning uchun korrelyatsiya funktsiyasi
va signalning ko'chirilgan nusxalari uchun o'xshashlik o'lchovidir.

Nol qiymat atrofida tasodifiy tebranishlar shakliga ega bo'lgan signallar uchun shu tarzda kiritilgan o'xshashlik o'lchovi quyidagi xarakterli xususiyatlarga ega.

Agar signalning o'zgartirilgan nusxalari bir-biri bilan taxminan vaqt o'tishi bilan tebransa, bu ularning o'xshashligining belgisidir va ACF katta ijobiy qiymatlarni oladi (katta ijobiy korrelyatsiya). Agar nusxalar deyarli antifazada tebransa, ACF katta salbiy qiymatlarni oladi (signal nusxalarining anti-o'xshashligi, katta salbiy korrelyatsiya).

Maksimal ACFga nusxalar mos kelganda, ya'ni siljish bo'lmaganda erishiladi. Nolinchi ACF qiymatlari siljishlarda erishiladi, bunda signal nusxalarining o'xshashligi ham, o'xshashligi ham sezilmaydi (nol korrelyatsiya, o korrelyatsiya yo'q).

3.1-rasmda 0 dan 1 s gacha bo'lgan vaqt oralig'ida ma'lum bir signalni amalga oshirish fragmenti ko'rsatilgan. Signal nol atrofida tasodifiy tebranadi. Signalning mavjudlik oralig'i chekli bo'lgani uchun uning energiyasi ham cheklangan. Uning ACF ni tenglama bo'yicha hisoblash mumkin:

.

Ushbu tenglamaga muvofiq MathCad-da hisoblangan signalning avtokorrelyatsiya funktsiyasi rasmda keltirilgan. 3.2. Korrelyatsiya funktsiyasi nafaqat signalning o'ziga o'xshashligini ko'rsatadi (shift t = 0), balki signalning bir-biriga nisbatan taxminan 0,063 s ga siljigan nusxalari (avtokorrelyatsiya funktsiyasining lateral maksimali) ham qandaydir o'xshashlikka ega ekanligini ko'rsatadi. Bundan farqli o'laroq, signalning 0,032 s ga siljigan nusxalari bir-biriga o'xshash bo'lishi kerak, ya'ni qaysidir ma'noda bir-biriga qarama-qarshi bo'lishi kerak.

33-rasmda ushbu ikki nusxaning juftlari ko'rsatilgan. Rasmdan siz signal nusxalarining o'xshashligi va o'xshashligi nimani anglatishini ko'rishingiz mumkin.

Korrelyatsiya funktsiyasi quyidagi xususiyatlarga ega:

1. t = 0 da avtokorrelyatsiya funksiyasi signal energiyasiga teng eng katta qiymatni oladi.

2. Avtokorrelyatsiya funksiyasi vaqt siljishining teng funksiyasi
.

3. t ortishi bilan avtokorrelyatsiya funksiyasi nolga kamayadi

4. Agar signalda d - funksiyalar tipidagi uzilishlar bo'lmasa, u holda
- uzluksiz funksiya.

5. Agar signal elektr kuchlanishi bo'lsa, u holda korrelyatsiya funktsiyasi o'lchamga ega
.

Avtokorrelyatsiya funktsiyasini aniqlashda davriy signallar uchun bir xil integral signalning takrorlanish davriga bo'linadi:

.

Kiritilgan korrelyatsiya funksiyasi quyidagi xususiyatlarga ega:

Masalan, garmonik tebranishning korrelyatsiya funksiyasini hisoblaymiz:

Bir qator trigonometrik o'zgarishlardan foydalanib, biz nihoyat erishamiz:

Shunday qilib, garmonik tebranishning avtokorrelyatsiya funktsiyasi signalning o'zi bilan bir xil o'zgarish davriga ega bo'lgan kosinus to'lqinidir. Tebranish davrining ko'paytmalari bo'lgan siljishlar bilan garmonika o'ziga aylanadi va ACF amplitudaning yarmi kvadratiga teng bo'lgan eng katta qiymatlarni oladi. Tebranish davrining yarmiga karrali vaqt siljishi burchakdagi faza siljishiga teng
, bu holda tebranishlar belgisi o'zgaradi va ACF minimal qiymatni oladi, salbiy va amplitudaning yarmi kvadratiga teng. Davrning chorak qismiga karrali siljishlar, masalan, sinusoidal tebranishni kosinus tebranishiga va aksincha. Bunday holda, ACF nolga tushadi. Bir-biriga nisbatan kvadraturada joylashgan bunday signallar avtokorrelyatsiya funksiyasi nuqtai nazaridan bir-biridan butunlay farq qiladi.

Signalning korrelyatsiya funksiyasi ifodasi uning dastlabki fazasini o'z ichiga olmaydi. Faza ma'lumotlari yo'qoladi. Bu shuni anglatadiki, signalning o'zini signalning korrelyatsiya funktsiyasidan qayta qurish mumkin emas. Displey
ko'rsatishdan farqli o'laroq
birma-bir emas.

Agar signal ishlab chiqarish mexanizmi orqali biz o'zi tanlagan korrelyatsiya funksiyasiga ko'ra signal yaratadigan ma'lum bir demiurjni tushunsak, u aslida bir xil korrelyatsiya funktsiyasiga ega bo'lgan, lekin bir-biridan farq qiluvchi signallarning butun to'plamini (signallar ansambli) yaratishi mumkin. fazaviy munosabatlarda.

yaratuvchining irodasiga bog'liq bo'lmagan holda o'z iroda erkinligini namoyon qiluvchi signal harakati (ba'zi tasodifiy jarayonning individual amalga oshirilishining paydo bo'lishi),

signalga nisbatan tashqi zo'ravonlik natijasi (har qanday jismoniy miqdorni o'lchash paytida olingan o'lchov ma'lumotlarining signaliga kirish).

Vaziyat har qanday davriy signal bilan o'xshash. Agar T asosiy davriga ega bo'lgan davriy signal amplitudali spektrga ega bo'lsa
va faza spektri
, u holda signalning korrelyatsiya funksiyasi quyidagi shaklni oladi:

.

Ushbu misollarda allaqachon korrelyatsiya funktsiyasi va signalning spektral xususiyatlari o'rtasida qandaydir bog'liqlik mavjud. Bu munosabatlar keyinroq batafsilroq muhokama qilinadi.